Giáo án Hình học lớp 11: Chương 3 bài 5 - Khoảng cách

Giáo án Hình học lớp 11: Chương 3 bài 5 - Khoảng cách biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoẳng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song;... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án.

Trang 1

KHO NG CÁCH Ả

(Ch ươ ng 3_Bài 5_HH11)_S ti t: 03; 2 LT, 1 BT) ố ế

I. M c tiêu c a bài (ch đ ) ụ ủ ủ ề

1. Ki n th c: ế ứ

Bi t đ ế ượ c kho ng cách t m t đi m đ n m t đ ả ừ ộ ể ế ộ ườ ng th ng trong không gian ẳ Bi t đ ế ượ c kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ

Bi t đ ế ượ c kho ng cách gi a hai đ ả ữ ườ ng.

Bi t đ ế ượ c kho ng cách gi a hai đ ẳ ữ ườ ng th ng và m t ph ng song song ẳ ặ ẳ

Bi t đ ế ượ c đ ườ ng vuông góc chung c a hai đ ủ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

Bi t đ ế ượ c kho ng cách gi a hai đ ả ữ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

N m và trình bày đ ắ ượ c các tính ch t v kho ng cách và bi t cách tính kho ng ấ ề ả ế ả cách trong các bài toán đ n gi n ơ ả

2. K năng: ỹ

Xác đ nh đ ị ượ c kho ng cách t m t đi m đ n m t đ ả ừ ộ ể ế ộ ườ ng th ng trong không ẳ gian.

Xác đ nh đ ị ượ c kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ

Xác đ nh đ ị ượ c kho ng cách gi a hai đ ả ữ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

Xác đ nh đ ị ượ c kho ng cách gi a hai đ ả ữ ườ ng th ng và m t ph ng song song ẳ ặ ẳ

Xác đ nh đ ị ượ c đ ườ ng vuông góc chung c a hai đ ủ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

V n d ng đ ậ ụ ượ c đ nh lý ba đ ị ườ ng vuông góc đ xác đ nh đ ể ị ườ ng vuông góc chung c a hai đ ủ ườ ng th ng chéo nhau, đ ng th i bi t cách xác đ nh kho ng cách gi a ẳ ồ ờ ế ị ả ữ hai đ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

N m đ ắ ượ c m i liên h gi a các lo i kho ng cách đ đ a các bài toán ố ệ ữ ạ ả ể ư

ph c t p này v các bài toán kho ng cách đ n gi n ứ ạ ề ả ơ ả

3. Thái đ : ộ

Tích c c ho t đ ng; ch đ ng phát hi n, chi m lĩnh tri th c m i. Có tinh th n ự ạ ộ ủ ộ ệ ế ứ ớ ầ

h p tác trong h c t p ợ ọ ậ

Liên h đ ệ ượ c v i nhi u v n đ trong th c t v i bài h c ớ ề ấ ề ự ế ớ ọ

Phát huy tính đ c l p, sáng t o trong h c t p ộ ậ ạ ọ ậ

4. Đ nh h ị ướ ng phát tri n năng l c: ể ự

Năng l c t o nhóm t h c và sáng t o đ gi i quy t v n đ : Cùng nhau trao đ i ự ạ ự ọ ạ ể ả ế ấ ề ổ

và đ a ra phán đoán trong quá trình tìm hi u các bài toán kho ng cách và các hi n ư ể ả ệ

t ượ ng bài toán trong th c t ự ế

Năng l c h p tác và giao ti p: T o k năng làm vi c nhóm và đánh giá l n nhau ự ợ ế ạ ỹ ệ ẫ Năng l c quan sát, phát hi n và gi i quy t v n đ : Cùng nhau k t h p, h p tác ự ệ ả ế ấ ề ế ợ ợ

đ phát hi n và gi i quy t nh ng v n đ , n i dung bào toán đ a ra ể ệ ả ế ữ ấ ề ộ ư

Năng l c tính toán: Xác đ nh và tính đ ự ị ượ c kho ng cách t m t đi m đ n m t ả ừ ộ ể ế ộ

