Giáo án Hình học lớp 11: Chương 3 bài 2 - Hai đường thẳng vuông góc biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian; Trình bày định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng; định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc trong không gian. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án.
Trang 1TÊN BÀI: HAI Đ ƯỜ NG TH NG VUÔNG GÓC (2 ti t) Ẳ ế
I. M c tiêu c a bài ụ ủ
1 Ki n th c: ế ứ
N m khái ni m góc gi a hai vect trong không gian, tích vô h ắ ệ ữ ơ ướ ng c a 2 vect trong ủ ơ không gian.
N m đ ắ ượ c đ nh nghĩa vect ch ph ị ơ ỉ ươ ng c a đ ủ ườ ng th ng, góc gi a hai đ ẳ ữ ườ ng th ng; ẳ
đ nh nghĩa 2 đ ị ườ ng th ng vuông góc trong không gian ẳ
2 K năng: ỹ
Bi t d ng góc gi a 2 vect ; v n d ng linh ho t công th c tích vô h ế ự ữ ơ ậ ụ ạ ứ ướ ng c a 2 vect ủ ơ trong không gian; xác đ nh đ ị ượ c góc c a 2 đ ủ ườ ng th ng trong không gian ẳ
Ch ng minh 2 đ ứ ườ ng th ng vuông góc trong không gian ẳ
Hình thành cho h c sinh các kĩ năng khác: ọ
Thu th p và x lý thông tin ậ ử
Tìm ki m thông tin và ki n th c th c t , thông tin trên m ng Internet ế ế ứ ự ế ạ
Làm vi c nhóm trong vi c th c hi n d án d y h c c a giáo viên ệ ệ ự ệ ự ạ ọ ủ
Vi t và trình bày tr ế ướ c đám đông.
3 Thái đ : ộ
C n th n, chính xác ẩ ậ
Tích c c ho t đ ng; rèn luy n t duy khái quát, t ự ạ ộ ệ ư ươ ng t ự
Nghiêm túc, tích c c, ch đ ng, đ c l p và h p tác trong ho t đ ng nhóm ự ủ ộ ộ ậ ợ ạ ộ
Say s a, h ng thú trong h c t p và tìm tòi nghiên c u liên h th c ti n ư ứ ọ ậ ứ ệ ự ễ
4 Đinh h ướ ng phát tri n năng l c: ể ự
Năng l c h p tác: Tô ch c nhom hoc sinh h p tac th c hiên cac hoat đông ự ợ ̉ ư ́ ́ ̣ ợ ́ ự ̣ ́ ̣ ̣
Năng l c t h c, t nghiên c u: H c sinh t giac tim toi, linh hôi kiên th c va ự ự ọ ự ứ ọ ự ́ ̀ ̀ ̃ ̣ ́ ư ́ ̀
ph ươ ng phap giai quyêt bai tâp va cac tinh huông ́ ̉ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́
Năng l c gi i quy t v n đ : H c sinh biêt cach huy đ ng các ki n th c đã h c đ ự ả ế ấ ề ọ ́ ́ ộ ế ứ ọ ể giai quyêt cac câu hoi. Biêt cach giai quyêt cac tinh huông trong gi hoc ̉ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ́ ơ ̀ ̣
Năng l c thuy t trình, báo cáo: Phat huy kha năng bao cao tr ự ế ́ ̉ ́ ́ ươ c tâp thê, kha năng ́ ̣ ̉ ̉ thuyêt trinh ́ ̀
Năng l c tính toán ự
II. Chu n b c a giáo viên và h c sinh ẩ ị ủ ọ
1. Giáo viên:
Các câu h i g i m ỏ ợ ở
Máy chi u, máy tính ế
2. H c sinh: ọ
Các d ng c h c t p, b ng ph ụ ụ ọ ậ ả ụ
Trang 2Các ki n th c v vect trong không gian ế ứ ề ơ
III. Chu i các ho t đ ng h c ỗ ạ ộ ọ
1. GI I THI U (HO T Đ NG TI P C N BÀI H C) ( Ớ Ệ Ạ Ộ Ế Ậ Ọ 15 phút)
M c tiêu: ụ T o tình hu ng đ h c sinh ti p c n các ki n th c, vect ch ph ạ ố ể ọ ế ậ ế ứ ơ ỉ ươ ng c a hai ủ
đ ườ ng th ng, góc gi a hai đ ẳ ữ ườ ng th ng trong không gian và quan h vuông góc trong không ẳ ệ gian.
N i dung, ph ộ ươ ng th c t ch c: ứ ổ ứ
+ Chuy n giao: ể GVchia l p thành 4 nhóm. N i dung nghiên c u c a các nhóm: ớ ộ ứ ủ
Nhóm 1:
Nh c l i đ nh nghĩa góc gi a hai vect trong m t ph ng (Hình h c 10) ắ ạ ị ữ ơ ặ ẳ ọ
Xác đ nh góc gi a hai vect trong hình sau: ị ữ ơ
1500
1200
H A
B
B' D
Nhóm 2:
Nêu đ nh nghĩa tích vô h ị ướ ng c a hai vect trong m t ph ng. (Hình h c 10) ủ ơ ặ ẳ ọ
Cho hình l p ph ậ ươ ng . Tính .
C'
C D
B' A'
B A
D'
Nhóm 3: Nêu khái ni m góc gi a hai đ ng th ng c t nhau. Nh n xét v m i quan ệ ữ ườ ẳ ắ ậ ề ố
Trang 3 Nhóm 4: Nêu đ nh nghĩa hai đ ng th ng vuông góc trong m t ph ng. L y ví d v ị ườ ẳ ặ ẳ ấ ụ ề hình nh hai đ ả ườ ng th ng vuông góc trong th c t ẳ ự ế
+ Th c hi n: ự ệ Các nhóm th o lu n, vi t vào b ng ph và c đ i di n trình bày tr ả ậ ế ả ụ ử ạ ệ ướ ớ c l p.
+ Báo cáo, th o lu n: ả ậ L n l ầ ượ ừ t t ng nhóm trình bày đáp án tr ướ ớ c l p, các nhóm khác nh n ậ xét, góp ý. Giáo viên đánh giá chung và gi i thích các v n đ h c sinh ch a gi i quy t ả ấ ề ọ ư ả ế
đ ượ c.
T n i dung trình bày c a các nhóm, GV nh n xét, t đó đ t v n đ vào bài m i: nghiên ừ ộ ủ ậ ừ ặ ấ ề ớ
c u các v n đ đã đ t ra đ i v i véct và đ ứ ấ ề ặ ố ớ ơ ườ ng th ng vuông góc trong không gian ẳ
2. N I DUNG BÀI H C (HO T Đ NG HÌNH THÀNH KI N TH C) Ộ Ọ Ạ Ộ Ế Ứ
2.1 ĐVKT1: TÍCH VÔ H ƯỚ NG C A HAI VECT TRONG KHÔNG GIAN. Ủ Ơ (15 phút)
M c tiêu: ụ Ti p c n khái ni m góc gi a hai vect , công th c tính tích vô h ế ậ ệ ữ ơ ứ ướ ng c a hai ủ vect trong không gian. ơ
N i dung, ph ộ ươ ng th c t ch c: ứ ổ ứ
2.1.1. Góc gi a hai vect trong không gian ữ ơ
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho hình lập phương Xác định góc giữa các
cặp vectơ sau:
a)
b)
c)
d)
Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ và trả
lời các câu hỏi
Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)
GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa
a) b) c) d)
b) Hình thành kiến thức.
Định nghĩa Trong không gian, cho , lấy điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho: , khi đó ta gọi góc là
góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là
Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vectơ
bằng?
- Cùng hướng
- Vuông góc
- Ngược hướng
D'
C' B'
C
D A
A' B
Trang 4Chú ý:
Ví dụ 1.
Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của
AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ:
a) và
b) và
150 0
120 0
H
A
B
B'
D
- Chuyển giao:Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Câu a
Nhóm 3, 4: Câu b
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng
phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện
Kết quả.
a) b)
2.1.2. Tích vô h ướ ng c a hai vect trong không gian ủ ơ
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho hình lập phương cạnh a Tính các tích
vô hướng sau:
a)
b)
c)
Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)
GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa
a) b) c)
b) Hình thành kiến thức.
Định nghĩa Trong không gian cho hai vectơ Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được
xác định bởi công thức:
Chú ý:Từ công thức trên ta có
+ Biểu thức độ dài của một vectơ
+ Tính góc giữa hai vectơ:
+
D'
C' B'
C
D A
A' B
Trang 5Ví dụ 2.
Cho hình lập phương
a) Hãy phân tích và theo
b) Tính ?
D'
C' B'
C
D A
A'
B
- Chuyển giao:GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Câu a
Nhóm 3, 4: Câu b
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng
phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện
Kết quả.
a) b)
Ví dụ 3: Cho S là diện tích của tam giác ABC
Chứng minh rằng:
Ta có Suy ra
Do đó
Kết luận.
2.2 ĐVKT2: VÉCT CH PH Ơ Ỉ ƯƠ NG C A Đ Ủ ƯỜ NG TH NG. Ẳ (15 phút)
M c tiêu: ụ H c sinh hi u khái ni m véc t ch ph ọ ể ệ ơ ỉ ươ ng c a đ ủ ườ ng th ng trong không gian, ẳ
t đó rút ra đ ừ ượ c các nh n xét ậ
N i dung, ph ộ ươ ng th c t ch c: ứ ổ ứ
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho hình lập phương Kể tên một số VTCP của
đường thẳng đi qua hai điểm
d
C'
C D
B' A'
B A
D'
b) Hình thành kiến thức.
Trang 6+ Chuyển giao:Nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong không gian Rút ra nhận xét.
+ Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu trả lời nhanh nhất GV quan sát, nhận xét.
+ Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, GV gọi HS đứng dậy trả lời Các HS khác lắng nghe, nhận
xét, bổ sung
+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS ghi bài vào vở.
1 Định nghĩa
Vectơ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d
c) Củng cố.
2 Nhận xét
a)Nếu là VTCPcủa d thì cũng là VTCP của d.
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn có thể xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một
VTCP của nó
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi là hai đường thẳng phân biệt và có hai VTCP cùng phương
2.3 ĐVKT3: HAI Đ ƯỜ NG TH NG VUÔNG GÓC Ẳ (20 phút)
M c tiêu: ụ H c sinh hi u khái ni m góc gi a hai đ ọ ể ệ ữ ườ ng th ng và khái ni m hai đ ẳ ệ ườ ng
th ng vuông góc. V n d ng gi i quy t m t s bài t p liên quan ẳ ậ ụ ả ế ộ ố ậ
N i dung, ph ộ ươ ng th c t ch c: ứ ổ ứ
2.3.1. Góc gi a hai đ ữ ườ ng th ng ẳ
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho biết góc giữa các cặp đường thẳng sau:
H1:
H2:
H3:
Trang 7b) Hình thành kiến thức.
1 Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với
b' a'
O
2 Nhận xét:
a Điểm có thể nằm trên đường thẳng hoặc
b Nếu lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng :
-Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc
- Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng
Hãy nêu một số phương pháp tính góc giữa
hai đường thẳng trong không gian?
+ Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng
+ Tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1: Ví dụ 4a
Nhóm 2: Ví dụ 4b
Nhóm 3: Ví dụ 4c
Nhóm 4: Ví dụ 5
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện
Trang 8Ví dụ 4.Cho hình lập phương Tính góc giữa
các cặp đường thẳng:
a) và
b) và
c) và
C D
B A
a) Ta có: mà nên b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên Do , nên c) Ta có: và là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau Do đó:
Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD có AB =2a, M, N
lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và
CD.
2a
a 5
2 2 a
O
N
M
A
B
C
D
Gọi O là trung điểm của AC Suy ra OM song song với AB, ON song song với CD Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng OM và ON.
Xét tam giác OMN,ta có:
==
Suy ra góc =1350
Suy ra gócgiữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450
2.3.2. Hai đ ườ ng th ng vuông góc ẳ
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho hình hộp chữ nhật Kể tên các đường
thẳng vuông góc với
C' B'
C
D B
D' A'
A
b) Hình thành kiến thức.
Trang 91 Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng
Kí hiệu:
2 Nhận xét:
a trong đó lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng
b
c Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau
Hãy nêu một số phương pháp chứng minh hai
đường thẳng vuông góc trong không gian?
+ Dùng định nghĩa
+ Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0
+
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Ví dụ 6
Nhóm 3, 4: Ví dụ 7
-Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng phụ.
-Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả Các nhóm khác nhận xét, phản
biện
-Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến
thức HS viết bài vào vở
Ví dụ 6 Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC
và SBC cân có chung đáy BC Chứng minh
rằng hai đường thẳng SA và BC vuông góc.
M
S
A
B
C
Gọi M là trung điểm của BC
Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM và SM vuông góc với BC.
Ta có :
=
= 0 (vì )
Suy ra SA BC
Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD có AB AC, AB
BD Gọi I, J là trung điểm của AB, CD CMR:
AB PQ.
Ta có:
Cộng vế theo vế:
Suy ra Kết luận:
Trang 10Q B
C
D A
3. LUY N T P (15 Ệ Ậ phút)
Bài toán 1]Cho hình lập phương Tính góc giữa
hai đường thẳng và
Gợi ý:
Do là hình lập phương nên các tam giác là các tam giác đều Mặt khác nên
Bài toán 2 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có
tất cả các cạnh bằng a và Chứng minh tứ giác
A’B’CD là hình vuông.
D A
C B
Gợi ý:
Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên nó là hình thoi Ta chứng minh hình thoi A’B’CD là hình vuông Thật vây, ta có:
Suy ra Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông
Bài toán 3 Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng Gọi và
lần lượt là trung điểm của và Tính số đo của góc
giữa hai đường thẳng
Gợi ý:
Ta có:
Ta lại có: Xét , nhận thấy: Theo định lí Pitago đảo, vuông tại Suy ra: hay
Trang 11Bài toán 4.Cho hình chóp có và Chứng minh
B
S
Gợi ý:
Ta có
Mà và
Do đó
Bài toán 5 Cho tứ diện có Gọi lần lượt là trung
điểm của Chứng mình
J
E I
F
C
A
Gợi ý:
Ta có là đường trung bình của Lại có là đường trung bình của
Tứ giác là hình bình hành
Mặt khác: Mà
Do đó là hình thoi Suy ra
4. V N D NG VÀ M R NG Ậ Ụ Ở Ộ
HS l y ví d c th v hai đ ấ ụ ụ ể ề ườ ng th ng ẳ
vuông góc (c t nhau, không c t nhau) trong ắ ắ
th c t ? ự ế
* Hai đ ườ ng th ng vuông góc (c t nhau) ẳ ắ
Trang 12Xà ngang và c t d c c a m t khung thành ộ ọ ủ ộ
* Hai đ ườ ng th ng vuông góc (chéo nhau) ẳ
Tuy n đ ế ườ ng s t trên cao và tuy n đ ắ ế ườ ng b bên ộ
d ướ i cho ta hình nh c a hai đ ả ủ ườ ng th ng vuông ẳ
góc
THÁP NGHIÊNG PISA – KI N TRÚC KÌ L C A TH GI I Ế Ạ Ủ Ế Ớ
Tháp nghiêng Pisa – Công trình ki n trúc kì l c a th gi i ế ạ ủ ế ớ
Tháp nghiêng Pisa là m t trong nh ng ki t tác ki n trúc n i ti ng b c nh t th gi i ộ ữ ệ ế ổ ế ậ ấ ế ớ Độ nghiêng c a tháp thách th c th i gian và tr thành đi m nh n thú v c a ki t tác ki n trúc ủ ứ ờ ở ể ấ ị ủ ệ ế này.
Trang 13Tháp nghiêng Pisa đ c b t đ u xây d ng t năm 1173 và hoàn thành vào năm 1372 ượ ắ ầ ự ừ
S dĩ quá trình thi công công trình này kéo dài nh v y vì vi c xây d ng b t m d ng trong ở ư ậ ệ ự ị ạ ừ
199 năm do chi n tranh n ra ế ổ
Khi hoàn thành xây d ng t ng th 3 vào năm 1178, tháp nghiêng Pisa b t đ u nghiêng ự ầ ứ ắ ầ
v phía B c. Nguyên nhân khi n tòa tháp b nghiêng là do móng c a công trình đào không ề ắ ế ị ủ sâu. Sau khi hoàn thành quá trình xây c ng thêm nh ng n l c nâng ph n lún c a tháp đ ộ ữ ỗ ự ầ ủ ể
gi tháp đ ữ ượ c cân b ng, tháp nghiêng Pisa v n b nghiêng thêm theo t ng năm. ằ ẫ ị ừ
Năm 1990, đ nghiêng c a tháp lên t i 5,5 đ , chênh l ch m t ph ng gi a đ nh tháp ộ ủ ớ ộ ệ ặ ẳ ữ ỉ
và chân tháp là 4,6m.
Trang 14Tháp nghiêng Pisa có đ cao 567m. Toàn b tháp g m 8 t ng n ng t i 14.000 t n ộ ộ ồ ầ ặ ớ ấ Trong th i gian t năm 1990 2001, các ki n trúc s đã th c hi n d án tu b và s a ch a ờ ừ ế ư ự ệ ự ổ ử ữ giúp tháp nghiêng Pisa đ ng th ng. Do v y, đ nghiêng c a tháp gi m xu ng còn 3,97 đ ứ ẳ ậ ộ ủ ả ố ộ Các chuyên gia tính toán tháp nghiêng Pisa s n đ nh trong vòng ít nh t là 200 năm n a ẽ ổ ị ấ ữ
Tháp nghiêng Pisa còn n i ti ng là n i nhà khoa h c Galileo làm thí nghi m cho lý ổ ế ơ ọ ệ thuy t v kh i l ế ề ố ượ ng c a ông vào th k 16. ủ ế ỉ Tháp nghiêng Pisa đ ượ c UNESCO công nh n ậ
là di s n Th gi i vào năm 1987. ả ế ớ
Tuy nhiên đây ch a ph i là công trình nghiêng nh t th gi i. ư ả ấ ế ớ Tháng 6/2010, sách kỷ
l c Guinness xác nh n tháp ụ ậ Capital Gate ở ủ th đô Abu Dhabi c a Các ti u V ủ ể ươ ng qu c ố Ả
R p (UAE) ậ là "Tháp nhân t o có đ nghiêng nh t th gi i ạ ộ ấ ế ớ ”.
Trang 15Cao 160 m v i 35 t ng, ớ ầ Capital Gate nghiêng 18 đ v phía Tây, g p 4 l n so v i tháp ộ ề ấ ầ ớ nghiêng Pisa Italy. Tuy nhiên, có m t đi m khác bi t là tháp ở ộ ể ệ Capital Gate nghiêng theo
d ng ý thi t k t t ng 12 tr lên, còn tháp ụ ế ế ừ ầ ở Pisa b nghiêng do th i gian ị ờ