BÁO cáo bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài 6

Một trong lý do khiến chúng quan trọng là vì chúng xấp xỉ một cách không đồng đều các hàm liên tục.. Tức với mọi hàm đã biết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Đề tài : Sử dụng nội suy Lagrange giải các bài tập trong Exercise Set 3.1 (trang 114): 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20

10 Lê Công Danh 2012778

11 Lường Anh Duy 2012821

12 Trần Văn Huy 1911265

BẢNG PHÂN CÔNG

1 Dương Anh Khoa 2010336 Dịch bài + Làm bài

5 Nguyễn Xuân Tùng 1915837 Code bài 1

6 Nguyễn Long Nhật 1914479 Code bài 3

7 Trần Văn Huy 1911265 Code bài 11

8 Nguyễn Tiến Lộc 2011576 Code bài 15

9 Dương Quang Tú 2014967 Code bài 18

10 Nguyễn Thị Thủy Tiên 2012187 Dịch bài + Viết báo

cáo

11 Phan Nhất Thuận 2014656 Viết power point

12 Võ Quốc Trình 2012295 Viết power point

Mục lục

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT 5

1 Phép nội suy và đa thức Larange 5

2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 5

3 Phép nội suy đa thức Larange 7

4 Sai số của phép nội suy 8

II BÀI TẬP THỰC HÀNH 9

1 Bài 1 9

2 Bài 3 12

3 Bài 5 14

4 Bài 11 20

5 Bài 15 21

6 Bài 18 22

III TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT

Phép Nội Suy và Xấp Xỉ Đa Thức

1 Phép nội suy và đa thức Larange

Các đa thức đại số là một trong những lớp hàm phổ biến và hữu ích nhất, ánh xạ tập các số thực thành chính nó, là tập các hàm có dạng:

𝑷𝒏(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏+ ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎, Trong đó n là số nguyên không âm và 𝒂𝟎, … , 𝒂𝒏 là các số thức không đổi Một trong lý do khiến chúng quan trọng là vì chúng xấp xỉ một cách không đồng đều các hàm liên tục Tức với mọi hàm đã biết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đa thức gần nhất với hàm cần xấp xỉ Điều này được thể hiện rõ qua định lý xấp xỉ Weierstrass

2 Định lý xấp xỉ Weierstrass:

Cho rằng 𝒇 xác định và liên tục trên [𝒂, 𝒃] Với mọi 𝝐 > 𝟎, sẽ có một đa thức 𝑷(𝒙), có tính chất:

|𝒇(𝒙) − 𝑷(𝒙)| < 𝝐, với mọi 𝒙 thuộc [𝒂, 𝒃]

Một trong những lý do khác khiến cho kiểu hàm này được chọn trong phép xấp xỉ phương trình là đạo hàm và tích phân không xác định của đa thức này dễ dàng tính được và chúng cũng là đa thức trên trục 𝑶𝒙𝒚 Vì những lý do này mà đa thức được sử dụng để làm hàm xấp xỉ liên tục

Các đa thức Tay-lor được giới thiệu trong phần 1.1, mà chúng được miêu tả là một trong những khối kiến tạo cho phương pháp tính Với sự nổi bật này, bạn có thể mong đợi rằng phép nội suy đa thức sẽ sử dụng các hàm này Tuy nhiên, đây không phải là như vậy Đa thức Tay-lor hoàn toàn xác định với một phương trình ở một điểm nhất định, nhưng nó chỉ

tập chung độ chính xác xoay quanh điểm đó Một hàm xấp xỉ đa thức tốt cần phải độ chính xác nhật định tại mọi điểm xác định, và đa thức Tay-lor không thực hiện được như vậy

Ví dụ: Chúng ta khai triển Tay-lor bậc 6 tại 𝒙𝟎 = 𝟎 cho 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 Vì đạo hàm của 𝒇(𝒙)

là 𝒆𝒙, với 𝒙𝟎 = 𝟎 cho ra 𝟏, thì đa thức Tay-lor sẽ là

Tay-hơn, chúng ta dùng đa thức Tay-lor với nhiều góc độ khác nhau cho 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 với 𝒙𝟎 = 𝟏

để xấp xỉ 𝒇(𝟑) = 𝟏

𝟑 Bởi vì 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏, 𝒇′(𝒙) = −𝒙−𝟐, 𝒇′′(𝒙) = (−𝟏)𝟐𝟐 𝒙−𝟑,

𝟑 bằng 𝑷𝒏(𝟑) với giá trị n lớn dần, độ chính xác bị giảm xuống một cách đáng kể Đối với phép khai triển Taylor, tất cả các thông tin được dùng để xấp xỉ chỉ tập trung vào một số duy nhất là x0, vậy nên đa thức Taylor thường sẽ cho ra kết quả xấp xỉ không chính xác nếu chúng ta tính toán một số ở xa số x0 Việc tính xấp xỉ đa thức Taylor được giới hạn trong trường hợp mà ta cần tính một số ở gần số x0 Vậy nên để cho việc tính toán thông thường có hiệu quả hơn ta cần dụng các phương pháp mà ta có thể bao hàm thông tin của nhiều điểm thay vì một điểm như đa thức Taylor Ứng dụng chính của đa thức Taylor trong phân tích số không phải là để xấp xỉ mà là để tính đạo hàm và ước lượng sai số

3 Phép nội suy đa thức Lagrange

Vấn đề của việc tính toán một đa thức bậc một đi qua hai điểm rời rạc (x0, y0) và (x1, y1) cũng giống như việc xấp xỉ một hàm số f với f(x0) = y0 và f(x1) = y1 bằng cách sử dụng nội suy đa thức bậc một tại các điểm được cho trước Sử dụng đa thức này để tính xấp xỉ một giá trị trong một khoảng được cho bởi các điểm nút được gọi là nội suy đa thức

Ta định nghĩa hàm đa thức mội suy Lagrange như sau:

𝑷(𝒙) = 𝑳𝟎(𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝟎) + 𝑳𝟏(𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝟏) = 𝒙 − 𝒙𝟏

𝒙𝟎− 𝒙𝟏 ∗ 𝒇(𝒙𝟎) + 𝒙 − 𝒙𝟎

𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 ∗ 𝒇(𝒙𝟏) Chú ý:

𝑳𝟎(𝒙𝟎) = 𝟏, 𝑳𝟎(𝒙𝟏) = 𝟎, 𝑳𝟏(𝒙𝟎) = 𝟎, 𝑳𝟏(𝒙𝟏) = 𝟏 Điều đó có nghĩa là:

𝒇(𝒙) = 𝑷(𝒙) +𝒇(𝒏+𝟏)𝝐(𝒙)

(𝒏+𝟏)! (𝒙 − 𝒙𝟎)( 𝒙 − 𝒙𝟏) …( 𝒙 − 𝒙𝒏),

Với 𝑷(𝒙) là đa thức nội suy

4 Sai số của phép nội suy:

Giả sử 𝑷𝒏(𝒙) là đa thức nội suy của 𝒇(𝒙), tức là 𝑷𝒏(𝒙𝒊) = 𝒇(𝒙𝒊) (i=0,1,2…n)

M= 𝐦𝐚𝐱

𝒂≤𝒙≤𝒃|𝒇(𝒏+𝟏)(𝒙)|

Tương tự thay số vào công thức ta được đa thức bậc hai:

2 Bài 3: Dùng định lí 3.3 để giải tìm biên sai số cho bài 1

Ta có công thức biên sai số theo định lí 3.3:

𝒇(𝒏+𝟏)(𝝃(𝒙))(𝒏 + 𝟏)! (𝒙 − 𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟏) … (𝒙 − 𝒙𝒏) Với 𝐟(𝐧+𝟏)(𝛏(𝐱)) là GTLN của 𝐟(𝐧+𝟏)(𝐱) với 𝑥=𝐱𝟎, 𝐱𝟏,…, 𝐱𝐧

Ta có đạo hàm:

𝒇′(𝒙) = −𝐬𝐢𝐧 (𝒙)

𝒇′′(𝒙) = − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝒇′′(𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏 và 𝒇′′(𝟎 𝟔) = 𝐜𝐨𝐬(𝟎 𝟔) = 𝟎 𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒 Vậy GTLN của 𝒇′′(𝒙) với x thuộc [0, 0.6] là 𝒇′′(𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏

𝒇(𝟑)(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 (𝒙)

