Luận văn thạc sĩ VNU UEd rèn luyện kỹ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung bất đẳng thức AM CM và cauchy schwarz

+ Mọi người đều biết rằng rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là công việc thực sự hiệu quả nhưng thực hiện cụ thể bằng cách nào là đòi hỏi tư duy sáng tạo, thời gian, công sức và h

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỤC LỤC

trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 1

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 3

5 Mẫu khảo sát 3

6 Câu hỏi nghiên cứu 3

7 Giả thuyết nghiên cứu 3

8 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

9 Phương pháp nghiên cứu 3

10 Dự kiến luận cứ 4

11 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài 5

1.1.1 Kĩ năng giải toán 5

1.1.2 Kĩ năng sáng tạo bài toán mới 6

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh 7

1.2 Thực trạng việc dạy học bất đẳng thức ở trường THPT 7

1.2.1 Thực trạng việc học bất đẳng thức ở trường THPT 9

1.2.2 Thực trạng việc dạy bất đẳng thức ở trường THPT 10

1.3 Kết luận chương 1 12

Chương 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO HS LỚP 10 THÔNG QUA BĐT AM – GM VÀ CAUCHY – SCHWARZ 13

2.1 Giải và sáng tạo bài toán từ bất đẳng thức AM – GM 13

2.1.1 Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm 13

2.1.2 Một số ví dụ áp dụng 15

2.2 Giải và sáng tạo bài toán thông qua BĐT Cauchy – Schwarz 49 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 49

2.2.2 Một số ví dụ áp dụng 49

2.2.3 Dạng hệ quả 1 53

2.2.4 Dạng hệ quả 2 59

2.2.5 Dạng hệ quả 3 63

2.3 Bài giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM 67

2.4 Bài giảng vận dụng BĐT Cauchy – Schwarz 72

2.5 Kết luận chương 2 78

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 80

3.2 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 80

3.3 Thời gian thực nghiệm 80

3.4 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 80

3.5 Kết quả dạy thực nghiệm 81

3.6 Phân tích kết quả và đánh giá 81

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83

1 Kết luận 83

2 Khuyến nghị 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

PHỤ LỤC 86

Phụ lục 1 86

Phụ lục 2 87

Phụ lục 3 89

Phụ lục 4 90

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài + Kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới là yếu tố quyết định thành công

của hoạt động giảng dạy Nếu học sinh thiếu kĩ năng giải toán sẽ dẫn đến khả năng thực hành yếu, thiếu sự sáng tạo trong học toán sẽ dẫn tới thụ động trong học tập, giảm đi sự sáng tạo, chủ động trong cuộc sống Hiện nay sự quan tâm đến hoạt động này chưa nhiều, chúng ta chỉ quan tâm đến việc có sẵn đề bài

và tập trung tìm lời giải mà ít chú ý đến nguồn gốc và mục đích của bài toán, tại sao lại có lời giải như vậy Cũng tương tự như việc chúng ta chỉ tập trung rèn cho học sinh giải được các đề thi tuyển sinh đại học, làm sao để học sinh thi đại học đạt điểm cao theo khuôn mẫu định trước mà xem nhẹ hoạt động

sáng tạo của học sinh trong các hoạt động học tập + Trong toán sơ cấp nhiều người cho rằng khó có thể tìm ra hướng sáng tạo

mới và nhất là từ các Bất đẳng thức quen thuộc như AM - GM và Cauchy - Schwarz Chúng ta thường quen với việc giải và cho học sinh giải các bài toán

đã có sẵn mà chưa tìm mối liên hệ với các dạng toán liên quan và phát triển, sáng tạo thành bài toán mới Cần tích hợp các kĩ năng giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức để nhận dạng bài toán, giải và sáng tạo bài toán mới

+ Mọi người đều biết rằng rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là công việc thực sự hiệu quả nhưng thực hiện cụ thể bằng cách nào là đòi hỏi tư duy sáng tạo, thời gian, công sức và hiệu quả lao động của người giáo viên kết hợp các lý thuyết khoa học về sáng tạo và sáng tạo thực hành của cá nhân + Xuất phát từ các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: " Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz "

2 Lịch sử nghiên cứu

2.1 Trên thế giới:

+ Các ghi chép còn lại của các nền toán học Hy Lạp đều sử dụng suy luận quy nạp, dựa trên kinh nghiệm tính toán hình thành quy luật toán học Điều này cho thấy kĩ năng giải toán đã xuât hiện từ trước đó và ngày càng được phát triển

+ Hiện nay, Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ vị trí rất quan trọng

Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để nghiên cứu, vận dụng các môn khoa học khác Ở các nước phát triển có nền giáo dục tiên tiến như Anh, Mỹ, Pháp, họ rất chú trọng đến rèn kĩ năng giải toán và sáng tạo cho học sinh ngay từ cấp tiểu học, vì vậy học sinh của họ rất chủ động, sáng tạo,

có khả năng tư duy và tự học, tự nghiên cứu rất tốt

2.2 Ở Việt Nam

+ Trong các tiếp cận dạy học truyền thống, người ta thường quan tâm đến kết quả của hoạt động dạy học như kết quả của các kì thi mà xem nhẹ quá trình dẫn đến kết quả đó

+ Hiện nay trong xu thế hòa nhập với sự phát triển của nền giáo dục tiên tiến trên thế giới Nền giáo dục nước nhà đã và đang có nhiều bước chuyển biến mạnh mẽ Chúng ta đã quan tâm hơn đến chất lượng sản phẩm của hoạt động giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội Trong dạy học giáo viên kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực và chú ý đến việc rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh, tuy nhiên hiệu quả còn phụ thuộc nhiều vào trình độ người thầy và ý thức người học cũng như nhận thức của xã hội Kĩ năng sáng tạo bài toán mới chưa được đề cập đến trong chương trình giáo dục phổ thông

3 Mục tiêu nghiên cứu + Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất

đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung

Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz

+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy -

Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán

mới cho học sinh lớp 10

4 Phạm vi nghiên cứu

4.1 Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến tháng 11/2012 4.2 Nội dung nghiên cứu

+ Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz + Kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới của học sinh lớp

10

5 Mẫu khảo sát + Giáo viên dạy toán trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội

+ Học sinh các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội năm học 2011-2012

6 Câu hỏi nghiên cứu Làm thế nào để rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng tạo

bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT

7 Giả thuyết nghiên cứu Thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz sẽ rèn

luyện cho học sinh lớp 10 kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới

8 Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo,

nâng cao khả năng sáng tạo của học sinh + Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và một số bài toán vận dụng

+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT

+ Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài

9 Phương pháp nghiên cứu

9.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Nghiên cứu các tài liệu Tâm lý học, Giáo dục học, Lí luận và phương

pháp dạy học môn Toán,

+ Nghiên cứu SGK Đại số và Giải tích 10, báo chí, internet

9.2 Phương pháp quan sát

+ Quan sát cơ sở vật chất, điều kiện học tập của nhà trường + Quan sát phương pháp giảng dạy của giáo viên và quá trình học tập của học sinh

9.3 Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm

+ Phiếu điều tra các ý kiến của giáo viên và học sinh về kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới về bất đẳng thức trong chương trình toán 10

+ Dạy thực nghiệm các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội

10 Dự kiến luận cứ

10.1 Luận cứ lí thuyết + Đưa ra cơ sở lí luận về kĩ năng sáng tạo và phát triển bài toán mới thông

qua nội dung Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz

10.2 Luận cứ thực tế

+ Đưa ra những đề xuất và xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức

AM - GM và Cauchy - Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10

+ Tổ chức thực nghiệm, kiểm tra đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài

11 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn

dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT thông qua Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài

1.1.1 Kĩ năng giải toán

Một người giáo viên khi chưa có kinh nghiệm giảng dạy, để hướng dẫn học sinh thực hành thường làm như sau:

+ Sưu tầm các bài toán về nội dung toán học cần dạy giao cho học sinh + Trình bày cách giải

Phương pháp này rất đơn giản, tự nhiên và hiệu quả phụ thuộc nhiều vào trình độ của người thầy

Khi có kinh nghiệm hơn, người giáo viên sưu tầm các bài toán có chung một cách giải và sau khi giải chúng, người thầy tổng kết thành phương pháp giải Những phương pháp giải là một dạng kĩ năng giải toán Công việc này hoàn toàn phụ thuộc vào kinh nghiệm của cá nhân người thầy

Nhưng người ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài toán đã làm mà học sinh vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách

tự phát trong quá trình học tập Đây là một quá trình tư duy thực sự hiệu quả nhưng tốn nhiều thời gian và công sức

Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên và học tập của học sinh, chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung cho hoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ thống các kĩ năng giải toán cung cấp cho học sinh những chuyên đề đặc biệt Với cách này, chúng ta nhanh chóng tiếp cận với nhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận thức ở mức độ cao, tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo

Khái niệm về kĩ năng giải toán: Kĩ năng giải toán là sử dụng các kiến thức

cơ bản giải các bài toán đặt ra

Để giải một bài toán chúng ta có thể dùng nhiều kĩ năng một cách trình tự hoặc sử dụng những nhóm kĩ năng khác nhau để xây dựng các lời giải khác nhau

Để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán, có hai phương pháp cơ bản:

+ Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số nhất định các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kĩ năng giải toán Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng tốn nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng rèn luyện

kĩ năng giải toán một cách hệ thống và đầy đủ, từ cơ bản đến phức tạp

Phương pháp này hiệu quả hơn, dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết và giúp học sinh có khả năng sáng tạo hơn trong học tập

1.1.2 Kĩ năng sáng tạo bài toán mới

1.1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

+ Theo bách khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất"

+ Theo từ điển tiếng việt: "Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần Hay sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị

gò bó phụ thuộc vào cái đã có"

+ Vậy có thể hiểu ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới hiệu quả, có ích, độc đáo

1.1.2.2 Kĩ năng sáng tạo bài toán mới trong toán học

+ Xuất phát từ các bài tập đã có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải và tạo

ra các bài toán mới phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh + Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới tức là giúp học sinh chủ động trong học tập, tự đặt ra nhiệm vụ học tập cho mình và biết cách giải quyết nhiệm vụ đó

1.1.3 Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh

+ Thực tế giảng dạy môn Toán THPT cho thấy từ những bài toán cơ bản chúng ta có thể phát triển thành các bài toán hay và khó phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, điều quan trọng là giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo và chủ động trong học tập Bằng kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức chuyên môn, người giáo viên hướng dẫn học sinh học sinh chủ động, sáng tạo, phát huy tốt năng lực bản thân, khai thác cái đã có phát triển hình thành cái mới hiệu quả

+ Xin lấy một ví dụ cụ thể: Từ bài toán đơn giản Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi Chứng minh rằng

2

2 2

2

c b a b a

c a c

b c b

24

24

2 2 2

c b a b a c

b a c a c b

a c b c b a

học sinh chủ động đặt ra nhiệm vụ phù hợp cho mình và tích cực giải quyết nhiệm vụ đó Cụ thể với bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới theo các hướng sau

Bài 1: Thay đổi mẫu số ta có bài toán sau Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi Chứng minh rằng

32

22

2 2

2

c b a b a

c a c

b c b

b c b

2 2

b b

1()1)(

1()1)(

1(

3 3

c

b c

3 3

c

b c

b

a

Bài 4: Nếu thay thế mẫu bằng một số ta thu được bài toán gọn hơn Với a, b, c là các số thực dương thay đổi Chứng minh rằng

a b c

a

c c

b b

2 2 2

3 3 3

c b a a

c c

b b

Nếu thay c = b ta thu được bài toán trông khó hơn Bài 5: Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi Chứng minh rằng

2

22

2

2 2

b a b a

b b

1.2 Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức ở trường THPT

1.2.1 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT

+ Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một chuyên đề khó Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với lí thuyết như vậy học sinh lớp 10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức

+ Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường THPT, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau

Khi học lý thuyết:

+ Học sinh tiếp thu phần khái niệm bất đẳng thức và các tính chất cơ bản tương đối dễ, phần bất đẳng thức AM – GM và các hệ quả các em thấy hứng thú và dễ nhận biết trong một số bài tập vận dụng nhất là bài tập liên quan đến ứng dụng hình học Tuy nhiên bất đẳng thức Cauchy – Schwarz với nhiều em lại rất khó hiểu, các em không nắm được việc sắp xếp các bộ số hợp lí hoặc

xuất phát từ biểu thức nào để đánh giá cho phù hợp dẫn đến việc nhận biết và vận dụng còn gặp khó khăn

Khi làm bài tập:

+ Trước mỗi bài tập bất đẳng thức, học sinh thường không biết phải bắt đầu

từ đâu và dựa trên cơ sở nào để đánh giá bất đẳng thức + Lí thuyết về bất đẳng thức rất rộng và vận dụng thường phải dùng suy luận logic tư duy cao nên gây khó hiểu cho học sinh, đặc biệt là học sinh đại trà

+ Quá trình vận dụng giải toán bất đẳng thức thường phải tổng hợp nhiều kiến thức, đánh giá đòi hỏi chi tiết, chính xác nên dễ gây nhầm lẫn, ngộ nhận vấn đề

+ Đa số học sinh thường có cảm giác không tự tin, không chắc chắn trong việc lần tìm lời giải cho bài toán bất đẳng thức nên dễ dẫn đến học chủ đề bất đẳng thức một cách thụ động

+ Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT Tôi

đã tiến hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả sau

Khi dạy lý thuyết:

+ Giáo viên dễ tạo được không khí sôi nổi trong học tập, đặc biệt là thông qua một số ví dụ thực tế khi vận dụng minh họa các hệ quả hình học của bất đẳng thức AM – GM

+ Các tính chất sách giáo khoa giới thiệu là cơ bản, học sinh dễ hiểu thông qua ví dụ minh họa

+ Việc chứng minh các bất đẳng thức AM – GM còn khó hiểu và mất nhiều thời gian

+ Có quá nhiều bất đẳng thức tham khảo nhưng chọn lọc đưa vào vận dụng lại là việc khó đối với cả học sinh và giáo viên

Khi dạy bài tập:

+ Do dạng bài tập về bất đẳng thức rất đa dạng và khó nên giáo viên phải mất công biên soạn, chọn lọc công phu, sắp xếp thành mạch, hệ thống phù hợp với trình độ học sinh

+ Khi hướng dẫn giảng bài tập cho học sinh giáo viên luôn phải trả lời câu hỏi “ tại sao lại chọn cách biến đổi như vậy” hoặc tại sao phải xuất phát từ “ đẳng thức hoặc bất đẳng thức này ” mà câu trả lời không phải lúc nào cũng được tự nhiên, cũng dễ chấp nhận

+ Khi chữa bài tập, giáo viên thường đi theo các bước sau

Tuy nhiên việc vận dụng của học sinh thường gặp khó khăn, vì vậy giáo viên cần khuyến khích, động viên học sinh trong quá trình học tập nhằm giúp các

em chủ động và sáng tạo hơn, cần khuyến khích các em chủ động tạo bài tập cho mình

AM – GM và Cauchy – Schwarz người giáo viên hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức một cách tốt nhất, vận dụng làm bài tập một cách hiệu quả nhất Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến rèn luyện kĩ năng giải toán và sáng tạo của học sinh, ngoài ra chúng tôi cũng tham khảo đồng nghiệp, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề bất đẳng thức trong nhà trường phổ thông, từ đó chúng tôi xây dựng một số bài giảng về bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz nhằm rèn kĩ năng giải toán và nâng cao khả năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 Vấn đề này sẽ được trình bày cụ thể trong chương sau

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ

CAUCHY - SCHWARZ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức AM – GM , Cauchy – Schwarz và một số dạng hệ quả, ngoài ra chúng tôi trình bày một số ví dụ vận dụng và một số bài tập tham khảo nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới trong dạy học bất đẳng thức Cuối chương chúng tôi xây dựng hai giáo án thực nghiệm dạy học bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 Sau đây là nội dung cụ thể

2.1 Giải và Sáng tạo bài toán từ Bất đẳng thức AM – GM

2.1.1 Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm

Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức AM – GM cho 2, 3 và n số thực không âm

2.1.1.1 Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 2 số

Với a, b là hai số thực không âm thay đổi Ta có ab  ab

2

Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với  a  b2  0 Dấu đẳng thức khi a = b

2.1.1.2 Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 3 số

Với a, b, c là các số thực dương thay đổi ta có 3

c b a







Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với Q = 3 3

4 abc

abc c

b

Ta có Q  2 ab 2 c3 abc  4 4 abc 3 abc  4 3 abc (ĐPCM)

a a

i i n

i

a n

1

1 1

i

a k

1

1 1

Ta có

11

1 1

S

k k

i i k

i i k

Áp dụng giả thiết quy nạp ta được

11 1

1 1

k S

k k k

i i k

1 1

1 1 1

k k

i i

a k

a a

i i k

a y

 (  ) k  ( k1  k2  k3 2   k1)0

x x

y x y y

y x k y x

 (  ).( k  k)( k  k1 ) ( k  k1)0

x y x x

y x y

x y x

        

Vì x, y  0 nên bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có ĐPCM

2.1.2 Một số ví dụ áp dụng

Trong phần này chúng tôi trình một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức AM – GM

và một số kĩ năng chứng minh bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới và phân dạng một số bài tập áp dụng

2

c b a b a

c a c

b c b

24

24

2 2 2

c b a b a c

b a c a c b

a c b c b a

 Vai trò ba số a, b, c như nhau, dấu bằng khi a = b = c khi đó ta có

4

2

c b c b

a  

 từ đó ta cân bằng hệ số khi áp dụng AM –GM

 Nếu kết hợp bất đẳng thức a + b + c  3

.

3 a b c hoặc thay đổi hệ số,

thay đổi bậc số hạng ta thu được nhiều bài toán mới như:

Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng

2

3

2 2

b c b a

Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng

4

312

12

12

2 2

c

b c

b a

Bài 3; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng

4

3)1)(

1()1)(

1()1)(

1(

3 3

c

b c

b a

18

1)

1)(

1(

4

38

18

1)

1)(

1(

4

38

18

1)

1)(

1(

3 3 3

c b

a b

a c

b a

c a

c b

a c

b c

b a

Chứng minh rằng

4

1)3)(

12()3)(

12()3)(

12(

3 3

c

b c

b a

1)

(

1)

(

1

3 3

Giải

Đặt

c

z b

y a

x 1,  1,  1 khi đó x,y,z > 0 và x.y.z = 1, bất đẳng thức cần

chứng minh trở thành

2

32 2

y z y x

Ta chứng minh tương tự và kết hợp bất đẳng thức

a + b + c  3 ta được ĐPCM Với cách biến đổi tương tự các ví dụ 1, 2 ta có thể giải nhiều bài toán như sau Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

b a a

c a

c c

b c

b b

4 2

4 2

a

8)()(2)(

82

a

8)()(2)(

82

a

8)()(2)(

82

 Bằng cách thay đổi hệ số của a,b,c hoặc thay đổi bậc các số hạng ta có

thể tạo nhiều bài toán mới tương tự bài 1 như sau

Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

b a a

c a

c c

b c

b b

4 2

4 2

4

Bài 3; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

4 4

4

2

1

c b a b

a

c a c

b c b

1

a c b a c

1

a c b a c

1

a c b a c

4

a c c b b a c

4

a c c b b a c

b

Công các vế năm bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 4; Nếu kết hợp với bài toán: Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 ta có

a3 + b3 + c3  3 ta có bài toán Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng

minh rằng

2

3

4 4

b c b a

Bằng cách thay đổi bậc số hạng nhưng giữ nguyên sự đồng bậc ta có bài toán Bài 5; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

