Tổng hợp bài tập và cách giải bài tập toán 9

Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A..  Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị của

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị:

Đồ thị là một đ- ờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

Phần I:

Đại số

5 Vị trí t- ơng đối của hai đ- ờng thẳng

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

nghiệm phân biệt:

a

b x

kép :

a

b x

x

2 2

a

b x

' ' 1

' ' 2

a

b x

x

'

2 1

Nếu a + b + c = 0 thì ph- ơng trình có hai nghiệm:

x1 = 1 ; x2 = c

a

Nếu a - b + c = 0 thì ph- ơng trình có hai nghiệm:

x1 = -1 ; x2 = c

9 Giải bài toán bằng cách lập ph- ơng trình, hệ ph- ơng trình

B- ớc 1: Lập ph- ơng trình hoặc hệ ph- ơng trình

B- ớc 2: Giải ph- ơng trình hoặc hệ ph- ơng trình

B- ớc 3: Kiểm tra các nghiệm của ph- ơng trình hoặc hệ ph- ơng trình

nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

 Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các b- ớc sau:

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đ- a bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A

 Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút

gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

 Cách giải:

a a

1

1 1

1

a) Tính P khi a = 2

- Ph-¬ng ph¸p 5: Ph- ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt

a a a a n

a a

a a

.

3 2 1 3

3 2 2 2 1 2 3

3 2 2 1

a b

a b

- Ph-ơng pháp 3: Ph- ơng pháp t- ơng đ- ơng

A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) đúng do đó A > B

- Ph-ơng pháp 4: Ph- ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

A > C và C > B  A > B

- Ph-ơng pháp 5: Ph- ơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi t- ơng

đ- ơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B

- Ph-ơng pháp 6: Ph- ơng pháp sử dụng giả thiết

- Ph-ơng pháp 7: Ph- ơng pháp quy nạp

- Ph-ơng pháp 8: Ph- ơng pháp dùng biểu thức phụ

Dạng 5: bài toán liên quan tới ph- ơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)

a

b x

2 1

2 2







+ Nếu  = 0 : Ph- ơng trình có nghiệm kép

a

b x x

2 2 1





+ Nếu  < 0 : Ph- ơng trình vô nghiệm

- Ph-ơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn

Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ' > 0 : Ph- ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2







+ Nếu ' = 0 : Ph- ơng trình có nghiệm kép

a

b x

x

'

2 1







+ Nếu ' < 0 : Ph- ơng trình vô nghiệm

- Ph-ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et

Nếu x1, x2 là nghiệm của ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:

a

b x x

2 1

2 1

.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì ph- ơng trình luôn có hai

Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m )

2 1

2 2







 Nếu  = 0 : Ph- ơng trình có nghiệm kép :

a

b x x

2 2 1





 Nếu  < 0 : Ph- ơng trình vô nghiệm

+ Tính ' = b'2 - ac với b = 2b'

Nếu ' > 0 : Ph- ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2







 Nếu ' = 0 : Ph- ơng trình có nghiệm kép: x x a b

'

2 1







Nếu ' < 0 : Ph- ơng trình vô nghiệm

- Ghi tóm tắt phần biện luận trên

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm

 Có hai khả năng để ph- ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:

1 Hoặc a = 0, b  0

2 Hoặc a  0,   0 hoặc '  0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc

điều kiện 2

Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt

 Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm

 Điều kiện có một nghiệm:

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép

 Điều kiện có nghiệm kép:

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm

 Điều kiện vụ nghiệm:

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm

 Điều kiện có một nghiệm:

Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu

 Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:

Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm d- ơng

 Điều kiện có hai nghiệm d- ơng:

a

b S a

0 '

a

b S a

c P

Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm

 Điều kiện có hai nghiệm âm:

a

b S a

0 '

a

b S a

c P

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu

 Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:

P < 0 hoặc a và c trái dấu

Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình bậc

hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x1 , x 2 thoả mãn các điều kiện:

a x1  x2   b x x2 k

2 2 1

x

2 1

1 1

d x x2 h

2 2

1 e x x3 t

2 3 1

 Điều kiện chung:   0 hoặc '  0 (*)

) 1 (

2 1

2 1

P a

c x x

S a

b x x

x x

a

b x x

Thay x1, x2 vào (2)  m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)

b Tr- ờng hợp: x x k  x x  x1x2 k

2 2 1 2

2 2

Thay x1 + x2 = S =

a b

1

Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P

của chúng

x1, x2

 Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph- ¬ng tr×nh:

x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) Gi¶i ph- ¬ng tr×nh (*) ta t×m ®- îc hai sè u vµ v cÇn t×m

Bài toán 16 TệNH GIÁ TR C A CÁC BI U TH C NGHI M

Đối các bài toán d ng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải bi t bi n đ i biểu th c

nghiệm đư cho về biểu th c có ch a t ng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2 để áp dụng hệ th c VI-ÉT r i tính giá trị c a biểu th c

1.Ph- ¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hi n : ( x1 x2) và x x1 2

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

Bµi to¸n 17 : TỊM H TH C LIểN H GI A HAI NGHI M C A PH NG TRỊNH SAO CHO HAI NGHI M NÀY KHÔNG PH THU C (HAY Đ C L P) V I THAM S

Để làm các bài toán lo i này,c¸c em làm lần l t theo các b c sau:

1- Đặt điều kiện cho tham số để ph ơng trình đư cho có hai nghiệm x1 và x2

(th ng là a  0 và   0)

2- Áp dụng hệ th c VI-ÉT:

a

c x x a

b x

x1  2   ; 1 2 

3- Sau đó dựa vào hệ th c VI-ÉT rút tham số theo t ng nghiệm, theo tích nghiệm sau

đó đ ng nhất các v ta s đ c một biểu th c ch a nghiệm không phụ thuộc vào tham

số.§ã chÝnh lµ hệ th c liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè

m

Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh :   2

m x  mx m   (1) cú 2 nghiệm x x1 ; 2 Lập hệ thức liờn hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m

(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận b- ớc 1)

Theo hệ th c VI- ẫT ta c ú :

1 2

1 2

2 1 4

1

m

m m

x  m x m  Hưy l p hệ th c liờn hệ giữa x x1 ; 2

sao cho x x1; 2 độc l p đối v i m

Đối v i cỏc bài toỏn d ng này các em làm nh sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để ph ơng trỡnh đư cho cú hai nghiệm x1 và x2

(th ng là a  0 và   0)

1

- Từ biểu th c nghiệm đư cho, áp dụng hệ th c VI-ÉT để giải ph ơng trình (có ẩn là

(thoả mưn điều kiện xác định )

V y v i m = 7 thì ph ơng trình đư cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mưn hệ th c :

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mưn hệ th c : 3x x1 2  5x1 x2  7 0

BƠi gi i: Điều kiện để ph ơng trình có 2 nghiệm x1 &x2 là :

x x nên ta có thể v n dụng trực ti p hệ th c VI-ÉT để tìm tham số m

+ Còn trong 3 bài t p trên thì các biểu th c nghiệm l i không cho s n nh v y, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm th nào để từ biểu th c đư cho bi n đ i về biểu th c có ch a

t ng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2 r i từ đó v n dụng t ơng tự cách làm đư trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

m

m m

- Từ giả thi t: 3x1  5x2  6 Suy ra:

Điểm A(x A ; yA) thuộc đ thị hàm số y = f(x) y A = f(xA)

Ví d 1: Tìm hệ số a c a hàm số: y = ax2 bi t đ thị hàm số c a nó đi qua điểm A(2;4)

Gi i:

Do đ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.2 2

a = 1

Ví d 2: Trong mặt ph ng tọa độ cho A(-2;2) và đ ng th ng (d) có ph ơng trình:

y = - 2(x + 1) Đ ng th ng (d) có đi qua A không?

Gi i:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đ ng th ng (d)

II Cách tìm giao đi m c a hai đ ờng y = f(x) vƠ y = g(x)

B c 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm c a ph ơng trình f(x) = g(x) (*)

B c 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công th c y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: S nghi m của phương trình (*) ệà s giao điÓm của hai đường trên

B c 1: Giải hệ ph ơng trình g m hai đ ng th ng không ch a tham số để tìm (x;y)

B c 2: Thay (x;y) vừa tìm đ c vào ph ơng trình còn l i để tìm ra tham số

V Quan h gi a (d): y = ax + b vƠ (P): y = a ’ x 2

(a ’ 0)

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

B c 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm c a ph ơng trình:

a ’ x 2 = ax + b (#)  a ’ x 2 - ax – b = 0

B c 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công th c y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: S nghi m của phương trình (#) ệà s giao điểm của (d) ốà (P)

2.Tìm điềỐ Ệi n để (d) ốà (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:

a) (d) và (P) cắt nhau ph ơng trỡnh (#) cú hai nghiệm phõn biệt    0

b) (d) và (P) ti p xỳc v i nhau ph ơng trỡnh (#) cú nghiệm kộp    0

c) (d) và (P) khụng giao nhau ph ơng trỡnh (#) vụ nghiệm    0

1.Biết q Ốan h ốề h s gúc(//hay vuông góc) ốà đi qỐa điểm A(x 0 ;y 0 )

Chỳ ý : song song a2=a1 và b1 khỏc b2

Vuụng gúc a2 = - 1/a1 (tỡm hiểu trong sgk)

B c 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuụng gúc để tỡm hệ số a

B c 2: Thay a vừa tỡm đ c và x 0 ;y0vào cụng th c y = ax + b để tỡm b

2.Biết đồ thị hàm s đi qỐa điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 )

Do đ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y1) và B(x2;y2) nờn ta cú hệ ph ơng trỡnh:

Giải hệ ph ơng trỡnh tỡm a,b

3.Biết đồ thị hàm s đi qỐa điểm A(x 0 ;y 0 ) ốà tiếp xỳc ốới (P): y = a ’ x 2

để tỡm a,b

+) Giả sử A(x 0 ;y0) là điểm cố định mà đ ng th ng luụn đi qua v i mọi m, thay x 0 ;y0

vào ph ơng trỡnh đ ng th ng chuyển về ph ơng trỡnh ẩn m hệ số x 0 ;y0 nghiệm đỳng

v i mọi m

+) Đ ng nhất hệ số c a ph ơng trỡnh trờn v i 0 giải hệ tỡm ra x 0 ;y0

VIII.Tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ A; B

Gọi x1; x2 lần l- ợt là hoành độ của A và B; y1,y2 lần l- ợt là tung độ của A và B

Khi đó khoảng cách AB đ- ợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:

2 1 2 2 1 2 2

2

) (

)

BC AC

1 tìm giá trị của a,b sao cho đ- ờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2)

2 tìm ph- ơng trình đ- ờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)

3 Tìm giao điểm của (p) với đ- ờng thẳng y = 2m +1

1 Xác định a và b để đ- ờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P)

2 Tìm toạ độ tiếp điểm

1 Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

2 Xác định ph- ơng trình đ- ờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)

3 Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2

Bài56: Cho điểm A(-2;2) và đ- ờng thẳng (d1) y = -2(x+1)

1 Điểm A có thuộc (d1) không ? Vì sao ?

2 Tìm a để hàm số (P): 2

.x

a

y  đi qua A

3 Xác định ph- ơng trình đ- ờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)

4 Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm toạ độ của B và C Tính chu vi tam giác ABC?

D NG 7:

giải ph- ơng trình bằng ph- ơng pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán1: Giải ph- ơng trình trùng ph- ơng ax4 + bx 2 + c = 0

1 nghiệm d- ơng 2 nghiệm đối nhau

2 nghiệm d- ơng 2 cặp nghiệm đối nhau 4 nghiệm

Bài toán 2: Giải ph- ơng trình ( 2 12)  (  1 ) C  0

x x B x x A

 Đặt

x

x  1 = t  x2 - tx + 1 = 0 Suy ra t2 = (

Thay vào ph- ơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Giải ph- ơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

x  1 = t giải tìm x

Bài toán 3: Giải ph- ơng trình ( 2 12)  (  1) C 0

x x B x x A

 Đặt

x

x  1 = t  x2 - tx - 1 = 0 Suy ra t2 = (

Thay vào ph- ơng trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Giải ph- ơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

x  1 = t giải tìm x

Bài toán 4: Giải ph- ơng trình bậc cao

 Dùng các phép biến đổi đ- a ph- ơng trình bậc cao về dạng:

+ Ph- ơng trình tích + Ph- ơng trình bậc hai

c by ax

 Các ph- ơng pháp giải:

+ Ph- ơng pháp đồ thị + Ph- ơng pháp cộng + Ph- ơng pháp thế + Ph- ơng pháp đặt ẩn phụ

) 2 ( 0

) ( )

( )

x g x f

x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1)

Bài toán 2: Giải ph- ơng trình dạng f(x)  h(x) g(x)

 Điều kiện có nghĩa của ph- ơng trình

0 ) (

0 ) (

x g

x h

x f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình ph- ơng hai vế để giải tìm x

D NG 10:

giải ph- ơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải ph- ơng trình dạng f (x)  g(x)

) ( )

(

0 ) (

x g x

f

x g

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

 Ph- ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M

Do đó ymax = M khi g(x) = 0

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

các bài toán liên quan đến hàm số

* Điểm thuộc đ- ờng - đ- ờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một

điểm A(x A ;y A ) Hỏi (C) có đi qua A không?

 Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng

ph- ơng trình của (C)

A(C)  yA = f(xA)

Dó đó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A

Nếu f(xA)  yA thì (C) không đi qua A

* sự t- ơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự t- ơng giao của hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của ph- ơng trình hoành

độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung

- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có ph- ơng trình của (D)

Bài toán 2: Lập ph- ơng trình của đ- ờng thẳng (D) đi qua điểm

b ax y

B B

A A

Giải hệ ta tìm đ- ợc a và b suy ra ph- ơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập ph- ơng trình của đ- ờng thẳng (D) có hệ số góc k và

tiếp xúc với đ- ờng cong (C): y = f(x)

 Ph- ơng trình tổng quát của đ- ờng thẳng (D) là : y = kx + b

Ph- ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: