Tính nhuần nhuyễn của TD thể hiện ở các đặc trưng sau: + Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có cái nhìn đa chiều, toàn diện đối với một vấn đề; + Khả năng tìm đượ
NỘI DUNG
CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1 Cơ sở lí luận của đề tài
Theo từ điển Tiếng Việt, tư duy (TD) là quá trình nhận thức phản ánh các thuộc tính bản chất và các mối quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng Nói cách khác, tư duy giúp ta nhận diện bản chất của sự vật và hiểu cách chúng liên hệ với nhau trong thế giới hiện tượng.
Theo từ điển Triết học, tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não – và là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan thông qua các khái niệm, phán đoán và lí luận Tiêu biểu cho tư duy là các quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp; việc nêu lên các vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung; đồng thời đề xuất giả thuyết và ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ cụ thể.
1.1.2 Đặc điểm của tư duy
TD cho thấy con người trở thành chủ thể chỉ khi đối mặt với một tình huống được gọi là có vấn đề Vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân—xác định những gì đã biết và những gì còn cần tìm kiếm—và nằm trong ngưỡng hiểu biết cũng như là động lực của người tìm kiếm Tiếp theo, TD phản ánh bản chất phổ quát ở phạm vi nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại hay một phạm trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những đặc điểm cụ thể, cá biệt Bên cạnh đó, TD phản ánh hiện thực ở mức độ gián tiếp; trong quá trình ấy có sự thoát khỏi các kinh nghiệm cảm tính và tiến tới khái niệm trừu tượng từ thực tiễn.
1.1.3 Các thao tác của tư duy a Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ cụ thể, nảy sinh trong quá trình nhận thức và hoạt động thực tiễn của con người Quá trình này bắt đầu từ nhận diện mục tiêu, sau đó phân tích các yếu tố liên quan và lập kế hoạch các bước để triển khai giải pháp Ý tưởng hình thành từ các thao tác nhận thức và được kiểm nghiệm qua thực tiễn, khi người ta đưa chúng vào hành động và đối chiếu với kết quả Nhờ đó tư duy không chỉ là một hoạt động lý thuyết mà còn là cách con người xử lý thông tin, đưa ra quyết định và thích nghi với môi trường xung quanh.
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra b Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh mặt bên ngoài và cấu trúc bên ngoài của tư duy; còn nội dung bên trong nó diễn ra qua các thao tác nội tại, là quá trình hình thành và biến đổi ý nghĩ từ bên trong chứ không chỉ là bề mặt nhận thức.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ đối lập nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất trong tư duy và khoa học Phân tích là quá trình tách một hệ thống thành các thành phần hoặc tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ để làm rõ cấu trúc, chức năng và mối quan hệ giữa chúng Ngược lại, tổng hợp là quá trình liên kết các bộ phận thành một vật, hoặc liên kết nhiều vật thành một hệ thống thống nhất để hình thành ý nghĩa, chức năng mới hoặc một toàn thể có thể nhận diện và vận dụng Trong thực tiễn, phân tích và tổng hợp bổ sung cho nhau, giúp nhận thức sâu sắc về hiện tượng và hỗ trợ phát triển các giải pháp sáng tạo.
So sánh là quá trình xác định bằng trí óc xem các sự vật hiện tượng giống hay khác nhau, đồng nhất hay không đồng nhất, hoặc bằng nhau hay không bằng nhau về đặc điểm và tính chất Tương tự là quá trình nhận thức sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết về một đối tượng dự đoán các sự kiện liên quan ở các đối tượng khác.
Trừu tượng hóa là quá trình tách những đặc điểm bản chất của một đối tượng khỏi những đặc điểm không bản chất Sự phân biệt giữa bản chất và không bản chất ở đây mang tính tương đối, phụ thuộc vào mục đích hành động và ngữ cảnh sử dụng Quá trình này giúp làm nổi bật các yếu tố cốt lõi cần xem xét, từ đó tạo nền tảng cho phân tích, lý giải và ra quyết định hiệu quả trong các tình huống phức tạp.
Khái quát hóa là quá trình mở rộng từ một tập hợp đối tượng ban đầu sang một tập hợp lớn hơn bằng cách nêu bật các đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp đó; nhờ đó, ta hình thành khung lý thuyết và các tiêu chuẩn nhận biết chung Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại, từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đã cho chuyển sang tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu, nhằm tập trung phân tích các trường hợp cụ thể và chi tiết Hai quá trình này bổ sung cho nhau: khái quát hóa giúp tổng hợp các đặc điểm chung và mở rộng phạm vi nghiên cứu, trong khi đặc biệt hóa giúp làm rõ sự khác biệt và đặc thù của từng trường hợp.
1.2 Các vấn đề vềtư duy sáng tạo
1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy có tính linh hoạt, độc lập và phê phán, đặc trưng bởi khả năng sinh ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề Ý tưởng mới được thể hiện thông qua việc phát hiện vấn đề mới, tìm hướng đi và cách giải quyết mới, từ đó tạo ra kết quả mới.
1.2.2 Các đặc trưng của tư duy sáng tạo
- Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng khi gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ về quen
Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản, các kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào giải toán
Có thể thấy rằng tính mềm dẻo (linh hoạt) của TD có những đặc điểm sau:
+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác;
+ Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại;
Để thích ứng với những điều kiện và hoàn cảnh mới, cần có suy nghĩ không rập khuôn và tránh áp dụng máy móc những tri thức, kinh nghiệm, kỹ năng đã có Thay vào đó, kết hợp hiểu biết cũ với sự linh hoạt để điều chỉnh phương pháp cho từng tình huống có yếu tố thay đổi Việc nhận diện những yếu tố mới và điều chỉnh cách tiếp cận giúp tối ưu hóa kết quả và giảm thiểu rủi ro Trong bối cảnh thay đổi liên tục, tư duy mở và sáng tạo là chìa khóa để vận dụng bài học cũ vào thực tế hiện tại một cách hiệu quả.
+ Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có;
+ Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện đã quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã quen biết
Tính nhuần nhuyễn là khả năng xem xét một bài toán từ nhiều góc độ, từ đó đề xuất được các cách giải khác nhau và lựa chọn được cách giải tối ưu Tính nhuần nhuyễn của TD được thể hiện qua sự linh hoạt trong phân tích và tư duy, nhận diện các giả định, so sánh các phương án và quyết định phương án tối ưu dựa trên các tiêu chí của bài toán.
+ Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có cái nhìn đa chiều, toàn diện đối với một vấn đề;
Khả năng tìm được nhiều giải pháp ở nhiều góc độ và trong nhiều tình huống khác nhau giúp mở rộng phạm vi lựa chọn và tăng tính linh hoạt khi đối mặt với vấn đề Từ một tập hợp giải pháp, quá trình sàng lọc và đánh giá sẽ chọn ra giải pháp tối ưu, giảm thiểu rủi ro và nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề.
- Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải tiến những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn
Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và kết hợp mới;
+ Khả năng tìm ra các mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có quan hệ với nhau;
+ Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác
TDST được đặc trưng bởi nhiều yếu tố, trong đó nổi bật là tính chi tiết và tính nhạy cảm Tính chi tiết thể hiện ở khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng và kiểm tra, chứng minh ý tưởng một cách có hệ thống Tính nhạy cảm biểu thị năng lực phát hiện vấn đề, mâu thuẫn và sai lầm một cách nhanh chóng, cùng với sự tinh tế của các cơ quan cảm giác, năng lực trực giác và sự phong phú về cảm xúc, nhạy cảm, cũng như khả năng nhận diện ý nghĩ của người khác.
Các đặc trưng cơ bản của TDST không tách rời nhau mà liên kết chặt chẽ, bổ sung và hỗ trợ lẫn nhau; tính mềm dẻo của tư duy tạo điều kiện tìm nhiều giải pháp ở các góc độ khác nhau, từ đó đề xuất các phương án hay, mang tính sáng tạo và độc đáo.
MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
TẠO CHO HS THPT THÔNG QUA GIẢI TOÁN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC
1 Các căn cứ và nguyên tắc để đề xuất giải pháp
- Đả m b ả o tính khách quan, khoa h ọ c
Để đảm bảo tính khách quan và khoa học cho nghiên cứu, mọi giải pháp đề xuất cần dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn tại trường THPT và tuân thủ nghiêm ngặt quy trình khoa học khi xử lý thông tin Dữ liệu từ các cuộc điều tra và khảo sát phải có đầy đủ căn cứ làm nền tảng cho quyết định, đảm bảo tính thuyết phục và độ tin cậy của kết quả Các giải pháp cần được kiểm chứng qua khảo nghiệm thực tế và có khả năng triển khai cao, đồng thời dễ dàng được theo dõi và đánh giá để đảm bảo hiệu quả trong thực tế.
- Đảm bảo tính thực tiễn
Các giải pháp đề xuất được xây dựng trên cơ sở thực tiễn tình hình phát triển giáo dục của thế giới, của đất nước và địa phương, dựa trên phân tích thực trạng và các nguyên nhân cụ thể Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi đề xuất các giải pháp có hiệu quả được triển khai tại trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, đồng thời phù hợp với điều kiện thực tế của nhà trường và mục tiêu đào tạo Những giải pháp này được thiết kế để nâng cao chất lượng giáo dục, phát huy năng lực học sinh và gắn kết với các điều kiện giảng dạy tại địa phương.
- Đảm bảo tính khả thi
Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi và có thể áp dụng vào thực tế một cách thuận lợi và hiệu quả, phù hợp với tình hình thực tế của cơ sở giáo dục Khi đề xuất, cần tính toán và cân nhắc đầy đủ các điều kiện thực tiễn của nhà trường như đội ngũ giáo viên, đối tượng học sinh và các yếu tố địa phương Trong quá trình triển khai, các giải pháp có thể được điều chỉnh, bổ sung và cải tiến để ngày càng hoàn thiện và mở rộng phạm vi áp dụng.
- Đảm bảo yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay
Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo phù hợp với yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay, hướng tới một chương trình giáo dục phổ thông hiện đại và hiệu quả Trước ngưỡng cửa thế kỷ XXI, nhà trường phổ thông được kỳ vọng đào tạo những công dân không chỉ nắm vững kiến thức khoa học mà nhân loại đã tích lũy, mà còn có năng lực sáng tạo để giải quyết các vấn đề mới của đời sống, của đất nước và của xã hội.
Vì vậy, Phương pháp dạy học (PPDH) cần hướng tới việc tổ chức cho học sinh tham gia học tập thông qua các hoạt động và bằng các hoạt động tự giác, tích cực, chủ động để phát huy TDST cho các em.
2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDST cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạđộ
Biện pháp 1: Củng cố kiến thức nền liên quan và tiếp cận các dạng bài toán max-min thường gặp trong hình học tọa độ để xây dựng nền tảng giải toán vững chắc Từ đó, người học có thể hoàn thiện phương pháp giải cho từng dạng bằng cách hệ thống hóa các nguyên lý cơ bản và luyện tập với các bài toán điển hình về tối ưu hóa Việc nắm vững các khái niệm về giới hạn, điều kiện tối ưu và các kỹ thuật phân tích hình học giúp nhận diện nhanh dạng bài và áp dụng phương pháp max-min một cách chính xác và hiệu quả.
Max-min trong hình học nói chung và hình học tọa độ nói riêng là một lĩnh vực đòi hỏi sự liên hệ giữa nhiều kiến thức và kỹ năng giải toán sơ cấp Khi giải các bài toán này, học sinh không chỉ củng cố kiến thức hình học và bất đẳng thức đại số mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề và kỹ năng tư duy sáng tạo Chúng thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và các câu vận dụng cao của kỳ thi THPT, nên việc phát triển kỹ năng giải bài là rất quan trọng Tuy nhiên, thực tế vẫn còn tồn tại sự lúng túng và thụ động ở học sinh và cả giáo viên đối với chủ đề này Để khắc phục, giáo viên nên áp dụng phương pháp dạy học tích cực, tập trung nhấn mạnh max-min trong hình học tọa độ và khai thác các ứng dụng thực tiễn để kích thích ham học hỏi và nhận thức thiếu hụt kiến thức của học sinh Ngoài ra, để phát triển tư duy sáng tạo, cần xây dựng nền tảng kiên cố và củng cố kiến thức vững chắc, vì mọi quá trình sáng tạo đều bắt đầu từ những gì đã biết.
1.1 Một số kiến thức liên quan thường dùng để giải bài toán max – min hình học + Quan hệđường vuông góc và đường xiên, hình chiếu :
Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng, thì :
- Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại
+ Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại
Trong hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau, cạnh thứ ba của tam giác này càng lớn thì góc đối diện với cạnh ấy càng lớn; ngược lại, cạnh thứ ba ở tam giác kia càng lớn thì góc đối diện cũng càng lớn Nói cách khác, khi hai tam giác có hai cạnh bằng nhau, tam giác có cạnh thứ ba dài hơn sẽ có góc đối diện lớn hơn, và ngược lại Mối quan hệ này cho thấy sự liên hệ giữa độ dài cạnh và góc đối diện trong tam giác.
Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc
- Bất đẳng thức 3 điểm: cho 3 điểm A B C, , ta có: AB + AC BC
" "= A B C, , thẳng hàng và A nằm giữa B và C
AB−AC BC; " "= A B C, , thẳng hàng và A nằm ngoài B và C
Ta có: A A 1 2 + A A 2 3 + + A n − 1 A n A A 1 n Dấu bằng xảy raA A 1 ; , 2 A n thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó
+ Bất đẳng thức trong đường tròn:
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất
- Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại
- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn
- Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn
+ Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:
Với hai số a b, tùy ý, ta có: a + b +a b Dấu “=” xảy ra ab 0
Mở rộng: + a + b + + +c a b c Dấu “=” xảy ra abc 0
+ a 1 + a 2 + + a n a 1 +a 2 + +a n Dấu “=” xảy raa a 1 2 a n 0 Với hai số a b, tùy ý, ta có:
+ Bất đẳng thức véc tơ:
Cho 2 véc tơ u = ( ) a b ; và v = ( ) c d ; ta có: u + + v u v
+ Bất đẳng thức Cauchy tổng quát.
1.2 Các công thức về khoảng cách trong không gian (trong mặt phẳng tương tự) Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A x ( A ; y A ; z A ) ( ; B x B ; y B ; z B ), khi đó:
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M x y z ( 0 ; ; 0 0 ) và mặt phẳng
( ) :P Ax+By+Cz+ =D 0 (A +B +C 0) Khi đó:
Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng là: ( ; ) |[ , ]|
Trong đó điểm A và u là vtcp của đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d d 1 , 2 là: ( 1 2 ) 1 2 1 2
Trong đó M M 1, 2 lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng d d 1, 2 và u 1 ; u 2 lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng d d 1, 2
1.3 Các công thức về góc trong không gian (trong mặt phẳng tương tự) Góc giữa hai đường thẳng:
1 ( ; ; ), 1 1 1 2 ( ; ; ) 2 2 2 u x y z u x y z lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng d d 1, 2
Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng ( ) P
( ; ; ), ( ; ; ). d P u x y z n x y z lần lượt là các VTCP, VTPT của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P
Góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q
P Q n x y z n x y z lần lượt là các VTPT của mặt phẳng ( ); ( ) P Q
+ Hàm số y = sin x đồng biến trên đoạn 0;
+ Hàm số y = cos x nghịch biến trên đoạn 0;
1.2.Phương pháp chung để giải các bài toán max – min trong hình học nói chung, hình học toạđộ nói riêng
Cách 1: Phương pháp đại số
Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết
+ Thiết lập biểu thức điều kiện (nếu có) Thiết lập biểu thức giải tích cho các điểm cần tìm cực trị
+ Lựa chọn phương pháp tìm max – min, thông thường là:
- Phương pháp tam thức bậc hai
- Sử dụng bất đăng thức
Cách 2: Phương pháp hình học
Trong hướng làm này, ta tận dụng các bất đẳng thức được trình bày ở phần 1.1 để đánh giá bài toán Mấu chốt của phương pháp hình học là tìm được một yếu tố cố định, bất biến ẩn chứa trong đề bài; sau đó chúng ta đánh giá đại lượng cần tìm — giá trị tối đa hoặc tối thiểu — thông qua đại lượng không đổi.
Mỗi cách giải toán có ưu nhược riêng: giải theo đại số ít đòi hỏi không gian tưởng tượng và dễ hiểu với học sinh ở nhiều trình độ, nhưng đi kèm là nhiều phép tính, tốn thời gian và dễ sai sót Ngược lại, giải theo hình học cho lời giải ngắn gọn và phù hợp với đề thi trắc nghiệm hiện nay, nhưng đòi hỏi học sinh có nền tảng kiến thức vững vàng và được luyện tư duy thường xuyên Đối với các bài toán hình học tọa độ liên quan đến max-min, chỉ dùng phương pháp đại số sẽ khiến ta không thấy được vẻ đẹp của max-min trong hình học nói chung và hình học tọa độ nói riêng.
1.3.Một số bài toán max – min trong hình học toạđộ (các bài toán xây dựng dưới đây chủ yếu đã được lấy các ví dụ trong phần các biện pháp)
+ Các bài toán đến max – min liên quan về độ dài của điểm đối với: điểm, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, mặt cầu…
Các bài toán max – min liên quan đến số đo góc giữa đường thẳng với đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, và giữa mặt phẳng với mặt phẳng là một phần quan trọng của hình học không gian Mục tiêu là xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của góc giữa các đối tượng này khi thỏa mãn các điều kiện cho trước, dựa trên vectơ hướng và vectơ pháp tuyến Phương pháp chung gồm biểu diễn đường thẳng bằng vectơ hướng, mặt phẳng bằng vectơ pháp tuyến, tính cosin của góc bằng tích vô hướng và độ dài vectơ, sau đó tối ưu hóa các tham số để đạt giá trị tối đa hoặc tối thiểu của góc Cụ thể, góc giữa hai đường thẳng được xem qua góc giữa hai vectơ hướng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định từ quan hệ giữa góc của đường thẳng với pháp tuyến của mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng được xác định từ góc giữa hai vectơ pháp tuyến Những bài toán này giúp rèn luyện tư duy không gian và kỹ năng phân tích vectơ, đồng thời có ứng dụng trong luyện tập và thi cử.
Bài viết tập trung vào các bài toán tối ưu max–min liên quan đến khoảng cách trong hình học không gian, cụ thể là khoảng cách ngắn nhất giữa đường thẳng với đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, và giữa mặt phẳng với mặt phẳng Nội dung được triển khai theo từng trường hợp quan hệ giữa các đối tượng (giao nhau, song song hoặc chéo) và nêu rõ khi khoảng cách bằng 0 hoặc có giá trị dương tùy từng cấu hình Với hai đường thẳng, cách tính phần khoảng cách tối thiểu dựa trên vectơ chỉ phương và vectơ nối giữa hai điểm trên mỗi đường thẳng; với đường thẳng và mặt phẳng, xét xem đường thẳng có cắt mặt phẳng hay song song và dùng công thức phù hợp để tính khoảng cách; với hai mặt phẳng, khoảng cách hữu hạn chỉ khi chúng song song và được xác định bằng khoảng cách từ một điểm lên mặt phẳng hoặc bằng công thức dựa trên vectơ pháp tuyến Bài viết trình bày quy trình giải gồm xác định trạng thái quan hệ, viết đúng phương trình đường thẳng và mặt phẳng, áp dụng công thức khoảng cách và tối ưu tham số để tìm giá trị max hoặc min, kèm ví dụ minh họa và lưu ý các sai lầm phổ biến Đây là nguồn tham khảo hữu ích cho người học hình học không gian, luyện thi và làm bài tập về khoảng cách trong không gian ba chiều.
Bài toán 1 Cho điểm A và đườ ng thẳng ( ) d Tìm điểm M trên ( ) d sao cho MA min
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ( ) d
- M ( ) d ta luôn có MA AH MA min = AH M H
Bài toán 2 Cho hai điểm A B , và đườ ng thẳng ( ) d Tìm điểm M trên ( ) d sao cho ( MA + MB ) min
TH1 A B , nằm khác phía so với ( ) d
+ Gọi I = ( ) ( d AB ) I nằm giữa A và B
+ M ( ) d ta luôn có MA + MB AB = IA + IB
TH2 A B , nằm khác phía so với ( ) d
+ Lấy A1 là điểm đối xứng với A qua ( ) d
+ M ( ) d ta luôn có MA+MB=MA 1 +MB A B 1 =IA 1 +IB min 1
Bài toán 3 Cho hai điểm A B , và đườ ng thẳng ( ) d Tìm điểm M trên ( ) d sao cho
TH1 A B , nằm cùng phía so với ( ) d
+ Gọi I = ( ) ( d AB ) | IA − IB | = AB
+ M ( ) d ta luôn có MA−MB AB= IA−IB
TH2 A B , nằm khác phía so với ( ) d
+ Lấy A1 là điểm đối xứng với A qua ( ) d
+ M ( ) d ta luôn có MA−MB = MA 1 −MB A B 1 = IA 1 −IB max 1
Bài toán 4 Cho hai điểm A B , và đườ ng thẳng ( ) d Tìm điểm M trên ( ) d sao cho
+ Lập phương trình đường trung trực ( ) d của đoạn thẳng AB
+ M ( ) d ta luôn có MA−MB 0 min 0 ( ) ( )
MA MB MA MB M d AB
Bài toán 5 Cho hai điểm A B , và đườ ng thẳng ( ) d Tìm M trên ( ) d sao cho
Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng (d) ở dạng tham số t
+ Đặt tọa độ M trên ( ) d phụ thuộc tham số t
min ( ) n MA m MB + = f t là một tam thức bậc 2 ẩn t với hệ số a > 0 + Đánh giá f t ( ) để tìm GTNN
Cách 2: + Xác định I là điểm sao cho n MB m MA 0
+ = → I cố định và duy nhất + T = nMA + mMB = ( m + n MI ) = m + n MI
+ Do m n , không đổi nên T đạt GTNN MI min M là hình chiếu của I lên ( ) d
Bài toán 6: Tìm điểm M thuộc ( ) P sao cho aMA bMB + + cMC min ( a + + b c 0)
+ Tìm điểm I thõa mãn hệ thức: aIA+bIB+cIC =0
I ax bx cx x a b c ay by cy y a b c az bz cz z a b c
( ) ( ) ( ) u = aMA bMB + + cMC = a + + b c MI + aIA bIB + + cIC = a + + b c MI
min u = + +a b c MI u MI min M là hình chiếu của I lên ( ) P
+ Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với ( ) P Chọn vtpt của mặt phẳng ( ) P làm vtcp c ủa đườ ng th ẳ ng IM u IM = n P
Bài toán 7: Tìm điểm M thuộc ( ) P sao cho T = aMA 2 + bMB 2 + cMC 2 đạt max hoặc min
+) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA+bIB+cIC =0
+) Phân tích T =aMA 2 +bMB 2 +cMC 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 a MI + IA + b MI + IB + c MI + IC
( a b c MI ) 2 2 MI aIA bIB ( cIC ) aIA 2 bIB 2 cIC 2
+) Nếu a + + b c 0 thì T đạt min MI min M là hình chiếu vuông góc của
+) Nếu a + + b c 0 thì T đạt max MI min M là hình chiếu vuông góc của
Bài toán 8: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( ) P sao cho ( MA + MB ) min ho ặc
8.1 Tìm M thu ộ c m ặ t ph ẳ ng ( ) P sao cho ( MA + MB ) min
+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A B, so với mặt phẳng ( ) P
- Nếu A B, khác phía mặt phẳng ( ) P thì MA + MB AB , suy ra
( MA + MB ) min = AB Dấu bằng xảy ra A M B, , thẳng hàng và M nằm trong đoạn
- Nếu A B, cùng phía mặt phẳng ( ) P Gọi A ' là điểm đối xứng A qua mặt phẳng
( ) P , khi đó khi đó A B', khác phía ( ) P Ta có MA + MB = MA + MB A B , suy ra
Dấu bằng xảy ra A M B , , thẳng hàng hay M = A B ( )P
8.2 Tìm M thu ộ c m ặ t ph ẳ ng ( ) P sao cho MA − MB max
+) Nếu A B, cùng phía mặt phẳng ( ) P , ta có MA − MB AB suy ra
MA−MB max = AB Dấu bằng xảy ra A M B, , thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB , hay M = AB ( ) P
+) Nếu A B, khác phía mặt phẳng ( ) P Gọi A ' là điểm đối xứng A qua mặt phẳng
( ) P , khi đó MA − MB = MA ' − MB A B ' , suy ra MA − MB max = A B '
Dấu bằng xảy ra A M B , , thẳng hàng hay M = A B ( )P
Bài toán 9: Trong không gian toạđộ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho ( MA + MB ) min ho ặ c MA − MB max ; MA − MB min
9.1 Tìm M thu ộ c đườ ng th ẳ ng ( ) d sao cho ( MA + MB ) min
- Chuyển d về dạng ptts, tham số hoá điểm M theo biến t
- Biểu thị MA + MB theo hàm f t ( )
- Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min của f t ( )
Cách 2: Hình học: Đặt( ) ( P = d B , ) Gọi H K , lần lượt là hình chiếu của A B, lên đường thẳng d và mặt phẳng
( ) P ; A ' ( ) P sao cho A B ', nằm khác phía đối với d và A H ' ⊥d A H ; ' =AH (xem hình)
Ta có MA + MB = MA ' + MB A B ' suy ra ( MA + MB ) min = A B '
Dấu bằng xảy ra A M B', , thẳng hàng và M nằm trong đoạn AB , hay
Xác định M 0 như sau: ta có M 0 nằm trên đoạn HK và
Lưu ý: trong trường hợp ( ) d và AB đồng phẳng thì bài toán đơn giản hơn nhiều
9.2 Tương tự cho bài toán tìm M thu ộ c d sao cho
Bài toán 10: Lập phương trình mặt phẳng ( ) P ch ứa đườ ng th ẳ ng d sao cho khoảng cách từ A đế n ( ) P l ớn nhất, với A là điể m không thuộc d
Phương pháp đại số để lập mặt phẳng: Gọi n = (a, b, c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P cần thiết lập (a^2 + b^2 + c^2 ≠ 0) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u_d Vì d nằm trong P nên n · u_d = 0, cho ta một ràng buộc giữa a, b, c và có thể rút một ẩn theo hai ẩn còn lại Chẳng hạn, rút a theo b và c, từ đó có thể chọn hai tham số và tính tham số còn lại để đảm bảo n ⊥ u_d và xác định mặt phẳng chứa d.
Để tính khoảng cách từ điểm A(x0,y0,z0) đến mặt phẳng P: ax+by+cz+d=0 trong không gian, ta có công thức D = |ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2) Khi làm bình phương để được biểu thức đồng bậc hai, ta có D^2 = (ax0+by0+cz0+d)^2/(a^2+b^2+c^2) Xét hai trường hợp c = 0 và c ≠ 0 Với c = 0, biểu thức giảm còn D^2 = (ax0+by0+d)^2/(a^2+b^2) Với c ≠ 0, đặt t = b/c để đưa biểu thức thành một hàm một biến theo t: D^2 = (a x0 + t y0 + z0 + d/c)^2 / (a^2 + t^2 + 1) Nhờ cách thay biến này, ta được một biểu thức đồng nhất theo biến t, thuận tiện cho phân tích nghiệm và tối ưu các hệ số liên quan đến khoảng cách.
+ Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min của f t ( )
B K Đường thẳng d xác định đi qua điểm B và có véc tơ chỉ phương là u d Kẻ
( K cố định do A d, cho trước).
Suy ra d max = AK Khi đó
Khi đó chọn vtpt của mặt phẳng ( ) P là n (P) = u d ; u AB d ;
Bài toán 11: Trong không gian toạđộ Oxyz , lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( ) P , đi qua điểm B sao cho khoảng cách từđiểm A đế n d lớn nhất, nhỏ nhất?
+ Gọi u (a 2 +b 2 +c 2 0) là vtcp của đường thẳng d cần lập, mặt phẳng ( ) P có vtpt là n P Ta có: n u P d = 0 rút được một ẩn theo hai ẩn còn lại Chẳng hạn, rút a theo b c,
KẾT LUẬN
1 Quá trình nghiên cứu Để đạt được kết quả nêu trên, chúng tôi đã tiến hành một quá trình nghiên cứu nghiêm túc, khách quan, khoa học Đề tài hướng đến mục đích nghiên cứu lý luận, đánh giá thực trạng hoạt động dạy học của GV và HS tại các nhà trường THPT để từ đó đề xuất các giải pháp góp phần phát triển TDST cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ nhằm thúc đẩy chất lượng dạy và học về chủ đề này Phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: phương pháp nghiên cứu lý luận, phương pháp điều tra khảo sát và xử lý số liệu, phương pháp quan sát sư phạm, phương pháp thực nghiệm sư phạm, phương pháp phỏng vấn… Quá trình nghiên cứu dựa trên nguồn tài liệu có độ tin cậy cao, các khảo sát điều tra chính xác từ nhiều đối tượng (học sinh, giáo viên) Trong thực hiện, chúng tôi cũng có sự điều chỉnh kịp thời các biện pháp để phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất Đề tài nhận được sự quan tâm và tham gia tích cực của học sinh, đồng nghiệp trong nhà trường
2 Tính mới của đề tài
Dựa trên nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế về mức độ tiếp thu của học sinh, đề tài đã đạt được một số kết quả cụ thể như sự cải thiện rõ rệt về khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức, mức độ tham gia và hứng thú học tập được tăng lên, và sự phát triển kỹ năng tự học, hợp tác nhóm Phản hồi từ học sinh và giáo viên cho phép điều chỉnh linh hoạt các phương pháp giảng dạy, từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy và chất lượng tiếp nhận kiến thức Những kết quả này cho thấy tính khả thi của đề tài và có tiềm năng mở rộng sang các nội dung và hoàn cảnh dạy học khác.
Rèn luyện cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát và lập luận giúp các em phát huy trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng phân tích, tổng hợp, đồng thời nuôi dưỡng tư duy độc lập Thông qua thảo luận và tranh luận, học sinh được rèn luyện kỹ năng nói lưu loát, biết lập luận chặt chẽ và phát triển tư duy phản biện khi giải toán, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và khả năng giải quyết vấn đề một cách có hệ thống.
- Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các em HS trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải
- Tập luyện cho HS thói quen khai thác đề bài để sáng tạo các bài toán mới giúp các em tự tin hơn trong học tập
3 Tính khoa học Đề tài đảm bảo tính chính xác khoa học bộ môn, quan điểm tư tưởng Các phương pháp nghiên cứu phù hợp với đối tượng, cấu trúc logic, hợp lí, chặt chẽ, đúng qui định Nội dung của đề tài được trình bày, lí giải vấn đề một cách mạch lạc Các luận cứ khoa học có cơ sở vững chắc, khách quan, các số liệu được thống kê chính xác, trình bày có hệ thống Phương pháp xử lí, khai thác tài liệu được tiến hành đúng qui chuẩn của một công trình khoa học Đề tài được lập luận chặt chẽ, thấu đáo, có tính thuyết phục cao
4 Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng Đề tài được chúng tôi thực hiện trong năm học 2021 – 2022 Do nội dung max – min trong hình học toạ độ nó có mặt trong nhiều nội dung của toán THPT; với lớp 10 thì ở toạ độ phẳng Oxy, lên lớp 12 thì ở toạ độ không gian Oxyz Đề tài phù hợp áp dụng cho đối tượng HS các khối từ lớp 10, lớp 11, lớp 12 Đề tài được thể hiện có tính chất phân cấp từ dễ đến khó, từ lí thuyết đến thực hành và vận dụng sáng tạo
II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
1 Với các cấp quản lí giáo dục
Nâng cao nhận thức của giáo viên về TDST và tầm quan trọng của dạy học phát triển TDST cho học sinh là nền tảng để nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông Các nhà trường cần tích cực động viên, khuyến khích và tạo điều kiện cho giáo viên đầu tư chuyên môn, tham gia đào tạo và đổi mới phương pháp dạy học nhằm đáp ứng yêu cầu của chương trình phổ thông hiện hành.
Giáo viên cần căn cứ vào điều kiện cụ thể, đặc biệt là trình độ của học sinh, để vận dụng linh hoạt và sáng tạo các biện pháp phát triển TDST nhằm phát huy hiệu quả cao nhất Không nhất thiết phải rèn luyện theo trình tự các biện pháp đã xây dựng; đồng thời cần nhận thức rõ biện pháp nào phù hợp với từng hoạt động cụ thể trong giờ học để khai thác có hiệu quả nhất.
- HS cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo Đối với phương pháp dạy học mới, HS luôn đóng vai trò trung tâm của mỗi tiết học, chính HS là chủ thể của quá trình nhận thức, là người tự khám phá và chiếm lĩnh lấy tri thức cho mình
- Đứng trước một bài toán, ngoài việc tìm ra lời giải, HS cần phải đặt bài toán đó trong các mối quan hệ với các kiến thức đã học để từ đó khám phá ra những điều mới ẩn chứa trong bài toán Sau khi giải quyết xong một bài toán, HS cần phải “nhúng” bài toán đó vào trong các lĩnh vực toán học khác nhau để tìm ra các bài toán tương tự trong các lĩnh vực đó
Cuối cùng, dù chúng tôi đã rất tâm huyết và dành nhiều thời gian cho nghiên cứu đề tài này, khuôn khổ số trang cho phép đã giới hạn việc trình bày nhiều ví dụ minh họa cho từng biện pháp cũng như các bài tập luyện tập kèm theo Dù đã có nhiều cố gắng, đề tài có thể vẫn còn sai sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý từ hội đồng khoa học các cấp, các đồng nghiệp và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện và làm rõ hơn những nội dung quan trọng trong nghiên cứu.
Xin chân thành c ảm ơn!
Vinh, tháng 4 năm 2022 Nhóm tác gi ả