BÁO cáo bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài 6

Phép nội suy và đa thức Larange...5.. Định lý xấp xỉ Weierstrass...5... TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾTPhép Nội Suy và Xấp Xỉ Đa Thức 1... tập chung độ chính xác xoay quanh điểm đó.. Một hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI 6

GVHD: Nguyễn Đình Dương

Nhóm: L11 – 06

TP HCM, 7 tháng 5 năm 2021.

Đề tài : Sử dụng nội suy Lagrange giải các bài tập trong Exercise Set 3.1 (trang 114): 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20.

Võ Quốc Trình

2010336 2011576 1914479 2014656 2012187 2012294 2012295 2014967 1915837 2012778 2012821 1911265

Dương Quang Tú Nguyễn Xuân Tùng

Lê Công Danh

BẢNG PHÂN CÔNG

STT

1

Dương Anh Khoa 2010336 Dịch bài + Làm bài

3

Mục lục

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT 5

1 Phép nội suy và đa thức Larange 5

Định lý xấp xỉ Weierstrass 5

Phép nội suy đa thức Larange 7

Sai số của phép nội suy 8

2 3 4 II BÀI TẬP THỰC HÀNH 9

1 2 3 4 5 6 Bài 1 9

Bài 3 12

Bài 5 14

Bài 11 20

Bài 15 21

Bài 18 22

III TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT

Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Đa Thức

1 Phép n ội suy và đa thứ c Larange

Các đa thức đại số là một trong những lớp hàm phổ biến và hữu ích nhất, ánh xạ tập các sốthực thành chính nó, là tập các hàm có dạng:

푷 (푷) = 푷 푷 + ⋯ + 푷 푷 + 푷 ,

tập chung độ chính xác xoay quanh điểm đó Một hàm xấp xỉ đa thức tốt cần phải độ chínhxác nhật định tại mọi điểm xác định, và đa thức Tay-lor không thực hiện được như vậy.

Ví dụ: Chúng ta khai triển Tay-lor bậc 6 tại 푷푷 = 푷 cho 푷(푷) = 푷푷 Vì đạo hàm của

푷푷푷 푷

6

8

|푷(푷∗) − 푷(푷

∗)| ≤

|푷(푷∗)|

(푷 − 푷)!

II BÀI TẬP THỰC HÀNH

1 Bài 1: Cho các giá trị x =0, x =0,6 và x =0.9 Hãy xây dựng đa thức nội suy cho 0 1 2

các hàm dưới đây với bậc một và bậc hai để xấp xỉ f(0,45), tìm sai số tuyệt đối

2 Bài 3: Dùng định lí 3.3 để giải tìm biên sai số cho bài 1.

Ta có công thức biên sai số theo định lí 3.3:

( )

푷(푷+푷)(푷 푷)

(푷 − 푷 )(푷 − 푷 ) … (푷

− 푷 )푷 푷 푷(푷 + 푷)!

Với 푷(푷+푷)(푷(푷)) là GTLN của 푷(푷+푷)(푷) với 푷=푷 ,

Ta có đạo hàm:

′

푷 (푷) = −푷푷푷(푷)′

(푷)(푷) = 푷푷푷 푷 = 푷 푷(푷) (푷 푷 = 푷푷푷 푷

푷 = 푷 푷푷푷푷푷( ) và ) ( )

13

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

(푷)( )

푷 푷 푷

| ∗ 푷푷(푷)| = | ∗ 푷 푷푷푷푷푷푷| ≤

푷 푷푷푷푷푷푷! 푷!

푷!

|

14

(푷 − 푷 )(푷−푷 )(푷−푷 )

푷 푷 푷

푷 푷 푷 푷 푷

16

4 Bài 11 Sử dụng các giá trị được làm tròn đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy bên

dưới để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba tại f(1,09) Với hàm được tính gần đúng là f(x) = log (tanx) Hãy dùng kiến thức phần này để tìm phạm vi của sai 10

Đa thức nội suy Lagrange bậc ba tuyến tính qua các điểm (x ,f(x )) , (x ,f(x )), (x ,f(x )) ,0 0 1 1 2 2

(x ,f(x )) đã cho là:3 3

P (x)= L (x)f(x )+ L (x)f(x )+ L (x) f(x ) )+ L (x) f(x )3 0

20

ĐOẠN CODE

6 Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệu

được ghi trong bảng sau Sử dụng nội suy Lagrange để xấp xỉ dân số trong những năm 1940, 1975,và 2020.

b Dân số năm 1940 là khoảng 132.165.000 người Bạn nghĩ con số năm

1975 và 2020 của bạn chính xác đến mức nào?

a) Ta có:

(푷 − 푷푷푷푷)(푷 − 푷푷푷푷) … (푷 − 푷푷푷푷)

(푷 − 푷푷푷푷)(푷 − 푷푷푷푷) … (푷 − 푷푷푷푷)

(푷푷푷푷 − 푷푷푷푷)(푷푷푷푷 − 푷푷푷푷) … (푷푷푷푷 − 푷푷푷푷)

…(푷 − 푷푷푷푷)(푷 − 푷푷푷푷) … (푷 − 푷푷푷푷)

푷푷(푷)

= (푷푷푷푷 − 푷푷푷푷)(푷푷푷푷 − 푷푷푷푷) …

(푷푷푷푷 − 푷푷푷푷)Khi đó ta sẽ nội suy đa thức Larange:

푷

푷(푷) = ∑ 푷 푷 (푷) = 푷 푷 (푷) + 푷 푷 (푷) +

⋯ + 푷 푷 (푷)푷=푷푷 푷 푷 푷 푷 푷 푷 푷Vậy 푷(푷푷푷푷) = 푷푷푷, 푷푷푷, 푷(푷푷푷푷) = 푷푷푷, 푷푷푷푷, 푷(푷푷푷푷) = 푷푷푷, 푷푷푷

396 000 người vậy sai số khá lớn (chênh lệch khoảng 29 760 000 người)

Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 1975 ta được 215 042 000 người Vì 1975 khágần so với các mốc nội suy (1970 và 1980) nên sai số không lớn

Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 2020 ta được 513 442 000 người Vì 2020 khá

xa so với mốc nội suy (2000) nên sai số lớn

Vậy khi ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy thì sai số không lớn, có thể tin tưởng được;còn khi ta tính xấp xỉ xa mốc nội suy thì sai số lớn, không tin tưởng được

23

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

2

Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn)

Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa