(TIỂU LUẬN) NGHIÊN cứu PHƯƠNG PHÁP CHỈNH ĐỊNH bộ điều KHIỂN PID CHO các hệ THỐNG có TRỄ vận tải (dựa TRÊN lý THUYẾT HERMITE BIEHLER)

Trong số nhiều phương pháp thiết kế, chỉnh định các bộ điều khiển PID ứng dụngcho hệ thống có trễ vận tải, chúng tôi tập trung tìm hiểu sâu vào các kết quả dựa trên lýthuyết Hermite-Bieh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SỸ

NGÀNH: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NGUYỄN VĂN MẠNH

HÀ NỘI – 2010

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

AUV

CHR

IMC

ROV

Autonomous Underwater Vehicle

Chien, Hrones, và Reswick Internal Model Controller Remotely Operated Vehicle

MỤC LỤC

TrangLời cam đoan

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Lời nói đầu

vận tải

thời gian (và không trễ)

thời gian

theo thời gian

II.6 Kết luận

Chương III – ÁP

TRÊN PHƯƠNG

34

CỦA LÝ THUYẾT HERMITE –

BIEHLER) THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID CHO HỆ THỐNG CÓ

TRỄ

ĐỊNH BỘ ĐIỀU KHIỂN PID THEO MÔ HÌNH QUÁN TÍNH BẬC

NHẤT CÓ TRỄ

Lời nói đầu

Khi vật chất, thông tin hay năng lượng được truyền từ nơi này đến nơi khác, trễsinh ra Trong thực tế, khâu trễ thường kết hợp với những khâu tuyến tính khác nhưkhâu quán tính, khâu tích phân, tạo thành những hệ thống phức tạp

Việc điều khiển trong các hệ thống có trễ vận tải có thể sử dụng bộ điều khiển PID,phương pháp này có thể thực hiện cài đặt dễ dàng trên phần cứng

Trong số nhiều phương pháp thiết kế, chỉnh định các bộ điều khiển PID ứng dụngcho hệ thống có trễ vận tải, chúng tôi tập trung tìm hiểu sâu vào các kết quả dựa trên lýthuyết Hermite-Biehler; một số phương pháp điển hình chỉnh định bộ PID trong hệ điềukhiển có trễ và biên của các tham số ổn định được đánh giá là tốt trong không gian cáctham số của bộ điều khiển đánh giá với các phương pháp cổ điển khác

Đề tài: “Nghiên cứu phương pháp chỉnh định bộ điều khiển PID cho các hệ thống

có trễ vận tải (dựa trên cơ sở lý thuyết Hermite-Biehler)” với nhiệm vụ chính của đồ

án là:

cơ sở đấy nghiên cứu sự hạn chế của xấp xỉ Padé cho các hệ thống có trễ vận tải

có trễ và đánh giá so sánh

Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH NguyễnVăn Mạnh, Viện KHCN Nhiệt Lạnh, BKHN, TS Phan Duy Hùng, Đại học FPT Hà nội,

đã giúp đỡ và hướng dẫn em tận tình trong quá trình làm tốt nghiệp Em cũng xin cám

ơn các thầy cô giáo bộ môn Tự động hoá xí nghiệp công nghiệp, các bạn đồng nghiệpthuộc bộ môn Tự động hóa quá trình nhiệt lạnh, Viện Nhiệt Lạnh trường đại học BáchKhoa Hà Nội Đồng đã đóng góp ý kiến xây dựng để đồ án của em được hoàn thiện

Hà Nội, ngày tháng năm 2010

Sinh viên thực hiện

Vũ Thu Diệp

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

hệ thống có trễ vận tải

I.1.1 Trễ là gì ?

Khi vật chất, thông tin hay năng lượng được truyền từ nơi này đến nơi khác, trễsinh ra Thời gian trễ (trễ vận tải) phụ thuộc khoảng cách và tốc độ truyền dẫn Vớicác hệ thống có trễ vận tải lớn, việc thiết kế và phân tích hệ thống là phức tạp

Trễ vận tải xuất hiện trong các hệ thống sinh học, sinh thái học, kinh tế, xã hội,các hệ thống kĩ thuật… Chẳng hạn sự phơi nhiễm phóng xạ tăng nguy cơ ung thư, vàảnh hưởng của nó có thể xuất hiện sau vài năm Trong lĩnh vực kinh tế, ngân hàngtrung ương thường tác động đến nền kinh tế thông qua công cụ điều chỉnh tỉ lệ lãisuất, và điều này cũng cần một vài tháng mới có ảnh hưởng thực sự Trong lĩnh vựcchính trị, các chính trị gia cần một khoảng thời gian để ra các quyết định và phải đợimột khoảng thời gian trước khi biết được các quyết định đó là tích cực hay không

Một xu hướng chung khi gặp lỗi trong một hệ thống là phản ứng ngay lập tức vàphản ứng càng nhiều nếu lỗi chưa kết thúc Tuy nhiên đối với một hệ thống có các trễvận tải, một điều rất quan trọng là cần hiểu chính xác sự tồn tại của các thời gian trễ

và không phản ứng thái quá, nếu không hệ thống dễ rơi vào trạng thái quá điều

1

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

chỉnh hoặc thậm chí không ổn định Như vậy, khi làm việc với các hệ thống trễ rất cần sự kiên nhẫn để nhìn nhận và đánh giá vấn đề trễ và lỗi

I.1.2 Các ví dụ của các hệ thống có trễ vận tải

Vòi hoa sen

Một ví dụ đơn giản của hệ thống có trễ vận tải là vòi hoa sen (Hình I.1) Hầu hếtchúng ta đã từng có khó khăn trong việc điều chỉnh nhiệt độ nước Nhiệt độ thực tếthường vượt quá nhiệt độ mong muốn, và thỉnh thoảng chúng ta mất một khoảng thờigian để điều chỉnh nó Sở dĩ có điều này là do cần một khoảng thời gian để dòngnước chảy từ khóa nước đến đầu hoa sen (hay là cơ thể người) Khoảng thời gian trễnày phụ thuộc vào áp suất và chiều dài của ống Theo công thức Poiseuille, tốc độdòng chảy của nước là:

F = 8μ Δpp

l

trong đó μ = 0.01 là độ nhớt, R là bán kính, l là chiều dài của ống và Δp là chênh áp

giữa hai đầu cuối của ống Thời gian trễ h theo đó được tính toán bởi:

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Ví dụ trong hình I.2 là một kết nối đơn giữa nốt nguồn được điều khiển bởi một

bộ điều chỉnh truy nhập và nốt đích ở xa, giả thiết nốt đích được cung cấp sao cho

khả năng truyền dẫn μ không đổi Tại nốt nguồn, bộ điều chỉnh truy nhập sẽ điều

khiển tốc độ đầu vào u(t) tương ứng với trạng thái nghẽn truyền dẫn tại nốt đích.Trạng thái nghẽn truyền dẫn tại nốt đích được định nghĩa như là sự khác nhau

y (t ) = x(t)− X

thời gian truyền từ nguồn tới đích Các gói tới được lưu vào bộ đệm và sau đó được

gửi với khả năng truyền dẫn không đổi μ Mục tiêu quá trình điều khiển là thay đổi

u(t) trong khi duy trì bộ đệm x(t) ở một mức có thể chấp nhận Biểu đồ khối đượcdẫn ra trong hình I.2-b

3

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Biểu đồ mô tả

Bộ điều chỉnh truy nhập

Biểu đồ khối

Hình I.2 Mạng truyền thông kết nối đơnCác mạng truyền thông trong thực tế được xây dựng từ nhiều kết nối đơn và hiểnnhiên là phức tạp hơn rất nhiều Những khoảng thời gian trễ thường biến thiên ngẫunhiên theo thời gian, thêm nữa các gói tin có thể bị mất trên đường truyền

Xe hoạt động dưới nước

Các xe hoạt động dưới nước được sử dụng để tìm hiểu đáy đại dương, cài đặt,giám sát hay sửa chữa các thùng dầu, trong các nhiệm vụ quân sự… So với thợ lặn,những loại xe này có thể lặn sâu hơn, có thể hoạt động dưới nước trong thời gian dàihơn và cần ít thiết bị hỗ trợ hơn Có hai loại xe hoạt động dưới nước:

nối với một con tàu ở trên mặt nước qua một dây cáp, bao gồm đường nguồn và dữ liệutruyền thông Khoảng cách hoạt động của ROV do vậy bị giới hạn

bộ và có khả năng điều khiển cho các công việc xác định Việc truyền thông được tiếnhành qua sóng âm Một ví dụ của loại này là trong hình I.3 Đây là một sản phẩm AUV

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

sâu, độ mặn, nhiệt độ, các cảm biến gia tốc…Nó có thể hoạt động đến độ sâu 3000m

Hình I.3 Ví dụ của xe loại AUV của MIT [20]

Hình I.4 Hệ thống ROV khảo sát đáy đại dươngViệc điều khiển các xe hoạt động dưới nước bao gồm định vị, điều chỉnh bánhlái… Việc sử dụng sóng âm hay cáp đều dẫn đến một trễ truyền dẫn Đối với cácAUV, trễ do tốc độ sóng âm trong môi trường nước là cỡ 1,500 m/s

5

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Hệ thống ROV trong hình I.4 được sử dụng để khảo sát đáy đại dương, bao gồmmột tàu ở trên, xe phía dưới (có thể có thêm một xe phụ nhỏ hơn) Mô hình xấp xỉ,với độ dài cáp 2,500 m và trọng lượng 17,000 N được khảo sát trong [14] là:

G (s) = 2 ce−sh

as + bs + c

được tìm thấy trong [14] và các tham chiếu của nó

I.2 Khâu động học và sự hình thành hệ thống có trễ

Để đơn giản hoá việc khảo sát và thiết kế, người ta thường chia hệ thống thànhnhiều phần tử đơn giản Mỗi phần tử có thể có sự đồng nhất về tính chất lý, hóa, kỹthuật, hoặc đồng nhất về cấu tạo, nhưng phải có tính định hướng, tức chỉ truyền tínhiệu theo một hướng nhất định Mỗi phần tử như vậy có tên gọi là một khâu độnghọc

Mỗi khâu hay một bộ phận của một hệ động học tuyến tính thường được mô tảbởi phương trình vi phân hoặc hàm truyền Công cụ hàm truyền được ứng dụng rấtrộng rãi và hiệu quả trong các bài toán phân tích và tổng hợp các hệ thống điều khiểnquá trình trong công nghiệp Một trong những điểm ưu việt của công cụ này là nócho phép thể hiện cấu trúc lôgíc động học một cách tường minh [1] Ví dụ, mô hìnhcủa một đối tượng phức tạp có thể phân tích dưới dạng tổ hợp cấu thành từ các phần

tử đơn giản, trong đó, mỗi phần tử phản ánh một tính chất động học nhất định

Một đối tượng động học phức tạp có thể mô tả bởi hàm truyền tổng quát, dạng:

trong đó, b0, b1,…, bm, a0, a1,…, an – các hệ số; τ thời gian trễ vận tải; m, n

-bậc của tử thức và mẫu thức Đối với các đối tượng vật lý thực, luôn luôn thoả mãn

điều kiện m≤n.

Về mặt toán học, phân thức (1.5) có thể phân tích thành tổng hoặc tích của những

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

đó đặc trưng cho một đặc điểm động học trong quá trình biến đổi tín hiệu trong hệthống Những phân thức tối giản có thể là:

Khâu trễ thường kết hợp với những khâu tuyến tính khác tạo thành những hệthống phức tạp Luận văn này tập trung trình bày tìm hiểu về các hệ thống có trễ vậntải, phương pháp chỉnh định dựa trên lý thuyết Hermite-Biehler, một số phương pháp

cổ điển điều chỉnh bộ PID trong hệ điều khiển có trễ và đánh giá chúng so vớiphương pháp sẽ giới thiệu

I.3 Đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ

Các đối tượng điều khiển công nghiệp (các hệ thống có trễ vận tải và có quántính lớn) có thể có một hoặc nhiều đầu ra, nhưng thường có nhiều kênh Mỗi kênh làmột đối tượng đơn, thể hiện một mối liên kết vào-ra nhất định Đặc tính động họccủa đối tượng được thể hiện trên đặc tính tần số hoặc đặc tính thời gian, trong đó, đặctính quá độ (đáp ứng đối với xung bậc thang) phản ánh đầy đủ và trực quan các đặcđiểm động học của đối tượng

Điểm đặc trưng của các đối tượng công nghiệp là có trễ vận tải và có quán tínhlớn Trễ vận tải còn gọi là trễ tuyệt đối, trễ thời gian chết, v,v…, đó là thời gian kể từ

thời điểm xuất hiện xung đầu vào (≠0) đến khi đại lượng ra bắt đầu thay đổi so với

giá trị xác lập ban đầu

Theo tính chất động học, tồn tại phổ biến hai lớp đối tượng điều chỉnh côngnghiệp: lớp đối tượng tĩnh và lớp đối tượng phi tĩnh

7

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Hình I.5 Dạng đặc tính quá độ đặc trưng của các đối tượng điều khiển công nghiệp

Đối tượng tĩnh có đặc tính quá độ tiến tới giá trị hữu hạn, tức đặc tính quá độ có tiệm

cận ngang (Hình I.5-a) Khi triệt bỏ xung đầu vào, thì đại lượng ra của nó quay

trở về giá trị ban đầu

Đối tượng phi tĩnh có đặc tính quá độ tiến tới vô hạn và thường có tiệm cận xiên

(Hình I.5-b), thể hiện qũi đạo tích phân Khi triệt bỏ xung đầu vào, thì đại lượng ra

của nó dừng ở giá trị cuối cùng mà không thể quay trở về giá trị ban đầu

Các đối tượng điều khiển trong thực tế được đặc trưng bởi tốc độ biến thiên cực

đại εmax và hệ số tĩnh học K∞, định nghĩa như sau :

ε

max = max{ y '(t)} / x0 , K∞ = y(∞) x0

trong đó, x0 – độ lớn xung bậc thang vào; h(∞) = lim h(t) – giá trị xác lập đầu ra

t→∞

Trong thực tế, các đối tượng tĩnh có khả năng thiết lập trạng thái cân bằng tương

ứng với độ lớn của xung đầu vào, nên có tên gọi là đối tượng "có tự cân bằng" Ví

dụ, đối tượng điều chỉnh nhiệt độ, áp suất, lưu lượng, … là có tự cân bằng

Khả năng tự cân bằng của đối tượng càng lớn, nếu với cùng một xung bậc thang

đầu vào, giá trị xác lập đầu ra của nó càng ít sai lệch so với giá trị ban đầu Nói cách

khác, khả năng tự cân bằng giảm dần theo độ lớn của hệ số tĩnh học Khi hệ số tĩnh

Các đối tượng phi tĩnh không có khả năng tự thiết lập trạng thái cân bằng nên có

tên gọi là đối tượng "không có tự cân bằng" Ví dụ, các đối tượng điều chỉnh mức

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

chất lỏng, điều chỉnh tốc độ quay, v.v thường là những đối tượng không có tự cân

điểm xuất hiện xung đầu vào,

thiên đại lượng ra đạt giá trị lớn nhất) và có hình dáng chữ S Đó là dáng điệu củakhâu quán tính bậc cao, gồm nhiều khâu quán tính bậc nhất mắc nối tiếp Độ quántính của đối tượng loại này tương đương với tổng độ quán tính của các khâu quántính bậc nhất hợp thành

9

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Trên hình I.6-c, đường cong quá độ thể hiện đặc điểm của đối tượng quán tínhbậc nhất có trễ vận tải, tức tạo bởi khâu quán tính bậc nhất mắc nối tiếp với khâu trễ

Trên hình I.6-d, đường cong quá độ có hình chữ S với một điểm uốn, nhưng nằm

đặc tính quá độ của đối tượng, tạo thành từ nhiều khâu quán tính bậc nhất mắc nốitiếp với một khâu trễ

Tóm lại, đối tượng có tự cân bằng với các đặc tính quá độ trên hình I.6, có thểbiểu diễn bởi một khâu quán tính bậc n mắc nối tiếp với một khâu trễ Hàm truyềncủa chúng có dạng:

G (s) =

+ T s)(1 K × e−τs

cb (1 + T s) (1+ T s)

khâu quán tính bậc nhất; n – bậc quán tính, bằng số khâu quán tính bậc nhất hợp

thành; τ– trễ vận tải.

Trong thực tế, thường dùng một số dạng đơn giản của mô hình (1.8), như:

G (s) = ( K )n ×e−τs - khâu quán tính đồng nhất bậc n, có trễ,

cb

Ts

+

1( ) =

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Trên hình I.7-c, đặc tính quá độ khác với đường cong trên hình I.7-a ở chỗ là sự

hiện xung đầu vào Điều đó chứng tỏ rằng, đối tượng tương ứng là một khâu tíchphân có trễ, tức là mạch mắc nối tiếp giữa khâu tích phân và khâu trễ

Trên hình I.7-d, đặc tính quá độ thể hiện tính chất của khâu tích phân có quán

hiện xung đầu vào Do vậy, đối tượng tương ứng bộc lộ là khâu tích phân có quántính và có trễ

Hình I.7 Các dạng đặc tính quá độ của đối tượng không có tự cân bằng

Tóm lại, hầu hết các đối tượng không có tự cân bằng trong thực tế là một khâu

tích phân có quán tính và có trễ, có thể mô tả bởi mô hình:

(bậc phi tĩnh) của đối tượng Trong thực tế, phổ biến trường hợp q=1

11

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Ta thấy, mô hình (1.8) là trường hợp riêng của (1.9), ứng với q=0 Vậy, biểu thức(1.9) là mô hình đặc trưng của các đối tượng công nghiệp Nó cho phép mô tả cả bađặc điểm cơ bản của các đối tượng công nghiệp, bao gồm trễ vận tải, tính chất quántính và tính chất tích phân

Trong thực tế để đơn giản hoá, người ta thường mô hình hoá đối tượng không có

tự cân bằng dưới dạng đơn giản:

h(t)

x0

O

tHình I.8 Đặc tính quá độ của đối tượng có dao động

Trong những trường hợp phức tạp, để mô tả các đối tượng một cách đúng đắnhơn, có thể dùng mô hình dưới dạng tổng quát:

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

I.4 Tổng quan các phương pháp điều khiển cho các hệ thống có

trễ vận tải

Phương pháp điều khiển hiệu quả đầu tiên cho các hệ thống có trễ vận tải dựatrên bộ dự đoán Smith [13] Ý tưởng của Smith là sử dụng một vòng lặp phản hồibao gồm bộ dự đoán để chuyển vấn đề thành việc thiết kế bộ điều khiển cho hệ thốngkhông có trễ vận tải Tuy nhiên bộ dự đoán Smith cổ điển không áp dụng được chocác hệ thống không ổn định, dẫn đến các phương pháp sử dụng bộ dự đoán Smith sửađổi [11] hay sử dụng phổ vô hạn [10]

điều khiển này đã được giải quyết với hệ thống không trễ từ những năm 1980 [2],[7] Điều khiển bền vững ứng dụng cho các hệ thống có trễ vận tải sử dụng baphương pháp: lý thuyết toán tử, không gian trạng thái và phương pháp thừa số phổ J.Chi tiết của các phương pháp này có thể tham khảo ở [3], [4], [5], [12], [15]

Một phương pháp điều khiển phổ biến là sử dụng các bộ điều khiển PID, xét trênkhía cạnh khả thi, cài đặt giải thuật dễ dàng trên phần cứng, trên các máy tínhnhúng… phương pháp này sẽ được tập trung tìm hiểu sâu trong luận văn này Dựavào lý thuyết Hermite-Biehler [9], thiết kế các bộ điều khiển PID để ổn định hóa hệthống có trễ sẽ được giải quyết, đồng thời với đó là quá trình đánh giá hiệu quả củacác phương pháp thiết kế PID cổ điển

I.5 Kết luận

Chương I là một nghiên cứu và tìm hiểu về đặc điểm động học của các hệ thống

có trễ vận tải

Nội dung bao gồm khái niệm trễ vận tải, ví dụ về các hệ thống có trễ Chúng ta

có thể khẳng định được tính phổ biến và tất yếu của yếu tố trễ vận tải trong các đốitượng điều khiển công nghiệp

Tiếp đó chương I đã trình bày những đặc tính và mô hình các đối tượng có trễ, vàkết thuc là giới thiệu tổng quan về các phương pháp điều khiển cho các hệ thống cótrễ vận tải

13

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Chương II Lý thuyết Hermite-Biehler

II.1 Lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển và các đa thức Hurwitz

Với bài toán thiết kế ổn định cho các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian,việc xác định điều kiện sao cho tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng nằm ở nửatrái của mặt phẳng phức là rất quan trọng Đa thức thỏa mãn điều kiện như vậy đượcgọi là đa thức Hurwitz Nhiều kết quả nghiên cứu như của Routh, Hurwitz, hayHermite đã đưa ra các điều kiện gián tiếp để hệ thống ổn định mà không thông quaviệc tính toán trực tiếp nghiệm của đa thức

Trong số đó, lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển khẳng định một đa thức với hệ sốthực là Hurwitz nếu thỏa mãn một vài điều kiện đan xen nghiệm Lý thuyết này rất

có ý nghĩa cho việc nghiên cứu sự ổn định của hệ thống đồng thời với việc quan tâmđến biện luận miền bền vững của các tham số (thông qua các hệ số đa thức đặctrưng) Hạn chế của lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển là khi một một đa thức không

ổn định theo Hurwitz, lý thuyết này không đưa ra thông tin về sự phân bố nghiệmcủa đa thức

Các nghiên cứu gần đây đã đưa ra lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng có thể ứngdụng cho các đa thức không nhất thiết là Hurwitz Điều này cho phép tìm được tậpcác bộ điều khiển PID có khả năng ổn định hóa một hệ thống có hàm truyền phânthức

Các định nghĩa, kết quả trung gian, định lý và thuật toán đã được tìm hiểu, tổngkết một cách tuần tự, có logic, theo đó có các ví dụ ứng dụng minh họa Luận văn sẽkhông trình bày lại các chứng minh, có thể tham khảo chi tiết từ [9]

Định nghĩa 2.1: Giả sử δ(s ) = δ0 + δ1s + +δn s n là đa thức có hệ số thực, bậc n Biểu diễn

δ(s ) = δe (s 2 ) + sδo (s 2 ) , trong đó δe (s 2 ), sδo (s 2 ) là các thành phần của

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Hệ quả 2.1 : Giả sử δ(s) = δ0 +δ1s + +δn sn là một đa thức có hệ số thực, bậc n

Các điều kiện sau là tương đương:

15

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Kiểm tra bốn điều kiện đa thức Hurwitz:

1 Giải nghiệm trực tiếp của δ(s ) :

16

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

3 Giải nghiệm của δ và δ :

II.2 Lý thuyết Hermite-Biehler mở rộng

trục ảo Thì Δp∞

0θ = π

2(l (δ) − r (δ) ) , trong đó Δp∞

0θ là lượng biến thiên của θ(ω) khi

ω tăng từ 0 đến ∞, l (δ) và r (δ) tương ứng là số nghiệm của δ(s ) trong nửa trái mặtphẳng phức (C− ) và nửa phải mặt phẳng phức (C+ )

Định nghĩa 2.2: Giả sử δ( s) là một đa thức với hệ số thực bậc n, k là số bội của nghiệm tại gốc tọa độ Định nghĩa:

17

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

ngoài ra δ( s) là Hurwitz nếu và chỉ nếu σi (δ) =σr (δ) = n

18

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

II.3 Thiết kế bộ điều khiển P ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến

theo thời gian (và không trễ)

Xét hệ thống điều khiển phản hồi trên hình II.2, trong đó r là đầu vào, y là đầu ra,

đối tượng điều khiển G (s ) = N

D( (ss) ) , bộ điều khiển C( s) = k

-BControllerộđiềukhiển Đối Pll tượ ant ng

Hình II.2 Hệ thống điều khiển phản hồi

Đa thức đặc trưng của vòng lặp kín: δ( s, k) = D( s) + kN( s) Mục tiêu là xác định k sao cho hệ thống vòng lặp kín là ổn định hay đa thức δ(s, k ) là Hurwitz

19

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Phân giải N ( s) = Ne ( s2 ) + sNo ( s2 ), D ( s ) = De (s2 )+ sDo ( s2 ) Đa thức đặc trưngđược viết lại:

có phần chẵn phụ thuộc k bằng cách nhân δ( s, k) với N* (s) = N ( −s) và áp dụngđịnh lý 2.2

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

l ⎩ 0 nếu n+m là lẻ

Định nghĩa 2.5: chuỗi số I = {i0 , i1 , , il } , A là tập tất cả các chuỗi I và γ(I ) là

Định lý 2.3: Cĩ thể thiết kế bộ điều khiển P cho đối tượng với hàm truyền phân

nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :

21

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

II.4 Thiết kế bộ điều khiển PI ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến

theo thời gian

i Đa thức đặcs

trưng : δs, k , k

)= sD( s) + (

k + k s N( s)

Giả sử n là bậc của δ(s, kp , ki ) và m là bậc của N (s) Vấn đề ổn định bằng bộ

điều khiển PI tương đương với việc xác định các giá trị kp , ki sao cho đa thức

δ (s, kp , ki ) là Hurwitz

Ta thấy rằng kp , ki ảnh hưởng đến cả hai phần chẵn và lẻ của δ(s,kp , ki ) Tương

tự thiết kế bộ điều khiển P, phương pháp tiếp cận ở đây là xây dựng một đa thức đặc

trưng mới mà phần chẵn phụ thuộc ki và phần lẻ phụ thuộc kp Nhân δ(s, kp , ki ) với

N* (s) chúng ta đạt được :

l (δ(s,kp , ki ) N* ( s) )− r(δ( s, kp , ki ) N* ( s) )

= l (δ(s, kp , ki ) )− r (δ( s, kp , ki ) )− ( l( N( s) ) − r( N( s) ) )

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

và

r (δ(s ,k p ,k i ) )= 0 Vì vậy, kết quả sau đây được dẫn ra : Định lý 2.4: δ(s, k p , k i ) là

Hurwitz nếu và chỉ nếu

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

tượng được đưa ra

phát từ kết quả :

Với một giá trị kp cố định, điều kiện cần để tồn tại giá trị ki là số các nghiệm thực

V ( )

pháp quĩ đạo nghiệm, chúng ta có thể xác định được phân bố nghiệm của

Phương pháp quĩ đạo nghiệm :

1 Xác định các điểm tách khỏi trục thực là nghiệm của phương trình :

(k i , k p )

2 Giả sử k1 < k2 < <kz là các giá trị khác nhau, hữu hạn của kp tương ứng với

3 Nếu U (0) +kpV(0) ≠0 với mọi kp ∈ (kj , kj +1 ) thì phân bố các nghiệm thực

của phương trình U (ω) + kpV (ω) = 0 so với điểm gốc là không đổi trên khoảng giá trị

này của kp

Do n −(l( N( s) ) − r ( N ( s) ) ) đã biết, chúng ta có thể tìm ra các khoảng giá trị của

miền giá trị của kp

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

Phân bố nghiệm thực của phương trình U (ω) + kpV (ω) = 0 so với gốc tọa độ,

tương ứng với các dải giá trị của kp khác nhau là như sau :

k p ∈ ( −∞,−61 67086 ) : không có nghiệm thực

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

k p∈ (−60,−2 54119) : một nghiệm thực, dương, đơn,

một nghiệm âm, dương, đơn

k p ∈ ( −2 54119,16 44309 ) : ba nghiệm thực, dương, đơn,

ba nghiệm thực, âm, đơn

Từ giả thiết ta có m + n là lẻ và n −(l (N ( s) ) − r (N ( s) ) ) = 6 −(1 −2) −7

Vì vậy với một giá trị kp cố định, điều kiện cần để tồn tại giá trị ki ổn định là

p) phải có ít nhất bốn nghiệm thực không âm, khác nhau, và bội lẻ Phân bố nghiệmtrình bày ở trên chỉ ra khả năng duy nhất là k p ∈ (− 2 54119,16 44309) Với mỗi giá trị k p

trong dải này chúng ta có thể xác định dải giá trị chính xác của k i Vùng ổn định được vẽtrong hình II.3 sau đây

Hình II.3 Tập ổn định của các giá trị tham số (kp , ki )

28

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

II.5 Thiết kế bộ điều khiển PID ổn định hóa hệ tuyến tính, bất biến

theo thời gian

Với bộ điều khiển PID, ta có : C (s) = k p + k

i + k d s.s

Tương tự như các mục trước kp , ki , kd xuất hiện trong cả hai thành phần chẵn và

lẻ của δ(s ,kp ,ki , kd ) Phương pháp giải quyết là xây dựng đa thức mới có phần chẵn

phụ thuộc vào ( ki , kd ) và phần lẻ phục thuộc vào kp

Nhân δ(s,kp ,ki ) với N* ( s) chúng ta đạt được :

r (δ(s ,k p ,k i , k d ) )= 0 Vì vậy, kết quả sau đây được dẫn ra : Định lý 2.5 : δ(s, k p , k i , k d )

là Hurwitz nếu và chỉ nếu

Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp

1+ ω

(

Bằng phương pháp quĩ đạo nghiệm như khi thiết kế bộ điều khiển PI chúng ta cũng

có thể giới hạn lại dải giá trị của kp

nguyên ý nghĩa với điều kiện xét tại một giá trị kp cố định

kiện sau được thỏa mãn :