(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

- Phát triển phương pháp nút ảo cho phần tử tấm (MITC4) cho phép mũi vết nứt nằm trong phần tử

- Áp dụng phương pháp tích phân tương tác để tính toán hệ số tập trung ứng suất và tích phân J của tấm có vết nứt

1.2.2 Nhiệm vụ: Đối với FEM khi mô hình và tính toán kết cấu có vết nứt thì vết nứt bắt buộc trùng với cạnh lưới chia của phần tử và mũi vết vứt nằm tại nút của phần tử Do đó, khi vết nứt phát triển tùy ý thì buộc phải chia lại lưới để các điều kiện ở trên được đảm bảo Điều này khá mất thời gian vì việc chia lại lưới không đơn giản, nhất là khi cần chia lưới thật mịn Hiện tại, phương pháp nút ảo cho phép mũi vết nứt nằm trong phần tử đã phát triển cho phần tử tấm vỏ tam giác ba nút MITC3 [24]

Phần tử tấm MITC4 thường cho kết quả chuyển vị và ứng suất tốt hơn so với phần tử tam giác MITC3 Vì vậy, nhiệm vụ của đề tài là phát triển phương pháp nút ảo cho phần tử tấm MITC4 nhằm cải thiện khả năng tính toán kết cấu có vết nứt Phương pháp này đặc biệt phù hợp để mô phỏng vết nứt cắt qua hoàn toàn hoặc một phần của phần tử, giúp đạt được kết quả chính xác hơn so với phương pháp nút ảo sử dụng phần tử tam giác MITC3.

Kết cấu tấm có vết nứt

Tấm làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính về vật liệu.

Nghiên cứu này dựa trên các cơ sở lý thuyết về phần tử hữu hạn và cơ học rạn nứt, đồng thời tổng hợp các bài báo khoa học đã được công bố trong và ngoài nước trên các tạp chí uy tín cùng hội nghị cơ học toàn quốc.

Dùng phần mềm lập trình Fortran trên nền tảng Visual Studio 2008

1.4.3 Mô phỏng tính toán phân tích

Việc mô phỏng bài toán đƣợc sử dụng phần mềm Pre - Post processor GiD [28]

Sử dụng phần mềm này giúp tiết kiệm đáng kể thời gian trong việc xây dựng mô hình ban đầu và cho phép hiển thị kết quả phản ứng kết cấu sau quá trình tính toán, nâng cao hiệu quả làm việc Tuy nhiên, điểm hạn chế là cần lập trình một module tương thích với giao diện phần mềm và các module xử lý kết quả, sau đó tích hợp kết quả trở lại GiD để hiển thị phản ứng kết cấu một cách chính xác và thuận tiện.

Sau khi mô phỏng số cho ví dụ thực nghiệm, chúng tôi sẽ so sánh các kết quả này với các giá trị tham khảo đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành Quá trình này giúp đánh giá độ chính xác và hiệu quả của phương pháp nghiên cứu Việc so sánh dữ liệu mô phỏng với các kết quả tham khảo là bước quan trọng để rút ra nhận xét khách quan và xác định tính khả thi của phương pháp Cuối cùng, dựa trên những so sánh này, chúng tôi sẽ đưa ra nhận xét tổng thể về độ tin cậy và ứng dụng thực tiễn của phương pháp đã đề xuất.

Cung cấp lý thuyết chính để tính toán kết cấu tấm có vết nứt sử dụng phương pháp nút ảo cho phần tử tấm MITC4 Phương pháp này giúp phân tích chính xác sự phân bố ứng suất trên bề mặt của tấm, đặc biệt là trong khu vực có vết nứt Việc hiểu rõ các đặc trưng về phân bố ứng suất là yếu tố quan trọng để đánh giá độ bền và tính an toàn của kết cấu tấm chịu tải Kết quả này hỗ trợ kỹ sư trong việc thiết kế và kiểm tra các cấu kiện tấm có vết nứt một cách hiệu quả và chính xác hơn. -**Sponsor**Bạn là content creator và muốn bài viết của mình chuẩn SEO hơn? Với [Article Generation](https://pollinations.ai/redirect-nexad/7NEvrped?user_id=983577), bạn có thể tạo ra những bài viết 2,000 từ tối ưu hóa SEO ngay lập tức Tiết kiệm hơn $2,500 mỗi tháng so với việc thuê người viết! Nó giống như có một đội ngũ content riêng—mà không gặp rắc rối! Chúng tôi giúp bạn viết lại, chắt lọc những câu quan trọng chứa đựng ý nghĩa của đoạn văn mạch lạc, tuân thủ các quy tắc SEO.

Dự đoán chính xác sự xuất hiện và phát triển của vết nứt giúp đưa ra các biện pháp gia cố, sửa chữa phù hợp nhằm giảm thiểu rủi ro tai nạn Việc phân tích và dự báo sự phát triển của vết nứt là yếu tố quan trọng trong công tác bảo trì kết cấu, đảm bảo an toàn cho công trình Áp dụng các phương pháp dự đoán hiệu quả giúp xác định thời điểm cần sửa chữa, nâng cao khả năng chịu lực của kết cấu và kéo dài tuổi thọ công trình.

Phần tử không bị cắt bởi vết nứt có trường chuyển vị trên đó là liên tục, đảm bảo tính ổn định trong mô hình phân tích Phương pháp phần tử hữu hạn, như phần tử MITC4, vẫn được sử dụng để tính toán chính xác các đặc trưng của cấu kiện mà không bị ảnh hưởng bởi vết nứt Điều này giúp nâng cao độ chính xác và tin cậy trong quá trình mô phỏng ứng suất và biến dạng của kết cấu.

