Luận văn thạc sĩ HUS phương trình hàm schrӧder, abel và một số áp dụng liên quan

Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính.. Ở phần 1, ta nhắc lại một số khái niệm và một số kết quả sẽ được dùng trongphần 2 như: dãy các xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảotận tình của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy đã dành nhiều thời gian hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng gópnhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quantâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văncủa mình

Hà nội, tháng 09 năm 2012

Lời mở đầu 1

Lời cảm ơn 2

Các ký hiệu và quy ước 5

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 6

1.1.Phương trình hàm tuyến tính 6

1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng quát 6

1.1.2 Dãy các xấp xỉ liên tiếp 7

1.1.3 Định lý Banach - Schauder 10

1.1.4 Các ánh xạ liên hợp 10

1.1.5 Các chuỗi liên hợp hình thức 12

1.2.Nghiệm của phương trình tuyến tính 13

1.2.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính 13

1.2.2 Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính 17

1.2.3 Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính 20

1.2.4 Nghiệm khả vi của phương trình tuyến tính 25

1.2.5 Nghiệm giải tích của phương trình tuyến tính 26

Chương 2 Phương trình Schr¨oder và Abel 29

2.1.Phương trình Schr¨oder 29

2.1.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình Schr¨ oder 29

2.1.2 Nghiệm lồi của phương trình Schr¨ oder 30

2.1.3 Nghiệm khả vi của phương trình Schr¨ oder 30

2.1.4 Nghiệm trơn của phương trình Schr¨ oder trong RN 32

2.1.5 Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨ oder 33

2.2.Phương trình Abel 36

2.2.1 Nghiệm lồi của phương trình Abel 36

2.2.2 Nghiệm khả vi của phương trình Abel 37

2.2.3 Nghiệm giải tích của phương trình Abel 40

Chương 3 Một số áp dụng liên quan 44

3.1.Các nghiệm chính 44

3.2.Hệ tiền Schr¨oder 46

3.2.1 Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu 47

3.2.2 Sự tương đương của phương trình Schr¨ oder và hệ tiền Schr¨ oder 48

3.3.Hệ Schr¨oder-Abel và các phương trình kết hợp 49

3.3.1 Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn 49

3.3.2 Kết hợp các phương trình Schr¨ oder và Abel 51

3.3.3 Sự tồn tại của các phần tử sinh 52

3.3.4 Nghiệm của hệ Abel – Schr¨ oder 54

3.4.Hệ Abel và các phương trình vi phân có lệch 57

3.4.1 Nhóm các phép biến đổi 57

3.4.2 Hệ các phương trình Abel đồng thời 60

3.5.Hệ Schr¨oder và đặc tính của chuẩn 61

3.5.1 Đặc tính của các chuẩn 61

3.5.2 Hệ các phương trình Schr¨ oder đồng thời 62

3.6.Các chú ý 64

3.6.1 Nghiệm của hệ tiền Schr¨ oder 64

3.6.2 Các tự đẳng cấu tăng 65

3.6.3 Định lý 3.3.4 65

3.6.4 Các phương trình vi phân có lệch 66

3.6.5 Áp dụng định lý 3.4.5 66

3.6.6 Định lý 3.5.2 67

3.6.7 Hệ phương trình Schr¨ oder 67

3.6.8 Phương trình Schr¨ oder, Abel và phương trình vi phân 67

3.6.9 Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục 68

3.6.10 Các phương trình Abel đồng thời 69

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 71

* cl(A) - bao đóng của tập A.

* int(A) - phần trong của tập A

* [0, a| là ký hiệu chung cho [0, a] và [0, a), chú ý |a, ∞| luôn là |a, ∞)

hội tụ hầu đều (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y trên X nếu nó hội tụ đều tới f

trên mọi tập con compact của X

* Ký hiệu f∗ dùng để ký hiệu cho logit(f ) (xem mục 1.1.5)

* LAS là viết tắt của "nghiệm giải tích địa phương"

* FPS là viết tắt của "chuỗi lũy thừa hình thức"

Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phươngtrình tuyến tính để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trình Schr¨oder và phươngtrình Abel ở chương sau

Về tổng thể chương này gồm hai phần:

♦ Phần 1: Các khái niệm và kiến thức liên quan

♦ Phần 2: Nghiệm của phương trình tuyến tính

Ở phần 1, ta nhắc lại một số khái niệm và một số kết quả sẽ được dùng trongphần 2 như: dãy các xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp trên các ánh

xạ và các tính chất của nó

Ở phần 2, ta trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình tuyến tính tổngquát và phương trình tuyến tính thuần nhất đực biệt là tính chính quy nghiệmcủa phương trình tuyến tính tổng quát Tính chính quy nghiệm bao gồm các tínhchất của nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi của nghiệm, tính trơn củanghiệm và một số tính chất khác

1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng quát

Phương trình hàm tổng quát có dạng:

F (x, ϕ(x), ϕ (f1(x)) , , ϕ (fn(x))) = 0

trong đó ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, chỉ

số n ở trong phương trình được gọi là bậc của phương trình Như vậy, phươngtrình hàm bậc 1 có dạng:

F (x, ϕ(x), ϕ (f (x))) = 0

Phương trình hàm tuyến tính tổng quát là phương trình hàm có dạng:

trong đó ϕ là hàm chưa biết và f và g là các hàm đã cho Trong trường hợp đặcbiệt khi h ≡ 0 thì (1.1) trở thành:

(1.2) được gọi là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát

Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng đều thuộc phương trìnhSchr¨oder và phương trình Abel Phương trình Schr¨oder là phương trình có dạng:

Dễ dàng thấy rằng nếuϕ và σ là các nghiệm của (1.2) thì kϕ + lσ, k, l = const

cũng là một nghiệm của (1.2) Như vậy, nếu (1.2) có nghiệm thì nó có rất nhiềunghiệm, các nghiệm này tạo thành từng họ nghiệm ở đó các nghiệm trong cùngmột họ sẽ sai khác một hằng số nhân

1.1.2 Dãy các xấp xỉ liên tiếp

Xét F(X) là tập hợp tất cả các tự ánh xạ của một tập X cho trước, do toán tửhợp 0◦0 có tính chất kết hợp trên F(X) nên (F(X), ◦) là một nửa nhóm với phần

tử đơn vị idX Các luỹ thừa fn, n ∈N với f là một phần tử của F(X)được gọi làdãy xấp xỉ liên tiếp của f

Định lí 1.1.1

Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là một hàm có các fn liêntục Nếu với một x ∈ X mà dãy (fn(x))n∈N hội tụ tới x0 ∈ X thì x0 là điểm cốđịnh của f

Cho X là một không gian tôpô và f : X → X là một hàm bất kỳ Gọi x0 làmột điểm cố định của f Tập hợp

được gọi là miền hút của x0 Một điểm cố định x0 của f được gọi là hút nếu thoảmãn x0 ∈ int Af(x0) Như vậy, điểm cố định hút lôi cuốn về phía nó các xấp xỉliên tiếp của mọi điểm thuộc lân cận của nó.

Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2]

Cho X là một tập con đóng của KN chứa gốc Xét ánh xạ liên tục f : X → X

sao cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, sự hội tụ của (1.7) là hầu đều trên X

Xét các giả thiết sau:

(i) f là một ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào chính nó với 0 < a ≤ ∞.(ii) f (x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , 0 < p(x) + s < 1, x ∈ X và

Chúng ta ký hiệu R là họ các hàm đo được r : X →R+ sao cho

và với mọi α ∈ (0, 1) tồn tại β ∈ (1, ∞) sao cho hoặc

r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10)hoặc

r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11)Định lí 1.1.8

Với các giả thiết (i) và (ii), nếu f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p(x) = O(r(x)) khi

x → 0 với r ∈R thì với mọi x ∈ X\{0} giới hạn

fn(x) ≥ dtn1
1/t

(tương ứng fn(x) ≤ dtn1
1/t)với n ∈ N đủ lớn Hơn nữa, nếu f là hàm tăng thì với trường hợp sau bất đẳngthức fn(x) ≤ (dtn)−1/t đúng đều với z ∈ X ∩ [0, x]

Cho X là một tập không rỗng, lồi và compact trong một không gian Banach, khi

đó mọi tự ánh xạ liên tục trên X đều có một điểm cố định

1.1.4 Các ánh xạ liên hợp

Chúng ta xét phương trình liên hợp:

Các ánh xạ f : X → X và g : Y → Y được gọi là liên hợp nếu tồn tại nghiệmsong ánh ϕ : X → Y của phương trình (1.12).

Có một trường hợp quan trọng của phương trình (1.12) (khi X và Y là các tậpcon của KN) đó là phương trình Schr¨oder:

Giả sử X là một lân cận của ξ = 0 ∈ KN (không mất tính tổng quát chúng taluôn luôn có thể đặt ξ tại gốc toạ độ) thì ϕ : X → X sẽ là khả nghịch địa phươngquanh gốc O nếu:

Mỗi hàm trong lớp các hàm ở định nghĩa 1.1.13 tạo thành một nhóm dướiphép toán trên các hàm thành phần Nó kéo theo rằng mỗi quan hệ liên hợp làmột quan hệ bắc cầu Vì thế, nếu f và g cùng liên hợp với hàm h : X → Y thìchúng sẽ liên hợp với nhau.

Định lí 1.1.14

Cho X là một lân cận của gốc trong KN và cho các hàmf : X → X và g : X → X

khả vi tại 0, f (0) = 0, g(0) = 0 Nếu f và g hoặc Cr – liên hợp hoặc A – liên hợpthì ma trận f0(0) và g0(0) cũng liên hợp, vì thế chúng có cùng dạng Jordan chuẩntắc

1.2.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính

Xét phương trình:

với các giả thiết sau:

(i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞

(ii) f : X → X là hàm tăng, liên tục và 0 < f (0) < x trên X

(iii) g : X →R là hàm dương trên X.

Bổ đề 1.2.1

Nếu giả thiết (i)→(iii) được thoả mãn và ϕ : X →R là một nghiệm của phương

trình (1.23) thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ > 0 hoặc ϕ < 0.Chứng minh

Giả sử ϕ(x0) = 0; x0 ∈ X theo (1.23) ta có ϕ(fn(x0)) = 0; ∀n ∈ N0, do ϕ là đơnđiệu nên nó triệt tiêu trong đoạn[0; x0] tức làfn(x0) → 0khi n → +∞ (xem định

lý 1.1.3) Hơn nữa,ϕ(x1) 6= 0vớix1 ∈ X,x1> 0sẽ ngụ ý (theo phương trình (1.23))rằng ϕ(fn(x1)) = 0; ∀n ∈N0 nhưng điều này là không thể vì lim

n→∞ fn(x1) = 0 Vìvậy, ϕ = 0 hoặc ϕ 6= 0 trên X, từ g > 0 ⇒ ϕ có dấu không đổi với mọi dãy

fn(x), x ∈ X Từ tính đơn điệu suy ra ϕ giữ nguyên dấu trên toàn bộ X

Chứng minh.

Cho ϕ1, và ϕ2 là các nghiệm đơn điệu của (1.23), bổ đề 1.2.1 chỉ ra rằng nếu ϕ2

là không đồng nhất bằng 0 trên x thì nó sẽ âm hoặc dương trên x

* Nếu ϕ2 = 0 thì ϕ2= 0.ϕ1 ⇒ định lý đúng

* Nếu ϕ2 6= 0 thì do ϕ là nghiệm của (1.23) thì −ϕ cũng là nghiệm ⇒ chúng ta

có thể giả sử rằng ϕ1 và ϕ2 cùng dương trên X Hơn nữa (1.24) ngụ ý rằng g ≥ 1

trên X do vậy ϕ1 và ϕ2 là giảm trên X

ϕ1(v).ϕ2(u)

ϕ1(u).ϕ2(v) ≤ ϕ2(u)

ϕ2(v) ≤ ϕ2(f (x0))

ϕ2(x0) = g(x0) < c (1.26)Lấy v = f (x0), theo (1.25) ta có:

1

Rω (x0) = Supu∈X0



ω(x0) ω(u)



≤ c

Với u = x0 ta có:

K ω(x0) = Supv∈X0

ω(v) ω(x0) ≤ C

Vì thế Kk ≤ C 2 và do đó ϕ1 = kϕ2.Định lí 1.2.3

Với giả thiết (i) → (iii) và

Chứng minh.

Ta có:

* Nếu ϕ = 0 thì (1.28) đúng với c = 0

* Nếu ϕ 6= 0 thì theo bổ đề 1.2.1 thì ϕ không đổi dấu trên X Giả sử ϕ là dương

và tăng (trong trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự) lấy x tùy ýtrong X, từ (1.23) theo quy nạp ta có

ϕ (fn(x)) = Gn(x)ϕ(x), n ∈ N (1.29)Đặt y = max(x 0 , x), từ fn(y) & 0 (định lý 1.1.3) tồn tại m ∈ N sao cho x 0 , x ∈ [fm(y), y] Theo tính đơn điệu của ϕ và (1.29) ta có:

thì phương trình (1.23) có duy nhất một họ nghiệm đơn điệu ϕ : X → R Các

nghiệm này cho bởi công thức (1.28) ở đó x0 ∈ X là một điểm cố định bất kỳ và

g(f n (x)) ≤ g(fg(fn+mn(y))(y)) với n ∈N0

Vì thế

g(fk+1(y)) g(fk+m(y)) g(y) g(f m−1 (y)) ≤

∞

Y

n=0

g(fn(x0)) g(f n (x)) ≤ g(y) g(f

m−1 (y)) g(f k+1 (y)) g(f k+m (y))

với k ≥ m Từ (1.31) suy ra (1.27), dãy có số hạng tổng quát Gn (x 0 )

