Luận văn thạc sĩ VNU UEd phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh trung học phổ thông

Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ đề cập đến kiến thức cơ bản của Số phức và đưa vào một lượng nhỏ ứng dụng của số phức để giải các bài toán đại số và hình học, cộng thêm thời lượng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn của mình là PGS.TS NGUYỄN THÀNH VĂN, thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội

- Các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã dạy dỗ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường Trung học phổ thông Dương Quảng Hàm – Văn Giang – Hưng Yên đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các thầy cố giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm

Hưng Yên, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Chu Thị Hồng Hạnh

TN (?) (!)

Đối chứng Giáo viên Học sinh Phương pháp Phương pháp dạy học Sách giáo khoa Trung học phổ thông Thực nghiệm

Gợi ý của giáo viên

Dự đoán câu trả lời của học sinh

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục các bảng vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Năng lực và năng lực giải toán 4

1.2 Kĩ năng và kĩ năng giải toán 5

1.2.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán 5

1.2.2 Sự hình thành kĩ năng 6

1.2.3 Điều kiện để có kĩ năng 7

1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán 7

1.3 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 7

1.3.1 Mục tiêu dạy môn Toán 7

1.3.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT 8

1.4 Những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán 8

1.4.1 Dạy học khái niệm Toán học 8

1.4.2 Dạy học định lý Toán học 12

1.4.3 Dạy học quy tắc, phương pháp 13

1.4.3.1 Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 13

1.4.3.2 Những quy tắc, phương pháp tìm đoán 14

1.4.4 Dạy học giải bài tập Toán học 14

1.4.4.1 Các yêu cầu đối với lời giải 14

1.4.4.2 Phương pháp chung để giải toán 15

1.5 Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12 nâng cao 15

1.5.1 Nội dung và mục đích dạy học chương số phức 15

1.5.1.1 Nội dung 15

1.5.2 Tình hình dạy học chương số phức – Giải tích 12 17

Chương 2:BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Dạy học các khái niệm trong chương số phức 20

2.1.1 Dạy học khái niệm số phức 20

2.1.2 Dạy học khái niệm acgumen của số phức z ≠ 0 22

2.1.3 Dạy học khái niệm dạng lượng giác của số phức 25

2.2 Dạy học các định lý trong chương Số phức 27

2.2.1 Dạy học định lí nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 27

2.2.2 Công thức Moivre 30

2.3 Dạy học các qui tắc, phương pháp trong chương Số phức 32

2.3.1 Dạy học quy tắc khai căn bậc hai của số phức 32

2.3.2 Dạy học giải phương trình bậc hai 34

2.4 Dạy học giải bài tập trong chương Số phức 36

2.4.1 Các dạng bài tập liên quan tới dạng dại số của số phức 36

2.4.2 Các dạng bài tập liên quan tới căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai 45

2.4.3 Các dạng bài tập liên quan tới dạng lượng giác của số phức 50

2.5 Ứng dụng của số phức trong các bài toán lượng giác, tổ hợp và hình học phẳng 58

2.5.1 Ứng dụng của số phức trong các bài toán tổ hợp 59

2.5.2 Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình 64

2.5.3 Ứng dụng của số phức vào các bài hình học phẳng 68

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 71

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm 71

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 71

3.3 Triển khai thực nghiệm sư phạm 71

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 71

3.3.2 Một số giáo án dạy thực nghiệm 72

3.4 Tiến hành thực nghiệm 89

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 89

3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết quả của thực nghiệm sư phạm 89

3.5.2 Kết quả của thực nghiệm sư phạm 89

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 91

1 Kết luận 90

2 Khuyến nghị 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

PHỤ LỤC 94

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Đặc điểm lớp thực nghiệm và đối chứng 71Bảng 3.2 Thống kê kết quả làm bài của học sinh 89

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa – hiện đại hóa, hội nhập kinh tế quốc tế Để một đất nước phát triển cần rất nhiều yếu tố nhưng yếu tố con người là quan trọng nhất Chính vì vậy mục tiêu của nước ta trong giai đoạn này là phát triển nguồn nhân lực có sức khỏe, có đạo đức, có tri thức để đáp ứng yêu cầu của

sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc Muốn có nguồn nhân lực như vậy thì một người công dân ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường cần được giáo dục toàn diện

Trong Chương I – điều 5 của Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam số 38/2005/QH11 ngày 14 tháng 6 năm 2005 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” Để thực hiện nhiệm vụ này, ngành giáo dục đã không ngừng đổi mới nội dung cũng như phương pháp dạy học để đáp ứng yêu cầu cấp thiết của xã hội

Môn Toán trong chương trình trung học phổ thông đóng vai trò nền tảng Nó phát huy tư duy suy luận logic của học sinh và kiến thức toán học liên quan đến nhiều môn học khác Không những vậy toán học còn có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tế Vì những ứng dụng đó nên việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán của học sinh là thực sự cần thiết

Trong nội dung môn Toán trung học phổ thông, trước đây chương trình sách khoa cũ không có nội dung số phức, từ năm học 2006 – 2007 số phức được đưa vào chương cuối của Giải tích lớp 12 với mục đích hoàn thiện hệ thống số và khai thác một số ứng dụng khác của số phức để giải toán Đối với học sinh bậc trung học phổ thông thì nội dung số phức còn mới mẻ Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ đề cập đến kiến thức cơ bản của Số phức và đưa vào một lượng nhỏ ứng dụng của số phức để giải các bài toán đại số và hình học, cộng thêm thời lượng giảng dạy trên lớp không nhiều nên học sinh chỉ phần nào biết được một số ứng dụng của số phức

Như vậy việc khai thác các ứng dụng của số phức còn bị hạn chế Điều này đòi hỏi giáo viên cần thực sự quan tâm đến việc giải toán số phức, cũng như phải có cái nhìn sâu sắc về số phức Chỉ có như vậy mới có thể bồi dưỡng được năng lực giải toán số phức cho học sinh.Bên cạnh đó một số giáo viên chưa thực sự coi trọng

Xuất phát từ thực tế trên và điều kiện nghiên cứu của bản thân, tác giả chọn

đề tài: “Phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh trung học phổ thông”

làm luận văn thạc sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng phương án dạy học một số nội dung thuộc chương Số phức – Giải tích 12 (nâng cao) và cách sử dụng số phức để giải các bài toán khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu việc dạy học chương số phức – Giải tích 12 (nâng cao) và thực trạng dạy học chủ đề này ở trường THPT

- Đề xuất phương án dạy học một số nội dung thuộc chương số phức và cách

sử dụng số phức để giải các bài toán khác

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của phương án

và xác nhận giả thuyết đề ra

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu

Là quá trình dạy học giải toán số phức ở trường phổ thông

- Những kĩ năng cần thiết trong giải toán số phức

- Biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông

7 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở hệ thống hóa các kĩ năng cơ bản giải toán số phức và vận dụng những kĩ năng đã đề xuất trong luận văn thì sẽ phát triển được năng lực giải toán số phức cho học sinh ở trường trung học phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu 8.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu lí luận về năng lực, giải toán, về dạy học giải bài tập toán học

8.2 Điều tra, quan sát

Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải toán số phức

8.3 Thực nghiệm sư phạm

Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải toán số phức tại một số lớp

12 trường Trung học phổ thông Dương Quảng Hàm – Huyện Văn Giang – Tỉnh Hưng Yên

9 Đóng góp của Luận văn 9.1 Về mặt lý luận

- Tổng quan về năng lực giải toán nói chung và năng lực giải toán số phức nói riêng

- Hệ thống những kĩ năng cần thiết giải toán số phức và ứng dụng số phức để giải một số bài toán trong chương trình Trung học phổ thông

9.2 Về mặt thực tiễn

Đề xuất được những biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh Trung học phổ thông

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục nội dung chính của luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh Trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực giải toán

Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong môn toán nói riêng Vậy năng lực là gì?

Theo Từ điển tiếng Việt [18]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất tâm sinh

lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả năng hình thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Khi phân tích xu hướng toàn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo dục, Kouvenhowen (2010) và Yu (2010) đã phân biệt năm cách định nghĩa năng lực

khác nhau [7]: “Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học tập đạt tới một chuẩn được yêu cầu nào đó” – cách định nghĩa này gắn với sản phầm đầu ra, năng

lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ thành phần năng lực nên không rõ ràng

Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ,…trong việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất

Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ,… nào đó Cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng các thành phần năng lực

Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách định nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa

Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác

Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua những thực hành có thể nhìn thấy được Năng lực còn có thể được định nghĩa rộng hơn: Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần kiến thức, kĩ năng,

thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn nhữngnhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học

Theo [29]: “ Năng lực là khả năng làm việc tốt nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn”

Theo [1]: “Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, tính tự giác, tích cực, tính trách nhiệm…”

Năng lực được phân làm ba nhóm:

Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lý thuyết toán học (khái niệm, định lý….) và những phương pháp đã biết, đã được cung cấp ngay trong phần lý thuyết của bài học hoặc của chương để giải một hoặc một số bài tập cụ thể nào đó Chính vì vậy một trong những biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh THPT là rèn luyện kỹ năng giải toán

1.2 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.2.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán

Theo nghĩa từ điển [18]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả một hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép”

Theo[22]: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động Con người nắm được cách thức hành động,

Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Cơ sở của kĩ năng là kiến thức Người có

kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động

Như vậy kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt các tri thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những kiến thức thực

tế để giải quyết những bài toán

1.2.2 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển Giáo dục học, để hình thành kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm

vụ đặt ra Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu

tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực của học sinh, Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng tri thức đó Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi

- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng bài toán cụ thể

Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán cùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng

1.2.3 Điều kiện để có kĩ năng

Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đạt được kết quả

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần thời gian đủ dài

1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:

- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.3 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.3.1 Mục tiêu dạy môn Toán

Theo [19]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng

XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:

- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực tiễn cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu toán học

1.3.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT

Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:

+ Tư duy loogic và ngôn ngữ chính xác

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian

+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

1.4 Những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán

1.4.1 Dạy học khái niệm Toán học

Trong môn toán, việc dạy học các khái niệm có vị trí quan trọng hàng đầu

Việc hình thành một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho HS Thực tiễn dạy học cho thấy, HS không giải được bài tập phần lớn do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán

Theo [10] Giáo sư.Tiến sĩ khoa học Nguyễn Bá Kim, trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

+ Con đường quy nạp;

+ Con đường suy diễn;

+ Con đường khiến thiết

a) Con đường quy nạp

Theo tài liệu [12, tr347], quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:

(i) GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

(ii) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không

Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:

Ví dụ

Nêu bật đặc điểm chung

Phát biểu

Chính xác hoá Phân tích

So sánh

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào là điểm xuất phát cho con đường suy diễn;

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp [12, tr348]

b) Con đường suy diễn

Theo tài liệu [12, tr346], quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:

(i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm;

(ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa

nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó;

(iii) Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể biểu đạt như sau (theo [14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh)

Sơ đồ 1.2 Con đường suy diễn tiềm tàng khả năng phát huy tính tích chủ động và sáng tạo của HS trong học tập môn toán, tiết kiệm thời gian Tuy nhiên con đường này bị hạn chế về mặt khuyến khích HS phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hoá và khái quát hoá

c) Con đường kiến thiết

Theo tài liệu [12, tr349], Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

Khái niệm đã biết A

Đặc điểm

bổ xung

Tên khái niệm mới

Định nghĩa khái niệmmới

Ví dụ minh hoạ

GV

HS Chính xác hoá

HS

GV

(i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn;

(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;

(iii) Phát biểu định nghĩa được gợi ý cho kết quả bước (ii)

Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể diễn đạt như sau (theo [14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh)

Sơ đồ 1.3 Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của HS và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn

đề trong quá trình tiếp cận khái niệm Tuy nhiên, con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:

- HS chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do

đó con đường quy nạp không thích hợp;

Xây dựng đối tượng đại diện

Đặc điểm, đặc trưng khái niệm

Phát biểu định nghĩa

GV

HS

Khái quát hoá

Nội bộ Toán Học

Thực tiễn

- HS chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn [12, tr 352]

1.4.2 Dạy học định lý Toán học

Theo tài liệu [12], trong việc dạy học những định lí Toán học, người ta phân biệt hai con đường; con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí

Sơ đồ 1.4 Dưới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường

a) Con đường có khâu suy đoán

(i) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

(ii) Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phục thuộc,

(iii) Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho HS thực hiện những họat động ăn khớp với những quy tắc kết luận lôgíc thường dùng

Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông

(iv) Vận dụng định lí Mặc dù tốn nhiều thời gian, con đường có khâu suy đoán có các ưu điểm sau:

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn;

- HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh;

- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lý mà HS có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn

b) Con đường suy diễn

(i) Gợi động cơ học tập định lý như ở con đường thứ nhất;

(ii) Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết,dùng suy diễn lôgíc dẫn tới định lý;

1.4.3 Dạy học quy tắc, phương pháp

Theo tài liệu [4, tr378], Thực ra những quy tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa, định lý Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lý, có khi chỉ là một phát biểu khác của định nghĩa hay định lí

Tuy nhiên việc dạy học loại tri thức này có những nét riêng, dạy học quy tắc, phương pháp có thể được phân biệt dựa trên khái niệm thuật giải

1.4.3.1 Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

Dạy học thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý một số điều sau

- Thứ nhất, nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc,tạo điều kiện cho thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó

- Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian thích đáng

- Thứ ba, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải

- Thứ tư, cần làm cho HS ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước

- Thứ năm, thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần

có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS

1.4.3.2 Những quy tắc, phương pháp tìm đoán

Cùng với những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, còn một số quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đoán như quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa, phương pháp tìm lời giải của bài toán,

Những quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công

1.4.4 Dạy học giải bài tập Toán học

Tham khảo các tài liệu [12] có thể thấy Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở nhà trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học

Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về PPDH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập

và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV

1.4.4.1 Các yêu cầu đối với lời giải

- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian

1.4.4.2 Phương pháp chung để giải toán

Theo [12] để giải một bài toán có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt rõ giả thiết và kết luận, có thể dùng công thức, hình vẽ để minh hoạ

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những có tính chất tìm đoán như: tổng hợp

và phân tích, quy lạ về quen hoặc biến đổi vấn đề

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn ra cách giải hợp lý

Bước 3: Trình bày lời giải

Sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình, gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.5 Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12 nâng cao

1.5.1 Nội dung và mục đích dạy học chương số phức 1.5.1.1 Nội dung

Theo phân phối chương trình mới môn Toán THPT, phần Giải tích lớp 12 có

số tiết là 90 Trong đó chương Số phức có số tiết là 13, cụ thể:

§2.Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai 3 tiết

§3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng 2 tiết Thực hành sử dụng máy tính cầm tay 1 tiết

1.5.1.2 Mục đích, yêu cầu

Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu được

- Dạng đại số, biểu diễn hình học số phức, phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, môdun của số phức, số phức liên hợp, căn bậc hai của số phức

- Dạng lượng giác, acgumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác, công thức Moa-vrơ

- Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng và Lượng giác ở trường THPT

Về kỹ năng: Giúp HS thành thạo các kỹ năng

- Biểu diễn hình học số phức

- Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, phép nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác

- Biết chuyển đổi được dạng đại số của số phức sang dạng lượng giác

- Biết cách tìm căn bậc hai của số phức dưới dạng đại số và dạng lượng giác

và áp dụng để giải phương trình bậc hai

- Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng và Lượng giác ở trường THPT

* Mục đích, yêu cầu của từng bài trong chương Số phức cụ thể như sau:

§1 Số phức

Về kiến thức: Giúp học sinh

- Hiểu được nhu cầu mở rộng số thực thành tập hợp số phức

- Hiểu cách xây dựng phép toán cộng và nhân số phức từ phép toán cộng và

nhân các biểu thức dạng a+bi ( a b,  ;i2  1)

- Hiểu định nghĩa số phức liên hợp và hai tính chất cơ bản liên quan đến khái niệm này (số phức liên hợp của tổng, tích và môdun của số phức)

- Hiểu định nghĩa số phức nghịch đảo và phép chia cho số phức khác không

- Thấy được các tính chất của các phép toán cộng và nhân số phức, tương tự các tính chất của phép toán cộng và nhân số thực và đó là cơ sở để thực hiện các phép toán đại số trên tập hợp số phức

Về kĩ năng: Giúp học sinh

- Biết cách biểu diễn số phức bởi điểm và vectơ trong mặt phẳng phức

- Thực hiện thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia hai số phức

§2 Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Về kiến thức: Giúp học sinh

- Hiểu định nghĩa căn bậc hai của số phức

- Biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của số phức về việc giải một hệ hai phương trình hai ẩn thực

- Biết cách giải một phương trình bậc hai

Về kĩ năng: Giúp học sinh

- Tính được căn bậc hai của số phức

- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức

§3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Về kiến thức: Giúp học sinh

- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức

- Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức

- Biết công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

- Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng vào lượng giác

Về kĩ năng: Giúp học sinh

- Biết tìm acgumen của số phức

- Biết đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức

- Tính toán thành thạo phép nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

- Sử dụng được công thức Moa-vrơ

1.5.2 Tình hình dạy học chương số phức – Giải tích 12

Để biết được tình hình thực tế của việc dạy và học chương số phức – Giải tích 12, tôi đã phát phiếu thăm dò đến 11 thầy cô trong tổ toán trường THPT Dương Quảng Hàm với nội dung phiếu thăm dò như sau:

Câu hỏi 1: Trong quá trình dạy học môn toán, việc lựa chọn phương pháp dạy học hợp

lý có thật sự quan trọng không? Tại sao?

Câu hỏi 2: Khi dạy học chương số phức, thầy cô có hay sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề hay không?

Câu hỏi 3: Theo thầy (cô) những khó khăn mà GV thường gặp phải khi giảng dạy

Câu hỏi 4: Những lỗi mà HS của thầy (cô) thường gặp phải khi học nội dung chương số phức này?

Kết quả là mỗi GV đều cho chúng tôi những ý kiến bổ ích về thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường phổ thông hiện nay Tổng hợp các ý kiến, chúng tôi xin đưa ra một vài kết luận về những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung số phức ở trường phổ thông hiện nay như sau:

* Những thuận lợi

- Số phức là kiến thức mới đối với học sinh, nhưng tập hợp số phức là một tập hợp số chứa tập hợp số thực, với các quy tắc tính toán tương tự nên việc lĩnh hội tri thức của HS về số phức gặp nhiều thuận lợi và gây được sự hứng thú học tập cho đa số học sinh Nếu biết vận dụng phương pháp dạy học thích hợp (ở đây là phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề) thì các em sẽ nắm vững lí thuyết và vận dụng tốt để giải bài tập

- Cách trình bày, diễn đạt kiến thức mới của SGK là tương đối dễ hiểu và phù hợp với trình độ nhận thức của đa số học sinh

- Số lượng bài tập vừa phải nên không gây tình trạng quá tải đối vối học sinh

mà vẫn giúp HS tập suy luận, khái quát, tập tư duy trừu tượng , đảm bảo về rèn luyện kỹ năng tính toán và khả năng áp dụng giải bài tập

* Những khó khăn

- Trong các kỳ thi hiện nay, số phức chưa phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa thời lượng chương trình dành cho nội dung này không nhiều (13 tiết) nên không có điều kiện để đi sâu thêm các vấn đề có liên quan tới số phức Nó thật bất cập với lượng kiến thức mới phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó khi học chương này

- Tình hình thực tiễn hiện nay thì việc ứng dụng số phức vào giải toán nói chung, giải toán hình học phẳng và lượng giác nói riêng chưa được vận dụng, quan tâm đúng mức

- Các tài liệu tham khảo hiện này viết về nội dung số phức và ứng dụng của

số phức vào giải toán hình học phẳng và lượng giác chưa nhiều, chưa quan tâm đến các bài toán gần gũi với các em HS

- Mặc dù số phức là nội dung khá quan trọng của toán học nhưng lại chưa được các thầy cô giáo quan tâm đưa vào giảng dạy nhiều cho HS

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

Có thể nói rằng, số phức tuy không phải là nội dung mới của Toán học song

nó là một vấn đề rất mới mẻ và tương đối phức tạp với các em HS bậc Trung học phổ thông, đặc biệt là ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng, tổ hợp và lượng giác

Chương 1 cũng đưa ra được thực trạng dạy và học chương số phức ở lớp 12 cũng như những sai lầm HS thường mắc phải khi giải các bài toán dạng này

Trên cơ sở đó ở chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ nêu cách dạy học các khái niệm, định lý, quy tắc và bài tập trong chương Số phức góp phần phát triển năng lực giải toán, đồng thời đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán số phức cho HS

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Như đã trình bày ở chương trước, ngoài kỹ năng, kỹ xảo, năng lực còn phụ thuộc vào những yếu tố về kiến thức, kinh nghiệm, tính tổ chứctrong công việc Tuy nhiên, yếu tố quan trọng nhất là kỹ năng giải quyết công việc Vì thế những biện pháp mà chúng tôi đề xuất sau đây nhằm phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh

Chúng tôi cho rằng, biện pháp trước hết và không kém quan trọng trong rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực vẫn là rèn luyện cho học sinh có được kỹ năng có bản vững chắc, thành thạo

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn được trình bày ở chương 1, trong chương 2 tôi sẽ trình bày biện pháp dạy học nhằm phát triển năng lực giải toán số phức trong nội dung cụ thể của chương số phức bao gồm:

- Dạy học các khái niệm trong chương Số phức

- Dạy học các định lý trong chương Số phức

- Dạy học các quy tắc, phương pháp trong chương Số phức

- Dạy học giải bài tập trong chương Số phức

- Dạy học cách vận dụng số phức giải các bài toán hình học phẳng, đại số tổ hợp, hệ phương trình

2.1 Dạy học các khái niệm trong chương số phức

2.1.1 Dạy học khái niệm số phức

Tiếp cận khái niệm

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm

(?) Hãy giải các phương trình sau trong tập hợp các số thực:

GV: Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các

số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đó có các phép toán cộng và nhân với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân số thực sao cho mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm

Muốn thế, người ta đưa ra số i sao cho bình phương của nó bằng –1

(?) Với i 2 = –1, hãy tìm nghiệm của các phương trình:

(?) Như vậy một số phức được viết dưới dạng như thế nào ?

( !) Số phức là số có dạng : a  b i ( ,a b  ) Phát biểu định nghĩa khái niệm

Một số phức là một biểu thức có dạng a+bi, trong đó a,b là những số thực và

số i thỏa mãn : i 2 = – 1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a+bi

Trong đói được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của sô phức z = a+bi

Tập hợp các số phức ký hiệu là

Hoạt động 2: Củng cố khái niệm

+ Yêu cầu HS đưa ra một vài ví dụ về số phức

+ Tìm phần thực và phần ảo của một số phức

Ví dụ 1 Điền vào chỗ trống a) Số phức 1

2

2

z   i có phần ảo bằng

b) Số phức z = 6i có phần thực bằng và phần ảo bằng

b) Khi nào số phức z = a+bi bằng 0?

c) Khi nào số phức z = a+bi là số thực?

d) Hai số phức z a bi ( ,a b  ), za'b i' ( ', 'a b  )bằng nhau khi nào?

GV đưa ra một số chú ý:

+ Số phức z = a+ bi có phần ảo b = 0 được coi là số thực

+ Số phức z = a+ bi có phần thực a = 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) + Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Ví dụ 5 Cho z1  3 m  i ; z2  n  mi Khi đó z 1 z2 khi

(A) m = – 1 và n = 3; (B) m = –1 và n = –3;

(C) m = 1 và n = 3; (D) m = 1 và n = –3

2.1.2 Dạy học khái niệm acgumen của số phức z ≠ 0

Tiếp cận khái niệm

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm

Để dẫn dắt HS hình thành được khái niệm acgumen của số phức ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M1, M2 , M3 theo thứ tự biểu diễn các

số phức: z1 = 1, z2 = – 2, z3 = 1 + i Hãy tìm số đo (radian) của mỗi góc lượng giác

có tia đầu Ox, tia cuối OM j (j=1,2,3)

( ?) Hãy biểu diễn ba điểm M 1 , M 2 , M 3trên mặt phẳng phức ?

y

x O

M3(1+i)

M1(1) M2(-2)

GV: Khi đó Sđ(Ox,OMj) (j 1, 2, 3) gọi là acgumen của các số phức z1, z2, z3

Và góc 0 là một acgumen của z1; góc  là một acgumen của z2; góc /4 là

một acgumen của z3

(?) Như vậy, acgumen của số phức z được định nghĩa như thế nào?

(!) Acgumen của số phức z là số đo của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM (với M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z)

Phát biểu định nghĩa khái niệm

Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

x O

M(z)

Hình 2.2 ( ?) Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng như thế

nào?

( !) Mọi acgumen của z có dạng :  + k2( k  ).

Hoạt động 2: Củng cố khái niệm

Ví dụ 7 Cho các điểm A, B, C biểu diễn các số phức tương ứng trên mặt phẳng

phức Tìm một acgumen của mỗi số phức đó

y

x C(1+i)

O B(3i)

A(-2i)

Hình 2.3

Ví dụ 8 Tìm một acgumen của các số phức sau

a) z = a (a là số thực dương tùy ý); b) z = b (b là số thực âm tùy ý);

Ví dụ 9 Biết số phức z ≠ 0 có một acgumen là  Hãy tìm một acgumen của mỗi số

Lời giải: Giả sử z = a+bi( ,a b  )

Khi đó z biểu diễn bởi OM

thì – z biểu diễn bởi -OM

Nên –z có acgumen là +(2k+1)( k  ).

z biểu diễn bởi M1đối xứng với M qua Ox nên z có acgumen là – +k2( k  ).

–z biểu diễn bởi –OM1

2.1.3 Dạy học khái niệm dạng lượng giác của số phức

Tiếp cận khái niệm Hoạt động 1: Hình thành khái niệm

y

x O

r

M(a+bi)

Hình 2.4 Xét số phức: z  a b i  0 ( , a b ).

Ký hiệu r là môđun của z và  là một acgumen của z

( ?) Hãy biểu diễn a,b theo r và ?

(!) a = r cos,b = r sin

(?) Khi đó số phức z = a+bi ≠ 0 có thể được viết dưới dạng khác như thế

nào?

GV : Dạng z = r (cos +i sin) được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0

Phát biểu định nghĩa khái niệm

Dạng z = r (cos+i sin), trong đó r>0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0 Còn dạng z=a+bi (a,b ) được gọi là dạng đại số của số phức z

Hoạt động 2: Củng cố khái niệm + Thể hiện khái niệm thông qua việc yêu cầu HS tìm dạng lượng giác của số phứcz  a  bi  0 ( , a b ) cho trước

+ Thông qua quá trình thể hiện khái niệm HS có điều kiện rè luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản và hình thành khả năng ngôn ngữ

Ví dụ 10 Điền vào chỗ trống a) Số– 2 có môđun bằng 2, có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là

(A) Phần ảo của z là số dương và phần thực của z bằng 0;

(B)Phần ảo của z là số âm và phần thực của z bằng 0;

(C)Phần thực của z là số âm và phần ảo của z bằng 0;

(D)Phần thực và phần ảo của z đều là số âm

(a,b ) khác 0 cho trước, ta cần:

1) Tìm r, đó là môđun của z, r  a2 b2 ; số r đó cũng là khoảng cách từ

gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức

2) Tìm , đó là một acgumen của z,là số thực sao cho cos a,sin b

   ,

số  đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

Chú ý : Dựa vào các giá trị lượng giác đặc biệt khi chuyển sang dạng lượng

2.2 Dạy học các định lý trong chương Số phức

Chương số phức có các định lý sau

 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

 Công thức Moivre

 Tính chất của phép cộng, phép nhân số phức

2.2.1 Dạy học định lí nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Dạy học định lý trên theo con đường suy diễn vì những lý do sau:

 Con đường suy diễn có ưu điểm gắn gọn và tạo cơ hội cho HS tập dượt tự học theo sách báo Toán học

 Quá trình suy diễn để dẫn đến công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác đơn giản và dễ hiểu

Gợi động cơ Tương tự như công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số, công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác cho chúng ta kết quả là một số phức

Vấn đề đặt ra: Khi cho hai số phức dưới dạng lượng giác thì làm thế nào để

có các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức

Suy diễn dẫn đến định lý Cho hai số phức:z  r c ( os   isin )  ; ' ' ' '

'( os i sin )( 0, 0)

z r c    r  r (?) Hãy tính các biểu thức sau

a) r c( os i sin ) r c/( os/ i sin/) ;

( os i sin ) ( os i sin ) r c

1os( ) i sin( ) ( os i sin )

Nếu z  r c ( os   isin )  ; z/ r c/( os/ isin/)(r0,r/ 0)



 bằng (A) 2

i z

i







Nhận xét : Nếu ta thực hiện rút gọn về dạng đại số, rồi sử dụng phương pháp

chuyển về dạng lượng giác với bài toán trên sẽ gặp khó khăn

Vì z (1 3 )(1i i) 1  3(1 3)i nên r 2 2

1  3 1  3

Tuy nhiên, qua hai cách làm khác nhau, ta có

Dạy học công thức Moivre theo con đường có khâu suy đoán vì lý do dạy

học theo con đường có khâu suy đoán có nhiều ưu điểm như khuyến khích HS tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề; khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung

Gợi động cơ

Cho số phức z = r(cos+isin) Tính z2 ; z3 ; z4 ; z10

HS sẽ thấy sự khó khăn trong việc tính z10

HS dễ dàng tính được z2; z3 và z4 song sẽ gặp khó khăn khi tính z10

Câu hỏi đặt ra là để tính được z10 một cách đơn giản ta tìm cách đưa ra được

công thức tổng quát tính zn (n nguyên dương, n > 1)

Dự đoán

Yêu cầu HS tính z2 ;z3 và z4

z2 =r2 (cos2– sin2+2isin.cos) =r2(cos2+i.sin2)

z3 =r3(cos3–3cossin2+3i.cos2sin-i.sin3) = r3(cos3+i.sin3)

z4 =(z2)2 = r4(cos4+i.sin4)

(?) Dựa vào công thức tìm z2;z3;z4, hãy dự đoán công thức tìm z n

(!) z n = r n (cosn+i.sinn) (*) với n>0, n  .Phát biểu công thức

“Với n là số nguyên dương r(cos+i sin)n = r n (cosn+i.sinn)

Khi r = 1, ta có (cos+i sin)n = cosn+i.sinn Cả hai công thức đó đều gọi

là công thức Moivre”

Chứng minh công thức GV: Em hãy chứng minh dự đoán

HS: Ta sẽ chứng minh (*) theo phương pháp quy nạp toán học

+ Với n=1 thì (*) đúng

+ Giả sử (*)đúng với n=k(k 0,k ). Khi đó ta có

z k = r k (cosk+i.sink)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n= k + 1 Thật vậy, ta có

z k+1 = r k (cosk+i.sink) r(cos+isin)

=r k+1 (cosk.cos– sink.sin+i.cosk.sin+i.sink.cos)

= r k+1 cos(k+1)+i.sin(k+1)

Điều này chứng tỏ (*) đúng với n = k +1

Vậy z n = r n (cosn+i.sinn) với n > 0, n 

Ví dụ 20 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau

a) z (1 3 ) (1i 16 i) ;10 b) 5 7 18

6

i z

i





Lời giải:

Do đó theo công thức Moivre ta có

2.3 Dạy học các qui tắc, phương pháp trong chương Số phức

Chương Số phức có các quy tắc, phương pháp sau

 Biểu diễn hình học số phức

 Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức

 Phép khai căn bậc hai của số phức

 Giải phương trình bậc hai

2.3.1 Dạy học quy tắc khai căn bậc hai của số phức

Hoạt động 1 Gợi động cơ học tập về căn bậc hai của số phức

Trước khi dạy về căn bậc hai của số phức thì giáo viên yêu cầu học sinh trả lời một số câu hỏi sau

(?) Cho a là số thực không âm Hãy nêu khái niệm căn bậc hai của a

(!) Căn bậc hai của a là số w thỏa mãnw2 =a

(?) Nếu a là số thực âm thì ta có thề tính được căn bậc hai của nó hay

không?

(!) HS: ???

(?) Ta có: i 2 =– 1 Theo định nghĩa trên, có nhận xét gì về i hay không?

(!) i là căn bậc hai của –1

(?) Vậy nếu a là một số thực âm bất kỳ hay a là một số phức thì ta sẽ tính căn bậc hai của a như thế nào?

Hoạt động 2 Hình thành qui tắc tính căn bậc hai của số phức

Dễ thấy căn bậc hai của 0 là 0

Tổng quát

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

* Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Đặc biệt, số thực a dương có hai căn bậc hai là a và – a ; số thực a âm

có hai căn bậc hai là a i và – a i ;

Hoạt động 3: Luyện tập và củng cố

Ví dụ 21 Điền vào chỗ trống

a) Hai căn bậc hai của –1 là và

Xác định căn bậc hai của số phức

z2=a

(z ai z)(  ai)0

.

Số phức z là căn bậc hai của w