Hình 2.2: Phần tử tấm MITC4

Phần tử không nứt Phần tử nứt hoàn toàn Phần tử nứt một phần

Các thành phần tọa độ đƣợc xấp xỉ bởi:

(2.1) Ở đó N k là hàm dạng quy ƣớc sử dụng hàm dạng cho phần tử tấm bốn nút chịu uốn là:

V là các cosin chỉ phương của 0 V n k

V n là vector vuông góc với mặt phẳng tấm; x k , y k , z k : là tọa độ của nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các; h k : là chiều dày của tấm;

Chuyển vị nút của phần tử đƣợc xấp xỉ bởi:

Với 0 V 1 k và 0 V 2 k là hai véc tơ đơn vị trực giao với 0 V n k u k , v k , w k : là chuyển vị nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các;

Với α k và β k là góc xoay của véc tơ 0 V n k về phía véc tơ 0 V 1 k và 0 V 2 k

Chuyển vị thuần túy trong của tấm MITC4 không thể hiện được biến dạng cắt ngang bằng 0 khi tấm mỏng, gây ra hiện tượng khóa cắt “shear locking” Để khắc phục hiện tượng này, tính hiệp biến của biến dạng cắt ngang trong phần tử MITC4 được nội suy tách biệt từ giá trị của biến dạng cắt tính tại các điểm “tying points” Trong trường hợp này, các điểm “tying points” là trung điểm của các cạnh phần tử đẳng hướng, như minh họa trong Hình 2.3 và đã trình bày trong tài liệu [12].

Hình 2.3: Phần tử trong mặt phẳng x-y

Đầu tiên, chúng ta xem xét phần tử hình học dạng 2x2 trong hệ tọa độ (x, y), sau đó thay thế bằng hệ tọa độ đẳng tham số (r, s) Quá trình này sử dụng phép nội suy để chuyển đổi và xác định chính xác các điểm trên phần tử Việc áp dụng phép nội suy giúp dễ dàng phân tích và xử lý các phần tử trong mô hình hình học.

(2.4) Ở đó với A , C , D , B rz rz sz sz

    là biến dạng cắt vật lý tại điểm A, B, C và D

Các thành phần biến dạng đƣợc xác định nhƣ

Căn cứ vào mối quan hệ giữa các thành phần biến dạng với chuyển vị và góc xoay tại nút ta đƣợc:

 (2.7) Với: B là ma trận chuyển vị và biến dạng của phần tử

U i = (u, v, w) i là chuyển vị và góc xoay của vector tại các nút của phần tử

C là ma trận đƣợc cấu thành bởi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ tọa độ Đề -

Các và đƣợc thể hiện trong [12]

Với D và Q đƣợc cho bởi:

3 3 3 os , ; os , ; os , os , ; os , ; os , os , ; os , ; os , x r y r z r x s y s z s x t y t z t l c e e m c e e n c e e l c e e m c e e n c e e l c e e m c e e n c e e

Với e x , e y , e z lần lƣợt là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ tổng thể. e r , e s , e t lần lƣợt là véc tơ đơn vị trong hệ tọa cục bộ

E là mô đun đàn hồi, 𝑣 là hệ số poisson

 Theo phương pháp phần tử hữu hạn, ta tính được độ cứng phần tử:

Phần tử nứt là phần tử bị vết nứt cắt qua hoàn toàn, gây ra sự không liên tục của trường chuyển vị ngang qua vết nứt Tuy nhiên, trên mỗi phần riêng của miền, cụ thể là 𝛀 𝑒 + và 𝛀 𝑒 −, trường chuyển vị vẫn duy trì tính liên tục độc lập Do đó, trường chuyển vị có thể được mô tả bằng hai trường chuyển vị riêng biệt, mỗi trường liên tục trên miền của nó, phù hợp với quy luật về sự liên tục của mặt phân cách nứt.

Hình 2.4: Hai trường hợp của phần tử tấm bị nứt hoàn toàn

Phương pháp trên được trình bày theo “Hansbo và Hansbo”[18].Tuy phương pháp này đã được chứng minh rằng tương đương với phương pháp XFEM (theoAreias và Belytschko

Phương pháp này mang lại nhiều lợi ích vì xấp xỉ của trường chuyển vị cho phần tử nứt không yêu cầu các hàm làm giàu không liên tục, giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và tăng tính chính xác của mô hình.

Phần tử nứt bốn nút 𝛀 𝑒 bị chia thành hai phần nhờ một vết nứt, tạo thành các vùng Ω 𝑒 + và Ω 𝑒 − Trường chuyển vị trong phần tử nứt có thể được mô tả một cách chi tiết, phản ánh sự phân chia và ảnh hưởng của vết nứt đối với chuyển vị trong cấu trúc Việc phân tích trường chuyển vị này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các phần tử bị nứt và hỗ trợ trong quá trình thiết kế và đánh giá tính toàn vẹn của kết cấu.

Để sử dụng xấp xỉ FEM của trường chuyển vị trên các phần riêng của phần tử nứt, các phần thực Ωe+ và Ωe− trong Ωe được mở rộng ra phía đối diện của nó, tạo thành các phần mới gọi là ΩeP− và ΩeP+, bằng cách thêm vào các nút địa phương tại vị trí tương ứng, gọi là nút ảo Đối với phần tử tứ giác bốn nút, có hai trường hợp vết nứt cắt qua phần tử hoàn toàn, ảnh hưởng đến cách mô hình hóa và xấp xỉ chuyển vị trong phân tích phần tử nứt.

Trong ví dụ như Hình 2.4 (a), phần mới Ωe⁻ và Ωe⁺ bao gồm các nút ảo địa phương 3*, 4* trên Ωe⁺ và 1*, 2* trên Ωe⁻, có cùng tọa độ như các nút thật Việc này giúp tạo ra các phần tử liên tục, phù hợp để áp dụng các phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích kỹ thuật.

