Chuyên đề các bài toán cực trị trong dòng điện không đổi

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI A.. Lý do chọn đề tài Dòng điện không đổi là một trong những kiến thức trọng tâm của mảng Điện học, phần này tương đối phức tạp và r

CHUYÊN ĐỀ:

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dòng điện không đổi là một trong những kiến thức trọng tâm của mảng Điện học, phần này tương đối phức tạp và rất thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Bài tập phần này có rất nhiều dạng, tuy nhiên vấn đề làm học sinh bối rối nhất có lẽ là những bài toán liên quan đến cực trị, vì phải biến đổi nhiều bước và có sự lập luận về mặt toán học khá phức tạp

Chuyên đề Bài toán cực trị trong dòng điện không đổi được soạn thảo với hy

vọng rằng sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán cực trị trong phần dòng điện không đổi, do đó sẽ có một số chỗ tác giả trình bày kĩ lưỡng để học sinh dễ dàng nghiên cứu; đồng thời mong muốn góp một phần nhỏ cho quỹ tài liệu giảng dạy của quý thầy cô trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo sát phương pháp giải bài toán cực trị trong dòng điện không đổi

B PHẦN NỘI DUNG

I BỔ TÚC MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN THƯỜNG LIÊN QUAN

1 Bất đẳng thức Cosi

- Cho x1, x2, x3,…., xn là các số không âm, theo Bất đẳng thức Cosi ta có:

1 2 3

n

x x x x n



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2 = x3 = … = xn

- Bất đẳng thức Cosi (còn được gọi là bất đẳng thức AM-GM) được phát biểu như

sau: trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của

chúng; trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

- Vận dụng cho trường hợp thường gặp nhất là 2 số không âm ta có:

1 2

2

x x



x1x2min 2 x x1 2 Điều kiện khi đó: x1 = x2

- Có thể chứng minh như sau:

+ Với 2 số không âm x1 và x2 bất kì ta luôn có:

1 2

2

2

x x



+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2

- Hệ quả: nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai

số đó bằng nhau, cụ thể:

2

a b  ab mà a.b không đổi (bằng p) nên a b 2 p

a b min 2 p khi a = b

2 Hàm số bậc II một ẩn

- Có dạng:

y = ax2 + bx + c với a ≠ 0

- Trường hợp a > 0:

+ Bảng biến thiên:

+ HS nghịch biến trong khoảng ;

2

b a

  

 và đồng biến trong khoảng ; ;

2

b a

 

+ Tại x =

2

b a

 thì y min + Đồ thị có dạng:

- Trường hợp a < 0:

+ Bảng biến thiên:

+ HS đồng biến trong khoảng ;

2

b a

  

 và nghịch biến trong khoảng ; ;

2

b a

 

+ Tại x =

2

b a

 thì y max + Đồ thị có dạng:

- Trường hợp y = 0:

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

Δ = b2 – 4ac ≥ 0

Lưu ý: để tìm cực trị theo Bất đẳng thức Cosi và hàm số bậc 2 thì đôi khi ta còn có thế

biến đổi toán học tìm Giá trị nhỏ nhất hay Giá trị lớn nhất bằng cách thêm một hằng số a nào đó và bớt đi chính hằng số đó để lập luận Tuy nhiên cách làm này đòi hỏi phải có kĩ năng toán học rất tốt và thêm đúng số, nếu không thì cũng bế tắc; đặc biệt trong phòng thi với áp lực thời gian thì cũng không nên mạo hiểm

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Bước 1: đi tìm biểu thức đại lượng cực trị mà đề bài yêu cầu theo những đại lượng đã có và đại lượng biến thiên

- Bước 2: biến đổi toán học để đưa đại lượng thay đổi về mẫu số, trên tử không đổi

- Bước 3: lập luận tìm giá trị cực trị, kết hợp với kiến thức toán học

Lưu ý: có thể đưa biểu thức về dạng hàm số bậc 2 một ẩn để tìm cực trị.

III VÍ DỤ MINH HỌA

1 Liên quan đến công suất tỏa nhiệt

Bài 1: Hai điện trở R = 4Ω và r mắc nối tiếp nhau và mắc vào nguồn điện có hiệu điện thế

U = 24V không đổi Khi thay đổi giá trị của r thì công suất tỏa nhiệt trên r thay đổi và đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó ?

(Trích đề thi TS vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt 2013-2014)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

- Công suất tỏa nhiệt trên r là:

- Lập luận:

+ Do U không đổi, muốn Pr max thì mẫu số phải min

+ Theo hệ quả của BĐT Côsi mẫu số sẽ min khi:

- Vậy khi r = R = 4Ω thì Pr max = U2/(4r) = 36W

Cách 2: Theo tam thức bậc 2:

- Công suất tỏa nhiệt trên r là:

- Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:

Δ = b2 - 4ac ≥ 0 -9216P + 5762 ≥ 0 hay P ≤ 36 hay Pmax = 36 W => r = 4Ω

Bài 2: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ, với E = 12V và r = 2.

a Cho R = 10, tính công suất tỏa nhiệt trên R, công suất của nguồn và hiệu suất

của nguồn ?

b Tìm R để công suất trên R là lớn nhất ? Tính công suất đó ?

c Tính R để công suất tỏa nhiệt trên R là 16 W ?

Hướng dẫn giải

a Cho R = 10, tính P R , công suất của nguồn và hiệu suất của nguồn:

- Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch:

E

R r



- Công suất tỏa nhiệt trên R:

2 R

P  I R 10W 

- Công suất của nguồn:

nguon

P  E I 12W 

- Hiệu suất của nguồn:



b Tìm R để công suất trên R là lớn nhất ? Tính công suất đó:

- Công suất tỏa nhiệt trên R:

2 2

r

R



(1)

- Từ biểu thức (1) cho thấy:

+ Tử số là E không đổi, muốn P max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

min

R

   = 2Ω

2

R max

E

4r

Cách khác: dùng điều kiên Δ

- Từ biểu thức (1) ta có:

2

2

12

R 2



Δ = (144 – 4P)2 – 2.144.4P

- Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:

Δ ≥ 0 <=> (144 – 4P)2 – 2.144.4P ≥ 0

<=> P ≤ 18

<=> Pmax = 18W thay vào (1) thu được R = 2Ω

c Tính R để công suất tỏa nhiệt trên R là 16 W:

- Từ biểu thức (1) thu được:

2

R r

2

2

12

R 2



R1 = 4Ω hoặc R2 = 1Ω

- Vậy để PR = 16W thì R bằng 6Ω hoặc 1Ω

Bài 3 : Có mạch điện như hình vẽ

Nguồn điện có suất điện động E = 24V, điện trở trong r = 6 Điện trở R1 = 4 Hỏi biến trở R có giá trị bằng bao nhiêu để:

a Công suất mạch ngoài lớn nhất ? Tính công suất của nguồn khi đó ?

b Công suất trên Rlớn nhất ? Tính công suất này ?

Hướng dẫn giải

a Tìm R để công suất mạch ngoài lớn nhất ? Tính công suất của nguồn khi đó ?

- Gọi RN là tổng trở mạch ngoài

- Công suất mạch ngoài:

2 2

2

N

N

N

r

R



(1)

- Từ biểu thức (1) cho thấy:

+ Tử số là E không đổi, muốn PN max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

Điều kiện xảy ra: N N

N

r

R

<=> R1 + R = 6 => R = 2Ω

- Công suất của nguồn:

ng

N

E



b Tìm R để công suất trên Rlớn nhất ? Tính công suất này ?

- Công suất tỏa nhiệt trên R:

2 2

2 R

1

R



(2)

- Từ biểu thức (2) cho thấy:

+ Tử số là E không đổi, muốn PR max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

min

Dấu “=” xảy ra khi R R  1    r 10

- Suy ra:

2

R max

1

E

4 R r



Bài 4: Có mạch điện như hình vẽ Nguồn điện có suất điện động E = 12V, điện trở trong

r = 1 Điện trở R1 = 6, R3 = 4 Hỏi R2 bằng bao nhiêu để công suất trên R2 lớn nhất ? Tính công suất này ?

Hướng dẫn giải

- Áp dụng định luật Ôm tìm U2:

1 2

3





2

R

2

12 U

6 R



- Công suất tỏa nhiệt trên R2:

2

2

12.6 R

2

2

2 2

12.6 P

30

11 R

R



(1)

- Từ biểu thức (1) cho thấy:

+ Tử số là (12.6)2 không đổi, muốn PR2 max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

2

2 2

12 6 P

2 30.11

+ Dấu “=” xảy ra khi: 2 2

2

11 R

Bài 5: Một bếp điện gồm hai điện trở R1 và R2 có thể mắc nối tiếp hoặc song song vào cùng hiệu điện thế không đổi Lúc đầu hai điện trở này mắc nối tiếp sau đó chuyển qua mắc song song Công suất của bếp đã tăng lên hay giảm đi ? Tăng lên hay giảm đi mấy lần ? Tính R1 theo R2 để công suất bếp điện tăng lên (hay giảm đi) ít nhất ?

Hướng dẫn giải

- Lúc đầu hai điện trở mắc nối tiếp nên ta có:

2 2

U



- Lúc sau hai điện trở mắc song song nên ta có:

2

ss

R R





- Ta có:  

2 2

- Theo bất đẳng thức cô-si:

 2

ss

nt

P

P

Dấu “ = ” xảy ra khi R1 = R2

- Vậy khi chuyển từ mắc nối tiếp sang mắc song song thì công suất tăng lên ít nhất

4 lần, điều kiện khi đó là R1 = R2

2 Liên quan đến nguồn điện

Bài 6: Có N = 80 nguồn giống nhau, mỗi nguồn có e = 1,5V, r0 = 1 mắc thành x dãy song song, mỗi dãy có y nguồn nối tiếp Mạch ngoài là điện trở R Tìm x, y để cường độ qua R lớn nhất ? Xét khi R bằng: 5 và 6

Bài giải

- Hình vẽ minh họa:

- Ta có:

Eb = yE = 1,5y; rb = yr 0 y

=

- Cường độ dòng điện qua điện trở R:

I = bb

E = 1,5y = 1,5yx

y

R + r R + Rx + y

x

(3)

- Thay (2) vào (3) ta được:

I = 1,5.80 = 120

- Lập luận:

+ Tử số là một hằng số, để I max thì mẫu số phải min

+ Vì x, y đều dương nên theo bất đẳng thức Cô–si, ta có:

min

Rx + y 2 Rxy   (Rx + y) = 2 Rxy

Dấu ‘=’ xảy ra khi Rx = y (5) + Kết hợp (5) với (2), ta có: Rx = yxy = 80

  x = 80; y = R 80 80R

- Với R = 5 

80

x = = 4 5

y = 80.5 = 20











Bộ nguồn gồm 4 dãy và mỗi dãy có 20 acquy

- Với R = 6 

80

x = = 3,65 6

y = 80.6 = 21,9











Vì x, y nguyên và xy = 80 nên suy ra x = 4; y = 20

Bộ nguồn gồm 4 dãy và mỗi dãy có 20 acquy

Bài 7: Có N = 60 nguồn điện giống nhau, mỗi nguồn E = 1,5V, r = 0,6 ghép thành bộ

gồm m dãy song song, mỗi dãy n nguồn nối tiếp Mạch ngoài là điện trở R = 1 Tính m,

n để:

a Công suất tiêu thụ mạch ngoài lớn nhất, tính công suất này ?

b Công suất tiêu thụ mạch ngoài không nhỏ hơn 36W ?

Hướng dẫn giải

- Gọi m là số dãy, n là số nguồn trên mỗi dãy:

mn = 60 (m, n  N*)

Và Eb = nE = 1,5n; rb = nr = 0,6n

- Cường độ dòng điện qua mạch chính:

I = bb

0,6n

m

2 2

I

36

m

a Tìm m và n để P mạch ngoài lớn nhất, tính công suất này ?

- Công suất tiêu thụ ở mạch ngoài:

P = RI2 =

2 2

90 36 (m+ ) m

(1)

- Lập luận:

+ Tử số là một hằng số, để P max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô–si, ta có:

36 (m+ )

m min khi m = 6 + Suy ra n = 10 và P = Pmax =

2 2

90 36 (6 + ) 6

= 56,25W

- Khi P tiêu thụ mạch ngoài lớn nhất thì m = 6; n = 10 và Pmax = 56,25W

b Tìm m và n để công suất tiêu thụ mạch ngoài không nhỏ hơn 36W ?

- Công suất tiêu thụ mạch ngoài:

P =

2 2

90 36 (m+ ) m

- Để P  36W 

2 2

90 36 (m+ ) m

 36  m+36 15

m 

 m2 – 15m + 36 ≤ 0 (2)

Vậy: 3  m  12

n 20 15 12 10 607 152 203 6 6011 5

- Với m, n nguyên dương nên để P  36W thì:

m 3, 4, 5, 6, 10, 12

n 20, 15, 12, 10, 6, 5









Giải thích thêm về nghiệm của bất phương trình (2):

- Giả sử khi f(m) = m2 – 15m + 36 = 0, có 2 nghiệm: m1 = 3 và m2 = 12

- Bảng xét dấu:

m -∞ 3 12 +∞

f(m) + 0 – 0 +

(Trong khoảng giữa 2 nghiệm thì trái dấu với a = 1)

- Nghiệm của bất phương trình là: 3  m  12

IV LUYỆN TẬP

Bài 8: Cho mạch điện như hình vẽ Nguồn điện có suất điện động E = 12V và có điện trở

trong r = 0,5  Các điện trở mạch ngoài R2 = 6, R3 = 12 Điện trở R1 có giá trị thay đổi từ 0 đến vô cùng Điện trở ampe kế không đáng kể

a Điều chỉnh R1 = 1,5 Tìm số chỉ của ampe kế và cường độ dòng điện qua các điện trở ? Tính công suất tỏa nhiệt của mạch ngoài, hiệu suất của nguồn điện ?

b Điều chỉnh R1 có giá trị bằng bao nhiêu thì công suất trên R1 đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó ?

Bài 9: Cho mạch điện như hình vẽ: UAB = U = 6V; R1 = 5,5; R2 = 3; R là một biến trở

a Khi R = 3,5, tìm công suất tiêu thụ của đoạn mạch AM ?

b Với giá trị nào của biến trở R thì công suất tiêu thụ trên biến trở R đạt giá trị lớn

nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ?

Đáp số: a 1.625ΩW và b 1.06W; R = 8.5ΩΩ

Bài 10: Cho mạch điện như hìnhh vẽ Biết R = 4 , đèn Đ ghi 6V - 3W, UAB = 9 V không đổi, Rx là biến trở Điện trở của đèn không đổi

Xác định giá trị của Rx để:

a Đèn sáng bình thường ?

b Công suất tiêu thụ trên biến trở là lớn nhất ? Tính công suất đó ?

Đáp số: a 24Ω và b 3.8W; 3Ω

Bài 11: Cho mạch điện như hình vẽ:

Đặt vào mạch điện hiệu điện thế U = 2V, các điện trở R0 = 0,5; R1 = 1; R2 = 2; R3 = 6; R4 = 0,5; R5 là một biến trở có giá trị lớn nhất là 2,5 Bỏ qua điện trở của ampe kế

và dây nối Thay đổi giá trị của R5, xác định giá trị của R5 để:

a Ampe kế A chỉ 0,2A ?

b Ampe kế A chỉ giá trị lớn nhất ?

Đáp số: a 0,5ΩΩ; b 0,35Ω7A (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa 2010 – 2011)

Bài 12:

(Trích đề thi HSG Tỉnh Kiên Giang 2020-2021 – Vòng 2 – Ngày 1)

Hướng dẫn giải

Bài 8:

a Khi R1 = 1,5 Tìm số chỉ của ampe kế và I qua các điện trở ? Tính công suất tỏa nhiệt của mạch ngoài, hiệu suất của nguồn điện ?

- Ta có: 2 3

23

R R 6.12

- Điện trở tương đương của mạch:

1 23

R R   R  1,5 4 5,5   

- Dòng điện trong mạch chính:

12

R r 5,5 0,5

E

- Hiệu điện thế U23:

U  I R  2.4 8V   U  U  U  8V

=> 2

2 2

3 3 3

- Công suất tỏa nhiệt mạch ngoài:

P I R 2 5,5 22W   

- Hiệu suất của nguồn:

U I.R 2.5,5

1

E

b Tìm R1 để PR1 đạt max, tính giá trị cực đại đó ?

- Công suất tỏa nhiệt trên R1:

2 2

2 2

1

1 1

4,5

R

(1)

- Từ biểu thức (1) cho thấy:

+ Tử số là (12)2 không đổi, muốn PR1 max thì mẫu số phải min

+ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

2

R1 max

12

2 4,5



+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 1

1

4,5

R

Bài 9:

a Khi R = 3,5, tìm công suất tiêu thụ của đoạn mạch AM ?

- Điện trở tương đương của mạch là:

R  R  R  R 5,5 3 3,5 12     

- Dòng điện chạy trong mạch:

AB

- Công suất trên đoạn AM là:

I R  0,5 R  R  0,5 3 3,5   1,625W

b Tìm R để PR đạt giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ?

- Công suất tiêu thụ trên R:

   

2

P I R

8,5

R 17R+8,5

R



- Lập luận:

+ Tử số của biểu thức (1) là một hằng số, để P max thì mẫu số phải min + Theo bất đẳng thức Cô–si, ta có:

+ Do đó: R +8,52 17 34

R   PR = max khi và chỉ khi R +8,52 17 min

R   = 34

- Vậy PRmax = 62 1,06W

34

  Dấu “ = ” xảy ra khi R =8,52 R 8,5

Bài 10:

a Tìm R X để đèn sáng bình thường ?

- Vì đèn sáng bình thường nên ta có:

x

DB R

AD AB DB

U = U = U = 6 V



§

- Mặt khác: R x

P

I = I - I = I - = 0,75 - 0,5 = 0,25A

U

§

§

§

x

DB x R

R = = = 24 Ω



b Tìm R X để công suất tiêu thụ trên biến trở là lớn nhất ? Tính công suất đó ?

- Đặt Rx = x

- Ta có: DB AD

U = U - U = U - I.R = U - =

R x 4(3 + x)

R +

R + x

§

§

2 DB x

2 x

P

3

x

x



- Theo bất đẳng thức cô-si suy ra: x = 3   Px  3,8 W

Bài 11:

a Tìm R 5 để ampe kế chỉ 0,2A ?

- Mạch được vẽ lại có dạng: [(R4 nt R5) // R1] nt [R3 // R2] nt R0

- Gọi x là R45 = 0,5 + R5

- Điện trở toàn mạch:

R145 = x/(x + 1)

R23 = 2.6/(2 + 6) = 1,5Ω

Rtđ = (3x + 2)/(x + 1)

- Dòng điện:

Ib = Ub/Rtđ = 2(x + 1)/(3x + 2) = I145 =I23

- Suy ra:

U145 = I145.R145 = 2x/(3x + 2) = U1

=> I1 = U1/R1 = 2x/(3x + 2) (1)

U23 = I23.R23 = 3(x + 1)/(3x + 2) = U2

=> I2 = U2/R2 = 1,5(x + 1)/(3x + 2) (2)

- Áp dụng định luật về điểm nút tại D thu được:

* Trường hợp 1: I1 = I2 + IA

=> 0,1x + 1,9 = 0 => x = -19 (loại)

* Trường hợp 2: I2 = I1 + IA (3)

=> 1,1x = 1,1 => x = 1Ω => R5 = 0,5Ω

b Tìm R 5 để ampe kế chỉ giá trị lớn nhất ?

- Từ (1), (2) và (3) thu được:

2

3







x

x

I A => x 3 4I

6I 1







- Do x tăng từ 0,5Ω đến 3Ω nên ta có:

3 4I

6I 1



 => 0 ≤ I ≤ 0,357

- Giá trị Imax = 0,357A => x = 0,5 và R5 = 0

Bài 12:

1a Khi K mở, R 4 = 4Ω và U V = 1V, tìm U BD :

- Sơ đồ mạch có dạng: (R1 nt R2) // (R3 nt R4)

- Điện trở tương đương:

R12 = R34 = 6Ω

U12 = U34 => I12 = I34 = x > 0

- Theo đề bài thì UV = 1V nghĩa là:

+ Trường hợp 1: UMN = U3 – U1 = 1 => 2x – 3x = 1 => x = -1 (loại)

+ Trường hợp 2: UNM = U4 – U2 = 1 => 4x – 3x = 1 => x = 1 (nhận)

=> UBD = x.R12 = 6V

1b K lại đóng, tìm số chỉ Ampe kế và Vônkế:

- Sơ đồ mạch có dạng: (R1 // R3) nt (R2 // R4)

- Điện trở tương đương:

1 3 13

1 3

5

R R



2 4 24

2 4

R

7

R R

 => Rtđ = R13 + R24 =102/35 (Ω)

- Áp dụng định luật Ôm:

Ib = UBD/Rtđ = 35/17 (A) = I13 = I24

=> U13 = I13.R13 = 42/17 (V) = U1 = U3

I1 = U1/R1 = 14/17 (A)

I3 = U3/R3 = 21/17 (A)

=> U24 = I24.R24 = 60/17 (V) = U2

I2 = U2/R2 = 20/17 (A)

- Số chỉ ampe kế: IA = I2 – I2 = 6/17 = 0.35A

- Số chỉ vôn kế: U’V = |UMN| = |U3 – U1| = 21.2 14.3

17  17 = 0

Lưu ý: Tìm U’V có thể lập luận: do K đóng, giữa 2 đầu vôn kế thông nhau nên không có

sự chênh lệch điện thế nên U’v = 0

2 K đóng, di chuyển vị trí con chạy C, tìm I A và biện luận theo R 4 , vẽ đồ thị:

- Gọi R4 = x, điều kiện x ≥ 0, tìm điện trở tương đương:

1 3 13

1 3

5

R R



2 4 24

2 4

R

3

  => Rtđ = R13 + R24 = 4.2 3.6

3

x x





- Áp dụng định luật Ôm:

Ib = UBD/Rtđ = 6 3 

x x



 = I13 = I24