(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phân tử CS MITC3+
T ÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC
Phát triển bền vững, ít ảnh hưởng đến môi trường và nguồn nguyên liệu hóa thạch đang là thách thức của nhiều ngành công nghiệp chế tạo nói chung và lĩnh vực xây dựng nói riêng; để có các kết cấu chịu lực tốt, bền nhẹ và đáp ứng nhu cầu sử dụng đồng thời giảm tiêu hao nhiên liệu và tác động tới móng công trình, cần tìm những vật liệu mới thay thế vật liệu truyền thống có đặc tính cơ học bền và nhẹ hơn, và vật liệu composite nhiều lớp là một trong các lựa chọn tiềm năng Tuy nhiên, do được cấu tạo từ các lớp vật liệu có hướng sợi khác nhau nên dễ bị phá hoại do sự tập trung ứng suất tại mặt tiếp xúc giữa các lớp; để khắc phục nhược điểm này, khái niệm vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Materials - FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản đề xuất lần đầu vào năm 1984 trong một dự án nghiên cứu tàu không gian Vật liệu FGM là sự kết hợp giữa gốm ở mặt trên và kim loại ở mặt dưới, có đặc tính vật liệu biến thiên liên tục theo phương dày nhằm tránh tập trung ứng suất và mang lại sự cân bằng giữa khả năng chịu nhiệt, chống hao mòn của gốm với tính bền, dẻo của kim loại, từ đó ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
Việc tính toán các kết cấu tấm hay vỏ bằng vật liệu FGM tương đối phức tạp, đòi hỏi phát triển các lý thuyết phân tích và phương pháp giải phù hợp nhằm đưa ra những kết quả có khả năng dự đoán chính xác các ứng xử của kết cấu có hình dạng, điều kiện biên và tải trọng khác nhau Ứng xử của tấm FGM có thể được mô tả bằng lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff hoặc lý thuyết tấm biến dạng cắt Mindlin–Reissner Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt nên chỉ phù hợp cho các tấm mỏng, trong khi lý thuyết tấm biến dạng cắt, do Reissner và Mindlin đề xuất, tính đến biến dạng cắt ngoài mặt nên phù hợp cho ứng xử của các tấm dày.
Trong lĩnh vực tấm biến dạng cắt, hai đề xuất lý thuyết cơ bản là tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Tuy nhiên, FSDT giả định ứng suất cắt ngoài mặt phẳng bất biến nên đòi hỏi các hệ số điều chỉnh để thỏa mãn các điều kiện biên tự do ở bề mặt trên và dưới của tấm Vì thế, việc cải thiện lý thuyết FSDT là cần thiết, từ đó tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) được hình thành và phát triển Theo các lý thuyết này, yếu tố điều chỉnh biến dạng cắt ngoài mặt phẳng có thể bỏ qua nhưng vẫn cho kết quả tính toán ứng suất cắt ngoài mặt phẳng ổn định và chính xác hơn Đến nay, lý thuyết HSDT vẫn được điều chỉnh và phát triển không ngừng trong các nghiên cứu [5]–[7].
Trong những thập kỷ qua, các phương pháp giải tích và các phương pháp số khác nhau đã được đề xuất nhằm giải quyết bài toán tấm FGM, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) được sử dụng nhiều nhất và có ưu thế nhất nhờ khả năng giải quyết tấm FGM với mọi hình dạng, điều kiện biên và tải trọng PTHH có nguồn gốc từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không Những năm 1940, Hrennikoff, McHenry và Courant là những người khởi xướng sự phát triển của PTHH, và sự phát triển chính thức bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng [8] Mặc dù có nhiều ưu điểm, hiệu quả tính toán của PTHH phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học và lưới phần tử; do đó, việc tìm ra các công thức PTHH mới có khả năng tính toán kết cấu với độ chính xác cao và chi phí tính toán thấp luôn là một yêu cầu và tập trung nhiều sự quan tâm nghiên cứu.
Vào năm 1970, Ahmad, Irons và Zienkiewicz giới thiệu một phần tử tứ giác đẳng tham số có xấp xỉ đồng thời trường chuyển vị và góc xoay độc lập, phù hợp giải bài toán tấm vỏ dày theo lý thuyết FSDT Tuy nhiên, đối với phân tích tấm vỏ mỏng, chuyển vị và góc xoay lại đòi hỏi xấp xỉ bậc cao khiến số nút của phần tử tăng lên Nói cách khác, khi sử dụng hàm xấp xỉ dạng C0, trường xấp xỉ cho chuyển vị và góc xoay không thể biểu diễn được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng bằng 0 như thực tế của kết cấu tấm vỏ mỏng, dẫn đến hiện tượng khóa cắt: năng lượng biến dạng cắt của phần tử vượt quá thực tế và biến dạng uốn tăng lên khi chiều dày tấm mỏng dần.
Để khắc phục hiện tượng khóa cắt ở các phần tử tấm và vỏ tam giác 3 nút hoặc tứ giác 4 nút, nhiều phương pháp đã được đề xuất như phương pháp tích phân giảm (RI), tích phân chọn lựa (SI), phương pháp giả sử biến dạng tự nhiên (ANS), giả sử biến dạng nâng cao (EAS), giả sử biến dạng phần tử tấm Mindlin 3 nút (MIN3), phương pháp khác biệt biến dạng cắt rời rạc (DSG3) và các phương pháp nội suy các thành phần ten-xơ hỗn hợp MITC3, MITC3+, MITC4, MITC4+ cùng các biến thể MITC khác, nhằm giảm khóa cắt và cải thiện tính ổn định, độ chính xác và hiệu suất của mô hình khi mô phỏng và thiết kế cấu kiện.
Với ưu thế rõ ràng của phương pháp PTHH truyền thống, nhiều nhà khoa học đã đề xuất các kỹ thuật mới nhằm cải tiến PTHH, trong đó Liu và Nguyen-Thoi giới thiệu kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng để thiết lập công thức PTHH trơn dựa trên miền làm trơn CS (phần tử con), ES (miền giữa hai phần tử có chung cạnh) và NS (miền giữa các phần tử có chung nút) Phương pháp PTHH trơn đã được áp dụng thành công vào các bài toán hai chiều như tấm và vỏ làm từ vật liệu đồng nhất, vật liệu composite nhiều lớp và vật liệu FGMs dưới tác dụng tải trọng cơ học hoặc nhiệt độ Kết quả cho thấy độ chính xác của mỗi biến thể PTHH trơn trên miền CS, ES và NS phụ thuộc vào loại bài toán; với phần tử tam giác 3 nút, làm trơn trên cạnh ES thường cho kết quả tốt nhất trong hầu hết các trường hợp, trong khi làm trơn trên miền CS có chi phí tính toán thấp hơn do không cần xác định miền làm trơn chung cạnh hoặc nút Hơn nữa, làm trơn trên miền CS dễ áp dụng cho các lưới phần tử có sự không đồng phẳng, như kết cấu tấm gấp hoặc kết cấu vỏ.
Công thức PTHH trơn cho phần tử tấm tam giác 3 nút được xây dựng dựa trên các kỹ thuật khử khóa cắt MIN3, DSG3 và MITC3 nhằm phân tích tấm FGM đã phát triển và công bố trong các nghiên cứu sau Các phương pháp này khắc phục hiện tượng khóa cắt, cải thiện độ chính xác và tính ổn định của mô hình khi mô phỏng uốn và phân bố tải trên tấm vật liệu biến tính theo chiều dày, đồng thời tối ưu hóa hiệu suất tính toán cho phân tích tấm FGM.
Năm 2011, Nguyen-Xuan và cộng sự [29] tiến hành phân tích tĩnh và tần số của tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, ứng dụng phần tử ES-DSG3 để mô phỏng và đánh giá đáp ứng của cấu kiện.
Năm 2013, Phung-Van và cộng sự [36] đã thực hiện phân tích tĩnh và phân tích tần số của tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và được triển khai bằng phần tử CS-DSG3.
Vào năm 2014, Natarajan và cộng sự [37] đã thực hiện một phân tích tổng hợp cho tấm FGM, bao gồm phân tích tĩnh, phân tích tần số và kiểm tra ổn định dưới tác động của tải trọng cơ và nhiệt, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và được mô phỏng bằng phần tử CS-DSG3.
Trong năm 2014, Phung-Van và cộng sự [38] tiến hành phân tích phi tuyến hình học cho tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và sử dụng phần tử CS-MIN3 để mô phỏng đáp ứng phi tuyến của cấu kiện.
Vào năm 2016, Nguyen-Trung và cộng sự [42] phân tích tĩnh tấm FGM đẳng hướng và tấm sandwich chịu tải trọng cơ theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bằng phần tử ES-MITC3 Năm 2017, trong luận văn thạc sĩ, Nguyễn Văn Hinh [46] đã xây dựng công thức phần tử ES-MITC3 cho tấm FGM chịu tải cơ và nhiệt, mở rộng phạm vi áp dụng của phần tử này cho cả hai môi trường nhiệt–cơ.
M ỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Qua tổng quan các nghiên cứu liên quan đến hướng giải quyết ứng xử tấm FGM bằng phương pháp PTHH, đề tài tập trung xây dựng và nghiên cứu hiệu quả của PTHH trơn trên miền phần tử CS cho phần tử tam giác 3 nút, sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+, được gọi là phần tử CS‑MITC3+ Phân tích tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao vẫn chưa được thực hiện đầy đủ, và đây chính là mục tiêu của đề tài.
N HIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Nhiệm vụ đề tài tập trung vào
(1) Xây dựng công thức PTHH trơn trên miền phần tử cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt
Trong khuôn khổ bài viết, chúng tôi so sánh và đánh giá độ chính xác của phần tử đề xuất với các phần tử cùng loại khi phân tích tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt Đề tài giới hạn phân tích tuyến tính của tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao nhằm làm rõ hiệu quả và độ tin cậy của phần tử đề xuất dưới các điều kiện tải khác nhau Kết quả cho thấy phần tử đề xuất có độ chính xác cao hơn hoặc tương đương so với các phần tử cùng loại, nhờ mô hình hóa theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao giúp cải thiện dự báo méo uốn và phân bố nội lực trong tấm FGM.
P HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài, phương pháp nghiên cứu kết hợp giữa lý thuyết và lập trình được triển khai và các kết quả thu được sau khi so sánh, đánh giá một cách có hệ thống.
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM PHÂN LỚP CHỨC
T ẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGM)
Trong luận văn này, tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGM) được cấu tạo từ hai loại vật liệu là kim loại và gốm Đặc tính vật liệu của tấm FGM thay đổi liên tục theo chiều dày, từ mặt dưới có kim loại ở nền tấm đến mặt trên có gốm ở đỉnh tấm Sự biến đổi liên tục này được thể hiện rõ như trong Hình 2.1 và giúp tối ưu các đặc tính cơ–nhiệt cho các ứng dụng chịu tải phức tạp.
Hình 2.1: Tấm vật liệu FGM (Functionally Graded Materials)
Sự biến đổi liên tục của đặc trưng vật liệu theo chiều dày tấm được thể hiện qua hàm P(z), đại diện cho sự phân bố các thuộc tính qua độ dày của tấm Hàm P(z) cho biết cách các đặc tính như cơ học, nhiệt và điện trở thay đổi theo vị trí z từ bề mặt vào lõi và tuân theo quy luật hàm mũ Theo tham khảo [32], mô hình hàm mũ này cho phép mô phỏng chính xác sự biến thiên của đặc tính vật liệu theo chiều dày, từ đó nâng cao độ tin cậy của dự đoán hành vi của cấu kiện trong các điều kiện làm việc khác nhau.
Trong đó, P c , P m lần lƣợt đại diện cho đặc trƣng vật liệu của gốm và kim loại; và giả sử hàm phân phối vật liệu 1
Trong công thức (2.2), z theo chiều dày tấm biến đổi từ -h/2 đến h/2, với h là chiều dày tấm; n ≥ 0 là số mũ phân bố vật liệu Đồ thị thể hiện sự biến thiên của V_c theo chiều dày tấm khi thay đổi các giá trị của số mũ phân bố n, và các đường cong này được thể hiện trong Hình 2.2.
Hình 2.2: Đồ thị thể hiện hàm phân phối V c theo chiều dày tấm z/h [46]
Giả sử mặt trên và mặt dưới của tấm chịu nhiệt có nhiệt độ không đổi, nhiệt độ T(z) chỉ thay đổi theo chiều dày của tấm Do đó, T(z) thỏa mãn phương trình dẫn nhiệt ở trạng thái ổn định một chiều, d/dz [ k(z) dT/dz ] = 0 (k(z) là hệ số dẫn nhiệt có thể phụ thuộc vào z) [32] Khi k là hằng số, nghiệm của T(z) là một đường thẳng: T(z) = T(0) + (T(L) − T(0)) z / L, với T(0) và T(L) là nhiệt độ ở hai mặt và L là chiều dày tấm Những kết quả này cho biết cách phân phối nhiệt trong tấm ở trạng thái cân bằng và cung cấp nền tảng cho phân tích trao đổi nhiệt trong thiết kế tấm chịu nhiệt.
Trong mô hình này, nhiệt độ tại z = -h/2 bằng T_m và tại z = h/2 bằng T_c, lần lượt là nhiệt độ mặt dưới và mặt trên của tấm Hệ số dẫn nhiệt k(z) có qui luật biến đổi theo chiều dày và được cho bởi công thức (2.1).
Lời giải (2.3) cho bởi [32] ở dạng đa thức nhƣ sau
Ở phần này, hai hệ số dẫn nhiệt k_m và k_c lần lượt đại diện cho kim loại và gốm Đồ thị thể hiện sự thay đổi nhiệt độ theo chiều dày của tấm ứng với các giá trị khác nhau của hệ số phân phối n, được minh họa trong Hình 2.3.
Hình 2.3: Đồ thị thể hiện hàm phân phối nhiệt độ dọc theo chiều dày tấm
L Ý THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM FGM
Hình 2.4 mô tả hình dáng biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của tấm ở trạng thái chưa biến dạng, đồng thời cho thấy sự biến dạng được tính toán theo ba khung lý thuyết: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT), tham khảo [47].
Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được Reddy [47] xây dựng dựa trên hàm xấp xỉ đa thức bậc 3 nhƣ sau
Trong mô hình này, u, v, w là các chuyển vị theo phương x, y, z; u0, v0, w0 là các chuyển vị tại mặt trung bình của tấm; θx, θy là các góc xoay quanh trục y và trục x với chiều dương quy ước như Hình 2.5; ξx, ξy, ζx, ζy là các hàm số được xác định dựa trên điều kiện không có biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tại mặt trên và mặt dưới của tấm.
Hình 2.5: Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay x , y trong tấm với chiều dương qui ước
Tại mặt trên và mặt dưới của tấm, ta có điều kiện
Thế trường chuyển vị cho bởi (2.5) vào (2.7), điều kiện (2.6) được viết lại
Tương tự, lấy (2.10) trừ (2.11), suy ra y 0 (2.14)
Và thế (2.14) vào (2.10), ta đƣợc
Thay các hàm x , x , y , y vừa tìm đƣợc ở (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) vào (2.5), xấp xỉ chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 đƣợc viết lại
Để xấp xỉ chuyển vị bằng xấp xỉ PTHH dạng C0, ta lần lượt thay thế các đại lượng ∂w0/∂x và ∂w0/∂y bằng hai hàm số độc lập βx và βy [48] Nhờ sự thay thế này, hàm xấp xỉ chuyển vị theo lý thuyết biến dạng dạng cắt bậc 3 của Reddy sẽ có dạng phù hợp với xấp xỉ này.
Trường chuyển vị (2.17) chứa bảy hàm số độc lập cần xác định: u0, v0, w0, θx, θy, βx và βy Các hàm này chỉ phụ thuộc vào hai biến tọa độ x và y, không phụ thuộc vào độ sâu z Cụ thể, u0 và v0 là các thành phần chuyển vị màng; w0 là độ võng của màng; θx và θy lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x; βx và βy là các hàm vênh (warping) của mặt phẳng.
Từ trường chuyển vị (2.17), các biến dạng được xác định như sau:
+ Biến dạng trong mặt phẳng
+ Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng (biến dạng trƣợt) xz 2 s s yz u z w x v z w y z
+ Biến dạng trong điều kiện nhiệt độ
1 ( ) 1 0 th x th th y z th xy
Trong mô hình, ΔT(z) đại diện cho chênh lệch nhiệt độ từ bề mặt đến điểm tính toán z, dùng để xác định mức độ truyền nhiệt và gradient nhiệt tại vị trí đó α_z là hệ số dãn nở nhiệt tại vị trí z, được xác định theo qui luật phân phối hàm mũ và được cho bởi công thức (2.1).
+ Ứng suất trong mặt phẳng
+ Ứng suất cắt ngoài mặt phẳng
+ Ứng suất do nhiệt độ th th th T th x y xy th σ Eε (2.28)
Với E(z) là mô đun đàn hồi và (z) là hệ số Poisson thay đổi theo qui luật hàm phân phối (2.1)
Các thành phần nội lực trong tấm đƣợc xác định bằng cách lấy tích phân các ứng suất theo chiều dày tấm nhƣ sau:
Thế các quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho bởi (2.26) và (2.27) được đưa vào các phương trình nội lực trên và thực hiện tích phân theo chiều dày tấm, ta có các biểu thức nội lực ở mức mặt phẳng từ đó xác lập mối liên hệ giữa trạng thái ứng suất tại các lớp và đáp ứng biến dạng của tấm ở mặt phẳng Nhờ tích phân theo chiều dày, các đại lượng như lực khối N và mômen uốn M được xác định một cách hiệu quả từ các thành phần ứng suất, giúp giản lược bài toán và duy trì liên hệ chặt chẽ với trường ứng suất và biến dạng xuyên suốt chiều dày Kết quả thu được tạo nền cho mô hình tấm ở cấp độ mặt phẳng và cho phép phân tích cấu trúc dựa trên các đại lượng đặc trưng N, M.
, , , , , 1, , , , , d h ij ij ij ij ij ij h
Công thức (2.36) và (2.37) đƣợc viết lại ở dạng ma trận nhƣ sau
CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN
CS-MITC3+ CHO TẤM FGM THEO HSDT
C ÔNG THỨC PTHH TAM GIÁC MITC3+ CHO TẤM FGM
Để rời rạc hóa tấm FGM, ta sử dụng các phần tử tam giác 3 nút nhằm mô phỏng hiệu quả trường chuyển vị Trường chuyển vị được xấp xỉ thông qua sự kết hợp của chuyển vị tại các nút phần tử và tại nút nổi với tọa độ đặt ở trọng tâm của phần tử, như được mô tả trong [20].
Trong đó, u_{0i}, v_{0i}, w_{0i}, θ_{xi}, θ_{yi}, β_{xi}, β_{yi} là các bậc tự do tại nút i Chú ý, tại nút 4 (nút nổi) không có giá trị độ võng, tức là w_{04} = 0 N_i là các hàm dạng liên tục được định nghĩa trong hệ tọa độ tự nhiên ξ, η, với các điều kiện biên phù hợp để mô tả phân bố các bậc tự do trên phần tử.
Thế xấp xỉ PTHH (3.1) được áp dụng cho các biến dạng trong mặt phẳng (2.19), (2.20), (2.21) và cho các biến dạng ngoài mặt phẳng (2.23), (2.24), từ đó phát sinh quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị tại nút phần tử Khi biến dạng được mô tả bằng các tham số xấp xỉ tương ứng, mối quan hệ này cho phép xác định chuyển vị của các nút thông qua hệ phương trình liên kết, làm nền tảng cho phân tích độ cứng và giải bài toán động-học của phần tử.
Trong đó, d i = [u 0i v 0i w 0i xi yi xi yi ] T , i = 1,2,3,4 và w 04 = 0, là chuyển vị nút phần tử và
Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng s ở (3.4) tính trực tiếp từ xấp xỉ (3.1) sẽ không tiến đến 0
Biến dạng cắt không thể biểu diễn chính xác ứng xử cắt khi chiều dày tấm còn mỏng Ngược lại, khi tấm càng mỏng thì xấp xỉ biến dạng cắt càng lớn và vượt xa biến dạng uốn, khiến lời giải chuyển vị bằng PTHH bị lệch so với thực tế Hiện tượng này, khi tấm càng mỏng biến dạng và năng lượng cắt tăng lên do sử dụng hàm xấp xỉ chuyển vị bậc thấp, được gọi là hiện tượng khóa cắt.
Trong luận văn này, để khắc phục hiện tượng khóa cắt của phần tử tam giác 3 nút có một nút nổi, phương pháp MITC3+ được áp dụng Theo MITC3+, biến dạng cắt ngoài mặt phẳng được xấp xỉ thông qua giá trị biến dạng tính từ xấp xỉ chuyển vị (3.1) tại các điểm buộc, từ đó giảm đáng kể hiện tượng khóa cắt và cải thiện độ chính xác của phân tích cấu trúc Phương pháp này tăng khả năng hội tụ và ổn định của mô hình tam giác ba nút trong các bài toán đàn hồi, đặc biệt khi đối mặt với các trường biến dạng phức tạp.
Trong đó, ˆ , ˆ là biến dạng cắt ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự nhiên và
là các biến dạng cắt ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự nhiên tính tại các điểm buộc A, B, C, D, E, F có vị trí và tọa độ nhƣ Hình 3.1 và Bảng 3.1
Thông qua quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị được tính tại các điểm buộc vào (3.11) và quá trình chuyển đổi biến dạng từ hệ tọa độ tự nhiên (ξ, η, ζ) sang hệ tọa độ (x, y, z), ta có thể rút ra quan hệ giữa biến dạng cắt ngoài mặt phẳng và tọa độ nút phần tử.
Hình 3.1: Vị trí các điểm buộc của phần tử MITC3+ [20]
Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d = 1/10000 [20] Điểm buộc
Dạng yếu của điều kiện cân bằng trên mặt trung bình tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng phân bố p và nhiệt độ đƣợc viết [49]
Và là diện tích mặt trung bình của tấm
Thế các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị vào phương trình dạng yếu (3.13), ta được phương trình cân bằng rời rạc
Trong đó, K là ma trận độ cứng kết cấu đƣợc lắp ghép từ các ma trận độ cứng phần tử d T d e e
Với e là diện tích phần tử và T 1 T 2 T ; ˆ 0 T ˆ 1 T
F là véc-tơ lực do tải trọng của kết cấu đƣợc lắp ghép từ véc-tơ tải trọng của phần tử
19 d là véc-tơ nút của toàn bộ kết cấu Nếu nút i là đỉnh tam giác của phần tử thì d i = [u 0i v 0i w 0i
xi yi xi yi ] T và nếu nút i là nút nổi ở trọng tâm tam giác phần tử thì d i = [u 0i v 0i 0 xi yi xi
C ÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3+ CHO TẤM FGM
Trong phần này, biến dạng trên mặt phẳng của phần tử MITC3+ được làm trơn trên miền Ωc Miền Ωc là tập hợp các miền con Δ1, Δ2, Δ3 của phần tử, được tạo ra bằng cách nối các nút đỉnh với nút nổi của phần tử như minh họa ở Hình 3.2.
Theo phương pháp PTHH trơn trên miền phần tử (CS), các trường biến dạng được làm trơn nhƣ sau [22]
Trong đó, A c là diện tích của miền làm trơn c
Hình 3.2 trình bày miền làm trơn, gồm các miền con Δ1, Δ2 và Δ3 của phần tử tam giác Các miền này được tạo ra bằng cách nối hai nút đỉnh với nút nổi tại trọng tâm của phần tử tam giác.
Thế các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cho bởi (3.3) vào biến dạng trơn (3.20), ta đƣợc
Theo định lý Green, ta có
Miền trơn trên phần tử
Nút nối tại trọng tâm
Γ_c là biên của miền làm trơn Ω_c; n_x và n_y là các hình chiếu theo phương x và y của véc-tơ pháp tuyến n tại biên Γ_c Áp dụng công thức (3.22) cho các công thức (3.6), (3.7) và (3.8), ta thu được các quan hệ giữa các đại lượng trên biên và trong miền, cho phép xác định các thành phần của véc-tơ pháp tuyến khi được chiếu lên hai trục, từ đó làm rõ cấu trúc và tính chất của biên Γ_c trong bài toán.
Các tích phân trong (3.23), (3.24) và (3.25) đƣợc xác định chính xác bằng cách dùng tích phân Gauss 2 điểm
Thế (3.23), (3.24) và (3.25) vào (3.21), quan hệ giữa biến dạng trơn và chuyển vị nút phần tử đƣợc viết lại
Do đó, dạng yếu của phương trình cân bằng (3.13) được viết dưới dạng biến dạng trơn như sau
Hoặc phương trình cân bằng rời rạc PTHH có dạng
Trong đó, K là ma trận độ cứng kết cấu xác định từ ma trận độ cứng phần tử đƣợc làm trơn
Trong đó, B i SC , B m i SC , T B b i SC , 1 T B b i SC , 2 T T (3.30)
Ma trận độ cứng của phần tử được cho bởi công thức (3.29), liên quan tới các bậc tự do của nút đỉnh và nút nổi của phần tử, trong đó độ võng tại nút nổi (nút w04) được giả định bằng 0 Để thuận tiện cho việc lắp ghép ma trận độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng của kết cấu, các chuyển vị của nút nổi được tính toán và diễn giải theo các chuyển vị của nút đỉnh bằng phương pháp nén tĩnh, nhằm tối ưu hóa quá trình ghép phần tử và bảo đảm tính nhất quán của mô hình kết cấu.
Và thế vào (*), ta có
Trong bài toán phần tử tam giác, k11e đại diện cho các phần tử của ma trận cứng liên quan đến bậc tự do tại nút đỉnh tam giác của phần tử de, với de = [d1; d2; d3]^T và mỗi d_i = [u0i v0i w0i θ_xi θ_yi β_xi β_yi]^T, i = 1,2,3; k22e là các phần tử liên quan đến các bậc tự do của nút nổi d4 = [u04 v04 θ_x4 θ_y4 β_x4 β_y4]^T sau khi đã loại bỏ các hàng và cột ứng với các bậc tự do.
22 w 04; k 12 e k 21 e T là các thành phần độ cứng liên quan tương tác giữa bậc tự do nút ở đỉnh và nút nổi
Ma trận độ cứng k_e của phần tử CS-MITC3+ được xác định bằng công thức (3.34) Nó có kích thước 21×21 và chỉ liên quan đến các bậc tự do tại nút đỉnh tam giác của phần tử.
T ẤM VUÔNG A L /Z R O2-1 CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU
Xét tấm vuông Al/ZrO2-1 có cạnh dài L, dày h, chịu tải trọng phân bố đều p, với bốn biên tựa đơn hoặc ngàm Khảo sát ứng xử của tấm với các giá trị chỉ số phân bố vật liệu n là 0, 0,5, 1 và 2 nhằm phân tích ảnh hưởng của n đến độ võng và phân bố ứng suất Bài viết so sánh các trạng thái biên và mức phân bố vật liệu để rút ra các nhận xét thiết kế cho tấm composite Al/ZrO2-1 ở các mức n đã nêu, từ đó cung cấp cơ sở chọn cấu hình và tham số vật liệu cho ứng dụng thực tế.
Trong bài toán này, tấm được phân rã bằng 2×N×N phần tử tam giác CS-MITC3+, với N là số phần tử trên mỗi cạnh của tấm Khi tỉ số L/h bằng 5, kết quả độ võng của tấm không phải là một số nguyên.
100 /12(1 ) c c m w w E h pL tại tâm tấm ứng với N = 8, 12, 16 và 20 đƣợc cho trong bảng Bảng 4.2 và Hình 4.1 ứng với các chỉ số phân bố vật liệu n khác nhau
Bảng 4.2: Độ võng không thứ nguyên w c 100w E h c m 3 /12(1 2 )pL 4 tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h = 5 Điều kiện biên Phương pháp Chỉ số phân bố vật liệu n
(a) Biên tựa đơn (b) Biên ngàm
Hình 4.1: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h = 5 với các cách chia lưới và n khác nhau
Qua Bảng 4.2, ta thấy độ võng tại tâm tấm của bài toán tấm vuông FGM Al/ZrO2-1 chịu tải trọng phân bố đều với L/h = 5 đối với phần tử CS-MITC3+ cho kết quả gần tham chiếu từ các phần tử hoặc phương pháp khác, nhưng vẫn chưa sánh bằng phần tử ES-MITC3 Hình 4.1 cho thấy độ võng tại tâm tấm biến động đáng kể khi chỉ số phân bố vật liệu n thay đổi Để đánh giá khả năng khắc phục hiện tượng khóa cắt của phần tử CS-MITC3+, bài toán được giải với chiều dày tấm giảm dần theo các giá trị L/h = 5, 100, 500 và 1000 Kết quả thu được trình bày ở Bảng 4.3 và Hình 4.2 trên hệ lưới 2×N×N = 2×16×16.
Bảng 4.3: Độ võng không thứ nguyên w c 100w E h c m 3 /12(1 2 )pL 4 tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h =5, 100, 500 và 1000 Điều kiện biên L / h Chỉ số phân bố vật liệu n
(a) Biên tựa đơn (b) Biên ngàm
Hình 4.2: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h = 5, 100, 500 và 1000 ứng với các cách chia lưới và n khác nhau
Qua Bảng 4.3 và Hình 4.2, kết quả về độ võng tương đối tại tâm tấm cho thấy không có sự thay đổi đột biến và giảm dần khi chiều dày tấm mỏng dần Điều này cho thấy phần tử CS-MITC3+ đã khắc phục hiện tượng khóa cắt, cải thiện độ chính xác mô phỏng độ võng của tấm mỏng trong các điều kiện tải.
T ẤM VUÔNG A L /A L 2O3 CHỊU TẢI TRỌNG HÌNH SIN
Trong ví dụ này, ta xét tấm vuông bằng vật liệu FGM loại Al/Al2O3 với luật phân bố vật liệu n = 1, 2, 4, 8 Tấm có kích thước cạnh L và bề dày h, với tỉ lệ L/h = 10 Tấm được tựa đơn trên 4 cạnh và chịu tải trọng hình sin dạng p sin(πx/L) sin(πy/L) với p = 1 tác dụng ở mặt trên của tấm như Hình 4.3.
Hình 4.3 mô tả tấm vuông Al/Al2O3 tựa đơn, 4 cạnh tựa và chịu tải trọng hình sin: p sin(πx/L) sin(πy/L) Để so sánh kết quả thu được từ phần tử CS-MITC3+ với các kết quả nghiên cứu khác, các giá trị độ võng và ứng suất không thứ nguyên được sử dụng làm chuẩn tham chiếu trong phân tích.
2 2 2 c m c x x xy xy xz xz w E h w pL h L L h h L z z z z z z pL pL pL
Bảng 4.4: Độ võng tại tâm tấm và ứng suất không thứ nguyên của tấm Al/Al 2 O 3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin khi L/h = 10
Chỉ số phân bố vật liệu Phương pháp Độ võng và ứng suất trong tấm w x 3
Bảng 4.5: Sự phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày tấm
Al/Al2O3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin khi khi L/h = 10
Các thành phần ứng suất trong tấm
Trong Hình 4.4, sự so sánh phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày của tấm Al/Al2O3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin được trình bày, với các tham số L/h = 10 và n = 2 do phần tử CS- thực hiện Kết quả cho thấy sự biến thiên của các thành phần ứng suất không thứ nguyên xuyên qua chiều dày tấm và ảnh hưởng của lớp phủ Al2O3 lên phân bố nội lực trong cấu kiện.
Với lưới 2×N×N và N=24, ta thu được kết quả về độ võng tại tâm tấm và các thành phần ứng suất không thứ nguyên trong Bảng 4.4 Bảng 4.5 và Hình 4.4 trình bày phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên σ_x, τ_xy và τ_xz cho hai loại phần tử CS-MITC3+ và ES-MITC3 [46].
Trong ví dụ này, kết quả thu được từ phần tử CS-MITC3+ cho thấy sự tiệm cận với các phần tử khác, xác nhận tính nhất quán trong mô hình phân tích Biểu đồ ứng suất cho thấy sự phân bố đồng nhất của ứng suất xuyên suốt chiều dày tấm, cho thấy không có hiện tượng tập trung ứng suất Đây là một lợi thế nổi bật của tấm FGM so với vật liệu composite truyền thống, nhờ tính biến thiên chất liệu theo chiều dày giúp tối ưu hóa phân bổ tải và nâng cao hiệu suất chịu tải.
T ẤM XIÊN A L /Z R O2-1 LIÊN KẾT GỐI TỰA ĐƠN CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU
Hình 4.5: Tấm xiên Al/ZrO 2 -1 tựa đơn 4 cạnh và chịu tải trọng phân bố đều
Xét tấm xiên hình bình hành Al/ZrO2-1 có cạnh a = b = L, liên kết gối tựa đơn ở cả bốn cạnh và chịu tải trọng phân bố đều p = 1 Tấm có hai cạnh song song với trục x, hai cạnh còn lại tạo với trục y một góc xiên α như Hình 4.5 Chiều dày của tấm là h, với tỉ lệ L/h = 10.
Trong bảng 4.6, độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm xiên hình bình hành làm bằng vật liệu Al/ZrO2-1 được phân tích khi tấm được tựa đơn trên 4 cạnh và chịu tải trọng phân bố đều, với tỉ lệ L/h = 10; phương pháp được sử dụng là Góc xiên α để xác định giá trị độ võng, giúp đánh giá ảnh hưởng của hình dạng tấm và góc xiên đến độ võng chuẩn hóa.
Hình 4.6: Độ võng không thứ nguyên của tấm xiên Al/ZrO 2 -1 tựa đơn 4 cạnh và chịu tải trọng phân bố đều ứng với các góc xiên và hệ số n khác nhau
Sử dụng lưới tam giác 3 nút 21212 phần tử, kết quả về độ võng không thứ nguyên
100 /12(1 ) c c m w w E h pL tại tấm ứng với góc xiên = 15 o , 30 o , 45 o , 60 o , 75 o và hệ số n = 0,5, 1, 2, 4, 10 đƣợc trình bày trong Bảng 4.6 và Hình 4.6 Hình 4.7 biểu diễn sự phân bố ứng suất pháp không thứ nguyên x z h pL x L 2, L 2, z theo chiều dày tấm cho bởi phần tử CS-MITC3+ và ES-MITC3 [46]
Hình 4.7: Sự phân bố ứng suất không thứ nguyên x z h pL x L 2, L 2, z theo chiều dày tấm xiên Al/ZrO2-1 với = 30 o , 45 o , 75 o và (a) n = 0,5 và (b) n = 2
Trong bài toán tấm xiên Al/ZrO2-1 liên kết gối tựa đơn chịu tải phân bố đều, kết quả từ phần tử CS-MITC3+ cho độ võng và ứng suất tuy không tốt bằng phần tử ES-MITC3 nhưng vẫn gần tiệm cận; đồng thời, khi góc xiên α của tấm tăng lên thì các thành phần độ võng và ứng suất trong tấm giảm đáng kể.
T ẤM VUÔNG A L /Z R O 2 -1 CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT
Xét tấm vuông làm bằng hợp kim Al/ZrO2 có cạnh L = 0,2 m và chiều dày h = 0,01 m Tấm được tựa đơn trên 4 cạnh và chịu tác động của tải trọng nhiệt, với nhiệt độ mặt dưới Tm = 20°C (nhiệt độ phòng) và nhiệt độ mặt trên Tc biến thiên từ 0°C đến 500°C Bài toán nhằm phân tích sự phân bố nhiệt và ảnh hưởng của chênh lệch nhiệt giữa hai mặt lên trạng thái ứng suất – biến dạng của tấm, đồng thời đánh giá vai trò của điều kiện biên tựa 4 cạnh đối với kết quả thiết kế và an toàn của cấu kiện.
Bảng 4.7: Độ võng tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh chịu tải nhiệt độ n Phương pháp Nhiệt độ T c
Hình 4.8: Độ võng tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh và chịu các tải trọng nhiệt độ thay đổi ứng với các hệ số n = 0, 0,5 và 2
Với lưới tam giác đều mỗi cạnh tấm được chia thành 12 phần tử, bài toán phân tích độ võng tại tâm tấm khi chịu tác động nhiệt ở mặt trên được thực hiện Kết quả cho thấy độ võng tại tâm tấm thay đổi theo nhiệt độ Tc ở mặt trên với các giá trị Tc = 0°, 100°, 200°, 300°, 400°, 500° Đáp ứng võng còn phụ thuộc vào các hệ số n, cho thấy sự ảnh hưởng của đặc tính vật liệu và điều kiện nhiệt lên hành vi uốn cong của tấm Phương pháp phân tích được sử dụng là mô hình phần tử hữu hạn, cho phép mô tả chi tiết sự phân bố võng tại tâm tấm và so sánh giữa các mức nhiệt và hệ số n để rút ra các xu hướng thiết kế phù hợp.
Trong Bảng 4.7 và Hình 4.8, các phần tử CS-MITC3+ và ES-MITC3 được trình bày và so sánh Kết quả tính toán cho thấy độ võng của tấm FGM chịu tải trọng nhiệt ở hai phần tử CS-MITC3+ và ES-MITC3 gần như tương đồng Ngoài ra, tấm FGM cho thấy khả năng kháng nhiệt tốt, với độ võng tăng lên theo một cách đều đặn khi nhiệt độ mặt trên của tấm tăng dần.
T ẤM VUÔNG A L /Z R O 2 -1 CHỊU TẢI TRỌNG CƠ NHIỆT
Xét tấm vuông làm từ vật liệu FGM Al/ZrO2-1 có cạnh L = 0,2 m và chiều dày h = 0,01 m Tấm được tựa đơn với 4 cạnh Nhiệt độ mặt dưới của tấm Tm = 20 °C (nhiệt độ phòng) và nhiệt độ mặt trên Tc = 300 °C Tấm còn chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q.
Với lưới 2×12×12 phần tử, kết quả về độ võng không thứ nguyên w_c/h tại tâm tấm khi tấm chịu tải trọng cơ-nhiệt p thay đổi từ -14 đến 0 được trình bày trong Bảng 4.8 và Hình 4.9 So với kết quả từ phần tử ES-MITC3 [46], Bảng 4.8 và Hình 4.9 cho thấy phần tử CS‑MITC3+ cho kết quả tiệm cận khá gần với lời giải của ES‑MITC3 khi phân tích bài toán chịu tải trọng cơ-nhiệt Qua các kết quả phân tích chuyển vị của tấm FGM cho thấy mức độ khớp giữa các mô hình và ảnh hưởng của tải trọng cơ-nhiệt lên độ võng tại tâm tấm.
Trong các ứng dụng chịu tải trọng cơ và nhiệt, tấm FGM thể hiện sự kết hợp tối ưu giữa khả năng chịu lực của kim loại và khả năng chịu nhiệt của ceramic Nhờ sự biến thiên thành phần vật liệu theo gradient, tấm FGM đạt được độ bền cơ cao đồng thời giảm sự tập trung nhiệt, giúp chịu được tải nhiệt tốt và tối ưu hiệu suất cơ- nhiệt Vì vậy, tấm FGM là giải pháp hiệu quả cho các cấu kiện đòi hỏi vừa chịu lực cơ vừa chống nhiệt, phù hợp với các ngành công nghiệp như hàng không, ô tô và năng lượng.
Bảng 4.8: Độ võng tương đối w c /h tại tâm tấm vuông Al/ZrO 2 -1 tựa đơn 4 cạnh chịu tải nhiệt độ T m = 20 o C, T c = 300 o C và tải trọng cơ p thay đổi n Phương pháp
Hình 4.9 trình bày sự thay đổi của độ võng tương đối wc/h tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1, tấm tựa đơn trên bốn cạnh, dưới tác động của tải trọng nhiệt và tải trọng cơ p, khi n nhận các giá trị 0, 0,5 và 2 Đồ thị cho thấy wc/h phụ thuộc vào mức tải và tham số n, cho thấy sự thay đổi độ võng khi tăng nhiệt và lực tác động ở các mức n khác nhau Kết quả này cung cấp dữ liệu thiết yếu cho thiết kế tấm composite Al/ZrO2-1, đánh giá khả năng chịu uốn và ổn định của kết cấu dưới tải trọng nhiệt và cơ.
Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và kỹ thuật khử khóa cắt của phần tử MITC3+, cùng với kỹ thuật làm trơn trên cạnh ES-FEM, luận văn đã xây dựng phần tử CS-MITC3+ dùng cho phân tích tĩnh tấm FGM Phần tử CS-MITC3+ kết hợp đặc trưng biến dạng của tấm FGM với khả năng khử khóa cắt, giúp tăng độ chính xác và ổn định của phân tích tĩnh Kỹ thuật ES-FEM được áp dụng để làm trơn biên cạnh, cải thiện chất lượng kết quả và giảm nhiễu khi mô phỏng các biến dạng của tấm Kết quả cho thấy CS-MITC3+ là công cụ tin cậy và hiệu quả cho phân tích tĩnh tấm FGM, mang lại hiệu suất tính toán và khả năng mô phỏng các đặc trưng hình học và vật liệu xuyên suốt.
Kết quả số cho thấy phần tử đề xuất có khả năng hội tụ tới lời giải chính xác khi số phần tử tăng dần, đồng thời cho thấy khả năng khử hiện tượng khóa cắt tốt Nhờ dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, phần tử CS-MITC3+ thể hiện sự liên tục của các thành phần ứng suất theo chiều dày tấm, phù hợp với thực tế khi ứng xử của tấm FGM Kết quả số cũng cho thấy phần tử đề xuất cho kết quả tương tự với các phương pháp tham khảo khi phân tích các bài toán tấm FGM chịu tải trọng cơ, tải trọng nhiệt hay tải trọng cơ nhiệt kết hợp.
Kết quả phân tích một số bài toán cơ nhiệt cho thấy vật liệu phân lớp chức năng (FGM) thể hiện hiệu quả vượt trội khi được sử dụng trong các kết cấu chịu nhiệt độ cao và tải trọng lớn Việc phân bổ thành phần vật liệu theo chiều dọc giúp tối ưu sự phân bố nhiệt, tăng cường khả năng chịu nhiệt và giảm thiểu khuyết tật do quá nhiệt, từ đó nâng cao tuổi thọ và độ an toàn của kết cấu Vì vậy FGMs được xem là giải pháp tiềm năng cho các ứng dụng công nghiệp yêu cầu hiệu suất nhiệt và cơ ở điều kiện khắc nghiệt.
Phần tử đề xuất CS-MITC3+ có tiềm năng phát triển để phân tích các bài toán động lực học của tấm phân lớp chức năng, và ngoài ra CS-MITC3+ có thể mở rộng cho các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hơn nhằm đánh giá độ chính xác và chi phí tính toán khi phân tích các bài toán tấm phân lớp chức năng khác nhau.