tiểu luận PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài sử dụng nội suy lagrange giải các bài tập trong exercise set 3 1 (trang 114) 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20

Một trong lý do khiến chúng quan trọng là vì chúng xấp xỉ một cách không đồng đều các hàm liên tục.Tức với mọi hàm đã biết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đath

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI 6

GVHD: Nguyễn Đình Dương

Nhóm: L11 – 06

TP HCM, 7 tháng 5 năm 2021.

BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

các bài tập trong Exercise Set 3.1 (trang 114): 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20.

BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

1

5

BẢNG PHÂN CÔNG

ST

T

Dịch bài + Viết

báo cáo

Mục lục

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT 5

1 Phép nội suy và đa thức Larange 5

2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 5

3 Phép nội suy đa thức Larange 7

4 Sai số của phép nội suy 8

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ

THUYẾT Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Đa Thức

1 Phép nội suy và đa thức Larange

Các đa thức đại số là một trong những lớp hàm phổ biến và hữu ích nhất, ánh xạ tập các

số thực thành chính nó, là tập các hàm có dạng:

𝑷𝒏(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎,Trong đó n là số nguyên không âm và 𝒂𝟎, … , 𝒂𝒏 là các số thức không đổi Một trong lý

do khiến chúng quan trọng là vì chúng xấp xỉ một cách không đồng đều các hàm liên tục.Tức với mọi hàm đã biết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đathức gần nhất với hàm cần xấp xỉ Điều này được thể hiện rõ qua định lý xấp xỉWeierstrass

2 Định lý xấp xỉ Weierstrass :

Cho rằng 𝒇 xác định và liên tục trên [𝒂, 𝒃] Với mọi 𝝐 > 𝟎, sẽ có một đa thức 𝑷(𝒙), cótính chất:

|𝒇(𝒙) − 𝑷(𝒙)| < 𝝐, với mọi 𝒙 thuộc [𝒂, 𝒃]

Một trong những lý do khác khiến cho kiểu hàm này được chọn trong phép xấp xỉphương trình là đạo hàm và tích phân không xác định của đa thức này dễ dàng tính được

và chúng cũng là đa thức trên trục 𝑶𝒙𝒚 Vì những lý do này mà đa thức được sử dụng đểlàm hàm xấp xỉ liên tục

Các đa thức Tay-lor được giới thiệu trong phần 1.1, mà chúng được miêu tả là một trongnhững khối kiến tạo cho phương pháp tính Với sự nổi bật này, bạn có thể mong đợi rằngphép nội suy đa thức sẽ sử dụng các hàm này Tuy nhiên, đây không phải là như vậy Đathức Tay-lor hoàn toàn xác định với một phương trình ở một điểm nhất định, nhưng nóchỉ

tập chung độ chính xác xoay quanh điểm đó Một hàm xấp xỉ đa thức tốt cần phải độ chính xác nhật định tại mọi điểm xác định, và đa thức Tay-lor không thực hiện được như vậy.

Ví dụ: Chúng ta khai triển Tay-lor bậc 6 tại 𝒙𝟎 = 𝟎 cho 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 Vì đạo hàm của 𝒇(𝒙)

là 𝒆𝒙, với 𝒙𝟎 = 𝟎 cho ra 𝟏, thì đa thức Tay-lor sẽ là

Mặc dù hàm xấp xỉ đa thức tốt hơn đã được dùng để thể hiện 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 bằng đa thức Tay- lor bậc cao hơn, nhưng nó vẫn không đúng với mọi hàm Cho rằng, với ví dụ ít thiết thựchơn, chúng ta dùng đa thức Tay-lor với nhiều

góc độ khác nhau cho 𝒇(𝒙) = 𝟏 với 𝒙 = 𝟏

để xấp xỉ 𝒇(𝟑) = 𝟏 Bởi vì

𝟑𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏, 𝒇′

Để xấp xỉ 𝒇(𝟑) = 𝟏 bằng 𝑷 (𝟑) với việc tăng giá trị của n, chúng ta sẽ thu được nghiệm

thể hiện ở (bảng 3.1) – hoặc có thể nói đó là một sự thất bại thảm hại! Khi chúng ta xấp

𝒇(𝟑) = 𝟏 bằng 𝑷 (𝟑) với giá trị n lớn dần, độ chính xác bị giảm xuống một cách đáng kể.

toán thông thường có hiệu quả hơn ta cần dụng các phương pháp mà ta có thể bao hàm

thông tin của nhiều điểm thay vì một điểm như đa thức Taylor Ứng dụng chính của đa

thức Taylor trong phân tích số không phải là để xấp xỉ mà là để tính đạo hàm và ước

lượng sai số

3 Phép nội suy đa thức Lagrange.

Vấn đề của việc tính toán một đa thức bậc một đi qua hai điểm rời rạc (x0, y0) và (x1, y1) cũng giống như việc xấp xỉ một hàm số f với f(x0) = y0 và f(x1) = y1 bằng cách sử dụng

nội suy đa thức bậc một tại các điểm được cho trước Sử dụng đa thức này để tính xấp xỉmột giá trị trong một khoảng được cho bởi các điểm nút được gọi là nội suy đa thức

Ta định nghĩa hàm đa thức mội suy Lagrange như sau:

) = 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟎

− 𝒙𝟏 ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒙 − 𝒙𝟎

𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 ∗ 𝒇(𝒙𝟏)

𝑳𝟎(𝒙𝟎) = 𝟏, 𝑳𝟎(𝒙𝟏) = 𝟎, 𝑳𝟏(𝒙𝟎) = 𝟎, 𝑳𝟏(𝒙𝟏) = 𝟏Điều đó có nghĩa là:

𝒌=𝟎Với k = 0, 1, …, n

𝟎 𝟏 𝒏

4 Sai số của phép nội suy:

Giả sử 𝑷𝒏(𝒙) là đa thức nội suy của 𝒇(𝒙), tức là 𝑷𝒏(𝒙𝒊) = 𝒇(𝒙𝒊) (i=0,1,2…n)

1 Bài 1: Cho các giá trị x 0 =0, x 1 =0,6 và x 2 =0.9 Hãy xây dựng đa thức nội suy cho

các hàm dưới đây với bậc một và bậc hai để xấp xỉ f(0,45), tìm sai số tuyệt đối

2 Bài 3: Dùng định lí 3.3 để giải tìm biên sai số cho bài 1.

Ta có công thức biên sai số theo định lí 3.3:

𝒇(𝒏+𝟏)(𝝃(𝒙))

(𝒏 + 𝟏)! (𝒙 − 𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟏) … (𝒙 − 𝒙𝒏)Với 𝐟(𝐧+𝟏)(𝛏(𝐱)) là GTLN của 𝐟(𝐧+𝟏)(𝐱) với 𝑥=𝐱𝟎, 𝐱𝟏,…, 𝐱𝐧

𝒇′(𝒙) = −𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒇′′(𝒙) = − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝒇′′(𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏 và 𝒇′′(𝟎 𝟔) = 𝐜𝐨𝐬(𝟎 𝟔) = 𝟎 𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒Vậy GTLN của 𝒇′′(𝒙) với x thuộc [0, 0.6] là 𝒇′′(𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏

𝒇(𝟑)(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒇(𝟑)

(𝟎) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎) = 𝟎 và 𝒇(𝟑)

(𝟎 𝟗) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑Vậy GTLN của 𝒇(𝟑)

𝟑!

b Tương tự các câu b,c,d

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

−𝟏𝒇′′(𝝃)

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

| 𝟐! ∗ 𝑚𝟏(𝒙)| = | 𝟐! ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

𝒇(𝟑)

| 𝟑! ∗ 𝑚𝟐(𝒙)| = |𝟑! ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟏𝟎𝟏𝟑d

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

d Tính f(0.9) nếu f(0.6) = −0.17694460, f(0.7) = 0.01375227, f(0.8) = 0.22363362, f(1.0) = 0.65809197

f(x) 17.56492 18.50515

Theo công thức nội suy Lagrange, ta có:

L1(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 = 𝒇 (𝒙) ∗𝒙 − 𝒙 𝟏 + 𝒇

(𝒙) ∗ 𝒙 − 𝒙 𝟎 𝟎

Thay x = 8.4 vào L1(x), ta được:

(𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏 )(𝒙 𝟎 −𝒙 𝟐 ) 𝟏 (𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟎 )(𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 ) 𝟐 (𝒙𝟐− 𝒙𝟎)(𝒙𝟐− 𝒙𝟏)

=𝟏𝟕 𝟓𝟔𝟒𝟗𝟐 ∗ (𝒙−𝟖.𝟔)(𝒙−𝟖.𝟕)

(𝟖.𝟑−𝟖.𝟔)(𝟖.𝟑−𝟖.𝟕) + 𝟏𝟖 𝟓𝟎𝟓𝟏𝟓 ∗ (𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟕)

(𝟖.𝟔−𝟖.𝟑) (𝟖.𝟔−𝟖.𝟕)

(𝒙) ∗ (𝒙 − 𝒙 𝟏 ) (𝒙− 𝒙 𝟐 ) (𝒙− 𝒙 𝟑 ) (𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟏 ) (𝒙 𝟎 −𝒙 𝟐 ) (𝒙 𝟎 − 𝒙 𝟑 )

+ 𝒇𝟏 (𝒙) ∗ (𝒙 − 𝒙 𝟎 )

(𝒙−𝒙 𝟐 ) (𝒙− 𝒙 𝟑 ) (𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟎 ) (𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 ) (𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟑 )

1.10100000

0.24842440

0.65809197

4 Bài 11 Sử dụng các giá trị được làm tròn đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy bên dưới để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba tại f(1,09) Với hàm được tính gần đúng là f(x) = log 10 (tanx) Hãy dùng kiến thức phần này để tìm phạm vi của sai số trong phép tính gần đúng này

5 Bài 15: Sử dụng số liệu ở câu 11, dùng Maple để giải đến lần lặp thứ 10:

ĐOẠN CODE

6 Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệu được ghi trong bảng sau Sử dụng nội suy Lagrange để xấp xỉ dân số trong những năm 1940, 1975,và 2020.

b Dân số năm 1940 là khoảng 132.165.000 người Bạn nghĩ con số năm

1975 và 2020 của bạn chính xác đến mức nào?

a) Ta có:

(𝒙 − 𝟏𝟗𝟔𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟎)

𝒍 𝟎 (𝒙) =

(𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟏𝟗𝟔𝟎)(𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎)

(𝒙 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟎)

𝒍 𝟏 (𝒙) =

(𝟏𝟗𝟔𝟎 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝟏𝟗𝟔𝟎 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝟏𝟗𝟕𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎)

…(𝒙 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝒙 − 𝟏𝟗𝟗𝟎)

𝒍 𝟓 (𝒙) =

(𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟗𝟎)

Khi đó ta sẽ nội suy đa thức Larange:

𝒏𝑳(𝒙) = ∑ 𝒚𝒌𝒍𝒌(𝒙) = 𝒚𝟎𝒍𝟎(𝒙) + 𝒚𝟏𝒍𝟏(𝒙) + ⋯ + 𝒚𝟓𝒍𝟓(𝒙)

𝒌=𝟎Vậy 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎) = 𝟏𝟎𝟐, 𝟑𝟗𝟕, 𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓) = 𝟐𝟏𝟓, 𝟎𝟒𝟐𝟕, 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎) = 𝟓𝟏𝟑, 𝟒𝟒𝟑

ĐOẠN CODE

b) Sai số của 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎)| ≤ 𝟐𝟗, 𝟕𝟔𝟖,

𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓)| ≤ 𝟎, 𝟗𝟐𝟑, 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎)| ≤ 𝟏𝟖𝟑, 𝟓𝟔𝟖.

Nhận xét: Theo đề bài, dân số của US vào năm 1940 là khoảng 132 165 000người Dùng đa thức nội suy Lagrange để tính xấp xỉ dân số của US năm 1940 tađược 102 396 000 người vậy sai số khá lớn (chênh lệch khoảng 29 760 000 người)Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 1975 ta được 215 042 000 người Vì 1975khá gần so với các mốc nội suy (1970 và 1980) nên sai số không lớn

Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 2020 ta được 513 442 000 người Vì 2020khá xa so với mốc nội suy (2000) nên sai số lớn

Vậy khi ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy thì sai số không lớn, có thể tin tưởng được;còn khi ta tính xấp xỉ xa mốc nội suy thì sai số lớn, không tin tưởng được

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn)

2 Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa

3 Khóa học: Phương pháp tính (MT1009)_Nguyễn Đình

Dương (DH_HK202) (hcmut.edu.vn)

4 Oxford | Định nghĩa trong Từ điển tiếng Anh Cambridge

5. GVHD: Nguyễn Đình Dương

6. Mục lục

7. I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Đa Thức

8. 1 Phép nội suy và đa thức Larange

33. ĐOẠN CODE

34. III TÀI LIỆU THAM KHẢO

35. 2 Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa

36. 4 Oxford | Định nghĩa trong Từ điển tiếng Anh Cambridge

37. 7

38.

39.