trậng thậị nghì0, hậ"y thịễ3t lập bậ0ng đễC xậc định vận tọ3c cu0ậ ngươ ị nhậ0y sậu mọịgịậy trọng 10 gịậy đậ&u tịễn bậ5ng cậch sư0 dung phương phập cu0ậ Eulễr vậ Rungễ-Kuttậ đậ" đươc sư0
BÀI TOÁN 1
Đề bài
Trong bài toán vận động của một vận động viên hoặc một vật rơi trong không khí, mô hình động lực được mô tả bằng dv/dt = g − (Cd/m) v^2, trong đó g là gia tốc trọng trường, m là khối lượng và Cd là hệ số cản; v là vận tốc theo phương thẳng đứng Tại trạng thái nghỉ ban đầu (t = 0, v = 0) gia tốc ban đầu là a(0) = g Với các tham số g = 9,8 m/s^2, m = 68,1 kg và Cd = 0,25 kg/m, vận tốc tới hạn v_t được xác định bằng v_t = sqrt(g m / Cd) ≈ sqrt(9,8×68,1 / 0,25) ≈ 51,6 m/s, cho thấy lực cản dần cân bằng với trọng lực khi vật rơi Để ước lượng vận tốc theo thời gian, ta có thể lập bảng vận tốc v(t) bằng phương pháp số, ví dụ dùng quy tắc Euler với các bước thời gian Δt hợp lý; nếu Δt quá lớn (ví dụ 10 s) kết quả có thể sai lệch và không phản ánh quá trình hội tụ tới vận tốc tới hạn, vì vậy nên dùng Δt nhỏ hơn và cập nhật gia tốc tại mỗi bước Ở phần sau, dựa trên kết quả ở phần (a) và các phương pháp giải số như phương pháp phân giác (bisection) hoặc Newton, ta có thể xác định thời gian hoặc tham số cần thiết để vận tốc đạt được mục tiêu cho các khối lượng khác; ví dụ với khối lượng 95 kg và vận tốc mục tiêu 46 m/s, kết quả ước lượng có thể so sánh với giá trị thật và sai số được kiểm tra dưới 5%.
Lực hướng xuống do trọng lực.
Lực hướng lên do lực cản không khí
Cơ sở lý thuyết
Trong bài toán chuyển động của vật trong không khí, vận tốc tăng dần dưới tác động của trọng lực cho tới khi lực cản không khí cân bằng và vật đạt vận tốc tới hạn Mô hình phổ biến cho lực cản là tỷ lệ với bình phương vận tốc: dv/dt = g − k v^2, trong đó k = (1/2) ρ C_d A / m là hệ số cản phụ thuộc mật độ không khí ρ, hệ số cản động lực C_d và diện tích mặt cắt A, còn m là khối lượng của vật Khi dv/dt = 0, vận tốc tới hạn v_t = sqrt(m g / k) xuất hiện, cho thấy vật không thể tăng tốc mãi mà dừng ở một tốc độ nhất định Điều này cho thấy khối lượng m và đặc tính khí động học của vật quyết định thời gian đạt tới vận tốc tới hạn và giá trị của nó Công thức này giúp dự đoán quỹ đạo và tốc độ của các vật rơi trong không khí và là nền tảng cho phân tích thiết kế như bóng đạn, quả cầu hoặc các vật thể rơi từ độ cao.
2.1 Giả sử ban đầu vận động viên nhảy ở trạng thái nghỉ, hãy tìm biểu thức phân tích cho v.
Tậ cọ cọng thưc: dv dt = g− c d m v 2
Nhận 2 vễ3 cu0ậ phương trì nh trễn chọ c m d , tậ đươc: c m d dv dt = m c d g−v 2 Đậ*t a= √ mg c d , suy rậ: m c d dv dt =a 2 − v 2
Thậm khậ0ọ bậ0ng tìch phận, tậ thậ3y:
∫ a 2 dv − x 2 = 1 a tanh −1 x a (2) ÁMp dung cọng thưc (2) vậ ọ phương trì nh (1):
Vì bận đậ&u vận đọng vịễn đậng trọng trậng thậị nghì0 nễn v( 0)=0 Suy rậ: tanh −1 (0)=0 vậ C=0.
Vậy, cọng thưc bịễCu dịễn vận tọ3c (v): v= √ gm c d tanh ( √ gc m t d )
2.2 Phương pháp Euler cải tiến:
Xét bài toán tìm hình dạng của một đường cong được xác định bằng một hệ phương trình và các điều kiện ban đầu cho trước Bài viết tập trung vào cách biểu diễn đường cong bằng tham số và cách chọn phương pháp giải để mô tả chính xác hình dạng mong muốn, đồng thời tối ưu hóa các tham số theo các yêu cầu thực tế Phương pháp đề xuất kết hợp giữa phân tích lý thuyết và thử nghiệm, xác định các điểm đặc trưng, biên và giới hạn của đường cong để đảm bảo tính khả thi và độ chính xác cao Qua đó, bài toán không chỉ đưa ra giải pháp toán học mà còn gợi ý cách ứng dụng mô hình vào thiết kế, đồ họa máy tính, và các tác vụ định vị, tối ưu hóa Để tăng hiệu quả SEO, bài viết chú trọng vào từ khóa đường cong, phương trình, mô hình hóa, tối ưu hóa, giải tích, và ứng dụng trong khoa học dữ liệu cũng như kỹ thuật.
Tậ chịậ đươ ng cọng gịơị hận tậị [ậ;b] thậ nh n đọận nhọ0 bậ5ng nhậu: h= b− a n
Khị đọ cậc địễCm nut lậ t 0 =a,t k =t 0 +kh, k =0 ; 1; 2 ; 3 ; ,t n =b
Gịậ0 sư0 y(t) cọ đậọ hậ m cậ3p 3 lịễn tuc trễn [ậ;b], khị đọ tậ cọ cọng thưc khậị trịễCn Tậylọr bậc 2: y (t k+1 )= y ( t k ) + h y ' ( t k ) + h 2 2 y ' ' ( t k ) + 3! 1 y ' ' ' (ξ ) h 3
→ y (t k+1 ) ≈ y ( t k ) + h 2 ( f ( t k , y k ) + f ( t k +1 , y k+1 ) ) ĐễC tình tọận thễọ cọng thưc Eulễr cậ0ị tịễ3n đơn gịậ0n hơn, tậ thậy: y k +1 = y k +hf ( t k , y k ) Cọng thưc Eulễr cậ0ị tịễ3n: y k +1 = y k +hf (t ¿¿ k , y k )+ f ( t k+1 , y k + hf ( t k , y k ) )
Sọ vơị cọng thưc Eulễr thì cọng thưc Eulễr cậ0ị tịễ3n đậ" sư0 dung phương phập địễCm gịư"ậ (Mịd-pọịnt) đễC thậy: f (t ¿¿ k , y k )=f (t ¿¿ k , y k )+f ( t k+ 1 , y k+1 )
Tư cọng thưc đậ" chọ, tậ cọ: dv dt ≈ ∆ v ∆ t = v ( t i+1) −v ( t i ) t i+1 −t i
Suy rậ: v ( t i+1) − v ( t i ) t i+1 −t i =g− c d m v ( t i ) 2 ÁMp dung phương phập Eulễr cậ0ị tịễ3n chọ bậ ị tọận trễn: ¿ , vơị n
2.3 Phương pháp Euler cải tiến: { v ' =g− v (0) =0 C m d v 2
Vậy vận tọ3c cu0ậ ngươ ị nhậ0y trọng 10 gịậy đậ&u tịễn vơị bươc kìch thươc h = 1 (s) bậ5ng phương phập Eulễr lậ 49,2271 m/s
Phương trình Euler và các phương pháp Runge–Kutta là công cụ chuẩn để ước lượng nghiệm của các hệ phương trình vi phân theo thời gian Phương pháp Euler (Runge–Kutta bậc 1) là phiên bản đơn giản với độ chính xác thấp và phụ thuộc mạnh vào kích thước bước, trong khi các phương pháp Runge–Kutta bậc cao như RK2, RK3 và đặc biệt RK4 cho thấy độ chính xác và tính ổn định được cải thiện đáng kể khi chọn bước thời gian phù hợp RK4 là một trong những phương pháp phổ biến nhất để giải hệ phương trình vì nó cung cấp xấp xỉ gần đúng rất chính xác với chi phí tính toán hợp lý Khi áp dụng RK4 cho hệ n phương trình, ta thực hiện bốn lần ước lượng với từng bước thời gian để cập nhật trạng thái, đồng thời cần cân nhắc điều kiện ổn định và kích thước bước để tối ưu giữa độ chính xác và hiệu suất Các bước nội bộ của từng cấp Runge–Kutta giúp mô hình hóa sự biến thiên của hệ một cách mượt mà, khiến RK4 thường được ưa chuộng hơn Euler trong các bài toán động lực, mô phỏng kỹ thuật và mô hình hóa quá trình liên tục Kết quả cho thấy với cùng kích thước bước, RK4 cho nghiệm xấp xỉ chuẩn xác hơn Euler, đặc biệt ở các bài toán có biến thiên nhanh hoặc tính cứng cao, đồng thời yêu cầu cân nhắc kỹ về chi phí tính toán.
Ý tưởng: Xét bài toán Cauchy cho y(x) thỏa mãn y′(x)=f(x,y(x)) với điều kiện ban đầu y(a)=y0 trên đoạn a≤x≤b Sử dụng phương pháp Euler để ước lượng giá trị của y trên đoạn này: chia [a,b] thành n bước có độ dài h=(b−a)/n, x_k=a+kh (k=0,1, ,n), và xây dựng dãy y_k với y_0=y(a)=y0 theo công thức y_{k+1}=y_k+h f(x_k,y_k) Dãy x_k và y_k cho ta các ước lượng của y tại các điểm x_k, với sự hội tụ và độ chính xác phụ thuộc vào kích thước bước h và số bước n.
Vơị cậc địễCm nut lậ x 0 = a,x i+1 =x i +h, x i =b;i=0 , 1 , 2, 3 ,…
Gịậ0 sư0 y(x) cọ đậọ hậ m bậc m lịễn tuc trễn [ậ;b], tậ khậị trịễCn Tậylọr đễ3n bậc m rọ&ị thậy x= x i+1, tậ đươc: y(xị+1) = y(xị +h) ≈ y(xị)+ y’(xị)h + y’’(xị) h 2 2 + y (3) (xị) h 6 3 + y (4) (xị) 24 h 4 + + y (m) (xị) h m
Tậ đậng xễt cọng thưc Rungễ-Kuttậ bậc 4 nễn thậy n=4 vậ m=4, đọ&ng thơ ị chọn:α1 = 0; α2 = 1 2 ; α3 = 1 2 ; α4 = 1 vậ β21= 1 2 ; β31=0; β32= 1 2 ; β42=0; β41=0; β43= 1
Tậ đươc cọng thưc Rungễ-Kuttậ bậc 4: y(x) ị+1= y(xị +h) ≈ yị + 1
Tư cọng thưc đậ" chọ, tậ cọ: dv dt ≈ ∆ v ∆ t = v ( t i+1) − v ( t i ) t i+1 −t i
Suy rậ: v ( t i +1) −v ( t i ) t i+1 −t i = g− c d m v ( t i ) 2 → f ( t ,v)= g− c m d v 2 ÁMp dung phương phập Rungễ-Kuttậ vậ ọ bậ ị tọận: v(t ị+1 ) = v(tị +h) ≈ vị + 1 6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
Tậ cọ: v =g− C d m v 2 , h=1; x0 = 0; y0 = 0 Bậ3m mậy: Quy ươc v = Y
Vậy vận tọ3c cu0ậ ngươ ị nhậ0y trọng 10 gịậy đậ&u tịễn vơị bươc kìch thươc h 1 (s) bậ5ng phương phập Rungễ-Kuttậ lậ 49,3910 m/s
Xễt bậ ị tọận f ( x )=0 vơị khọậ0ng cậch ly nghịễm (ậ,b).
Gịậ0 sư0 phương trì nh f ( x )= 0 cọ nghịễm chình xậc x nậ5m trọng khọậ0ng cậch ly nghịễm [ậ,b] vậ f ( a) f (b)> NCX = sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t)
3.4 Phương pháp chia đôi: g= input('Nhap gia tri cho g: '); m= input('Nhap gia tri cho m: '); v= input('Nhap gia tri cho v: '); t= input('Nhap gia tri cho t: '); f = @(cd) sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t) - v; cd_a = 0.2; cd_b = 0.5; n=3; for i = 1:n cdi = (cd_a+cd_b)/2; if f(cdi)*f(cd_b)