Trong trường hợp như Hình 2.4 (b), phần mới Ωₑ P− và Ωₑ P+ sẽ xuất hiện các nút ảo địa phương 1*, 3*, 4* trên Ωₑ P− và 2* trên Ωₑ P+ Các nút ảo này có cùng tọa độ với các nút thật, giúp đảm bảo tính liên tục của trường chuyển vị trên mỗi miền của phần tử nứt Nhờ đó, trường chuyển vị có thể được xấp xỉ một cách chính xác như trong phần tử tứ giác bốn nút và dễ dàng tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Khi lấy tích phân thì chỉ đƣợc áp dụng trên miền thực (miền tạo bởi nút thật và biên của vết nứt), không áp dụng cho miền ảo

Cuối cùng, ta tính đƣợc ma trận độ cứng K của phần tử nứt nhƣ sau:

2.3 Phần tử bị cắt một phần (Phần tử chứa mũi vết nứt)

Khi phần tử bị cắt một phần bởi vết nứt, trường chuyển vị không liên tục qua vết nứt nhưng vẫn duy trì tính liên tục tại mũi vết nứt Đặc biệt, gần mũi vết nứt, trường chuyển vị có độ dốc cực đại, không có bước nhảy tại chính mũi Để phân tích chính xác trường chuyển vị có độ dốc cao xung quanh mũi vết nứt, phương pháp XFEM được mở rộng bằng cách thêm các hàm làm giàu [6].

Trong các bài toán đàn hồi tuyến tính, hàm làm giàu suy biến chỉ có ý nghĩa, còn trong các bài toán dẻo, các hàm làm giàu tại mũi vết nứt không cần thiết Thêm vào đó, hàm làm giàu có thể làm tăng độ phức tạp của tính toán mà không mang lại hiệu quả đáng kể trong việc cải thiện độ chính xác, đặc biệt khi sử dụng kỹ thuật xấp xỉ trường biến dạng trong XFEM Nhiều nghiên cứu đã cho thấy rằng các chuyển vị có độ dốc cao gần mũi vết nứt có thể được mô hình hóa thành công bằng cách làm mịn quanh mũi vết nứt, và trong tất cả các trường hợp, không xảy ra sự dịch chuyển của trường chuyển vị tại mũi vết nứt mở.

Các đặc trưng của trường chuyển vị tại mũi vết nứt của phần tử bị cắt một phần đã được nghiên cứu bởi Rabczuk [25], người đã xây dựng các ràng buộc động học cho các yếu tố chồng chất nhằm mô tả chính xác quá trình dịch chuyển của vết nứt mở tại mũi Trường chuyển vị gần mũi vết nứt thường không được mô tả để tăng tốc độ hội tụ của các giải pháp số, đặc biệt trong các mô hình cơ học đứt gãy đàn hồi tuyến tính Để xử lý trường chuyển vị xung quanh mũi vết nứt, phương pháp chia lưới mịn đã được áp dụng, trong khi việc kết hợp hàm làm giàu vào phương pháp nút ảo vẫn còn hạn chế.

Phần tử tấm MITC4 có mũi vết nứt nằm trên cạnh của phần tử, được trình bày rõ ràng và giải thích chi tiết tại tài liệu tham khảo [25] Trong luận văn này, tác giả đã xây dựng các điều kiện động học nhằm đảm bảo tính chính xác và ổn định của mô hình phần tử, góp phần nâng cao hiệu quả phân tích trong các ứng dụng kết cấu.

Trong trường hợp vết nứt cắt qua một phần của phần tử tứ giác bốn nút, việc xác định các dạng đứt gãy dựa trên vị trí của vết nứt cắt qua các cạnh của phần tử là rất quan trọng Có tổng cộng bốn dạng đứt gãy được xem xét để xây dựng các ràng buộc động học phù hợp cho các phần tử chồng lên nhau theo phương pháp nút ảo Các dạng này thể hiện cách thức vết nứt ảnh hưởng đến kết cấu của phần tử, từ đó giúp phân tích chính xác hơn về khả năng chịu lực và sự dịch chuyển của kết cấu trong quá trình thiết kế và ứng dụng thực tế.

2.3.1 Phần tử nứt một phần dạng 1

Hình 2.5: Phần tử nứt một phần

Hình 2.6 : Phần tử bị nứt một phần (dạng 1)

Trong ví dụ về phần tử bốn nút có vết nứt cắt qua, vết nứt bắt đầu từ cạnh 12 và phát triển vào trong phần tử Sự gián đoạn trên các vết nứt yêu cầu sự dịch chuyển của nút 1 và nút 2 phải thuộc về hai trường chuyển vị riêng, xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn Ngoài ra, sự triệt tiêu chuyển vị của vết nứt mở tại mũi vết nứt khiến chuyển vị của nút 3 và nút 4 độc lập với xấp xỉ chuyển vị của nút 1 và nút 2 Để thực hiện đầy đủ các xấp xỉ của phương pháp phần tử hữu hạn, thêm các nút ảo tương ứng vào các vị trí giống hệt nút thực, tạo thành 4 nút ảo 1*, 2*, 3*, 4* và một hình chữ nhật 1234.

(loại 1), 12*3*4 (loại 2), 1*234* (loại 3) Tổng của diện tích A1, A2, A3 đƣợc xem nhƣ bằng với diện tích phần tử tứ giác 1234 do phần khác biệt không đáng kể

Để đảm bảo tính liên tục của phần tử mũi của vết nứt một phần, các chuyển vị riêng biệt của nút 1, nút 2, nút 3 và nút 4 phải được hạn chế phù hợp để giữ các trường chuyển vị này Trong trường hợp chuyển vị tiêu chuẩn của phần tử tứ giác 4 nút, các chuyển vị giống hệt nhau của ba xấp xỉ chuyển vị riêng biệt chỉ xảy ra khi đường giao nhau Γₖ song song với trục tọa độ tự nhiên x Điểm giao giữa Γₖ và các biên 23 hoặc 14 tương ứng với điểm 8 hoặc 7 trong Hình 2.6.

