ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN HỮU CHỈNH GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC QUÁ TRÌNH CÓ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013... Luận văn này
Các kiến thức chuẩn bị
Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham sốt ∈T nào đó.
Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗit ∈ T, Xt là biến ngẫu nhiên thì ta kí hiệuX ={X t ,t ∈T}là hàm ngẫu nhiên với tham biếnt ∈T.
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X ={X t ,t ∈T}là quá trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc.
• Nếu T =Nthì ta gọiX ={X n ,n∈T}là dãy biến ngẫu nhiên.
• Nếu T thuộc một trong các tập sau:(−∞,+∞),[a;+∞),(−∞,b],(a,b],[a,b], (a,b],(a,b)thì ta gọiX ={X t ,t ∈T}là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục.
• Nếu T ⊂R d thì ta gọiX ={X t ,t ∈T}là trường ngẫu nhiên.
Ta sẽ xét các hàm cadlag f(t) được định nghĩa như sau.
Với mỗi ω, ta xét một quỹ đạo f(t) = X_ω(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) Định nghĩa 1.1 Hàm cadlag: Hàm f : [0, T] → R được gọi là cadlag nếu nó liên tục phía bên phải và có giới hạn phía bên trái, nghĩa là với mỗi t ∈ [0, T] các giới hạn f(t−) = lim s→t, st f(s) tồn tại và f(t) = f(t+).
Hiển nhiên, mọi hàm liên tục là cadlag song điều ngược lại không đúng Nếut là điểm không liên tục, ta ký hiệu
4f(t) = f(t)− f(t−) (1.2) là "cỡ bước nhảy" của f ởt.
Ví dụ hàm cadlag là hàm có bước nhảy ở thời điểmT 0 , giá trị của nó ở thời điểm
T 0 được định nghĩa là giá trị sau bước nhảy f =1 [T 0 ,T ) (t) Trong trường hợp này f(T 0 − ) =0,f(T 0 + ) =1và4f(T 0 ) =1.Tổng quát hơn, cho hàm liên tụcg:[0,T]→
Rvà các hằng số fi,i=0,1, ,n−1;t 0 =0≤t 1 ≤ ≤tn =T, thì hàm dưới đây là hàm cadlag f(t) =g(t) + n−1 i=0 ∑ f i 1 [t i ,t i+1 ] (1.3)
Trong hệ thống hàm càdlàg, người ta mô tả f như sự phân tách thành hai thành phần: thành phần liên tục và phần bước nhảy Các bước nhảy của f xuất hiện tại các thời điểm t_i với i ≥ 1, và ∆f(t_i) = f(t_i) − f(t_i−) Tuy nhiên, không phải mọi hàm càdlàg đều có thể được khai triển thành một sự phân rã thành thành phần liên tục và thành phần bước nhảy.
Quá trình đo được
Một quá trình ngẫu nhiênX :(X t ,t ≥0)được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ-trường tích B R + ⊗F Điều đó có nghĩa là, với mọi tập B∈ B R + ⊗F, tập hợp:
{(t,ω):X(t,ω)∈ B} thuộc về σ-trường tích B R + ⊗F Đó là σ-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
1.2.2 Chú ý a) Mọi quá trình liên tục là đo được. b) Nếu X là một quá trình đo được thì mọi quỹ đạo của nó X ω (t) đều là những hàm thực Borel trênR +
Quá trình thích nghi với bộ lọc
Một họ các σ-trường con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: i) nó là một họ tăng, tức Fs ⊂ Ft khi s < t; ii) nó là liên tục phải, tức Ft = ∩_{ε>0} Ft+ε; iii) mọi tập P-bỏ qua A ∈ F đều thuộc F0, do đó A nằm trong mọi Ft.
Giả sử ta có một quá trình ngẫu nhiên X = (X_t, t ≥ 0) Xét họ σ-trường F_t^X được sinh bởi các biến ngẫu nhiên X_s(ω) với 0 ≤ s ≤ t, tức F_t^X = σ(X_s, 0 ≤ s ≤ t) Họ F_t^X được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X Cho một bộ lọc bất kỳ (F_t, t ≥ 0) trên (Ω, F) Một quá trình Y được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu với mỗi t thì Y_t là biến đo được với σ-trường F_t.
Trong lý thuyết xác suất, mọi quá trình X = (X_t, t ∈ R_+) đều là thích nghi với lịch sử của nó, được mô tả bởi gia đình filtration F_tX, t ∈ R_+ Với một quá trình X có lịch sử là (F_tX, t ∈ R_+), một quá trình Y bất kỳ được gọi là thích nghi với lịch sử này của X nếu và chỉ nếu Y_t(ω) là FtX-measurable cho mọi t ≥ 0, tức là tồn tại một họ hàm g_t sao cho Y_t(ω) = g_t(F_tX, ω) Nói cách khác, Y chỉ dựa vào thông tin có được từ quá trình X cho tới thời điểm t.
Y t (ω) = f t (X s 1 (ω),X s 2 (ω), ), trong đós 1 ,s 2 , là một dãy các phần tử trên đoạn[0,t](phụ thuộc vàot) và f t là một hàm Borel thực trênR N
? (cũng phụ thuộc vàot) Đó là theo tiêu chuẩn cổ điển của Doob về tính đo được.
Như vậy, nếu quá trình Y thích nghi với lịch sử của X (Yt phụ thuộc vào Ft(X)), thì với mọi t và mọi ω, để biết giá trị Yt(ω) chỉ cần biết quỹ đạo tương ứng của X, tức là đường đi s ↦ X(s, ω) Trên thực tế, điều cần thiết để xác định Yt(ω) là các hạn chế của quỹ đạo này trên đoạn [0, t].
Thời điểm dừng
Ta vẫn xét một không gian xác suất (Ω, F, P) với một bộ lọc (F_t)_{t∈R_+} được cố định Khi nói một quá trình là thích nghi, ta hiểu rằng quá trình đó thích nghi với bộ lọc đã cho (F_t) a) Cho T là một ánh xạ từ Ω sang [0, ∞) Muốn T là một biến ngẫu nhiên (lấy giá trị số), điều kiện cần và đủ là: với mọi t ≥ 0, ta phải có {T < t} ∈ F_t b) Trong trường hợp T còn thỏa mãn điều kiện chặt hơn sau đây.
{T T(ω). hay viết cách khácZ(t,ω) =Y(T(ω)∧t,ω).
Có thể chứng minh rằng quá trình Z vẫn liên tục và thích nghi, được xác định bằng cách dừng quá trình Y tại thời điểm ngẫu nhiên T Ta nói Z nhận được bằng cách dừng quá trình Y ở thời điểm T, và với mọi t ∈ [0, ∞), hằng số t (xem như một ánh xạ từ Ω sang [0, ∞)) là một thời điểm dừng Ngoài ra, ta còn xem xét thời điểm đầu tiên mà quá trình đi vào một tập hợp bất kỳ nào đó.
Cho(F t ) t∈ R + là một bộ lọc liên tục phải và choX là một quá trình ngẫu nhiên liên tục phải Cho một tập mởU củaRvà đặt
T(ω) =inf t ∈R + :X(t,ω)∈U trong đó qui ướcinf∅=∞.
Do đóT là một thời điểm dừng Thực ra có thể lấyU là một tập Borel bất kì củaR.
Martingale
Định nghĩa 1.2 Quá trình cadlag (X t ) t∈[0,T ] được gọi là martingale nếu: i) Xt là thích nghi vớiF t ii) E[|Xt |]t.
Nếu (M t ) t∈[0,T ] là martingale và T 1 ,T 2 là các thời điểm dừng thích nghi, với
E[M T 2 |FT 1 ] =M T 1 (1.4) Định nghĩa 1.3 Quá trình(X t ) t∈[0,T ] được gọi là martingale địa phương nếu tồn tại dãy các thời điểm dừng(T n ) với T n →∞ (h.c.c) sao cho (X t∧T n ) t∈[0,T ] là mar- tingale.
Phân tích Doob-Meyer
Định nghĩa 1.4 Quá trình cadlag (X_t) t∈[0,T] được gọi là martingale trên khi X_t thích nghi với F_t, có E|X_t| < ∞ với mọi t ∈ [0,T], và E[X_s | F_t] ≤ X_t với mọi s > t Định nghĩa 1.5 Quá trình cadlag (X_t) t∈[0,T] được gọi là martingale dưới khi X_t thích nghi với F_t, có E|X_t| < ∞ với mọi t ∈ [0,T], và E[X_s | F_t] ≥ X_t với mọi s > t.
Ta nhắc lại kết quả sau đây được gọi là phân tích Doob-Meyer:
Giả sử X_t là một martingale có đường đi càdlàg và tập hợp các biến ngẫu nhiên {X_T : T là thời điểm dừng} là khả tích đều Tồn tại một martingale M_t và một quá trình tăng khả đoán A_t sao cho X_t = M_t − A_t Khai triển này là duy nhất.
Quá trình khả đoán
1) σ-đại số các tập hoàn toàn đo được trên [0,T]×Ω. Đó làσ-đại sốO các tập con nhỏ nhất của[0,T]×Ωmà đối với nó, mọi quá trình liên tục phải và có giới hạn trái là đo được.
2) NếuX = (X t (ω)) t∈[0,T ] là ánh xạ đo được từ[0,T]×Ωvào(R,BR)thì ta nói
3) σ-đại số khả đoán trên [0,T]×Ω. Đó là σ-đại số P các tập con của [0,T]×Ω sinh bởi các quá trình liên tục trái thích nghi trên[0,T]×Ω.
4) Ánh xạX :[0,T]×Ω→R d đo được đối vớiP được gọi là quá trình khả đoán
Theo định nghĩa, mọi quá trình khả đoán được sinh ra từ các quá trình liên tục trái, có nghĩa là chúng có thể xác định dựa trên lịch sử đến ngay trước thời điểm hiện tại; tuy nhiên vẫn có các quá trình khả đoán không liên tục trái Ta cần chú ý đến sự khác biệt giữa tính khả đoán và tính liên tục trái của quá trình, cũng như các trường hợp có nhảy hoặc gián đoạn ở phía trái thời điểm xác định, nhằm làm rõ mối quan hệ giữa khái niệm quá trình khả đoán và cấu trúc thời gian và tối ưu hóa nội dung cho SEO khi trình bày về các khái niệm như liên tục trái và giới hạn phía trái.
Cadlag (liên tục phải)+ tương thích =⇒ Hoàn toàn đo đươc Caglad (liên tục trái)+ tương thích =⇒ Khả đoán. Định nghĩa 1.7 (σ -trường khả đoán)
Cho(Ft)là bộ lọc đầy đủ liên tục phải Chúng ta định nghĩa σ-trường khả đoán
P là σ-trường trên Ω×[0,∞) được sinh ra bởi tất cả các quá trình có dạng
Ki(ω)1(ai, bi](s) mô tả một hệ đo được trên miền (ai, bi], trong đó Ki là một hàm đo được và bị giới hạn Quá trình đo được với tham chiếu P được gọi là khả đoán Một điều có thể nhận thấy là các quá trình liên tục phía trái (tức là các quỹ đạo của chúng có tính liên tục phía trái) được xem là khả đo được đối với P.
NếuXt là quá trình liên tục phải có giới hạn trái, chúng ta đặt
Bởi vậy4X t là cỡ bước nhảy củaXt tại thời điểmt.
Thời điểm dừng khả đoán
Chúng ta gọi thời điểm dừng T là khả đoán nếu tồn tại một dãy thời điểm dừng T_n tăng dần tới T với T_n < T trên tập { T < ∞ } Ví dụ điển hình là T = inf{ t ≥ 0 : B_t = 1 }, với B_t là chuyển động Brown, và trong trường hợp này có thể lấy T_n = inf{ t ≥ 0 : B_t = 1 − 1/n } Dãy T_n tiến tới T khi n → ∞, cho thấy T có thể được xấp xỉ từ dưới bằng các thời điểm dừng ngày càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn T.
Thời điểm dừng T không thể đạt được khi xét mọi thời điểm dừng khả đoán S, vì P(T = S) = 0 Ví dụ điển hình là T = inf{ t : P_t = 1 } với P_t là quá trình Poisson; để thấy điều này, giả sử S là khả đoán Với mọi tự nhiên M lớn tùy ý, ta có S ∧ M cũng khả đoán Nếu ta chứng minh được P(T = S ∧ M) = 0 với mọi M thì P(S = T) = 0, nghĩa là ta có thể giả sử S bị chặn Sau đó, ta lấy S_n tăng tới S.
1nếut =T Quá trìnhP t −t làmartingale, bởi vậy bằng cách chọn thời điểm dừng
Mặt khácE(P S n ∧T ) =P(S n ≥T)−→P(S>T).Bởi vậy P(S>T) =P(S≥T)và do đóP(S=T) =0.
Chú ý rằng nếuT là khả đoán thì 1 [0,T (ω )) =lim1 [0,T n (ω )] Nhưng1 [0,T n (ω )] là quá trình liên tục trái, do đóP đo được.
Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy
Biến phân bậc hai của một quá trình
2.1.1 Định nghĩa a) ChoX t ,t ∈[0,T]là một quá trình liên tục Biến phân bậc hai[X] t ,t ∈[0,T]là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi
(2.1) nếu như giới hạn ở vế phải tồn tại hầu chắc chắn, với mọi phân hoạch
D:s=t 0 0, N t− =N t với xác suất 1.
5) (N t ) liên tục theo xác suất
6) Với mọit >0, N t có phân phối Poisson với tham số λt
7) Hàm đặc trưng củaNt được cho bởi
8) (N t ) có số gia độc lập: với mọit 1 < s thì
Các thời điểm nhảy T 1 ,T 2 , có dạng như các điểm ở trên [0,∞) và quá trình Poisson N t đếm các điểm trên khoảng [0,t] Cách đếm này xác định độ đo M trên
[0,∞), với mỗi tập đo được A⊂R + đặt:
M(ω,A) = ∑_{i≥1} 1_{Ti(ω) ∈ A} mô tả độ đo đếm ngẫu nhiên do quá trình Poisson; M(ω,·) là một độ đo dương, có giá trị nguyên, và với mọi tập bị chặn A thì M(A) hữu hạn với xác suất 1 (a.s.) Tham số λ của quá trình Poisson xác định giá trị kỳ vọng của độ đo ngẫu nhiên M bằng E[M(A)] = λ|A|, trong đó |A| là độ đo Lebesgue của A Đây là đặc trưng căn bản của quá trình Poisson với mật độ λ theo đơn vị đo Lebesgue.
M được gọi là độ đo bước nhảy ngẫu nhiên đối với quá trình Poisson N Với
1) M( t k ,t k 0 ) là số các bước nhảy của quá trình Poisson trong t k ,t k 0
, nó là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λ(t k 0 −t k ).
2) Với hai khoảng rời nhau j6=k,M( h tj,t 0 j i )vàM( t k ,t k 0
)là các biến ngẫu nhiên độc lập.
3) Tổng quát hơn với mỗi tập A đo được, M(A) có phân phối Poisson với tham sốλ |A|, ở đây |A|= R
A dx là độ đo Lebesgue của A.
Tương tự như quá trình Poisson đối trọng, ta có:
A λdt =M(ω,A)−λ |A|, (3.14) cũng là một martingale Do đóE h M(A)e i
3.3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson Định nghĩa 3.8 Cho(Ω,F,P) là một khụng gian xỏc suất,E ⊂R d vàà là độ đo Radon trờn(E,ε) Độ đo ngẫu nhiờn Poisson trờn E với tham số à là độ đo ngẫu nhiên giá trị nguyên
1) Với hầu hếtω ∈ Ω,M(ω,) là độ đo Radon giá trị nguyên trên E, với mỗi tập đo được bị chặnA⊂E,M(A)