𝒇(𝟑)(𝟎) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎) = 𝟎 và 𝒇(𝟑)(𝟎 𝟗) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 Vậy GTLN của 𝒇(𝟑)(𝒙) với x thuộc [0, 0.9] là 𝒇(𝟑)(𝟎 𝟗) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑

Từ đó, ta có biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

|𝒇′′(𝝃)𝟐! ∗ 𝝎𝟏(𝒙)| = |−

𝟏𝟐!∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓 Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

|𝒇

(𝟑)(𝝃)𝟑! ∗ 𝝎𝟐(𝒙)| = |

𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑! ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟕

ĐOẠN CODE

b Tương tự các câu b,c,d

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

|𝒇′′(𝝃)𝟐! ∗ 𝝎𝟏(𝒙)| = |

−𝟏𝟒𝟐! ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟒𝟒 Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

|𝒇

(𝟑)(𝝃)

∗ 𝝎 (𝒙)| = |𝟎 𝟑𝟕𝟓∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟗𝟖

c

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

|𝒇′′(𝝃)𝟐! ∗ 𝝎𝟏(𝒙)| = |

−𝟏𝟐! ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓 Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

|𝒇

(𝟑)(𝝃)𝟑! ∗ 𝝎𝟐(𝒙)| = |

𝟐𝟑!∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟏𝟎𝟏𝟑

d

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 1 là:

|𝒇′′(𝝃)𝟐! ∗ 𝝎𝟏(𝒙)| = |

𝟐 𝟎𝟎𝟖𝟔𝟖𝟐! ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟕𝟗

Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc 2 là:

|𝒇

(𝟑)(𝝃)𝟑! ∗ 𝝎𝟐(𝒙)| = |

−𝟏𝟗 𝟒𝟖𝟐𝟒𝟑𝟑! ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟗𝟖𝟔𝟑

3 Bài 5: Dùng đa thức nội suy Lagrange đến bậc 1, bậc 2 và bậc 3 để tính xấp xỉ

d Tính f(0.9) nếu f(0.6) = −0.17694460, f(0.7) = 0.01375227, f(0.8) = 0.22363362, f(1.0) = 0.65809197

Giải:

a.Bậc 1:

Ta chọn khoảng giữa 2 nút chứa 8.4 là: [8.3, 8.6]

Ta lập được bảng:

4 Bài 11 Sử dụng các giá trị được làm tròn đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy bên

dưới để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba tại f(1,09) Với hàm được tính gần đúng là f(x) = log 10 (tanx) Hãy dùng kiến thức phần này để tìm phạm vi của sai

∏𝟑𝒊=𝟎(𝒙 − 𝒙𝒌)=(1,09-1)(1,09-1,05)(1,09-1,10)(1,09-1,15)= 2.16.10-6

f(x)= log10(tanx)

ĐOẠN CODE

6 Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệu

được ghi trong bảng sau Sử dụng nội suy Lagrange để xấp xỉ dân số trong những năm 1940, 1975,và 2020

b Dân số năm 1940 là khoảng 132.165.000 người Bạn nghĩ con số năm

…

𝒍𝟓(𝒙) = (𝒙 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝒙 − 𝟏𝟗𝟗𝟎)

(𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟗𝟎)Khi đó ta sẽ nội suy đa thức Larange:

Nhận xét: Theo đề bài, dân số của US vào năm 1940 là khoảng 132 165 000 người Dùng đa thức nội suy Lagrange để tính xấp xỉ dân số của US năm 1940 ta được 102

396 000 người vậy sai số khá lớn (chênh lệch khoảng 29 760 000 người)

Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 1975 ta được 215 042 000 người Vì 1975 khá gần so với các mốc nội suy (1970 và 1980) nên sai số không lớn

Tính xấp xỉ dân số của US trong năm 2020 ta được 513 442 000 người Vì 2020 khá

xa so với mốc nội suy (2000) nên sai số lớn

Vậy khi ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy thì sai số không lớn, có thể tin tưởng được; còn khi ta tính xấp xỉ xa mốc nội suy thì sai số lớn, không tin tưởng được

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn)

2 Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa

3 Khóa học: Phương pháp tính (MT1009)_Nguyễn Đình Dương (DH_HK202) (hcmut.edu.vn)

4 Oxford | Định nghĩa trong Từ điển tiếng Anh Cambridge