Các dịch chuyển của nút 1 được mô tả thông qua phần tử 12*3*4, trong đó các nút 2* và 3* là các nút ảo tương ứng với các nút thực 2 và 3 Tương tự, phần tử 1*234* thể hiện sự dịch chuyển của nút 2, trong khi phần tử 1234 mô tả dịch chuyển của các nút 3 và 4 Ngoài ra, điều kiện về sự khác biệt về chuyển vị bằng 0 dọc theo đường Γ 𝑘 cho phép đặt ra các ràng buộc động học giữa các nút ảo này, đảm bảo tính liên tục và ổn định của hệ thống trong mô hình phân tích.

Chuyển vị được xấp xỉ như phần tử bình thường

Từ hai tam giác đồng dạng 2P2 * and 3P3 * , ta có:

(2.14) Ở đó u * 3 là dịch chuyển của nút ảo 3 * và  là tọa độ tự nhiên của điểm 7 nhƣ Hình 2.6

Từ phương trình (2.14), các dịch chuyển của nút ảo 3 bị hạn chế bởi

Hoặc chuyển vị của phần tử chồng chập 12 * 3 * 4đƣợc xác định bỡi t i  i e u Tu (2.16) Với u 1  u 1 v 1 w 1  x 1  y 1  T (2.17)

Thay các giá trị (2.17), (2.18), (2.19) vào công thức (2.16) ta đƣợc (2.20)

Trong đó, I và 0 là ma trận đơn vị và ma trận không kích thước 5x5 tương ứng

2.3.1.3 Phần tử loại 3: Để xây dựng quan hệ ràng buộc động học trên sự chồng chập của phần tử 1 * 234 * xét hai tam giác đồng dạng 1Q1 * và 4Q4 * , ta có thể viết:

  u u u u (2.21) Ở đó u * 4 là dịch chuyển của nút ảo 4 * và  là tọa độ tự nhiên của điểm 8 nhƣ Hình 2.5

(2.22) Hoặcchuyểnvị của phần tử 1 * 234 * bị hạn chế bỡi

Trong đó, I là ma trận đơn vị, 0 là ma trận không kích thước 5x5 tương ứng.

2.3.2 Phần tử nứt một phần dạng 2

Vết nứt từ cạnh 23 phát triển vào trong phần tử Ta có 4 nút ảo 1*, 2*, 3*, 4* và 3 hình chữ nhật 1234 (loại 1), 123*4* (loại 2), 1*2*34 (loại 3)

Hình 2.7: Phần tử bị nứt một phần (dạng 2) 2.3.2.1 Phần tử loại 2

Tƣng tự nhƣ trên ta xác định đƣợc quan hệ ràng buộc động học:

Dịch chuyển của phần tử 123*4* đƣợc ràng buộc:

Quan hệ động lực học

Dịch chuyển của phần tử 1*2*34 đƣợc ràng buộc

2.3.3 Phần tử nứt một phần dạng 3:

Vết nứt từ cạnh 34 phát triển vào trong phần tử Ta có 4 nút ảo 1*, 2*, 3*, 4* và 3 hình chữ nhật 1234 (loại 1), 1*234* (loại 2), 12*3*4 (loại 3)

Hình 2.8: Phần tử bị nứt một phần (dạng 3) 2.3.3.1 Phần tử loại 2: (1*234*)

Quan hệ động lực học:

Quan hệ ràng buộc động học:

Dịch chuyển của phần tử 12*3*4 đƣợc xác định bỡi:

2.3.4 Phần tử nứt một phần dạng 4

Vết nứt từ cạnh 41 phát triển vào trong phần tử Ta có 4 nút ảo 1*, 2*, 3*, 4* và 3 hình chữ nhật 1234 (loại 1), 123*4* (loại 2), 1*2*34 (loại 3)

Hình 2.9: Phần tử bị nứt một phần (dạng 4) 2.3.4.1 Phần tử loại 2: (123*4*)

Quan hệ ràng buộc động học:

Dịch chuyển của phần tử 123*4* đƣợc xác định bỡi:

Quan hệ ràng buộc động học:

Dịch chuyển của phần tử 1*2*34 đƣợc xác định bỡi:

Ma trận độ cứng 𝐊 𝑒 của phần tử mũi nứt một phần nhƣ sau:

Miền Ω là miền tùy ý, được xác định bởi 4 nút của phần tử tứ giác Ωe, thường được sử dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn Phương trình trạng thái cân bằng của miền Ω có thể được xác định thông qua công thức tích phân liên tục, giúp mô phỏng chính xác các điều kiện cân bằng trong phân tích kỹ thuật.

Trong đó B là ma trận độ cứng chuyển; D là trường ứng suất hoặc trường cấu thành nên ma trận; u e là dịch chuyển của phần tử không nứt

Đối với phần tử không bị cắt bởi vết nứt, có thể sử dụng tích phân Gauss tiêu chuẩn với 4 điểm (2x2) để tính toán Tuy nhiên, khi phần tử bị cắt toàn bộ hoặc một phần, chỉ nên sử dụng tích phân phần thực, có thể là hình tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác Để đảm bảo độ chính xác, cần hiệu chỉnh tích phân Gauss tiêu chuẩn bằng cách chia phần thực thành các tam giác phụ, với cạnh của chúng phải thẳng hàng với hình dạng của vết nứt.

Trong mỗi tam giác phụ, điểm Gauss hiệu chỉnh 𝜉 𝑝ℎụ , 𝜂 𝑝ℎụ đƣợc ánh xạ từ Gauss tiêu chuẩn 𝜉 , 𝜂 vào trong miền tam giác phụ nhƣ sau:

𝑁 𝐼 𝜉, 𝜂 là giá trị hàm dạng tại điểm Gauss tiêu chuẩn

Trong hệ tọa độ tự nhiên của phần tử, 𝝃 𝐼 và 𝜼 𝐼 đại diện cho tọa độ nút của vùng tam giác phụ đo Việc chia nhỏ thành các vùng phụ chỉ nhằm mục đích thực hiện phép tích phân chính xác, đồng thời không ảnh hưởng đến quá trình chia lưới hoặc thêm các bậc tự do cho phần tử.