đ ườ ng th ng và m t ph ng, xác đ nh đo n vuông góc chung và tính đ ẳ ặ ẳ ị ạ ượ c kho ng ả cách gi a hai đ ữ ườ ng th ng chéo nhau ẳ

Trang 2

Năng l c v n d ng ki n th c: Thông qua các bài toán v kho ng cách, t đó liên ự ậ ụ ế ứ ề ả ừ liên h và áp d ng đ ệ ụ ượ c ki n th c vào th c t trong cu c s ng … ế ứ ự ế ộ ố

II. Chu n b c a giáo viên và h c sinh ẩ ị ủ ọ

1. Giáo viên:

Các hình nh minh h a v ả ọ ề kho ng cách ả

B ng ph trình bày k t qu ho t đ ng nhóm, máy tính, máy chi u… ả ụ ế ả ạ ộ ế

Phi u h c t p ế ọ ậ

2. H c sinh: ọ

Nghiên c u tr ứ ướ ở c nhà bài h c “Kho ng cách“ ọ ả

Ôn t p ki n th c v đ ậ ế ứ ề ườ ng th ng vuông góc v i m t ph ng ẳ ớ ặ ẳ

Tìm ki m các thông tin và hình nh liên quan đ n ch đ ế ả ế ủ ề

III. Chu i các ho t đ ng h c ỗ ạ ộ ọ

1. GI I THI U (HO T Đ NG TI P C N BÀI H C) ( Ớ Ệ Ạ Ộ Ế Ậ Ọ 3’)

Các hình nh xét chi u cao c a kim t tháp hay kho ng cách t b n tàu ra đ o Phú Qu c.ả ề ủ ự ả ừ ế ả ố

T đó HS hình thành khái ni m kho ng cách gi a hai đ i từ ệ ả ữ ố ượng trong không gian

2. N I DUNG BÀI H C (HO T Đ NG HÌNH THÀNH KI N TH C) Ộ Ọ Ạ Ộ Ế Ứ

2.1. N i dung 1:ộ Kho ng cách t m t đi m đ n m t đả ừ ộ ể ế ộ ường th ng, m t m t ph ngẳ ộ ặ ẳ

2.1.1 Kho ng cách t m t đi m đ n m t đả ừ ộ ể ế ộ ường th ng. (12 phut)ẳ ́

a) Ho t đ ng 1: ạ ộ Ti p c n ế ậ ki n th c ế ứ

Th i gianờ Ho t đ ng c a giáo viên và h c sinhạ ộ ủ ọ N i dungộ

Trong hình v (bên dẽ ưới) hãy tìm đi m ể trên đường th ng ẳ d có kho ng cách đ n ả ế

O là nh nh t? ỏ ấ Vì sao?

I. Kho ng cách t m t đi m đ nả ừ ộ ể ế

m t độ ường th ng, m t m t ph ngẳ ộ ặ ẳ

1. Kho ng cách t m t đi m đ n m t ả ừ ộ ể ế ộ

đ ườ ng th ng ẳ

Trang 3

M5

M 4

H

M 3

M 2

O

M 1 1) Giao nhi m v :ệ ụ Chia l p thành 6 nhóm và yêu c u th cớ ầ ự

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – Xem hình v trên và d đoán đẽ ở ự ượ c

đo n ng n nh t t đi m ạ ắ ấ ừ ể O đ n đế ườ ng

th ng d.ẳ – N m đắ ược hình chi u vuông góc c aế ủ

m t đi m lên m t độ ể ộ ường th ng choẳ

trước

– Xác đ nh đị ược đo n ng n nh t t ạ ắ ấ ừ O

đ n đế ường th ng d. Gi i thích.ẳ ả 2) HS ho t đ ng nhóm th c hi n nhi mạ ộ ự ệ ệ

v đụ ược giao:

– Xem hình và d đoán đự ược đo n ng nạ ắ

nh t t O đ n d.ấ ừ ế – Tái hi n la ki n th c hình chi u vuôngệ ị ế ứ ế góc lên m t độ ường th ng.ẳ

– Gi i thích đả ược đo n ng n nh t làạ ắ ấ

OH.

3) HS báo cáo k t qu ho t đ ng và th oế ả ạ ộ ả

lu n:ậ – Ch n 1 nhóm báo cáo k t qu ho tọ ế ả ạ

đ ng.ộ – Các nhóm còn l i th o lu n, đánh giáạ ả ậ

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét và k t lu n v k/c t ậ ế ậ ề ừ

m t đi m b t k đ n m t độ ể ấ ỳ ế ộ ường th ng ẳ cho trước

b). Ho t đ ng 2: ạ ộ Hình thành ki n th c ế ứ

1. Kho ng cách t m t đi m đ n ả ừ ộ ể ế

m t đ ộ ườ ng th ng ẳ

Cho đi m O và đt a. Trong mp(O,a) g i ể ọ

H là hình chi u vuông góc c a O trên ế ủ

a. Khi đó kho ng cách OH đgl ả kho ng ả

cách t đi m O đ n đt a ừ ể ế Kí hi u ệ

Trang 4

( ; )

d O a OH

d O a OH OM M a

d(O,a).

a H

α

O

c). Ho t đ ng 3: ạ ộ C ng c ủ ố ki n th c ế ứ

VD1: Cho hình l p ph ng ậ ươ ABCD A B C D c nh ' ' ' ' ạ a. Tính kho ng cách t đi m ả ừ ể B đ n ế

đường chéo AC ?'

1) Giao nhi m v :ệ ụ Chia l p thành 6 nhóm và yêu c u th cớ ầ ự

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – V hìnhẽ

– Xác đ nh đ dài các đo n th ngị ộ ạ ẳ

; ' à '

AB BC v AC

– Xác đ nh đị ược đo n ng n nh t t ạ ắ ấ ừ B

đ n đế ường th ng ẳ AC ' 2) HS ho t đ ng nhóm th c hi n nhi mạ ộ ự ệ ệ

– V hình và tính đẽ ược đ dài các đo nộ ạ

th ng ẳ AB BC v AC ; ' à '

– Xác đ nh hình chi u vuông góc c aị ế ủ

đi m ể B lên AC’ là đi m ể H.

Tính được d B AC( ; ') =BH

3) HS báo cáo k t qu ho t đ ng vàế ả ạ ộ

th o lu n:ả ậ – Ch n 1 nhóm báo cáo k t qu ho tọ ế ả ạ

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét, ch nh s a và k t lu n ậ ỉ ử ế ậ hoàn ch nh bài làm trên b ng.ỉ ả

VD1: Gi iả

a

B A

C D

A'

C' D'

B' H

Ta có, AB⊥(BCC B' ') �AB⊥ AC'.

Do đó ∆ABC' vuông t i ạ B.

+ G i ọ H là hình chi u vuông góc c aế ủ

B lên c nh ạ AC’,suy ra:

d B AC =BH

+ Xét ∆ABC',có:

'

BH = AB + BC (*)

Mà 1 2 12 12

2 ' 2

AB a

BC a

�

=

V y, ậ ( ; ') 6.

3

a

d B AC =BH =

2.1.2 Kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng. (15 phut)ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ ́

Trong hình v (bên dẽ ưới) hãy tìm đi m ể trên mp(α) có kho ng cách đ n ả ế O là nhỏ

nh t? ấ Vì sao?

I. Kho ng cách t m t đi m đ nả ừ ộ ể ế

m t độ ường th ng, m t m t ph ngẳ ộ ặ ẳ

2. Kho ng cách t m t đi m đ n m t ả ừ ộ ể ế ộ

m t ph ng ặ ẳ

Trang 5

M 6 α

M5

M 4

H

M 3

M 2

M 1

O

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – Xem hình v trên và d đoán đẽ ở ự ượ c

đo n ng n nh t t đi m ạ ắ ấ ừ ể O đ n ế mp(α) – N m đắ ược hình chi u vuông góc c aế ủ

m t đi m lên m t ộ ể ộ mp(α) cho trước

– Xác đ nh đị ược đo n ng n nh t t ạ ắ ấ ừ O

đ n ế mp(α). Gi i thích.ả 2) HS ho t đ ng nhóm th c hi n nhi mạ ộ ự ệ ệ

– Xem hình và d đoán đự ược đo n ng nạ ắ

nh t t ấ ừ O mp(α)

– Tái hi n la ki n th c hình chi u vuôngệ ị ế ứ ế góc lên m t ộ mp(α)

– Gi i thích đả ược đo n ng n nh t làạ ắ ấ

OH.