G n (x) bị chặntrên và bị chặn dưới bởi các hằng số dương Hơn nữa, dãy này đơn điệu, từ

g (fn(x 0 )) /g (fn(x)) ≥ 1 (hoặc ≤) với mọi n ∈ N0 kéo theo x 0 ≥ x (hoặc x 0 ≤ x)

Do đó tích hữu hạn trong (1.28) hội tụ ∀x ∈ X Với c ∈ R công thức (1.28) xác

định một hàm (không tầm thường trừ khi c=0) Ta có ϕ : X → R và ϕ là đơnđiệu do g đơn điệu và f là hàm tăng Dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ thoả mãnphương trình (1.23) Tính duy nhất của nó có được từ định lý 1.2.3

cố định bất kỳ và c ∈R là một hằng số bất kỳ (tham số).

Xét phương trình tuyến tính tổng quát:

thì ∀x0 ∈ X tồn tại họ nghiệm ϕ : X → R của phương trình (1.34) là các hàm

không âm và giảm trên [0; x0], các nghiệm này cho bởi công thức:

bh : X → R xác định bởi bh(x) = h(x)/ϕ0(f (x)) Vì vậy, bh là hàm tăng trên X vàchúng ta có theo (1.35) và (1.29) (với ϕ được thay thế bởi ϕ0):

Theo định lý 1.2.7, dễ dàng thấy rằng với c ≥ 0, ϕblà hàm giảm và không âm trên

(0; x0] Vì vậy, hàm ϕ(x) = ϕ0(x) ϕ(x)b thoả mãn phương trình (1.34) và là hàmkhông âm, giảm trên (0; x0] Công thức (1.36) thu được từ (1.37) và (1.29) (với

ϕ được thay thế bởi ϕ0)

1.2.2 Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính

Chúng ta giả sử y ≤ x, để đơn giản các ký hiệu ta đặt:

(nhớ rằng f (xp) = xp+1), điều kiện (ii) cũng ngụ ý rằng x → f (x) − x là một hàm

âm và giảm trên X Từ xn ≤ yn ≤ xn+k chúng ta có:

Chúng ta thêm giả thiết:

(iii) h : X → R là hàm tăng và lõm (giảm và lồi) trên X và tồn tại giới hạn

Theo định lý 1.2.7 các chuỗi (xem (1.33) và (1.43)) ϕ(x) =b

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằngϕ : X → R là một hàm lồi thoả mãn

phương trình (1.38) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nó cho bởi công thức (1.42) ứng vớimột giá trị c nào đó

Từ zn → 0 theo (2.20) và (iii) thì biểu thức vế phải của (1.44) tiến tới Lα(x, x0)

khi n → ∞ Giới hạn đó cũng đạt được ở bên vế trái của (1.44) Theo (1.43) và(2.20) chúng ta có (với y = f−1(x0))

Xét phương trình thuần nhất:

Với các giả thiết:

(i) X = (0, a|, 0 < a ≤ ∞.(ii) f : X → X liên tục, tăng và 0 < f (x) < x trong X, hàm x → f (x)/x đơn điệutrên X và lim

x→0

hf (x) x

i

= s, 0 < s < 1.(iii) g : X →R là hàm dương, liên tục, đơn điệu trên X và thoả mãn lim

x→0 g(x) =

g 0 , 0 < g 0 < ∞

Hệ quả 1.2.11

Với các giả thiết (i)-(iii) và g 0 = 1 mọi nghiệm dương đơn điệu ϕ : X → R của

phương trình (1.47) là các hàm thay đổi chậm

1.2.3 Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính

Định lí 1.2.12

Cho X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K Giả sử rằngcác hàm f : X → X, g : X →K, h : X → Y liên tục trên X, f là hàm tăng nghiêmngặt, 0 < f (x) < x trên X và g(x) 6= 0 trên X Nếu x 0 ∈ X là một điểm bất kỳ cốđịnh và X0= [f (x0); x0] thì với mọi hàm ϕ0: X0→ Y thoả mãn điều kiện:

Với các giả thiết:

(i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K

(ii) Các hàm f : X → X, g : X → K liên tục trên X Hơn thế 0 < f (x) < x và

g(x) 6= 0 trên X\{0}.(iii) f tăng nghiêm ngặt trên X

Sử dụng phép quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng nếu ϕ : X → Y là nghiệm của phươngtrình (1.50) thì:

ϕ(fn(x)) = Gn(x).ϕ(x), x ∈ X, n ∈N (1.51)

Chúng ta phân biệt ba trường hợp:

(A) Giới hạn G(x) = lim

n→∞ Gn(x) tồn tại, liên tục và khác không trên X

(B) lim

n→∞ Gn(x) = 0 liên tục đều trên một đoạn con của X

(C) Hoặc là (A) hoặc là (B) xảy ra

Định lí 1.2.13

Giả sử các giả thiết (i), (ii) thoả mãn và giả sử rằng trường hợp (A) xảy ra thìnghiệm liên tục tổng quát ϕ : X → Y của phương trình (1.50) được cho bởi côngthức:

được cho bởi (1.53)

Để xét trường hợp (B) ta đưa vào hàm m : U → (0; ∞) Ở đó U 6= φ là mộttập con mở lớn nhất của X mà dãy (Gn) hội tụ hầu đều tới 0:

m(x) = sup

n∈N

Chúng ta bổ sung thêm các giả thiết:

(iv) Hàm h : X → Y liên tục trên X

(v) Dãy G1

n (x)



n∈N 0

bị chặn tại mọi điểm x ∈ X Giả sử rằng phương trình (1.49)

có một nghiệm liên tục ϕ : X → Y và lấy y = ϕ(0) Thay x = 0 vào (1.49) chúng

ta thu được h(0, y) = 0 Hơn nữa, theo (1.49) bằng quy nạp ta có:

Hn(x, y) = ϕ (fn(x)) − y − Gn(x) (ϕ(x) − y) (1.56)

Định lí 1.2.14.

Với các giả thiết (i), (ii), (iv), (v) và giả sử rằng trường hợp (C) xảy ra Phươngtrình (1.49) có một nghiệm liên tục ϕ : X → Y nếu và chỉ nếu tồn tại y ∈ Y saocho chuỗi:

Chọn một số ϑ thoả mãn |g(0)| > ϑ > 1 và các số dương a < b và K sao cho

|g(x)| > ϑ và kh(x)k ≤ K trên [0; b] ⊂ X Lấy M > K/(ϑ − 1), xét không gian (vớichuẩn sup) là Φ = {ϕ : [0, b] → Y, ϕ liên tục trên [0, b], kϕ(x)k ≤ M, ∀x ∈ [0, b]}.Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng công thức:

(T ϕ)(x) := (g(x))−1[ϕ(f (x)) − h(x)] , x ∈ [0, b] (1.59)xác định một ánh xạ co của không gian Φ lên chính nó Theo định lý Banachphương trình (1.49) có duy nhất một nghiệm liên tục ϕb ∈ Φ Theo định lý mởrộng 1.2.12 chúng ta thu được một nghiệm liên tục duy nhấtϕ : X → Y của (1.49)sao cho ϕ = ϕb trên [0, b] Từ (v) được thoả mãn, định lý 1.2.14 cho ta công thức(1.58) với y = ϕ(0) = h(0)/ (1 − g(0)) như chúng ta thu được từ (1.49) bằng cáchthay x = 0

Xét lớp hàm:

B:= {ϕ : X → Y, ϕ liên tục trên X\ {0} và bị chặn trên X}. (1.60)

Từ định lý 1.2.15 ta thu được định lý sau:

|g(fn(x)) − 1| ≤ M (fn(x))k ≤ M (fn(x0))k ≤ M1, M1 = M1(x0) > 0.Đánh giá này đúng cho mọi x ∈ [0, x 0 ] khi n đủ lớn Chúng ta thấy rằng chuỗi

0 < f (x) < x trên X\ {0}, g(x) 6= 0 trên X Hơn nữa, ta có:

f (x) = x − xm+1u(x), u(x) = O(1), x → 0, g(x) = 1 + xkv(x), v(x) = O(1), x → 0, h(x) = xqw(x), w(x) = O(1), x → 0,

Ở đó m, k, q là các hằng số dương (không nhất thiết là các số nguyên).

Định lí 1.2.18

Giả sử các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn với h=0 Nếu k > m và điều kiện:

u(x) = t + O(xτ), t > 0, τ > 0. (1.63)được thoả mãn thì phương trình:

Lấy x 0 ∈ X\ {0} sao cho |g(x) − 1| < 12 và |G(x) − 1| < 12 với x ∈ (0; x 0 ) Từ

|u| < 2| log(1 + u)| < 4|u|, ∀|u| < 12, với x ∈ (0; x0) ta có:

Ở đó, D là một hằng số dương Bây giờ với mọix ∈ (0; f (x0))tồn tạiN = N (x) ∈N

sao cho fN +1(x0) ≤ x ≤ fN(x0) Vì vậy ta có:

ở đó L không phụ thuộc vào x và (1.66) được kéo theo.

1.2.4 Nghiệm khả vi của phương trình tuyến tính

Xét phương trình tuyến tính dưới dạng:

Chúng ta xét các giả thiết:

(i) X = |0, a|, 0 < a ≤ ∞, Y là một không gian Banach trên R

(ii) Các hàm sốf : X → X,g : X →R vàh : X →R đều thuộc lớpCr, (1 ≤ r ≤ ∞)

trên X Hơn nữa 0 < f (x) < x, f0(x) > 0 và g(x) 6= 0 trên X\ {0}

Giả sử các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn với 0 / ∈ X Cố định x0 ∈ X và đặt

X0 = [f (x0), x0], khi đó với mọi hàm ϕ0 : X0 → Y thuộc lớp Cr trên X0 thoả mãncác điều kiện:

1.2.5 Nghiệm giải tích của phương trình tuyến tính

Các phương thức chúng ta đã dùng để kiểm tra các nghiệm thực thuộc lớp Cr cóthể được áp dụng để kiểm tra sự tồn tại và duy nhất nghiệm giải tích địa phương(LAS) của phương trình:

Với các giả thiết sau:

(iv) X ⊂C là một tập mở chứa gốc.

(v) f : X → X, g : X →C và h : X →C là các hàm giải tích trên X và f (0) = 0.Với các điều kiện (iv), (v) bổ đề 1.2.19 đúng cho hàm giải tích ϕ : X → C Các

hàm Pki ở đây là các hàm giải tích trên X

|Pri(x)| < M trong cl(U), i = 1, r − 1 (1.81)Theo bổ đề 1.2.19 với ψ 1 , ψ 2 ∈ A ta có:

ψ ∈ A của phương trình (1.78) và vì vậy cũng tồn tại nghiệm giải tích duy nhất

ϕ : U →C của phương trình (1.72) thoả mãn (1.74).

được thoả mãn, bài toán xác định LAS của (1.83) trở nên phức tạp hơn nhiều.

Cho ví dụ, phương trình Schr¨oder:

Tuy nhiên, cũng có thể xảy ra trường hợp chuỗi (1.87) phân kỳ với ∀x 6= 0 khi đó(1.85) không có nghiệm LAS

Loại trừ trường hợp phương trình (1.85) vô nghiệm LAS, chúng ta trích dẫn

ở đây một kết quả của C L Siegel về điều này (xem chứng minh ở Siegel [23])

Định lí 1.2.23

Tồn tại một tập con S của đường tròn đơn vị sao cho nếu f là một hàm giải tíchtrong một lân cận của gốc và thoả mãn điều kiện (1.86) với s ∈S thì nghiệm hình

thức (1.87) của phương trình (1.85) có một bán kính hội tụ dương

Nói cách khác, nếu s ∈S thì phương trình (1.85) có một họ nghiệm LAS duy nhất

và mọi c1∈C tồn tại một nghiệm LAS σ duy nhất của (1.85) sao cho σ0(0) = c1.Định nghĩa 1.2.24

Tập tất cả các điểm S trong đường tròn đơn vị thoả mãn định lý 1.2.23 và

sn 6= 1, n ∈N được gọi là tập Siegel.

qn−1log q n < ∞, ở đó q n là mẫu số của phân số thứ n trong biểu diễn của

w = (2π)−1arg s thành liên phân số thì s ∈S.

* Nếu |s n − 1|−1= O(n2) khi n → ∞ thì s ∈S.

Định lí 1.2.25

Cho f và g là hai hàm giải tích trong một lân cận của gốc, f (0) = 0, s := f0(0) ∈

S ∩ V, g(0) = sk, k ∈N0 thì phương trình ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) có một nghiệm LASkhông tầm thường ϕ, nghiệm này là duy nhất sai khác một hằng số nhân Ở đây,

S là tập Siegel, V là một tập con của đường tròn đơn vị

Phương trình Schr¨ oder và Abel

Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả đã đạt được về phươngtrình tuyến tính và phương trình tuyến tính thuần nhất vào việc nghiên cứu tínhchất nghiệm của phương trình Abel và phương trình Schr¨oder

có duy nhất một họ nghiệm σ : X → R sao cho hàm x → σ(x)/x là đơn điệu trên

X\ {0}, các nghiệm này cho bởi công thức:

Nếu 0 ∈ X thì σ(0) = 0 theo (2.1) phù hợp với (2.2)

Vì vậy, σ : X → R là một nghiệm của (2.1) sao cho ϕ(x) = σ(x)x , x ∈ X\ {0} đơnđiệu khi và chỉ khi ϕ là một nghiệm đơn điệu của phương trình:

ϕ(f (x)) = s.x

trong X\ {0} Như vậy, nghiệm đơn điệu của (2.3) được xác định bởi định lý 1.2.4với Gn(x) = sn/fn(x)

2.1.2 Nghiệm lồi của phương trình Schr¨ oder

khi đó phương trình (2.4) có duy nhất một họ nghiệm σ : X →R là một hàm lồi

hoặc lõm trên X Các nghiệm này cho bởi công thức:

Hơn nữa, do nghiệm σ : X → R của (2.4) là lõm hoặc lồi nên σ(x)/x là đơn điệu

và kéo theo tính duy nhất

2.1.3 Nghiệm khả vi của phương trình Schr¨ oder

Chúng ta sẽ chứng minh một định lý về các nghiệm khả vi σ : X →R của phương

Nếu f ∈ C2 trên X và f0(0) = s thì quan hệ tiệm cận (ii) tất nhiên được thoảmãn

Định lí 2.1.4

Nếu các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn thì phương trình (2.6) có một nghiệm

duy nhất σ : X → R thuộc lớp C1 trên X thoả mãn σ0(0) = 1 Nghiệm này cho bởicông thức:

Trước hết chúng ta chú ý rằngσ(0) = 0với bất cứ nghiệmσ : X →R nào của (2.6).

Hơn thế, phương trình (2.6) có nghiệm σ thuộc lớp C1 trên X sao cho σ0(0) = 1

nếu và chỉ nếu phương trình:

Từ f0(x) = s + O(xδ), chúng ta có f (x) = sx + O(x1+δ) và s/f0(x) = 1 + O(xδ) khi

x → 0 Chúng ta áp dụng định lý 1.2.17 vào phương trình (2.9), theo đó nghiệmliên tục ϕ : X → R của (2.9) sao choϕ(0) = 1 là tồn tại và duy nhất Vì vậy, điềunày cũng đúng cho nghiệm thuộc lớp C1 của (2.6) trên X sao cho σ0(0) = 1

Để chứng minh (2.8) chúng ta tiến hành như sau Công thức:

b

σ(x) = 1 + xδϕ(x), x ∈ X\{0},b ϕ(0) = 0b

liên kết nghiệm bσ thuộc lớp C1 của (2.6) với nghiệm ϕb thuộc lớp B (với Y = R,

xem (1.60)) của phương trình:

Từ σ0(0) = 1, σ tăng nghiêm ngặt trên một lân cận của gốc và theo (2.6) nó cũng

tăng nghiêm ngặt trên X.

Cuối cùng ta chứng minh công thức (2.7), lặp lại (2.6) bằng quy nạp ta thu được:

σ(x) = s−nσ(fn(x)) = s−nfn(x)
[σ(fn(x))/fn(x)]

Với x ∈ X\ {0} và n ∈ N, vì thế (2.7) kéo theo khi lim

n→∞ fn(x) = 0 và σ0(0) = 1, khi

x = 0 thì (2.7) là tầm thường

2.1.4 Nghiệm trơn của phương trình Schr¨ oder trong R

Kết quả sau được giới thiệu trong Kuczma [14] Xét phương trình Schr¨oder:

Ở đó S ∈ RN ×N, theo định lý 1.1.14 phương trình (2.11) có nghiệm trơn chỉ khi

S và f0(0) liên hợp (f0(0) = C.S.C−1) vì thế chúng ta có thể giả sử f0(0) = S.Giả sử rằng

(i) X là một lân cận của không trong RN và f : X → RN là hàm thuộc lớp Cr,

r ≥ 1, f (0) = 0, f0(0) = S, det(S) 6= 0.(ii) f(r)(x) = f(r)(0) + O|x|δ, x → 0, 0 ≤ r ≤ 1.Định lí 2.1.5

Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thỏa mãn, các nghiệm đặc trưng s1, s2, , sN

của S thỏa mãn 0 ≤ |s1| ≤ ≤ |sN| ≤ 1, điều kiện



|x|δ, x → 0.Chú ý 2.1.6

Cho δ = 0 từ định lý 2.1.5 thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm σ của (2.11)thuộc lớp Cr sao cho σ(0) = 0, σ0(0) = E với giả thiết rằng f là hàm thuộc lớp Cr

trên X, f (0) = 0, f0(0) = S, |sN|r/ |s1| < 1 và điều kiện (2.12) đúng với p = 2, , r

(xem S Sternberg [26])Định lý sau được trích từ Hartman [10] và Hartman [11]

Định lí 2.1.7

Nếu giả thiết (i) được thỏa mãn với r ≥ 2 và |sk| < 1 với k = 1, , N ở đó sk làcác nghiệm đặc trưng của S thì phương trình (2.11) có nghiệm σ : U →RN thuộclớp C1 trong lân cận U của gốc thỏa mãn điều kiện σ0(0) = E

Nếu không phải mọi nghiệm đặc trưng của S đều nằm bên trong hình trònđơn vị thì chúng ta có định lý sau (xem Sternberg [27])

2.1.5 Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨ oder

Áp dụng định lý 1.2.21 vào phương trình Schr¨oder:

Vì S(f0(0))k = Sk+1 6= 1, ∀k ∈ N nên hệ (1.73) khi áp dụng cho phương trình

(2.13) có nghiệm duy nhất Do vậy, sự tồn tại duy nhất nghiệm LAS σ của (2.13)được kéo theo từ định lý 1.2.21 Công thức (2.14) thu được bằng lập luận màchúng ta đã dùng trong chứng minh định lý 2.1.4 (công thức (2.7))

Chú ý 2.1.10

Nếu một hàm khả nghịch σ thoả mãn phương trình (2.13) thì nghịch đảo của nó

ϕ = σ−1 thoả mãn phương trình Poincaré:

ϕ(sx) = f (ϕ(x))

Trong trường hợp |s| = 1 mà s không là căn của đơn vị thì kết quả thu được

từ định lý 1.2.23, còn trường hợp s là căn của đơn vị thì chúng ta có kết quả sau

σ đều biểu diễn được dưới dạng (2.15) với g(x) = p−1σ(x).Định lí 2.1.12.

Cho X ⊂C là một lân cận của gốc, là một hàm giải tích, f (0) = 0, s = f0(0) 6= 0.Nếu s không là căn của đơn vị và σ0 là một nghiệm LAS không tầm thường củaphương trình (2.13) thì σ00(0) 6= 0 và nghiệm LAS tổng quát của (2.13) được chobởi công thức σ(x) = c.σ 0 (x) ở đó c ∈C là hằng số bất kỳ.

Chứng minh

Giả sửσ00(0) = 0, dos 6= 0nên chúng ta có σ0(0) = 0và vì vậyσ0(x) = xp.ϕ(x), p ≥

1, ϕ(0) 6= 0 Vì thế ϕ(f (x)) = s(x/f (x))pϕ(x) và thay x = 0 vào ta được ϕ(0) = ϕ(0).s1−p ⇒ s 1−p = 1 đây là một mâu thuẫn vậy σ00(0) 6= 0 Gọi σ là một nghiệmLAS bất kỳ của (2.13), σ(0) = 0 và vì vậy hàm ω = σ/σ0− c với c = σ0(0)/σ00(0)

là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc và ω(0) = 0 Hơn nữa, áp dụng(2.13) cho σ và σ0 chúng ta có ω(f (x)) = ω(x) trên X Tham khảo chú ý 2.1.13 đểthấy rằng ω = 0 vì thế σ = c.σ 0

Cho S là một ma trận, S ∈CN ×N Chúng ta ký hiệu hàm chưa biết là σ Nhưvậy ta có phương trình Schr¨oder:

σ0(0).S = S.σ0(0)

điều này được thoả mãn chẳng hạn với η1 = σ0(0) = E, E là ma trận đơn vị cấp

N Trong trường hợp tổng quát, các ma trận η p = σ(p)(0), p = 2, 3, phải thoảmãn hệ vô hạn các phương trình có được bằng cách đạo hàm (2.16), p lần và sau

đó thay x = 0 vào Với p ≥ 2 thì ηp có thể tồn tại hoặc không Tuy nhiên, theokết quả của W.Smajdor [24] về các nghiệm hình thức của các phương trình khôngtuyến tính thì với mọi p ≥ 2, ηp được xác định duy nhất khi:

Chúng ta dùng lại ký hiệu (1.40), trước tiên lấy x ∈ [f (x); y) vì vậy y n+1 ≤ x n ≤

y n, từ f là hàm lõm nên sai phân của nó giảm:

nữa, chúng giảm nghiệm ngặt trên X