Hình 2.10:Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt

Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt – phần tử nứt hoàn toàn Đối với phần tử bị cắt một phần thì đƣợc chia là 3 phần tử nhƣ sau:

Hình 2.12: Các miền thực để chia tam giác phụ để tính tích phân

3.1.1 Định nghĩa hệ số tập trung ứng suất

Hệ số tập trung ứng suất (Stress intensity factors - SIFs) là khái niệm đƣợc đƣa ra bởi Irwin

Lực lượng tại mũi vết nứt thể hiện rõ mức độ tập trung của ứng suất trong khu vực này Đây là đặc trưng quan trọng của các trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị gần mũi vết nứt, ảnh hưởng lớn đến khả năng dự đoán và phân tích sự phát triển của vết nứt trong các cấu trúc kỹ thuật.

3.1.2 Phân loại hệ số tập trung ứng suất

Có ba loại tải trọng riêng biệt tác dụng lên một tấm chứa vết nứt, mỗi loại tải trọng đều có cách bố trí riêng phù hợp Các vấn đề liên quan đến các tải trọng này sẽ quy về ba dạng của hệ số tập trung ứng suất: dạng I, dạng II, dạng III Ứng xử cơ học của vật thể chứa vết nứt được dự đoán chính xác dựa trên hệ số tập trung ứng suất này.

Hình 3.1: Các dạng của hệ số tập trung ứng suất:

(a) Vết nứt mở; (b) Vết nứt trƣợt; (c) Vết nứt xé

Dạng I: Vết nứt mở (hình a) - có xu hướng làm mở vết nứt Đây là dạng chính của rạn nứt, xảy ra khi 2 bề mặt vết nứt bị tách rời nhau bởi lực kéo đặt vuông góc với mặt phẳng vết nứt

Dạng II: Vết nứt trƣợt (hình b) - Xảy ra khi lực cắt song song với bề mặt vết nứt trong mặt phẳng tấm Xu hướng làm trượt một mặt vết nứt so với mặt kia trong mặt phẳng của nó

Dạng III: Vết nứt xé (hình c) – Xảy ra khi lực cắt vuông góc với mặt phẳng tấm, xu hướng làm trượt một mặt vết nứt so với mặt kia ra ngoài mặt phẳng a a

Ngoài ra còn có dạng hỗn hợp (Mixed – mode) là tổng hợp của các dạng trên.

Trong phần này, ta xem xét một tấm có kích thước rất lớn với vết nứt nhỏ, dẫn đến tải trọng tác dụng nằm xa vết nứt Trong trường hợp này, hệ số tập trung ứng suất lý thuyết được định nghĩa như sau, giúp đánh giá chính xác mức độ tập trung ứng suất tại vùng bị nứt.

Tải trọng màng đối xứng: K I lim r  0 2 r    r, 0

Tải trọng màng phản xứng: K II lim r  0 2 r r    r, 0

(3.2) Tải trọng uốn – dùng lý thuyết Kirchhoff

Tải trọng uốn đối xứng: 1 lim 0 2 , 0, r 2 k   r  r h 

Tải trọng xắn phản xứng: 2 lim 0 3 2 , 0,

Tải trọng uốn – dùng lý thuyết Reissner

Tải trọng uốn đối xứng: 1 lim 0 2 , 0, r 2

Tải trọng xoắn phản xứng: 2 lim 0 2 , 0, r r 2

Tải trọng uốn phản xứng: K 3 lim r  0 2r  3  r, 0, 0

Trong các công thức trên với:

(r, θ) là hệ trục tọa độ cực tại đỉnh vết nứt

  là ứng suất tại mũi vết nứt có phương chiều như hình 3.2 rlà khoảng cách từ điểm lấy tích phân đến mũi vết nứt

Hình 3.2: Ứng suất trên phân tố

3.3 Cách tính hệ số tập trung ứng suất bằng phương pháp tích phân tương tác 3.3.1 Giới thiệu

Trong phân tích phần tử hữu hạn, tích phân tương tác đóng vai trò là công cụ quan trọng để tính toán hệ số tập trung ứng suất, giúp nâng cao độ chính xác trong phân tích rạn nứt.

Tích phân tương tác dạng vùng Moes là công cụ hữu hiệu để tính toán hệ số tập trung ứng suất trong cơ học rạn nứt, đặc biệt phù hợp cho các bài toán có mode hỗn hợp Phương pháp này giúp đơn giản hóa quá trình xử lý số học bằng cách tập trung vào kết quả sau xử lý, nâng cao hiệu quả giải quyết các vấn đề phức tạp trong phân tích cấu trúc và vật liệu.

Tích phân đường – J, do Rice nghiên cứu, là một tích phân đường độc lập với các đường bao quanh mũi vết nứt trong vùng đàn hồi không gian hai chiều, đóng vai trò quan trọng trong phân tích cơ học biểu diễn sự phân tán của lực và biến dạng xung quanh vết nứt.

Tích phân J là tích phân không phụ thuộc vào mặt lấy tích phân, giúp đơn giản hóa các công trình tính toán trong cơ học Tuy nhiên, khi phân tích các phần tử hữu hạn, việc xác định ứng suất tại các điểm trên mặt biên của phần tử gặp nhiều khó khăn Để khắc phục điều này, người ta thường sử dụng công thức Green, chuyển đổi từ tích phân mặt sang tích phân thể tích nhằm dễ dàng hơn trong việc tính toán và phân tích ứng suất trong các phần tử hữu hạn.

Hệ số tập trung ứng suất được tính toán sử dụng hình dạng miền của tích phân tương tác ij 1

 là năng lƣợng biến dạng ij, ij,u i

  lần lƣợt là ứng suất, biến dạng và chuyển vị n j là pháp vec tơ ngoài của bề mặt S quanh vết nức;

Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu ký hiệu δ₁j là Kronecker delta, thể hiện đặc tính của hàm số Hàm f mô tả diện tích bên dưới của hàm q dọc theo đường cong phía trước vết nứt, góp phần phân tích quá trình biến dạng trong cấu trúc Hàm q được định nghĩa là có giá trị bằng 1 tại các nút nằm bên trong vùng phân tích, trong khi bằng 0 tại các nút nằm bên ngoài trụ tròn, giúp xác định rõ phạm vi tác động của lực hay các tác nhân liên quan.