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét và k t lu n v k/c t ậ ế ậ ề ừ

m t đi m b t k đ n m t ộ ể ấ ỳ ế ộ mp(α) cho

trước

d O α OH

2. Kho ng cách t m t đi m đ n ả ừ ộ ể ế

m t m t ph ng ộ ặ ẳ

Cho O và mp( ) . G i H là hình chi u ọ ế vuông góc c a O trên ( ủ ). Khi đó kho ng cách OH đgl ả kho ng cách t ả ừ

đi m O đ n mp( ể ế ). Kí hi u ệ d(O,( )).

Trang 6

( ; ) ,

d O α OH OM M α

α

O

VD2: Cho hình chóp t giác đ u ứ ề S.ABCD có c nh đáy b ng ạ ằ a và chi u cao b ng ề ằ a 2. Tính

kh ang cách t tâm ỏ ừ O c a đáy ủ ABCD đ n m t ph ng (ế ặ ẳ SCD)?

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – Quan sát hình v ẽ – Xác đ nh đ dài c nh ị ộ ạ SI, trong SCD∆ – Ch ng minh ứ OH ⊥(SCD)

Suy ra: d O SCD( ;( )) =OH 2) HS ho t đ ng nhóm th c hi n nhi mạ ộ ự ệ ệ

– Quan sát hình v và tính đẽ ược đ dàiộ

c nh ạ SI.

Ch ng minh đứ ược: OH ⊥(SCD)

T đó suy ra: ừ d O SCD( ;( )) =OH 3) HS báo cáo k t qu ho t đ ng vàế ả ạ ộ

th o lu n:ả ậ – Ch n 1 nhóm báo cáo k t qu ho tọ ế ả ạ

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét, ch nh s a và k t lu n ậ ỉ ử ế ậ hoàn ch nh bài làm trên b ng.ỉ ả

VD2: Gi iả

B

A

C

D

S

H

+ G i ọ I là là trung đi m c nh ể ạ CD, kẻ

OH⊥SI (1).

SI CD

CD SIO

OI CD

OH SIO

⊥ �� ⊥

�OH ⊥CD (2)

T (1) và (2) ừ �OH ⊥(SCD)

Nên d O SCD( ;( )) =OH.

+ Xét SIO∆ vuông t i O,ạ

ta có: 1 2 12 12

OH =OI +OS (*)

1 1 1 2

2 2

4

a OI

OS a

=

�

=

V y, ậ ( ;( )) 2

3

a

d O SCD =OH =

2.2. N i dung 2:ộ Kho ng cách gi a đả ữ ường th ng và m t ph ng song song, gi a hai m tẳ ặ ẳ ữ ặ

ph ng song song.ẳ

2.2.1 Kho ng cách gi a đả ữ ường th ng và m t ph ng song song. (15 phut)ẳ ặ ẳ ́

Trang 7

Quan sát hình v (bên dẽ ưới). Cho đường

th ng a song song v i mp(ẳ ớ α). Hãy so

sánh đ dài c a các đo n th ng ộ ủ ạ ẳ AA’, BB’, CC’, DD’ ? Nh n xétậ ?

a

α

A

A'

B

B'

C

C'

D

D'

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – Quan sát hình v trên và d đoánẽ ở ự

đượ đ dài c a các đo n th ng c ộ ủ ạ ẳ AA’, BB’, CC’, DD’

– N m đắ ược hình chi u vuông góc c aế ủ

m t đi m lên m t m t ph ng cho trộ ể ộ ặ ẳ ước

– Xác đ nh đị ược đô dài các đo n th ngạ ẳ trên b ng nhau. Gi i thích.ằ ả

2) HS ho t đ ng nhóm th c hi n nhi mạ ộ ự ệ ệ

– Xem hình và d đoán đự ược đ dài cácộ

đo n th ng trên b ng nhau.ạ ẳ ằ – Nh c l i ki n th c hình chi u vuôngắ ạ ế ứ ế góc c a đi m, đủ ể ường th ng lên m t m tẳ ộ ặ

ph ng.ẳ – Gi i thích đả ược vì sao các đo n th ngạ ẳ

đó b ng nhau.ằ 3) HS báo cáo k t qu ho t đ ng và th oế ả ạ ộ ả

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét và k t lu n v k/c ậ ế ậ ề

đường th ng và m t ph ng song song.ẳ ặ ẳ

II Kho ng cách gi a đả ữ ường

th ng và m t ph ng song song,ẳ ặ ẳ

gi a hai m t ph ng song song.ữ ặ ẳ

1. Kho ng cách gi a đ ả ữ ườ ng th ng ẳ

và m t ph ng song song ặ ẳ

1. Kho ng cách gi a đ ả ữ ườ ng th ng ẳ

và m t ph ng song song ặ ẳ

Trang 8

( ;( )) ' '.

d a α AA BB

( V i ớ A B a , ', ', A B l n l t là hình ầ ượ

chi u vuông góc c a A, B trên m t ế ủ ặ

ph ng ẳ mp( )α )

Cho a // ( ). Kho ng cách gi a a và ả ữ ( ) là kho ng cách t m t đi m b t kí ả ừ ộ ể ấ

c a a đ n ( ủ ế ). Kí hi u ệ d A( ,( )α ) .

a

B'

VD3: Cho hình h p ch nh t ộ ữ ậ ABCD A B C D có các c nh ' ' ' ' ạ AB a AD= , =2 ,a AA' 3 = a Tính

kho ng cách gi a đả ữ ường th ng ẳ BB’và m t ph ng (AA’C’C) ặ ẳ theo a.

Th iờ

gian Ho t đ ng c a giáo viên và h c sinh

1) Giao nhi m v :ệ ụ

Chia l p thành 6 nhóm và yêu c u th cớ ầ ự

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ

– V hìnhẽ

– Ch ng minh đứ ường th ng ẳ BB’ song song

v i mp(ớ AA’C’C).

– Kh ng đ nhẳ ị

( ', ' ' )) ( , )

d BB AA C C =d B AC

– V hình và cm đẽ ược BB'/ /(AA C C và ' ' )

lý lu nậ đượ c

( ', ' ' )) ( , )

d BB AA C C =d B AC

đi m ể B lên AC là đi m ể H.

Tính được d B AC( ; ) =BH

lu n:ậ

– Ch n 1 nhóm báo cáo k t qu ho tọ ế ả ạ

đ ng.ộ

– Các nhóm còn l i th o lu n, đánh giá vạ ả ậ ề

k t qu v a báo cáo.ế ả ừ

4) GV nh n xét, ch nh s a và k t lu n ậ ỉ ử ế ậ

hoàn ch nh bài làm trên b ng.ỉ ả

VD3: Gi iả

2a 3a

a H

B'

D'

C' A'

D

C A

B

Ta có,

'/ / '

'/ / ' ' '/ / '

BB AA

BB AA C C

BB CC

+ Qua B k đẻ ường th ng vuông góc ẳ

v i ớ (AA’C’C) t i ạ H, ( H AC ).

+ d BB AA C C( ';( ' ' )) =d B AC( ; )

BH=

+ Xét ABC∆ vuông t i B, ạ

ta có: 1 2 12 12

BH = BA + BC

Mà 1 2 12 12

AB a

=

V y,ậ

Trang 9

( ';( ' ' )) 20.

5

a

d BB AA C C =BH =

Tiêt 2́

2.2.2 Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song. (10 phut)ả ữ ặ ẳ ́

Quan sát hình v (bên dẽ ưới). Cho hai m tặ

ph ng song song (ẳ α) và (β ). G i ọ A, B,

C, D, E, F thu c (ộ α) và A’, B’, C’, D’, E’,

F’ là hình chi u vuông góc tế ương ng ứ

c a chúng xu ng (ủ ố β ). Hãy so sánh đ ộ dài c a các đo n th ng ủ ạ ẳ AA’, BB’, CC’, DD’… ? Nh n xét và nêu cách xác đ nh ậ ị k/c gi a hai m t ph ng song song trong ữ ặ ẳ không gian?

F' E'

D' C' B'

F E

D C B

A'

A

α

β 1) Giao nhi m v :ệ ụ Chia l p thành 6 nhóm và yêu c u th cớ ầ ự

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – Quan sát hình v trên và d đoánẽ ở ự

đượ đ dài c a các đo n th ng c ộ ủ ạ ẳ AA’, BB’, CC’, DD’…

– N m đắ ược hình chi u vuông góc c aế ủ

m t đi m lên m t m t ph ng cho trộ ể ộ ặ ẳ ước

– Xác đ nh đị ược đô dài các đo n th ngạ ẳ trên b ng nhau. Gi i thích.ằ ả

– Xem hình và d đoán đự ược đ dài cácộ

đo n th ng trên b ng nhau.ạ ẳ ằ – Năm được ki n th c hình chi u vuôngế ứ ế góc c a đi m lên m t m t ph ng.ủ ể ộ ặ ẳ

– Gi i thích đả ược vì sao các đo n th ngạ ẳ

đó b ng nhau.ằ – Suy ra: d(α β; ) =d A( ;β),∀A α 3) HS báo cáo k t qu ho t đ ng và th oế ả ạ ộ ả

II Kho ng cách gi a đả ữ ường

th ng và m t ph ng song song,ẳ ặ ẳ

gi a hai m t ph ng song song.ữ ặ ẳ

2. Kho ng cách gi a hai m t ả ữ ặ

ph ng song song ẳ

Trang 10

v k t qu v a báo cáo.ề ế ả ừ 4) GV nh n xét và k t lu n v k/c ậ ế ậ ề

đường th ng và m t ph ng song song.ẳ ặ ẳ b). Ho t đ ng 2: ạ ộ Hình thành ki n th c ế ứ

d α β d M β M α

d α β d M α M β

2. Kho ng cách gi a hai m t ả ữ ặ

ph ng song song ẳ

Kho ng cách gi a hai mp ( ả ữ ), ( ) song song là kho ng cách t m t đi m b t ả ừ ộ ể ấ

kì c a mp này đ n mp kia. Kí hi u ủ ế ệ

( ; )

d α β

M'

M

α

β

VD4: Cho hình l p ph ngậ ươ ABCD A B C D c nh ' ' ' ' ạ a. G i ọ M là trung đi m c nh ể ạ AB, m t ặ

ph ng ẳ ( )α đi qua M và song song v i ớ ( AA C C Tính kho ng cách gi a hai m t ph ng' ' ) ả ữ ặ ẳ

(AA’C’C) và ( )α theo a.

hi n các nhi m v sau:ệ ệ ụ – V hìnhẽ

– Xác đ nh đị ược thi t di n m t ph ngế ệ ặ ẳ

( )α c t hình l p phắ ậ ương khi đi qua M

song song v i (ớ AA’C’C).

– V hình , cm và l p lu n đẽ ậ ậ ược

'/ / ' ' ;( ' ')

1

2

BB AA CC d M AA CC

d B AA CC

=

�

=

đi m ể B lên AC là đi m ể H.

Tính đượ c

VD4: Gi iả

α

H

M B A

C D

A'

C' D'

B'

Ta có BB’song song v i hai m t ớ ặ

ph ng ẳ ( )α và (AA’C’C).

+ Vì M là trung đi m c a ể ủ AB và

( ' ' )

BM � AA C C = A, nên ta suy ra:

( ;(;( '' ')')) 12

d M AA CC MA

d B AA CC = BA =

Tiêu đề	Khoảng cách
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Hình học lớp 11
Thể loại	Giáo án
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	555,65 KB