2 3

3 3

32

c a

c

b c

b a

9

a a c b c b

9

b b a c a c

9

c c b a b a



3(a2 + b2 + c2)  3(ab+bc+ca) Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được

2 2

2 2 3

3 3

33

22

b a b a

c a c

b c b

a

(ĐPCM) Kết hợp đổi biến ta có bài toán mới sau

Bài 6; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

c b

a c c

b a

c

2

1)()()

2 3

2 3

y a

x 1,  1,  1 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

y x x

z x

z z

y z

y y

3 3

3

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

2

342)(

3

x z y y z y y

3

y x z z x z z

3

z y x x y x x

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được ĐPCM

Ví dụ 3; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

a b c

a

c c

b b

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM

Từ Ví dụ 3, nếu thay đổi số hạng trên cơ sở giữ đồng bậc ta thu được nhiều bài toán mới như sau

Bài 1; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

a b c

ab

c ca

b bc

Bài 2; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

2 2 2

3 3 3

c b a a

c c

b b

2 2 2

3 3

3

c b a ab

c ca

b bc

3a bc bc

a bc

3a bc bc

a bc

3 3

3a bc bc

a bc

a2 + b2 + c2  ab+bc+ca Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được ĐPCM Bài 4; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

3 3 3

5 5 5

c b a ab

c ca

b bc

a3 + b3 + c3  3abc Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được ĐPCM

Nếu kết hợp thêm bài toán : Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 ta có

b bc a

b, 2 3

6 2

6 2

c a c

b c b a

a3 + b3 + c3  a2b + b2c + c2a

6 2

6 2

6

c b a b a

c a c

b c b

+ b3 + c3  3 (**)

Kết hợp (*) và (**) ta thu được ĐPCM Bài 6; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

2 2 2 2

5 2

5 2

5

c b a ab

c ca

b bc

b

c a

b c

a a

c c

b b

3

6 3

6 3

b b

a b

3

6 3

6 3

c c

b c

3

6 3

6 3

a a

c a

3

6 3

6 3

a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

b b

a a

c c

b b

a

21

b

21

c

21

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

2 2 2

Mặt khác ta có   3

a

c c

b b

a

từ đó ta được

a

c c

b b

a a

c c

b b

2 2

2 2

2 3

3 3

3 3 3

a

c c

b b

a a

c c

b b

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

2

2 3

3 3

3

31

b

a b

a b

3 3

3

31

c

b c

b c

Và bất đẳng thức 2 3

2 2

2 2

b b a

2 2

2 2

2 3

3 3

3 3 3

a

c c

b b

a a

c c

b b

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

2

3 2

3 2

3 3

4 3

4 3

b b

a a

c c

b b

2

3 2

3 2

a b

b c

c a

b b

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM Trên đây là một số bài toán về bất đẳng thức đồng bậc đối xứng, sau đây ta xét một số bài toán mà các số hạng không đối xứng

Ví dụ 4; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

2 2 1

2 2

ac

b b

c c b a

Giải Chia hai vế bất đẳng thức cho bc ta thu được

bc c

a b

a ac b

c b

Đặt

z

c y b x

a  ,  1,  1 ta được bất đẳng thức mới tương đương

Với x, y, z là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

xy yz zx

x

z z

y y

x

3

3 3

y

3

3 3

z

3

3 3





Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM Trong ví dụ 4 ta thấy vai trò của a, b, c không tương đương, tuy nhiên với cách đổi biến hợp lí ta đã đưa về bài toán đối xứng với biến x, y, z Sau đây ta xét một bài tập tương tự

Bài tập: Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

a c c b b a c b

9 4

3

18 3

3 2 1

a c c b

b a

c b a

2 3

3 3

2 2

3 2

2

3 3

1 2

1 1

x    ta được bất đẳng thức mới tương đương có tính đối

xứng Với x, y, z là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

x z z y y x z y

3 2

3 2

3 1

1 1

9 1

1 1

9 1

1 1

9 1

1 1

b

12 2

3

48 2

8 9

6 2

x   

4 1

1

(*)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

y x xy y

4 2

1 1

Dấu đẳng thức khi x = y

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được

b a b

a b a

2 1 2

4 2

8 2

3 48

c a

a c a c

1 3 3

4 3

b a

1 2

3 4 3 5 4

Hướng dẫn

Tương tự Ví dụ 5 ta có

b a b a b a

3 3 4 3 12

2 2 4 2 8

1 1 4

ac ab

a c

b ab

a a

4 1

Hướng dẫn

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

Q =

ac ab ac

4 1

1 1

Ta có Q 

ac ab ac

ab ac

ab

8 2

2 2

4

4 2

4 2

b

3 2

2 2

1 9 7 4 7

Hướng dẫn

Ta có

b a b b

9 1

1 1

18 2

2 2

27 3

3 3

b

a b

a c

Hướng dẫn Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2 2 9

2

4 2

b

a b

a c

2

1 2

1 1

b a a c b c a Q

2 2

9

b c b

GM cân bằng hệ số phù hợp để dấu đẳng thức xảy ra Một số bài tập tương tự

Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

a

c c

b b

a

3

4 2

2 2









3 2 2

2 3 4 4

c b a

a

c ca

b bc

2

3)

()(

2 3

2

4

a b a

c c a c

b c

b b

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

b b b c a

c b b

a

2422)(

2)(

3

a c a c c a c



a b c

b a

c b

c c

b a

b b

a

42)

4(

128)

24(

2)

2(

3 3

2

1)4(

)4()24(4

)2()

2(2

3 3

3

c b a c

a a

c b

c c

b a

b b

2)

2(2

3

a a b b a b b

b

34

242)24(4

)2( 3

c

64

42

)4(

)4( 3    



Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM Dấu đẳng thức xảy ra khi

Bài 5; Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1, chứng minh rằng 10x2 + 10y2 + z2  4

Hướng dẫn Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau 10x2 + 10y2 + z2  4( xy + yz + zx )

Ta có z2 + 4(x+y)2  4z(x+y) 6( x2 + y2 )  12xy Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta thu được ĐPCM Trên đây ta đã xét một số bài toán về bất đẳng thức đồng bậc Sau đây là một

số bài toán thay đổi bậc của bất đẳng thức

2.1.2.2 Thay đổi bậc của bất đẳng thức

Trong mục này tôi trình bày một số ví dụ thay đổi bậc của bất đẳng thức và một số bài tập vận dụng

Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca  3 Chứng minh rằng

a3 b3 c3 2(a2 b2 c2)Giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

4

73

2

434

)

3(        a

a

a a

4

73

2

434

)

3(        b

b

b b

4

73

2

434

4

213

(4

212

9)(

3)

45)(

333

3

2 2 2 2

2 2

c b a c

b a c

b

Tương đương a3 b3  c3 2(a2 b2 c2) (ĐPCM) Một số bài tập tương tự

Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a2 + b2 +c2 = 27 Chứng minh rằng a3

+ b3 + c3  81 Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a3

+ a3 + 27  9a2

b3 + b3 + 27  9b2

c3 + c3 + 27  9c2 Cộng vế các bất đẳng thức ta được ĐPCM

Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =

4 3

.1)

3(

b a

3 ( 3 ).1.1 b3c11

c b

3

1131

.1)

3(

a c

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM Bài 3; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = 3, chứng minh rằng 1a2 2ab  1b2 2ca  1c2 2ab  6

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

4

52

21

2

42

14)

21

(

2 2

21

21

Hướng dẫn Nhận thấy dấu đẳng thức khi a = b = c = 1nên áp dụng bất đẳng thức AM –

GM ta có

2

424

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được