Giá trị tích phân J tương đương với mức độ giải phóng năng lượng G trong cơ rạn nứt đàn hồi tuyến tính Công thức (3.8) đƣợc viết lại

Hệ tọa độ (x₁, x₂, x₃) được xây dựng dựa trên trục x₁ đặt phía trước vết nứt hoặc tiếp xúc mặt giữa, trong đó x₃ nằm trong mặt giữa kéo dài theo chiều của vết nứt Trục x₂ được xác định là trục trực giao với cả x₁ và x₃, như minh họa trong Hình 3.3 Giả định rằng các trục A₁ và A₂ là bình đẳng và trực giao trước vết nứt, giúp đảm bảo tính chính xác trong mô hình phân tích.

Với: n 1 = n 2 = 0, n 3 = 1 trên A 1 n 1 = n 2 = 0, n 3 = -1 trên A 2 khi f=h chúng ta có thể viết lại.

Mối quan hệ giữa tích phân J và hệ số tập trung ứng suất

  (3.11) Đối với vấn đề mode hỗn hợp tổng quát, mối quan hệ giữa tích phân – J và hệ số tập trung ứng suất:

Trạng thái của vết nứt được phân thành hai dạng: trạng thái hiện tại (𝜎𝑖𝑗(1), 𝜀𝑖𝑗(1), 𝑢𝑖(1)) và trạng thái bổ sung (𝜎𝑖𝑗(2), 𝜀𝑖𝑗(2), 𝑢𝑖(2)), được sử dụng làm trường tiệm cận cho Mode I và Mode II Tổng hai trạng thái này được mô tả thông qua tích phân J, nhằm xác định phản ứng của vết nứt trong các chế độ tải khác nhau.

(1 2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ij ij ij ij ij ij 1

Mở rộng và sắp xếp lại điều kiện cho ra

𝐽 1+2 = 𝐽 1 + 𝐽 2 + 𝐼 1,2 (𝟑 𝟏𝟑) Trong đó 𝐼 1,2 được gọi là tích phân tương tác cho trạng thái 1 và 2

Sắp xếp lại các điều kiện, phương trình cho trạng thái liên hợp

Kết hợp hai phương trình cho ta quan hệ sau

Chọn đúng trạng thái 2 sao cho trường tiệm cận hoàn toàn là Dạng I với 𝐾 𝐼 2 = 1,

𝐾 𝐼𝐼 2 = 0 cho hệ số tập trung ứng suất của trạng thái 1 trong điều kiện tích phân tương tác

2 𝐼 1,𝑀𝑜𝑑𝑒 𝐼 (𝟑 𝟏𝟕) Dạng II tính toán theo cách tương tự với 𝐾 𝐼 2 = 0, 𝐾 𝐼𝐼 2 = 1

2 𝐼 1,𝑀𝑜𝑑𝑒 𝐼𝐼 (𝟑 𝟏𝟖) Đó là cách tính các hệ số tập trung ứng suất

Trong phần này, các ví dụ đã được giải quyết trong tài liệu [27], tuy nhiên chúng tôi sử dụng phần tử tấm MITC4 để giải bài toán phẳng nhằm kiểm tra tính tổng quát và hiệu quả của phần tử trong các ứng dụng thực tế.

4.1.1 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo

Tính trạng thái ứng suất phẳng của một tấm kích thước 7x16 (b x l) dày 1 có vết nứt tại biên dài a = 3.5 khi vật liệu có mô đun đàn hồi E = 3x10^7 và hệ số Poisson ν = 0.25 Để phân tích ứng suất, cần xác định các biến liên quan đến vật liệu và cấu trúc, từ đó đánh giá ảnh hưởng của vết nứt đến trạng thái ứng suất trong tấm Phương pháp tính toán phù hợp giúp dự đoán khả năng duy trì độ bền của tấm khi chịu tải, đảm bảo an toàn trong thiết kế kỹ thuật.

Tấm chịu kéo có σ = 1 phân bố đều tại cạnh trên và dưới của tấm thể hiện như Hình 4.1

Lời giải tham khảo cho hệ số tập trung ứng suất [6]:

Mô hình bài toán với các lưới chia khác nhau:

𝐇ì𝐧𝐡 𝟒 𝟏: Tấm chữ nhật chịu kéo l a b σ σ x y

Với n x , n y lần lượt là số lưới chia theo phương x và y như Hình 4.2

Hình 4.2: Chia lưới cho phần tử

Dùng phần tử tứ giác MITC4, lưới chia đều, với các thông số trên ta tính ra được hệ số tập trung ứng suất nhƣ sau:

Hệ số tập trung ứng suất

Sai số khi dùng MITC4

Bảng 4.1: Giá trị hệ số tập trung ứng suất với các lưới chia khác nhau của tấm chịu kéo với K I chuẩn hóa =K I tính toán /K I tham khảo

Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3 Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3 Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3 0.879 0.953 0.961 0.892 0.981 0.989 1.113 1.003 0.989

Bảng 4.2: Giá trị chuẩn hóa K I với các lưới chia khác nhau của tấm chịu kéo

Hình 4.3: Giá trị chuẩn hóa của K I với các lưới chia khác nhau của tấm chịu ứng suất kéo

Hình 4.4: Giá trị chuyển vị của tấm ứng với lưới chia 75x165 phần tử

Qua kết quả tính toán trên ta thấy:

- Khi lưới chia càng mịn thì hệ số tập trung ứng suất càng gần với lời giải giải tích tham khảo;

- Khi có cùng lưới chia thì phần tử MITC4 cho kết quả tốt hơn so với phần tử MITC3

