tai lieu ham so luong giac va phuong trinh luong giac lu si phap 9683

Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản ∓ , với mọi ,α β làm cho các biểu thức có nghĩa.. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP A.. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một

TOÁN 11

CHƯƠNG I

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục

và Đào tạo quy định

Nội dung gồm 4 phần

Phần 1 Kiến thức cần nắm

Phần 2 Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3 Phần trắc nghiệm có đáp án

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh

Mọi góp ý xin gọi về số 0355334679 – 0916.620.899

Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn

Lư Sĩ Pháp

Gv_Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 11 – 17

§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP 18 – 27

CHƯƠNG I

-0o0 -

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

-0O0 -

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

∓ , với mọi ,α β làm cho các biểu thức có nghĩa

2.2 Công thức nhân đôi

sin 2α=2sin cosα α

α

−

=+ , với α làm cho biểu thức có nghĩa

2.6 Công thức biến đổi tổng thành tích

2.7 Công thức biến đổi tích thành tổng

sin cos 2 sin 2 cos

sin 2

α α

α

+ = , với α làm cho biểu thức có nghĩa

3 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt

3.1 Hai góc đối nhau ( cung đối) (α làm cho các biểu thức có nghĩa)

cos(− =α) cosα sin(− = −α) sinα

tan(− = −α) tanα cot(− = −α) cotα

3.2 Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(π α− ) sin= α cos(π α− )= −cosα

tan(π α− )= −tanα cot(π α− )= −cotα

3.3 Hai góc phụ nhau ( cung phụ)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

3.4 Hai góc hơn kém π(cung hơn kém π),(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(π α+ )= −sinα cos(π α+ )= −cosα

tan(π α+ ) tan= α cot(π α+ ) cot= α

3.6 Cung bội ( k∈ℤ, α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(α+k2 ) sinπ = α cos(α+k2 ) cosπ = α

tan(α+kπ) tan= α cot(α+kπ) cot= α

4 Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

1

12

||

|| : Không xác định

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

(− +π k2 ; 2π k π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ;π π+k2 ,π) k∈ℤ

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Nghịch biến trên mỗi khoảng

- Hàm số xác định với một điều kiện

- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện

- Hàm số y=sin ;x y=cosx có tập xác định là ℝ

- Hàm số y=tanxxác định khi và chỉ khi cosx≠0; Hàm số y=cotxxác định khi và chỉ khi sinx≠0

D

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ℤ Vậy D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 ,

− Vì 1 cos+ x≥0 nên điều kiện là 1 cos− x>0 hay

1 cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2 ,π k∈ℤ Vậy D=ℝ\ 2 ,{k π k∈ℤ}

d) Vì 1 sin− ≤ x≤1 nên 3 sin− x≥ ∀ ∈0, x ℝ Vậy D=ℝ

e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ

f) Ta có cosx−cos3x= −2sin 2 sin( ) 4sinx − =x 2xcosx

c) Ta có 1 cos2− x≥0,1 cos 2+ 2 x≥ ∀ ∈0, x ℝ Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ

d) Hàm số cot

x y

k

x k x

ππ

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính (f −x) và so sánh ( )f −x với ( )f x :

Nếu (f − =x) f x( ) thì ( )f x là hàm số chẵn (2)

Nếu (f − = −x) f x( ) thì ( )f x là hàm số lẻ (3)

Do vậy

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì ( )f x là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì ( )f x là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Để kết luận ( )f x là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao

cho f(−x0)≠ f x( )0 và f(−x0)≠ −f x( )0

Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG

Bài 1.5 Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

  e) y = sinx.cos2x + tanx f) y = sinx – cosx

g) y=sin3x−tanx h) tan cot

sin

x x y

ạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m

Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≤M và ∃x0 sao cho f x( )0 =M thì M gọi là GTLN của hàm số y= f x( ) trên D và

− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ 2x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

− ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ 2x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

Bài 1.6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y=2 cosx+1 b) y= −3 2sinx c) y= 2 1 cos( + x)+1 d) 3sin 2

Ta có: 0≤ cosx ≤ ⇔ ≤1 0 2 cosx≤ ⇔ ≤2 1 2 cosx ≤3 hay 1≤ ≤y 3

Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈

Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 2 3 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 3 5 3 2sinx≥1hay 5≥ ≥y 1

Ta có: − ≤1 cosx≤ ⇔ ≤ +1 0 1 cosx≤ ⇔ ≤2 0 2 1 cos( + x)≤4

Ta có 0 sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 1 3 2 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y 3

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin 1 ,

2

x= ± ⇔ = ± +x π kπ k∈

ℤd) Hàm số y=cos2x+2 cos2x có tập xác định là D=ℝ

Ta có cos2 2 cos2 1 cos2 2 cos2 1 5cos2

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là -2, đạt được khi cos2 1 ,

2

x= − ⇔ = +x π kπ k∈

ℤe) Hàm số y= 5 2 cos sin− 2x 2x có tập xác định là D=ℝ

Ta có 5 2 cos sin2 2 5 1sin 22

Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 2 cos2x c) 2

3 cos

y

x

=+

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: − ≤1 1 sin− ( )x2 − ≤1 2 1− Vậy

GTLN của y là 2 1− , đạt được khi 2 2 , 1

f) Hàm số y=4sin xcó tập xác định là D=0;+∞) Trên D ta có: 4 4sin− ≤ x≤4

Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi 2 , 0

Bài 1.9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=sin4x−cos4x b) y=sin4x+cos4x

c) y=sin2x+2sinx+6 d) y=cos4x+4 cos2x+5

HD Giải

a) y=sin4x−cos4x=(sin2x−cos2x)(sin2x+cos2x)= −cos2x

b) sin4 cos4 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 1 1sin 22

GTNN của y là 5, đạt được khi ,

2

x= +π kπ k∈

ℤ

ạng 4 Chu kì tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y= f x( ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số

Calc cho x=1 và ghi nhớ kết quả nhận được

Calc cho x T+ so sánh với kết quả nhận được ở trên, đưa ra đáp án đúng T là chu kì ở

bốn đáp án mà câu trắc nghiệm cho

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.10 Tìm tập xác định của các hàm số sau

y  x π 

f) y= −1 8sin 22 x g) y= 9 9 sin 9− x h) y = sin 2 x − 5

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình sin x m= (1)

Nếu m >1: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sinα =m

ii) Các trường hợp đặc biệt

• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm là = − +π π ∈

ℤ

2 ,2

• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm là x=kπ;k∈ℤ

• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm là 2 ;

Nếu m >1: phương trình (2) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cosα =m

Chú ý:

i) Nếu α thoả điều kiện 0≤ ≤α π và cosα = m thì ta viết α = arccosm

Khi đó pt (2) có nghiệm là : x= ±arccosm k+ 2 ;π k∈ℤ

ii) Các trường hợp đặc biệt khi m∈{ }0; 1±

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tanα=m thì tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tanx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện

• Tổng quát : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

4 Phương trình cot x m= (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cotα=m thì cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cotx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π và cotα =m thì ta viết α =arccotm Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ

• Tổng quát : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Với u=u x v( ), =v x( ) và ,u v làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ

21/ sin sin

- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản

- Cung đối và cung bù

Bài 2.1 Giải các phương trình sau:

2arcsin 23

Vậy phương trình có nghiệm là 2 ,

2 > nên phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 2.3 Giải các phương trình sau:

a) cot 3 cot cot ,

d) cot(x−150)= 3⇔cot(x−150)=cot 300 ⇔ −x 150=300+k1800⇔ =x 450+k180 ,0 k∈ℤ

a) Điều kiện : cos3x≠1 Ta có sin 3x= ⇔0 3x=kπ

Do điều kiện, các giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên 3 (2 1) (2 1) ,

ạng 2 Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn

- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho

Bài 2.6 Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có it giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 ( ứng với k = 0) và ngày thứ 262( ứng với k = 1) trong năm

b) Do sinx≥ −1 với mọi x, nên thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

Vậy: Thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) vào ngày thứ 353 trong năm

a) Tương tự, ta giải phương trình sin ( 80) 1

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 2.7 Giải các phương trình sau:

Bài 2.9 Giải các phương trình sau:

1 sin 3x−cos5x=0 2 tan 3 tanx x=1

3 cos3 0sin3 1

§3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

THƯỜNG GẶP

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một

hàm số lượng giác, trong đó ( )f x là một biểu

thức lượng giác nào đó

Đặt ẩn phụ t= f x( ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này và

từ đó suy ngược lại nghiệm x

Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤1

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác định của tanx và cotx

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có

• Nếu a2+b2≥c2, ta thực hiện tiếp B2 B2 Chia hai vế phương trình (2) cho a2+b2

Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình (2) về phương trình lượng giác cơ bản dạng: sinu=sinv hay cosu=cosv

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx

Áp dụng công thức hạ bậc, ta đưa phương trình

(3) về dạng phương trình bậc nhất đối với sin 2x

Viết d =d(sin2x+cos )2x rồi đưa về dạng

phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx ( đưa về dạng phương trình (3) )

B BÀI TẬP ạng 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình dạng at+ =b 0,a≠0

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

Bài 3.1 Giải các phương trình sau:

a) 2 cos 3( −600)+ = ⇔1 0 cos 3( −600)= − ⇔1 cos 3( −600)=cos1200

x k x k k

Bài 3.2 Giải các phương trình sau:

a) 3 tan 2x+ =3 0 b) cos(x+300)+2 cos 152 0=1

c) 2 cosx− 3 0= d) 8cos2 sin 2 cos 4x x x= 2

k x

Bài 3.3 Giải các phương trình sau:

a) cos2x – sinx – 1 = 0 b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx

c) 4sin cos cos2x x x= −1 d) tanx = 3cotx

HD Giải

a) cos2x−sinx− = ⇔ −1 0 1 2sin2x−sinx− =1 0

x k x

2cos3 1 ,

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)

Bài 3.4 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x+5sinx− =3 0 b) cot 32 x−cot 3x− =2 0

c) 4 cos2x−2 1( )+ 2 cosx+ 2 0= d) 5tanx−2 cotx− =3 0

15tan 2 cot 3 0 5tan 2 3 0 5tan 3tan 2 0

Bài 3.5 Giải các phương trình sau:

a) 2 cos2x−3cosx+ =1 0 b) cos2x+sinx+ =1 0

c) 3 tan2x− +( )1 3 tanx+ =1 0 d)cos 4( x+600)−5cos 2( x+300)+ =4 0

( )

0

0 0 0 0 0

3cos 2 30

ạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương trình có dạng asinx b+ cosx=c a,( 2+b2≠0)

- B1: Kiểm tra

• Nếu a2+b2 <c2 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu a2+b2 ≥c2, ta thực hiện tiếp B2

- B2 Chia hai vế phương trình cho 2 2

a +b Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản dạng: sinu=sinv hay cosu=cosv

Bài 3.6 Giải các phương trình sau:

a) 3 sinx−cosx=1 b) 2sin3x+ 5 cos3x= −3 c) 3cosx+4sinx= −5

d) 5sin 2x−6 cos2x=13 e) 2sin 2x−2 cos2x= 2 f) sin 2 sin2 1

b) 2sin3 5 cos3 3 3 2sin3 5cos3 3 3 sin sin3( cos cos3 ) 3

Bài 3.7 Giải các phương trình sau:

a) sinx= 2 sin 5x−cosx b) 1 1 2

sin 2x+cos2x =sin 4x

c) sin 5x+ 3 cos5x=2sin 7x d) 3 cos5x−2 cos3x+sin 5x=0

k x

π ππ

Cả hai nghiệm đều không thoả điều kiện bài toán Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm

π ππ

π ππ

Bài 3.8 Giải các phương trình sau:

a) 4sinx−3cosx=5 b) 3cos 2 3 sin 9

b) x= ± +α β k2π, k∈ℤ trong đó cos 3 ,sin 2 3

Bài 3.9 Giải các phương trình sau:

a) sin 2 sin 5x x=sin3 sin 4x x b) cos sin 5x x=cos2 cos4x x

c) cos5 sin 4x x=cos3 sin 2x x d) sin 2x+sin 4x=sin 6x

d x x x x x x x

k

x x

x k

x

π

ππ

ππ

Bài 3.10 Giải các phương trình sau:

a) sin sin 7x x=sin3 sin 5x x b) sin 5 cos3x x=sin 9 cos 7x x

c) cos cos3x x−sin 2 sin 6x x−sin 4 sin 6x x=0 d) sin 4 sin 5 sin 4 sin 3x + x x−sin 2 sinx x=0

⇔1(cos4 +cos2 −cos4 +cos8 −cos2 +cos10 )=0

⇔sin 4 sin 5+1 cos −cos 7 +cos3 −cos =0

2

Bài 3.11 Giải các phương trình sau:

a) sin2 sin 22 sin 32 3

2

x+ x+ x= b) sin 32 x+sin 42 x=sin 52 x+sin 62 x

c) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 d) cos 32 cos 42 cos 52 3

cos6x+cos8x=cos10x+cos12x⇔2 cos7 cosx x=2 cos11 cosx x

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm ,

k k

x= π x= π , k∈

ℤc) Phương trình đã cho có các nghiệm ,

3

x= ± +π kπ , k∈

ℤf) Phương trình đã cho có các nghiệm

Bài 3.12 Giải các phương trình sau:

a) 1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x=0 b) cos tan3x x=sin 5x

a) Ta có: 1 sin 2− x=(sinx−cos ) ;2 cos2x 2 x=2 cos( 2x−sin2x)= −2(sinx−cos )(sinx x+cos )x

1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x= ⇔0 (sinx−cos )(1 sinx − x−3cos ) 0x =

( ) ( )

cos tan3 sin 5 cos sin3 cos3 sin 5

x x x x x x x

k x

k x

2 2

2 2

ℤ ( thoả điều kiện sin 2x≠0)

ạng 4 Phương trình bậc nhất bậc hai đối với sin và cos

- Nắm phương pháp giải

- Kiểm tra điều kiện của phương trình

Bài 3.13 Giải các phương trình sau:

a) 4sin2x−5sin cosx x−6 cos2x=0 b) sin2x− 3 sin cosx x+2 cos2x=1

c) 2sin2x+3 3 sin cosx x−cos2x=4 d) 3sin2x+4sin 2x+(8 3 9 cos− ) 2x=0

3 sin cos cos 0 cos 3 sin cos 0

d) Phương trình đã cho có nghiệm là

Bài 3.14 Giải các phương trình sau:

a) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

x+ x− x= b) 2sin2x+ +(3 3 sin cos) x x+( )3 1 cos− 2x= −1

c)3sin 22 x−sin 2 cos2x x−4 cos 22 x=2 d) 3sin2x−sin 2x−cos2x=0

HD Giải

a) Phương trình đã cho có các nghịêm là

4

x= +π kπ và x=arctan 5( )− +kπ, k∈ℤb) Phương trình đã cho có các nghịêm là

Bài 3.14 Giải các phương trình sau

1 2 cos2x−3cosx= −1 2 4sin 42 x+3sin 4x− =1 0 3 6sin 22 x− +(8 3 3 sin2 4 3 0) x+ =

10 4cos2x−2 1( )+ 2 cosx+ 2 0= 11 2sin2x+7 sinx− =4 0 12 3cos 22 x−7 cos 2x+ =4 0

Bài 3.15 Giải các phương trình sau

1 cos2x+ 2 sinx− =1 0 2 cosx= 2 sin 7x−sinx 3 3 cos5x+sin 5x=2 cos3x

4 2sin(x+100)− 12cos(x+100)=3 5 3cos8 2sin4 cos4x− x x=−sin2x−cos2x 6 3sin 3 cos 3

13 3 sin 2x−cos 2x= 3 14 sin 2x− 3 cos 2x= 3 15 3 sin 4x−cos 4x= − 3

Bài 3.16 Giải các phương trình sau

x x x x

x x

3 cos3x+2 cos 2x=cosx+2

4 (2cos 1 sin 4)

2sin 2cos sin

2 1 3

sin 2

2 0cos3 1

x x x x

=+

12

2

4sin6x−8sin5 cosx x−2cos x+ =1 0

13 cos 3 cos 5 sin 4 sin 62 x+ 2 x= 2 x+ 2 x 14 (cos sin )(1 sin2 ) cos sin

0tan 1

x x x x x

x

− + + + =

+

ÔN TẬP CHƯƠNG I

I Hàm số lượng giác: Cần nắm các dạng toán cơ bản

1 Tập xác định của hàm số lượng giác

2 Tập giá trị: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Xét tính chẵn lẻ của hàm số

4 Xét sự đồng biến, nghịc biến của hàm số

5 Chu kì tuần hoàn

II Phương trình lượng giác

1 Phương trình lượng giác cơ bản

- Nắm được cách giải từng phương trình cụ thể

Với u=u x v( ), =v x( ) và ,u v làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ

21/ sin sin

 = +

= − +



3 / tanu=tanv⇔ = +u v kπ 4 / cotu=cotv⇔ = +u v kπ

2 Một số phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

a/ Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Phương trình có dạng: at+ =b 0;at2+ + =bt c 0, t={sin ,cos , tan ,cotu u u u}

b/ Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosu u

Phương trình có dạng: sina u+bcosu=c hay sina u+bcosu=csin (v hay=ccos )v

Lưu ý: - Kiểm tra phương trình cùng một góc u

- Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2+b2 ≥c2

c/ Phương trình không mẫu mực

Lưu ý: - Nắm vững các công thức lượng giác

- Biến đổi đưa về các dạng phương trình đã biết cách giải

e) 2sinx− 2 sin 2x=0 f) tan 2 sinx x+ 3 sin( x− 3 tan 2x)−3 3 0=g) (2sin 1) (2 2sin 1 sin) 3 0