Luận văn thạc sĩ VNU UEd phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong chương trình dạy học chủ đề một số dạng phương trình lượng giác đại số và giải tích ban nâng cao

Vấn đề phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu - Trên thế giới, các công trình của nhà tâm lý học Mỹ Giulford và Toranc

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 3.1: Các mẫu thực nghiệm` sư phạm được chọn 94

Bảng 3.1: Kết quả điểm kiểm tra học kì 2 của nhóm ĐC và nhóm TN năm học 2011- 2012 95

Bảng 3.2: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra học kì 2 của nhóm ĐC và nhóm TN năm học 2011- 2012 95

Bảng 3.3: Bảng tổng hợp các tham số của nhóm ĐC và nhóm TN đối với bài kiểm tra học kì 2 năm học 2011- 2012 95

Bảng 3.4: Bảng thống kê các điểm số (Xi) của bài kiểm tra số 1 101

Bảng 3.5: Bảng thống kê các điểm số (Xi) của bài kiểm tra số 2 101

Bảng 3.6: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra số 1 102

Bảng 3.7: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra số 2 102

Bảng 3.8: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi trở xuống của bài kiểm tra số 1 104

Bảng 3.9: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi trở xuống của bài kiểm tra số 2 104

Bảng 3.10: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối với bài kiểm tra số 1 106

Bảng 3.11: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối với bài kiểm tra số 2 106

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ

Trang

Đồ thị 3.1: Biểu đồ phân bố điểm của hai nhóm ĐC và TN 101

Đồ thị 3.2: Biểu đồ phân bố điểm của hai nhóm ĐC và TN 102

Đồ thị 3.3: Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm ĐC và TN (Bài kiểm tra số 1) 103

Đồ thị 3.4: Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm ĐC và TN (Bài kiểm tra số 2) 103

Đồ thị 3.5: Biểu đồ phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm ĐC và

TN ( Bài kiểm tra số 1) 104

Đồ thị 3.6: Biểu đồ phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm ĐC và

TN (Bài kiểm tra số 2) 105

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các bảng ii

Danh mục các đồ thị iii

Mục lục iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Tư duy và tư duy sáng tạo 7

1.2 Tư duy sáng tạo 8

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 13

1.3.1 Tính mềm dẻo 13

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 14

1.3.3 Tính độc đáo 15

1.3.4 Tính hoàn thiện 15

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 15

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 16

1.5 Các phương pháp sử dụng trong tư duy sáng tạo 16

1.6 Tiềm năng của chuyên đề phương trình luợng giác trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 19

1.7 Dạy tư duy sáng tạo cho học sinh 20

1.8 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 21

1.8.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 21

1.8.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới 22

1.8.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo 23

1.8.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 23 1.9 Thực trạng của việc dạy và học nhằm phát triển tư duy sáng tạo

1.9.1 Thực trạng 24

1.9.2 Nguyên nhân 25

1.10 Thực tiễn dạy học chuyên đề phương trình lượng giác đơn giản lớp 11 (ban nâng cao) chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 26

1.10.1 Đặc điểm của chương 26

1.10.2 Yêu cầu, mục tiêu dạy học chương trình 27

1.10.3 Nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao : Một số dạng phương trình lượng giác trong chương trình trường THPT 27 Kết luận chương 1 31

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

32 2.1 Một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo về một số dạng phương trình lượng giác 32

2.1.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo trong việc giải phương trình lượng giác theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo 32

2.1.2 Xây dựng bài toán mới trên cơ sở bài toán đã biết 46

2.2 Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng phương trình lượng giác 49

2.3 Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp trong giải phương trình lượng giác lớp 11 (ban nâng cao) 51

Kết luận chương 2 59

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60

3.1 Mục đích thực nghiệm 60

3.2 Nội dung thực nghiệm 60

3.3 Tổ chức thực nghiệm 93

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 93

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 97

3.3.3 Phương pháp thực nghiệm 97

3.3.4 Tiến hành thực nghiệm 98

3.4 Đánh giá thực nghiệm 98

3.4.1 Đánh giá định lượng 100

3.4.2 Đánh giá định tính 107

Kết luận chương 3 108

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 109

1 Kết luận 109

2 Khuyến nghị 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

ở trường THPT nước ta đặc biệt trong bối cảnh đất nước hiện nay

- Nghị quyết trung ương Đảng khoá IV về định hướng đổi mới phương

pháp dạy học đã chỉ rõ: ” Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là : dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”

Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII, 1993 về tiếp tục đổi mới sự

nghiệp giáo dục và đào tạo đã nhận định: “Con người được đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổi mới”, từ đó

chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo

dục Điều 29 trong Luật Giáo dục (2005) ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, của học sinh;

bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh”

Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII, 1997 tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện

thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp

tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia

quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ Cùng với đó, nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống … Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà

- Do đặc thù của môn Toán, có hệ thống bài tập đa dạng phong phú, mà

một trong các chức năng quan trọng của nó là phát triển tư duy cho học sinh, trong đó đỉnh cao là tư duy sáng tạo

Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

- Hệ thống các lớp chuyên Toán, các lớp chọn ngày càng được Nhà

nước quan tâm, phát triển ở khắp các tỉnh thành trên cả nước Trong những năm qua, các trường chuyên lớp chọn đã đạt được nhiều thành tựu đáng kể, đã bồi dưỡng được ngày càng nhiều học sinh giỏi Toán, phát hiện nhiều tài năng Toán học, nhiều cán bộ kĩ thuật có chất lượng cao cho đất nước

Như vậy, đòi hỏi phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi dạy Toán

để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về nguồn nhân lực của xã hội

1.3 Vấn đề phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

- Trên thế giới, các công trình của nhà tâm lý học Mỹ Giulford và

Torance đã nghiên cứu sâu về năng lực tư duy sáng tạo, bản chất của sự sáng tạo trong các lĩnh vực khác nhau Việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo cho học

dục học phương Tây, Liên Xô (cũ), Nhật Bản, Trung Quốc Trong cuốn "Sáng tạo toán học” , Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán,

quá trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học

cho học sinh trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của học sinh”

- Ở nước ta cũng có nhiều công trình nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh: Các tác giả Hoàng Chúng với cuốn :” Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông”, Nguyễn Cảnh Toàn với:” Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu Toán học”, Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh và Tôn Thân với cuốn:

”Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS”, Trần Bá Hoành với bài viết đăng trên tạp chí Nghiên cứu giáo dục :”

Phát triển trí sáng tạo cho học sinh và vai trò của giáo viên”…

- Gần đây có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này,

như thạc sĩ Bùi Thị Hà năm 2003 với đề tài “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân”; thạc sĩ Nguyễn Ngọc Long năm 2009 với đề tài “Một số biện pháp kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải các bài tập hình học không gian lớp 11”; thạc sĩ Khoa Thị Loan năm 2008 với đề tài “Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo của học sinh” , thạc sĩ Đặng Thị Thanh Xuân năm 2010 với đề tài : “Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh thông qua dạy học phần đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông”

Vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy chủ đề p hương trình lượng giác lớp 11 nâng cao

- Trong các chuyên đề học của Đại số và Giải tích lớp 11 – phần Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác thường gây cho học sinh sự khó khăn trong việc tiếp cận bài học Trong đó bài học: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản đòi hỏi việc tổng hợp kiến thức của toàn bộ

phần học về lượng giác Chính vì vậy bài học trên tạo cho học sinh sự lúng túng trong việc ứng dụng trong việc giải các bài tập

Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận

văn này là: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong chương trình dạy học chủ đề một số dạng phương trình lượng giác – Đại số và giải tích – Ban nâng cao ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua bài học một số dạng phương trình lượng giác

5 Giả thuyết nghiên cứu

Trên cơ sở chương trình và sách giáo khoa hiện hành, nếu xây dựng được hệ

thống bài tập theo hướng phát triển tư duy sáng tạo và có phương pháp sử dụng thích hợp sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

- Điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở một số trường THPT tại Hải Phòng Qua đó, đề xuất các biện pháp dạy học bài tập tọa độ không gian nhằm rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập một số dạng phương trình lượng giác đơn giản lớp 11 phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành, và

sách toán tham khảo liên quan đến phương trình lượng giác lớp 11

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học dạy học, lí luận dạy học môn Toán

- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu sách báo, các công trình khoa học có liên quan đến đề tài

7.2 Phương pháp điều tra xã hội học

- Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của các em trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm

- Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên tổ Toán và học sinh khối 11 về thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và

những khó khăn trong khi dạy và học phần một số phương trình luợng giác đơn giản lớp 11

- Mẫu khảo sát: Các lớp 11B6, lớp 11B8,lớp 11B10, lớp 11B11 Trường THPT Trần Nguyên Hãn Giáo viên tổ toán trường THPT Trần Nguyên Hãn

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

- Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu được từ các bài kiểm tra trong quá

trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả

của giả thuyết nghiên cứu

8 Đóng góp của luận văn

- Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo

- Thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo thông qua chủ đề một

số dạng phương trình lượng giác

- Đề xuất được một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề một số dạng phương trình luợng giác

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp và sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm và cho những ai quan tâm đến dạy học bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn trình bày gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2 Một số biện pháp dạy học chủ đề một số dạng phương trình lượng giác theo định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy và tư duy sáng tạo

Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác của tư duy

Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần,

đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó

Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4 (NXB Từ điển bách

khoa Hà Nội 2005); Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức

một cách đặc biệt -Bộ não người- Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận v.v

Theo triết học duy tâm khách quan, tư duy là sản phẩm của "ý niệm tuyệt đối" với tư cách là bản năng siêu tự nhiên, độc lập, không phụ thuộc vào vật chất Theo George Wilhemer Fridrick Heghen: "Ý niệm tuyệt đối là bản nguyên của hoạt động và nó chỉ có thể biểu hiện trong tư duy, trong nhân thức tư biện mà thôi" Karl Marx nhận xét: "Đối với Heghen, vận động của tư duy được ông nhân cách hóa duới tên gọi "ý niệm" là chúa sáng tạo ra hiện thực; hiện thực chỉ là hình thức bề ngoài của ý niệm"

Theo triết học duy vật biện chứng, tư duy là một trong các đặc tính của vật chất phát triển đến trình độ tổ chức cao Về lý thuyết, Karl Marx cho rằng:

"Vận động kiểu tư duy chỉ là sự vận động của hiện thực khách quan được di chuyển vào và được cải tạo/tái tạo trong đầu óc con người duới dạng một sự

phản ánh" Những luận cứ này còn dựa trên những nghiên cứu thực nghiệm của Ivan Petrovich Pavlov, nhà sinh lý học, nhà tư tưởng người Nga Bằng các

thí nghiệm tâm-sinh lý áp dụng trên động vật và con người, ông đi đến kết luận: "Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của bộ óc"

Từ đó, ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy như sau:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ứng tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

Như vậy hiểu một cách thông thường, tư duy là suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề Trong Toán học thường có các loại hình tư duy là: Tư duy biện chứng, tư duy lôgic, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo Theo A Ia Khinxin , tư duy toán học mang những nét độc đáo sau:

- Suy luận theo sơ đồ lôgíc chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến đích

- Phân chí rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

1.2 Tƣ duy sáng tạo

Theo từ điển, “sáng tạo” nghĩa là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới

không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính

là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Như vậy, sự sáng tạo cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người

Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là

một năng lực của con người

Trước đây, các học giả thường định nghĩa sáng tạo thông qua sản phẩm sáng tạo

Ngày nay, tính sáng tạo thường được xem xét như là một quá trình sáng tạo

Wilson và Crutchfield định nghĩa tính sáng tạo như là sự đối lập với tính phục tùng, nghĩa là làm những điều không được mong đợi và điều được coi là khác thường

Kubie xem tính sáng tạo như một năng lực tìm ra những mối quan hệ mới Guilford coi tính sáng tạo như những quá trình, những thuộc tính của trí tuệ cần thiết cho thành tựu sáng tạo

Nhà tâm lí học Henry Glêitman định nghĩa: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích”

Nhà tâm lí học Karen Huffman cho rằng người có tính sáng tạo là người tạo ra được giải pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề

Theo nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, sáng tạo là thành phần không thể thiếu trong mô hình cấu trúc tài năng Năm 1993, tại hội thảo Tôkyô, Renzuli J.B đã đưa ra mô hình cấu trúc chung của tài năng

I: Inteligence (thông minh) C: Creativity (sáng tạo) M: Motivation (sự thúc đẩy – có thể hiểu là niềm say mê)

G: Gift (năng khiếu, tài năng)

G

M

C I

Mô hình cấu trúc tài năng với ba thành phần là thông minh, sáng tạo và

niềm say mê Có thể nói sáng tạo là cơ sở của cấu trúc tài năng và mang tính tương đối (sáng tạo với ai) Trí tưởng tượng không gian là điều kiện cần để sáng tạo

Quá trình sáng tạo của con người thường được bắt đầu từ một ý tưởng mới, bắt nguồn từ tư duy sáng tạo của mỗi con người Vậy tư duy sáng tạo là gì ?

Nhà tâm lí học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”

Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác

J Danton cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những

ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim, “tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo

ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Trong tác phẩm “Sáng tạo Toán học”, G Polya cho rằng: “Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một

Hình1.1 1

cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả”

Parnes đã so sánh một cách đầy hình ảnh rằng tư duy sáng tạo “như một chiếc kính vạn hoa mà khi ta xoay nó sẽ tạo ra biết bao hình ảnh rực rỡ sắc màu của những ý tưởng mới lạ”

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:

”Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà học chưa từng biết Như vậy, lời giải một bài toán cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hoặc hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày”

Nếu hiểu theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất, tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra cái gì đó mới Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới

về thế giới và các phương thức hoạt động

I Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của quá trình tư duy sáng tạo :

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống mới

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới)

- Kĩ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác

Krutexki chỉ ra ba vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tư duy, cho thấy điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Tư duy tích cực

Tiến sĩ Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao … Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có

Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”

Như vậy, tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Tuy nhiên, tư duy sáng tạo có tính chất tương đối Một phát hiện có thể được coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh nào đó, chưa chắc được coi là sáng tạo trong một tình huống, hoàn cảnh khác Một phát hiện có thể coi là sáng tạo với người này nhưng không mới mẻ với người khác, sáng tạo ở thời điểm này

Hình1.1 2

nhưng không sáng tạo ở thời điểm khác Bởi vì, tính mới mẻ của hoạt động tư duy sáng tạo có thể hiểu theo hai cấp độ:

+ Theo nghĩa khách quan: mới mẻ vì từ trước chưa hề có, chưa có

người nào sáng tạo ra, sản phẩm có ý nghĩa với thực tiễn loài người

+ Theo nghĩa chủ quan: sản phẩm không mới mẻ đối với người khác nhưng mới mẻ với người “đẻ” ra nó Tuy sản phẩm có ít ý nghĩa với hoạt động thực tiễn loài người, nhưng có ý nghĩa với sự phát triển nhân cách của người sáng tạo ra nó, với những người quan tâm đến nó, chưa biết về nó

1.3 Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo

Rubinstein cho rằng tư duy sáng tạo bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm khi các phương pháp lôgíc để giải quyết các nhiệm vụ là không đủ, hoặc vấp phải trở ngại, hoặc kết quả không đáp ứng các đòi hỏi đặt ra từ đầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ

Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả

thi và cả vẻ đẹp của giải pháp

Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc của tư duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:

- Tính mềm dẻo (Flesibility)

- Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

- Tính độc đáo (Originality)

- Tính hoàn thiện (Elaboration)

- Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility) Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như : tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại (Redefition)

1.3.1 Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương

pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Tính mềm dẻo của tư duy có đặc trưng nổi bật dưới đây:

- Khả năng suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ năng có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó

có những yếu tố đã thay đổi , có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước

- Tính mềm dẻo còn thể hiện ở khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh giải các bài tập mà thông qua đó có thể rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng giữa sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lí học coi yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả

năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau đứng trước một vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn thường nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau, từ đó tìm ra phương

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có

cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng, tránh cái nhìn phiến diện, bất biến, cứng nhắc

Ví dụ : +/ Với số 1 có thể nhìn và xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau đa dạng và

phong phú đối với các công thức lượng giác, số 1 có thể hiểu là

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bề ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ

mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) Nhờ đó có thể đề xuất được nhiều phương án khác nhau và tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ

khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo - đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng , kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgíc, chưa tối ưu hoá

từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh, riêng với các em khá giỏi thì càng rõ nét Trong quá trình giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp: dùng kĩ năng phân tích khi tìm tòi lời giải, sử dụng kĩ năng tổng hợp để trình bày lời giải Người giáo viên cần có phương pháp dạy học thích hợp để bồi dưỡng và phát triển năng lực sáng tạo của học sinh

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và

nhiệm vụ của người giáo viên là rèn cho học sinh năng lực xem xét các đối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển

Tư duy biện chứng đóng vai trò quan trọng, giúp ta phát hiện vấn đề và

định hướng tìm cách giải quyết vấn đề đồng thời củng cố lòng tin mỗi khi việc tìm tòi tạm thời bị thất bại

Tóm lại, giáo viên cần rèn tư duy biện chứng cho học sinh, từ đó có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo

1.5 Các phương pháp sử dụng trong tư duy sáng tạo

- Tập kích não: Đây là một phương pháp dùng để phát triển nhiều giải đáp sáng tạo cho một vấn đề Phương pháp này hoạt động bằng cách tập trung sự

suy nghĩ vào vấn đề đó; các ý niệm và hình ảnh về vấn đề trước hết được nêu

thì càng đủ và càng tốt, rồi vấn đề được xem xét từ nhiều khía cạnh và nhiều cách (nhìn) khác nhau Sau cùng các ý kiến sẽ được phân nhóm, đánh giá và

tổng hợp thành các giải pháp cho vấn đề đã nêu

- Thu thập ngẫu nhiên: là kĩ thuật cho phép liên kết một kiểu tư duy mới với kiểu tư duy đang được sử dụng Cùng với sự có mặt của kiểu tư duy mới này thì tất cả các kinh nghiệm sẵn có cũng sẽ được nối vào với nhau Phương pháp này rất hữu ích khi cần những ý kiến sáng rõ hay những tầm nhìn mới trong quá trình giải quyết một vấn đề Đây là phương pháp có thể dùng bổ sung thêm cho quá trình tập kích não

- Nới rộng khái niệm: là một cách để tìm ra các tiếp cận mới về một vấn đề khi mà tất cả các phương án giải quyết đương thời không còn dùng được

Phương pháp này triển khai nguyên tắc "lui một bước" để nới rộng tầm nhìn về vấn đề

- Kích hoạt: Tác động chính của phương pháp này là để tư tưởng được thoát

ra khỏi các nền nếp kiến thức cũ mà đã từng được dùng để giải quyết vấn đề

Chúng ta tư duy bằng cách nhận thức và trừu tượng hóa thành các kiểu rồi tạo phản ứng lại chúng Các phản ứng đối đáp này dựa trên kinh nghiệm trong quá

khứ và sự hữu lý của các kinh nghiệm này Tư tưởng của chúng ta thường ít vượt qua hoặc đứng bên ngoài của các kiểu mẫu cũ Trong khi chúng ta có thể tìm ra câu trả lời như là một "kiểu khác" của vấn đề, thì cấu trúc não bộ sẽ gây khó khăn cho chúng ta để liên kết các lời giải này Phương pháp kích hoạt sẽ làm nảy sinh các hướng giải quyết mới

- Sáu chiếc mũ tư duy (six thinking hats): là một kĩ thuật được nhằm giúp các

cá thể có được nhiều cái nhìn về một đối tượng, những cái nhìn này sẽ khác nhiều so với một người thông thường có thể thấy được Đây là một khuôn mẫu cho sự tư duy và nó có thể kết hợp thành lối suy nghĩ định hướng Trong phương pháp này thì các phán xét có giá trị sẽ có chỗ đứng riêng của chúng, nhưng các phê phán đó sẽ không được phép thống trị như là thường thấy trong lối suy nghĩ thông thường Phương pháp này được dùng chủ yếu là để kích

thích lối suy nghĩ song song, toàn diện và tách riêng cá tính (như là bản ngã, các thành kiến, ) với chất lượng

DOIT: là phương pháp để gói gọn, hay kết hợp, các phương pháp tư duy sáng tạo lại với nhau và dẫn ra các phương pháp về sự xác định ý nghĩa và

đánh giá của vấn đề DOIT giúp tìm ra kỹ thuật sáng tạo nào là tốt nhất Chữ

DOIT là chữ viết tắt trong tiếng Anh bao gồm

- Đơn vận: Đây là phương pháp mạnh giải quyết vấn đề bằng cách đem nó

vào sự vận chuyển đơn nhất Phương pháp này thích hợp để giải quyết những vấn đề trong môi trường kỹ nghệ sản xuất Nó đưa phương pháp DOIT lên một mức độ tinh tế hơn Thay vì nhìn sự sáng tạo như là một quá trình tuyến tính thì cái nhìn của đơn vận đưa quá trình này vào một vòng khép kín không đứt đoạn Nghĩa là sự hoàn tất cùng với sự thực hiện tạo thành một chu kì dẫn tới chu kì mới nâng cao hơn của sự sáng tạo

- Giản đồ ý: phương pháp này là một phương tiện mạnh để tận dụng khả năng ghi nhận hình ảnh của bộ não Nó có thể dùng như một cách để ghi nhớ chi tiết, để tổng hợp hay để phân tích một vấn đề thành một dạng của lược đồ phân nhánh Phương pháp này củng cố thêm khả năng liên lạc, liên hệ các dữ kiện với nhau cũng như nâng cao khả năng nhớ theo chuỗi dữ kiện xảy ra theo thời gian Bằng cách dùng giản đồ ý, tổng thể của vấn đề được chỉ ra dưới dạng một hình trong đó các đối tượng được liên hệ với nhau bằng các đường nối

Với cách thức đó, các dữ liệu được ghi nhớ và nhìn nhận dễ dàng và nhanh chóng hơn

- Tương tự hoá: xem vấn đề như là một đối tượng So sánh đối tượng này với một đối tượng khác, có thể là bất kì, thường là những bộ phận hữu cơ của tự

nhiên Viết xuống tất cả những sự tương đồng của hai đối tượng, các tính chất

về vật lý, hoá học, hình dạng, màu sắc cũng như là chức năng và hoạt động

Sau đó, xem xét sâu hơn sự tương đồng của cả hai, xem có gì khác nhau và

qua đó tìm thấy được những ý mới cho vấn đề

- Tư duy tổng hợp: là một quá trình phát hiện ra các mối liên hệ làm thống nhất các bộ phận mà tưởng chừng như là tách biệt Đây là phương thức ghép đặt các sự kiện lại với nhau để mở ra một tầm nhìn mới cho tất cả các loại vấn

đề Phương pháp này không chỉ dùng trong nghiên cứu khoa học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như nghệ thuật, sáng tác hay ngay cả trong lĩnh vực sử dụng tài hùng biện như chính trị, luật

- Đảo lộn vấn đề (reversal): Đây là một phương pháp cổ điển được áp dụng triệt để về nhiều mặt trên một vấn đề nhằm tìm ra các thuộc tính chưa được thấy rõ và khả dĩ biến đổi được đối tượng cho phù hợp hơn

1.6 Tiềm năng của chuyên đề phương trình luợng giác trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Ở trung học phổ thông, học sinh không chỉ được cung cấp những kiến thức Toán học mà còn được luyện kĩ năng vận dụng Toán học, tính độc lập, tính độc đáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lí học cho rằng: Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp lôgic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải khai thác và sử dụng hợp lí nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo, biểu hiện ở các mặt như: Khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Chuyên đề phương trình lượng giác đơn giản chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú trọng đến việc dẫn dắt học sinh giải quyết theo hệ thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới

Có nhiều phương pháp khai thác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Có thể thấy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.7 Dạy tƣ duy sáng tạo cho học sinh

Theo Eric Jensen, trường học muốn đào tạo nên những học sinh có tư duy sắc bén, cần phải tạo ra nhiều tương tác tư duy hơn nữa trong lớp học, từ hình thức thảo luận nhóm lớn về các vấn đề gây tranh cãi đến hình thức giải quyết vấn đề theo cặp hay nhóm nhỏ

Một cách trau dồi khả năng tư duy nhạy bén trong lớp học là khiến học sinh hiểu được những đặc điểm của nó, có thể là giảng giải cho họ hoặc giúp họ tự tìm hiểu Cách thứ hai, giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu cuộc sống của những người có tư duy phê phán và sáng tạo hoặc phỏng vấn những người biết về trình độ tư duy của họ

Ngoài ra, giáo viên cũng có thể trau dồi tư duy cho học sinh bằng nhiều cách khác:

- Chuẩn bị tài liệu bổ trợ trong quá trình dạy học Ví dụ như tài liệu về nghệ thuật ngôn ngữ, ngôn ngữ cơ thể, Thay vì việc sử dụng ngôn ngữ trong bài, giáo viên nên sử dụng những từ vựng, kích thích tư duy phê phán và sáng

tạo như: “ Các em có thể rút ra người này muốn nói gì không? Các em có kết luận gì về bức tranh này?

- Điều khiển các cuộc thảo luận và tranh luận về những vấn đề gây tranh cãi Giáo viên có thể tổ chức những buổi tranh luận có hệ thống, trong đó cặp học sinh này tranh luận với cặp học sinh kia, sau đó đổi vị trí và bảo vệ quan điểm đối ngược với cặp học sinh đó

- Cho học sinh diễn lại những sự kiện lịch sử mà những nhân vật chính

ở hai phía đối ngược

- Cho học sinh trả lời các câu hỏi về nhiều phương án

- Cho học sinh đọc và thảo luận những văn học phản ánh những giá trị và truyền thống khác với văn hóa của họ

- Mời những người có tư tưởng tranh luận đến nói chuyện với lớp , nên mời thêm một người có tư tưởng khác để duy trì ủng hộ tập thể và với tinh thần tư duy phê phán, từ đó tạo tư duy cho học sinh, và nêu bật vấn đề cần nêu

ra trong buổi nói chuyện ở nhiều phương diện Giáo viên muốn học sinh tư duy sáng tạo thì giáo viên cần phải thể hiện điều đó ở chính bản thân mình :

- Tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận với nhiều trường phái, quan điểm khác nhau trong một môi trường tích cực

- Tìm kiếm và cung cấp lý do cho thứ mà họ đang làm

- Cố gắng không xa rời điểm chính của cuộc thảo luận

- Cởi mở, khuyến khích suy nghĩ cá nhân của học sinh, chứ không đơn giản là lặp lại những gì giáo viên đã nói

- Thay đổi vị trí của họ khi bằng chứng được đưa ra,sẵn sang chấp nhận khuyết điểm

- Nắm được cảm giác, trình độ hiểu biết, độ tinh tế của người khác

- Thể hiện ước muốn sâu sắc và sự chuẩn bị để đạt được mục tiêu

- Tìm kiếm những giải pháp giàu tưởng tượng và phù hợp

1.8 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

1.8.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa, trong đó phân tích

và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa các mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả

năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và nhiều tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra những giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Các tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng cũng có cùng quan điểm như trên

Để khẳng định vai trò của phân tích và tổng hợp trong sáng tạo toán học, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “ Muốn sáng tạo toán học, rõ rang là

phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia” Còn theo tác giả Hoàng Chúng thì các phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa, và tương tự có ý nghĩa quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng các phương pháp này để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả; tìm ra phương hướng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ có những phương pháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương tự hoặc đi sâu vào những trường hợp đặc biệt, có ý nghĩa toán học

1.8.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra những tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tùy theo từng loại đối tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau

Khi luyện tập, củng cố, chẳng hạn khi học sinh học một quy tắc nào đó, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tình ý của tư duy, tránh hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó

chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

1.8.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có

thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm hiups học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau, để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo Chẳng hạn như đưa ra những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục “tình ý”

(hành động máy móc, không thay đổi phù hợp điều kiện mới); những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch

đi liền với nhau, song song với nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình…

1.8.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài ,cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác, những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập đã giải…

Một vấn đề quan trọng là vấn đề kiểm tra, đánh giá phải được tiến hành song song với việc dạy học Các đề thi, đề kiểm tra cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức máy móc thiếu sáng tạo

1.9 Thực trạng của việc dạy và học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông hiện nay

1.9.1 Thực trạng

- Theo chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng 11 nâng

cao của nhà xuất bản Giáo Dục bài học: “Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản” nằm trong tiết 3 chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Theo phân phối chương trình của bài học “Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản” gồm có 6 tiết trong đó có 4 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập Với lượng thời gian phân phối chương trinh bài học trên ta thấy rõ việc truyền tải lượng kiến thức của bài học là rất lớn và ta thấy được vấn đề làm thấu hiểu rõ các dạng bài với từng phương trình lượng giác đơn giản đòi hỏi khả năng tiếp thu kiến thức và việc học và nhớ các công thức lượng giác

Dạy học chủ đề “Một số dạng phương trình lượng giác ”, qua điều tra

cho thấy việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn nhiều hạn chế dẫn đến:

- Học sinh khi giải bài tập thì chỉ áp dụng các quy tắc, công thức một cách máy móc

- Phần chuyên đề một số dạng phương trình lượng giác này, các em thường làm theo một khuôn mẫu có sẵn, ít có cơ hội tự khám phá, làm chủ kiến thức dưới sự hướng dẫn của thầy cô và đặc biệt ít khi được tập dượt nghiên cứu khoa học

- Tính tự giác và độc lập trong học tập của các em chưa cao, còn ỷ lại vào thầy cô giáo, dành ít thời gian cho việc tự học, số lượng các em tự đọc sách tham khảo để nâng cao trình độ là không nhiều

- Khó khăn khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ

khác, không vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa…Suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kiến thức, kĩ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi Ví dụ như còn lúng túng khi chuyển từ dạng bài tập này sang dạng bài tập khác Cùng một bài toán, bài tập cùng dạng thì học sinh giải được một cách dễ dàng, nhưng khi đặt nó trong những bài tập dạng khác thì học sinh lại gặp khó khăn, học sinh còn rất lúng túng trong việc áp dụng các công thức công lượng giác để giải cách dạng bài tập về phương trình lượng giác đơn giản Hoặc khi giáo viên chỉ thay đổi cách hỏi thì học sinh loay hoay, có khi không tìm được giải pháp Những điều đó bắt nguồn từ việc không hiểu rõ bản chất khái niệm, chưa hiểu rõ và học được cách ứng dụng linh hoạt các công thức biến đổi lưọng giác theo từng dạng bài toán cụ thể , cũng như việc liên hệ giữa các dạng bài tập chưa cao

- Khi giải bài tập, học sinh còn mắc phải rất nhiều sai lầm (sai lầm do áp dụng sai quy tắc, định lý, hoặc không hiểu đúng các khái niệm, định nghĩa, sai lầm về kĩ năng biến đổi, sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán,…)

1.9.2 Nguyên nhân

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên, ví dụ như:

- Cách kiểm tra đánh giá và thi cử hiện nay ảnh hưởng không nhỏ tới việc dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, chương trình sách giáo khoa nặng, thời gian luyện tập ít, áp lực thi cử cao, tất cả vội vàng dạy và học theo bệnh thành tích, học ôn theo đúng chương trình kiểm tra, không có thời gian để dạy và học kĩ, đi sâu ở một đơn vị kiến thức nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Giáo viên chưa chú trọng việc phát triển tư duy cho học sinh, giáo viên chưa có kiến thức về phát triển tư duy sáng tạo, hoặc không đủ khả năng sáng tạo để dạy tư duy sáng tạo cho học sinh, kiến thức không đủ rộng, phương pháp dạy không tốt, không tìm được những biện pháp để kích hoạt tư duy sáng tạo cho học sinh

Những cách dạy và học đó làm cho học sinh học tập thụ động, trí thông minh ít có điều kiện phát triển, năng lực tư duy độc lập và sáng tạo bị hạn chế, kiến thức không sâu, sau này khó có thể tiến xa hơn trên con đường học tập, nghiên cứu khoa học, cũng như các lĩnh vực khác của đời sống

Như vậy, thực tế còn đòi hỏi cần phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi dạy toán để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về nguồn nhân lực của xã hội

1.10 Thực tiễn dạy học chuyên đề phương trình lượng giác đơn giản lớp 11 (ban nâng cao) chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1.10.1 Đặc điểm của chương

- Chuyên đề lượng giác nói chung và phần phương trình lượng giác đơn giản nói riêng đều là những kiến thức rất rộng , đòi hỏi HS phải có sự tập trung nhất định và việc học nhớ các công thức biến đổi lượng giác là việc cần thiết

- Khi học tập bộ môn này thường thông qua nghiên cứu các phương trình và các công thức, việc tính toán lại rất cụ thể, tỷ mỷ, đòi hỏi phải chính xác

- Nội dung kiến thức của chương gọn nhẹ, nhưng nội dung bài tập rất phong phú, đa dạng, có thể có nhiều cách giải cho một bài tập cụ thể Vì thế việc chọn cách giải bài tập trong phần này thật sự quan trọng và quyết định việc thành công trong nhiệm vụ học tập

- Các bài tập thường có lời giải dài dòng, tính toán nhiều, đặc biệt là kỹ năng giải phương trình và kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác

- Nội dung kiến thức của chương đặc biệt liên quan đến nội dung kiến thức chương 6 là chương đại số cuối cùng của đại số lớp 10 Chính vì vậy, cách nghiên cứu, khai thác vấn đề phải dựa trên nền tảng cơ bản kiến thức cũ

đã được nghiên cứu từ trước

1.10.2 Yêu cầu, mục tiêu dạy học chương trình

Dưới lớp 10 các em học sinh đã được làm quen với khái niệm góc –cung lượng giác, giá trị lượng giác của góc lượng giác có liên quan đặc biệt và

đặc biệt một số công thức lượng giác Nhằm củng cố và mở rộng kiến thức về chuyên đề lượng giác Chương này giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn về hàm số lượng giác về phương trình lượng giác và bài học: một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Trong chương trình lớp 11, chương 1 “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” là nội dung rất quan trọng, là vấn đề thường gặp trong các đề thi TNPT và thi vào các trường chuyên nghiệp Vì vậy, việc giảng dạy của GV và việc học tập của học sinh phải hết sức được chú trọng GV cần phải làm cho HS nắm chắc nội dung kiến thức của chương và đặc biệt là vận dụng vào các bài tập đa dạng, phong phú của nội dung kiến thức Do đó, trong các giáo án, cần được thể hiện rõ những điều cần chú ý ở trên

1.10.3 Nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao phần chủ đề : Một số dạng phương trình lượng giác trong chương trình trường THPT

Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao, Chương I

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác bao gồm các bài sau Bài 1: Các hàm số lượng giác

Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

* Với các kiến thức cơ bản sau:

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (ban nâng cao)

Dạng 1: Phương trình lượng giác chứa hai hàm giống nhau ở hai vế

Với u,v là hai hàm số theo biến x,ta có:

* Nếu |m| >1, phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu |m|  1, và  sao cho sin= m thì

2sin

Loại 2: Phương trình cosx = m (2)

* Nếu |m| >1, phương trình (2) vô nghiệm

* Nếu |m|  1, và  sao cho cos= m thì

Điều kiện xác định là 2 , k

2

x   k  Z

Nếu  sao cho tan= m thì

tanx m   x  k, kZ

Loại 4: Phương trình cotx = m (4)

Điều kiện xác định là x k , kZ Nếu  sao cho cot= m thì

cotx m   x  k, kZ

Dạng 3: Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Loại 1: Dạng a.sin2x + b.sinx + c = 0 (1)

Cách giải: * Đặt t = sinx, điều kiện t 1

* Đưa (1) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t Chọn nghiệm t   1;1 rồi giải tìm x

Loại 2: Dạng a.cos2x + b.cosx + c = 0 (2) Cách giải: * Đặt t = cosx, điều kiện t 1

* Đưa (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t Chọn nghiệm t   1;1 rồi giải tìm x

Loại 3: Dạng a.tan2x + b.tanx + c = 0 (3) Cách giải: Điều kiện cos 0 2 , k

2

x  x  k 

Z

* Đặt t = tanx t 

* Đưa (3) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t , rồi giải tìm x

Loại 4: Dạng a.cot2x + b.cotx + c = 0 (4) Cách giải: Điều kiện sinx 0 x k , kZ

* Đặt t = cotx t 

* Đưa (4) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t , rồi giải tìm x

Dạng 4: Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng:

a.sinx + b.cosx = c (1)

Cách 1: Đưa về phương trình bậc nhất theo sin hoặc cos:

Chia hai vế của (1) cho a2b2 ta được:

a

a b b

Tiếp tục giải phương trình (3) để tìm x

Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai:

+ Kiểm tra cos 0

2x  có phải là nghiệm của phương trình đã cho hay không?

Đưa phương trình này về phương trình bậc hai theo t, giải t rồi tìm x

Dạng 5: Phương trình đẳng cấp bậc hai

a.sin2x + b.sinx.cosx +c.cos2x + d = 0 (1) Cách giải:

Thay 2 1 cos 2 2 1 cos 2

* Nội dung thực hành ( bài tập )

- Bài tập giải các dạng phương trình lượng giác đơn giản

- Bài tập giải và biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

- Bài tập về các phưong trình lượng giác chứa điều kiện theo yêu cầu đề bài ( Bài tập áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai xét điều kiện các nghiệm)

* Yêu cầu cơ bản về kỹ năng

- HS nắm vững các kiến thức cơ bản trong phần lượng giác bao gồm các giá tri cung góc- các hàm số lượng giác – các công thức biến đổi lượng giác

- Rèn luyện cách giải các phương trình lượng giác đơn giản

- Nhớ được cách giải các bài toán cơ bản, trình bày chính xác các bài toán Tìm tòi cách giải ngắn gọn cho các bài toán, lựa chọn được cách giải phù hợp với từng câu hỏi

- Làm nhiều bài tập để nhớ cách giải các dạng toán, giải nhanh, chính xác

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã hệ thống lại và làm sâu sắc thêm các vấn đề lý luận có liên quan đến khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo và vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo đồng thời nêu được phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn toán, và tiềm năng của chuyên

đề : một số dạng phương trình lượng giác đơn giản trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, đặc biệt nêu được thực trạng của việc dạy và học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở nhà trường phổ thông hiện nay

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập hình học là rất cần thiết, qua đó chúng ta giúp học sinh học tập chủ động, tích cực hơn, kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống

- Như vậy, trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần tìm ra các biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY

SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 2.1 Một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo về một số dạng phương trình lượng giác

2.1.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo trong việc giải phương trình lượng giác theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

2.1.1.1 Rèn luyện theo tính mềm dẻo

Theo như tính đặc trưng nổi bật của tư duy mềm dẻo

- Khả năng suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ năng có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó

có những yếu tố đã thay đổi , có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước

- Tính mềm dẻo còn thể hiện ở khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích tổng hợp, so sánh trừu tượng hoá, khái quát hoá

Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bài toán cụ thể có vướng mắc hoặc cách giải chưa hay, thì gợi mở cho học sinh theo hướng hiệu quả hơn

Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau

2

0 cos

- Chính vì vậy trước bài toán trên người giáo viên phải có định hướng và có

những dẫn dắt hợp lí để học sinh tìm ra cách giải bài toán trên Do bài toán trên chưa đưa về dạng phương trình đơn giản Vậy trước hết giáo viên có

những câu hỏi gợi mở vấn đề

? Trước hết quan sát bài toán và có nhận xét về điều kiện của bài

Đk x  m

2

Ở bài toán này thể hiện rất rõ tính mềm dẻo ứng dụng linh hoạt trong việc biến đổi theo công thức lượng giác

Bài toán chứa hàm cos gồm cos2x, cos4x và chứa giá trị cos x2

Ta dùng công thức biến đổi lượng giác để đưa về những giá trị lượng giác cos

của các góc 2x Giáo viên gợi ý công thức lượng giác

? Nêu công thức góc nhân đôi : cos4x=

công thức hạ bậc cos x2 = Vậy ta sẽ dùng công thức biến đổi để đưa về cùng cos2x khi đó ta được (1)2 2cos 2 2 x 1 3(1 cos 2 ) 1 3cos 2 x   x0

Như vậy sau khi biến đổi công thức một cách linh hoạt , mềm dẻo ta đã đưa đựoc bài toán về theo dạng phương trình bậc hai đối với cos2x

Khi đó phương trình được

k x x

x x

x

6

22

12cos

12cos0

12cos32cos

4 sin 6xcos6 x10cos 2 34 x  

Khi học sinh tiếp cận bài toán này thường sẽ có cảm giác phức tạp và thấy cồng kềnh với các số mũ của các hàm lượng giác

Ta nhận thấy trong bài toán này có chứa 2 hàm cosx, sinx và có cos2x Trong đó  sin6 x  cos6 x  sẽ sử dụng công thức biến đổi hợp lí phù hợp

với vế bên phải của phương trình

? Ta có thể biến đối sin6x theo cos6x Việc này rõ ràng ta thấy rất khó và không hợp lý , vậy giáo viên sẽ gợi ý

? Còn có công thức nào liên quan tới  sin6 x  cos6 x 

Khi đó ta sẽ có công thức  6 6  3 2

4

21