Phantom node - Present - MITC4 Phantom node - MITC3

4.1.2 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu cắt

Xét trạng thái ứng suất phẳng của một tấm có kích thước bxl = 7x16, dày h = 1, có vết nứt ở biên dài a = b/2 = 3.5 Vật liệu dùng có E = 3x10 7 , ν = 0.25

Tấm chịu cắt ngàm ở cạnh biên dưới và chịu lực cắt τ = 1 ở cạnh biên trên như hình 3.3

Lời giải tham khảo cho hệ số tập trung ứng suất [41]:

Mô hình bài toán với lưới chia n_x, n_y giúp xác định chính xác hệ số tập trung ứng suất K_I và K_II của tấm chịu ứng suất cắt, như đã trình bày trong Bảng 3 Giá trị chuẩn hóa của hệ số tập trung ứng suất được thể hiện rõ ràng trong Bảng 4, cung cấp thông tin quan trọng để đánh giá mức độ tập trung ứng suất trên bề mặt tấm.

Hệ số tập trung ứng suất

Sai số khi dùng MITC4

Bảng 4.3: Hệ số tập trung ứng suất K I , K II với các lưới chia khác nhau của tấm chịu ứng suất cắt 𝐇ì𝐧𝐡 𝟒 𝟓: Tấm chữ nhật chịu cắt

Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3 Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3 Lưới 1 Lưới 2 Lưới 3

Bảng 4.4: Giá trị chuẩn hóa của K I và K II với các lưới chia khác nhau của tấm chịu ứng suất cắt

Hình 4.6: Giá trị chuẩn hóa K I với các lưới chia khác nhau của tấm chịu ứng suất cắt

Hình 4.7: Giá trị chuẩn hóa của K II với các lưới chia khác nhau của tấm chịu ứng suất cắt

Phantom node, Present, MITC4 Phantom node, MITC3

Phantom node, Present, MITC4 Phantom node, MITC3

Hình 4.8: Tấm được chia với lưới (15x33) phần tử MITC4 với vết nứt ở cạnh

(a) Giá trị chuyển vị theo phương x, (b) Giá trị chuyển vị theo phương y

Kết quả tính toán cho thấy, khi sử dụng lưới chia càng mịn, giá trị tính toán đạt được càng gần với giá trị tham khảo Đồng thời, trong cùng một loại lưới chia, phần tử MITC4 cho kết quả chính xác hơn so với phần tử MITC3, giúp nâng cao độ tin cậy của phân tích kỹ thuật.

4.2 Các bài toán ba chiều:

4.2.1 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu ứng suất uốn phân bố đều:

4.2.1.1 Tấm có bốn biên tựa đơn chịu uốn:

Xét một tấm vuông có vết nứt ở chính giữa, chịu ứng suất phân bố đều p = 1 và có kích thước b = 1 như trong Hình 4.9, với tấm tựa đơn trên mọi biên Vật liệu sử dụng có mô đun đàn hồi E = 1000 và hệ số Poisson ν = 0.3, nhằm phân tích khả năng chịu lực cũng như phân phối ứng suất của cấu kiện trong điều kiện tải trọng này.

Hình 4.9: Tấm vuông chịu uốn bốn biên tựa

Tấm được chia đều bằng lưới phần tử MITC4 kích thước 81x81, đảm bảo tính chính xác trong mô phỏng Ba miền kích thước khác nhau đã được sử dụng để kiểm tra tính độc lập của kết quả với lưới chia của tích phân J Kết quả cho thấy, tỷ lệ b/h ảnh hưởng đến sự khác biệt giữa các giá trị J trên các miền kích thước khác nhau, đặc biệt xảy ra khi mũi vết nứt nằm gần biên Điều này xác nhận rằng vị trí của vết nứt ảnh hưởng đáng kể đến độ chính xác của mô hình phân tích.

Kết quả tích phân J cho các trường hợp chiều dài vết nứt ở giữa tấm thay đổi và độ dày lần lƣợt là b/h=6 và b/h đƣợc minh họa trong hình 3.10 và 3.11

Các hạn chế trên biên của tích phân J hoặc tỷ lệ giải phóng năng lượng G giảm dần theo hướng giống như mũi vết nứt tiến tới các cạnh của vật thể Phát hiện này phù hợp với nghiên cứu của Sosa và Eischen [27], đã được giải quyết bằng phương pháp phần tử hữu hạn và tính độc lập của tích phân J Tuy nhiên, vấn đề này chỉ đúng trong trường hợp tấm đối xứng chịu uốn, góp phần vào việc hiểu rõ hơn về cơ chế phân tích dịch chuyển và ứng suất trong các vật liệu chịu uốn.

Hình 4.10: Giá trị tích phân J của tấm có vết nứt ở giữa (tựa đơn xung quanh) chịu ứng suất phân bố đều với b/h=6

Hình 4.11: Giá trị tích phân J của tấm có vết nứt ở giữa (tựa đơn xung quanh) chịu ứng suất phân bố đều với b/h

Theo biểu đồ, giá trị tích phân J tăng khi chiều dài vết nứt mở rộng, cho thấy mối liên hệ giữa độ dài vết nứt và khả năng phân tích Tuy nhiên, khi chiều dài vết nứt vượt quá 0.5b, giá trị tích phân J bắt đầu giảm do ảnh hưởng của các điều kiện biên liên kết, nhấn mạnh sự ảnh hưởng của giới hạn biên đến quá trình phân tích Điều này cho thấy rằng, trong quá trình thiết kế và đánh giá vật liệu có vết nứt, cần lưu ý đến tác động của điều kiện biên khi vết nứt vượt quá một độ dài nhất định.

Khi chiều dày của tấm tăng lên thì giá trị tích phân J tại mũi vết nứt giảm

Phantom, Present, MITC4, b/h=6 Sosa and Eischen b/h=6

Phantom, Present, MITC4, b/h Sosa and Eischen b/h

4.2.1.2 Tấm có hai biên tựa đơn, 2 biên tự do:

Trong bài toán này, chúng ta xem xét một tấm vuông bị nứt ở giữa, chịu tải trọng phân bố đều p=1, với các biên của tấm có hai cạnh tựa đơn và hai cạnh tự do Kích thước của tấm là b = 1, như hình 5 mô tả, và vật liệu sử dụng có module đàn hồi E = 1000 cùng hệ số Poisson ν = 0.3 Phân tích này nhằm xác định phân bố ứng suất và biến dạng trong tấm, giúp hiểu rõ khả năng chịu tải của kết cấu dưới tác động của lực phân bố đều.

Hình 4.12: Tấm vuông chịu uốn hai biên tựa

Tương tự như ví dụ mục 4.2.1.1 tấm cũng được chia bỡi lưới đều (81x81) phần tử

MITC4 Và khảo sát ở hai trường hợp là b/h = 6 và b/h = 10 Khi chiều dài vết nứt a thay đổi ta đƣợc giá trị của của tích phân J thể hiện nhƣ hình 3.13 và 3.14

Hình 4.13: Giá trị tích phân J của tấm vuông chịu uốn hai biên tựa, hai biên tự do với b/h=6

Chiều dài vết nứt a = tỷ lệ a/b phantom node, MITC4 - Present, b/h=6

Kết quả biểu đồ cho thấy, khi chiều dày của tấm tăng lên, giá trị tích phân J tại mũi vết nứt giảm rõ rệt, cho thấy độ dày ảnh hưởng đến khả năng chịu uốn của tấm Ngoài ra, giá trị tích phân J tăng khi chiều dài vết nứt mở rộng, phản ánh ảnh hưởng của kích thước vết nứt đến phân bố biến dạng Đặc biệt, khi vết nứt càng rộng ra ở biên tự do, giá trị tích phân J tăng nhanh do phần tử không bị ràng buộc, dẫn đến khả năng chịu uốn kém hơn Tấm mỏng cho kết quả gần với lời giải chính xác hơn, phù hợp với các tính toán lý thuyết về kết cấu mỏng.

4.2.2 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu tác dụng của mô ment uốn

4.2.2.1 Bài toán tấm chữ nhật chịu mô ment uốn Để so sánh sự hội tụ của hệ số tập trung ứng suất (SIF) của phương pháp hiện tại với phương pháp dùng XFEM chúng ta xét bài toán sau đây:

Tấm chữ nhật có kích thước chiều rộng 2b = 2, chiều dài l = 6 và chiều dày h = b/4, với vết nứt nằm ở giữa tấm dài 2a = 1 Tấm chịu mô men phân bố không đổi M₀ = 1 trên hai biên song song với vết nứt, như hình 4.15 minh họa Vật liệu sử dụng có mô đun đàn hồi E = 200 GPa và hệ số Poisson ν = 0.3, đảm bảo độ bền và độ đàn hồi phù hợp cho cấu kiện.

Phần tử tấm MITC4 có 5 bậc tự do Khi áp dụng mô-men vào bài toán, ta thiết lập giá trị của mô-men M và điều chỉnh bậc tự do thứ 4 của nút, tương ứng với góc xoay θx.

Tỷ lệ a/b phantom node, MITC4 - Present, b/h

Hình 4.15: Tấm có vết nứt ở giữa chịu tác dụng của mô ment phân bố đều ngƣợc chiều

Mô hình tấm với các lưới chia đều khác nhau và dùng phần tử MITC4 a b c

Hình 4.16: Ba lưới chia khác nhau sử dụng phần tử MITC4 với các kích thước:

(a) 441 phần tử, (b) 14161 phần tử, (c) 38961 phần tử

Với chiều dài vết nứt a = 0.5 và tủy lệ giữa chiều rộng với độ dày b/t = 4 Lời giải giải tích cho bài toán này theo [35], K tham khao = k1b_norm_ref = 0.832

Hệ số tập trung ứng suất uốn đối xứng K I được tính bằng phương pháp số học với các lưới chia khác nhau sử dụng phần tử vỏ MITC4 Khác với lời giải tích phân, phương pháp số cho phép đánh giá chính xác hơn về sự hội tụ sai số của K I liên quan đến kích thước phần tử Kết quả này thể hiện rõ ràng trong hình 3.16, cho thấy ảnh hưởng của kích thước phần tử đến độ chính xác của tính toán.

Giá trị số cho sự hội tụ tương đối của sai số K I của tấm với vết nứt a = 0.5 và chiều dày t = b/4 = 0.25, h là kích thước phần tử

Phantom node method Kích thước phần tử h

Bảng 4.5: Sai số K I của tấm có vết nứt ở giữa chịu mô ment uốn phân bố đều

Hình 4.17: Sai số của hệ số tập trung ứng suất của tấm chữ nhật có vết nứt ở giữa chịu tác dụng của mô ment phân bố đều ngƣợc chiều

Element size phantom node, MITC4 - PresentXFEM, MISC - Bordas at al., 09XFEM, MITC4 - Bordas at al., 09Phantom node, MITC3

Qua biểu đồ hội tụ của sai số K I ta thấy:

- Việc sử dụng XFEM kết hợp với hàm làm giàu tại mũi vết nứt của phần tử MISC

Phương pháp này hội tụ tốt hơn so với các phương pháp hiện tại nhờ quá trình làm mịn giúp tăng độ chính xác của phần tử MITC Tuy nhiên, tỷ lệ hội tụ của phương pháp hiện tại vẫn vượt trội hơn XFEM do bỏ qua hàm làm giàu tại mũi, khiến nó có khả năng hội tụ nhanh hơn trong một số trường hợp.

- Việc sử dựng phần tử MITC4 cho kết quả hội tụ tốt hơn so với phần tử MITC3

- Lưới chia càng mịn thì sai số càng nhỏ

4.2.2.2 Tấm vuông chịu uốn có vết nứt ở biên: