Đề tài ứng dụng hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận vào trong các bài toán thực tế

LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Ứng Dụng với Đề tài “Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận vào trong các bài toán thực tế” là kết quả của quá trình cố

Hệ phương trình tuyến tính

Dạng của hệ phương trình tuyến tính

Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau

Hệ này được viết dưới dạng ma trận là

Ax = b (1.2) ở đây A là ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến

A=(𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚𝑥𝑛 x: véc tơ cột của các biến

(1.3) b: véc tơ cột các số hạng tự do

Hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là:

 thuần nhất nếu tất cả các 𝑏 𝑖 = 0, i = 1, 2, , m;

 không thuần nhất nếu có ít nhất một 𝑏 𝑖 ≠ 0;

 tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của 𝑥 1 ,

𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức;

 không tương thích nếu không có một nghiệm nào;

 xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất;

 bất định nếu tồn tại quá một nghiệm

Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho

Trang 2 tương thích hay không tương thích Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó

{ x + y = 3 2x − 3y = 5 là một hệ hai phương trình 2 ẩn

2x + 3y + 4z = 3 x − y + z = 1 4x − 2y + z = 5 là một hệ 3 phương trình 3 ẩn

{3x + y − 2z = 1 x − 3y + z = 2 là một hệ hai phương trình 3 ẩn.

Giải hệ phương trình tuyến tính

Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: m= n và m ≠ n

Trong đại số tuyến tính, hệ phương trình (1.2) được gọi là hệ Cramer khi det(A) ≠ 0, tức ma trận A không suy biến Khi điều kiện này thỏa mãn, ma trận nghịch đảo A^{-1} tồn tại và theo Định lý 1.1 (Cramer) hệ có nghiệm duy nhất được tính bằng công thức x_i = det(A_i)/det(A), với A_i là ma trận A có cột i được thay bằng vector hệ số.

Chứng minh: Ta nhân hai vế của đẳng thức (3.2) với 𝐴 −1 về bên trái, ta được:

Bởi vì 𝐴 −1 A E − = , mà nhân bất cứ ma trận nào với E sẽ được đúng ma trận đó, nên

(1.5) Sau khi thế 𝐴 −1 bởi biểu thức của nó và thay các véc tơ cột x và b, ta có:

Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau nên

Theo định lí khai triển của định thức, định thức bằng tổng các tích của các phần tử ở một hàng hoặc một cột với các phần phụ đại số của chúng Vì vậy bất cứ hàng nào trong biểu thức (3.6) cũng có thể thay bằng các định thức tương ứng với véc tớ b là một cột của nó; ví dụ đối với trường hợp véc tớ b được coi như một cột của ma trận liên quan.

Để tìm x_i, ta áp dụng định lý Cramer: x_i bằng Δ_i chia cho Δ, với Δ = det(A) là định thức của ma trận hệ số Δ_i được tạo bằng cách thay cột thứ i của A bằng cột các số hạng tự do (vector b) của hệ, tức là định thức Δ_i là định thức mới có cột i được thay bằng vector b Như vậy, x_i = Δ_i / Δ và hệ sẽ cho nghiệm khi Δ ≠ 0.

Quy tắc Cramer cho hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn được phát biểu ngắn gọn như sau: nếu định thức của ma trận hệ số khác 0, thì hệ có một nghiệm duy nhất, và nghiệm đó được tính bằng công thức của quy tắc Cramer dựa trên định thức thay thế cột tương ứng của ma trận hệ số.

Ta tính được det(A) $≠ 0; det(𝐴 1 )=-64 (𝐴 2 ) = 16 (𝐴 3 ) = −16

Ta có nghiệm của hệ đã cho là:

Ta gọi A= (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚𝑥𝑛 là ma trận của hệ Sau khi thêm cột các số hạng tự do b vào ma trận

A, ta lập được ma trận mở rộng B Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 1.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần và đủ để hệ (1.1) có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng B

Nếu r(A)=r(B)=n thì hệ (1.1) có một nghiệm duy nhất Nếu r(A)=r(B) 0 với A là ma trận có nghĩa là tất cả các mục của A đều dương Định nghĩa tương tự giữ cho 𝐴 ≥0

Nếu (I- C) khả nghịch thì p = (𝐼 − 𝐶) −1 𝑑 Vì vectơ cầu là dương nên ta muốn

(𝐼 − 𝐶) −1 dương Một ma trận tiêu dùng C được gọi là hiệu quả nếu (𝐼 − 𝐶) −1 tồn tại và

Có thể chỉ ra rằng một ma trận tiêu dùng Clà hiệu quả khi và chỉ khi tồn tại một vectơ x sao cho x > Cx

Kết quả cho thấy ma trận tiêu thụ C được xem là hiệu quả khi tổng của mỗi hàng của nó nhỏ hơn 1 và cũng được xem là hiệu quả khi tổng của mỗi cột nhỏ hơn 1 Điều này có ứng dụng trong phân tích lợi nhuận của từng ngành, cho phép ước lượng tiềm năng sinh lời dựa trên cấu trúc tiêu thụ.

Một ngành i được gọi là có lợi nhuận nếu tổng các i cột của ma trận tiêu thụ C nhỏ hơn 1

Giá trị đặc trưng và sản xuất

Nếu C chéo hóa được và 0 ≤ 𝑐 𝑖,𝑗 < 1 với giá trị riêng 𝜇 1 𝜇 1 , 𝜇 2 … 𝜇 𝑛 thỏa mãn , thì

(𝐼 − 𝐶) −1 sẽ không âm Do đó, đối với bất kỳ véc tơ nhu cầu không âm d cho trước , chúng ta có thể tìm một vectơ sản xuất p sao cho CP = d.

Ví dụ

Cái nào trong những ma trận sau đây là sản xuất? a) A=[

Trong lời giải, ma trận A được xem là hiệu quả vì tổng các phần tử trên mỗi hàng nhỏ hơn 1; còn ma trận B được xem là hiệu quả bởi ta có thể tìm thấy vectơ x = (2,1) sao cho x > Bx.

Hãy xem xét một nền kinh tế có ba ngành công nghiệp với ma trận tiêu dùng sau

Với 0 < k < 1 a) Với những giá trị nào của k sẽ thì (𝐼 − 𝐶) −1 tồn tại ? b) Với những giá trị nào của k sẽ (𝐼 − 𝐶) −1 không âm ? c) Véc-tơ sản xuất sẽ là gì nếu véc-tơ nhu cầu là ? d = [

Giải: a) Giá trị riêng của C là λ1 = 0 với bội 2 và λ2 = 3k với bội 1; các giá trị riêng của I − C là 1 − 0 = 1 và 1 − 3k, nên với k ≠ 1/3 thì 1 − 3k ≠ 0 và I − C là khả nghịch b) Lưu ý rằng (I − C)^{-1} không âm khi và chỉ khi C có lãi; tổng các hàng của C bằng 3k nên C có lãi khi 3k < 1, tức k < 1/3 c) Ta muốn tìm một ma trận sản xuất p sao cho d = (I − C) p.

] là một vectơ riêng của (𝐼 − 𝐶) với giá trị riêng là 1-3k

100010001000]chúng ta sẽ nhận được:

Bài tập

1) Cái nào trong những ma trận sau đây là sản xuất? a) A=[

2) Hãy xem xét một nền kinh tế có hai ngành công nghiệp với ma trận tiêu dùng sau

Với 0 < k < 1 a) Với những giá trị nào của k sẽ thì (𝐼 − 𝐶) −1 tồn tại ? b) Với những giá trị nào của k sẽ (𝐼 − 𝐶) −1 không âm ? c) Véc-tơ sản xuất sẽ là gì nếu véc-tơ nhu cầu là ?

Ứng dụng trong chuỗi Markov

Giới thiệu

Giả sử trong một thị trấn nhỏ có ba địa điểm ăn uống, hai nhà hàng một là nhà hàng

Trong thị trấn này, ba lựa chọn ăn tối phổ biến là nhà hàng Trung Quốc, nhà hàng Mexico và tiệm pizza Người dân địa phương thường ghé thăm một trong ba địa điểm này để ăn tối hoặc tự nấu tại nhà Những quán ăn này đóng vai trò quan trọng trong đời sống ẩm thực địa phương, thu hút cả người dân và du khách muốn thưởng thức hương vị Trung Quốc, ẩm thực Mexico và pizza.

Giả sử rằng 20% những người ăn ở nhà hàng Trung Quốc sẽ đến Mexico vào lần tới,

Khảo sát cho thấy 20% người ăn ở nhà và 30% đến tiệm pizza Từ nhóm người ăn ở nhà hàng Mexico, 10% chuyển sang tiệm pizza, 25% đến nhà hàng Trung Quốc và 25% sẽ ăn ở nhà ở lần tới Từ nhóm người ăn ở tiệm pizza, 30% quay về ăn ở nhà, 20% đến nhà hàng Trung Quốc và 25% đến nhà hàng Mexico.

Trong ví dụ này, ta xem một hệ gồm bốn trạng thái, mỗi trạng thái đại diện cho một quán pizza khác nhau Một người ở thị trấn có thể ăn tối tại bất kỳ quán nào trong bốn quán này, nên hệ thống mô tả hành vi của khách theo thời gian và cho phép ước lượng lưu lượng khách đến từng quán Mục tiêu phân tích là đánh giá sự thành công về mặt kinh doanh của các quán pizza dựa trên tỉ lệ khách hàng ghé thăm, và sau một khoảng thời gian nhất định ta sẽ hỏi: phần trăm người dân thị trấn sẽ đến quán pizza nào Thông tin này giúp dự báo doanh thu và định hướng chiến lược marketing cho từng quán trong hệ bốn quán.

Giả sử có một hệ vật lý hoặc toán học có k trạng thái có thể xảy ra và tại bất kỳ thời điểm nào hệ luôn ở đúng một trong số các trạng thái đó Trong một khoảng thời gian quan sát nhất định, ví dụ n bước thời gian, xác suất để hệ ở một trạng thái cụ thể phụ thuộc vào trạng thái của nó ở thời điểm trước đó (n−1) Hệ như vậy được gọi là Chuỗi Markov hoặc quá trình Markov.

Trong ví dụ trên hệ có bốn trạng thái Xác định aij là xác suất hệ ở trạng thái i sau khi nó ở trạng thái j (tại bất kỳ quan sát nào) Ma trận A = (aij) được gọi là ma trận xác suất chuyển tiếp, hay ma trận chuyển trạng thái của hệ, mô tả xác suất chuyển từ trạng thái j sang trạng thái i.

Chuyển tiếp của Chuỗi Markov.

Ví dụ

Ma trận chuyển đổi ví dụ ở trên, là

Cột đầu tiên biểu thị trạng thái ăn ở nhà, cột thứ hai biểu thị trạng thái ăn ở nhà hàng

Trung Quốc, cột thứ ba biểu thị trạng thái ăn ở nhà hàng Mexico và cột thứ tư biểu thị trạng thái ăn ở Pizza Place

Tương tự, các hàng tương ứng là ăn ở nhà, ăn ở nhà hàng Trung Quốc, ăn ở nhà hàng

Mexico và ăn ở Pizza Place

Lưu ý rằng tổng của mỗi cột trong ma trận này bằng một Bất kỳ ma trận nào có tính chất này được gọi là ma trận xác suất (hay còn được gọi là ma trận Markov hoặc ma trận ngẫu nhiên) Ta quan tâm đến câu hỏi sau:

Xác suất hệ ở trạng thái i tại thời điểm n quan sát là P(X_n = i) Để trả lời câu hỏi này, ta xác định vectơ trạng thái của chuỗi Markov Với một chuỗi Markov có k trạng thái, vectơ trạng thái cho thời điểm quan sát n là một vectơ cột chứa các xác suất pi_i(n) = P(X_n = i) cho mỗi i = 1, , k Cụ thể, pi(n) = (pi_1(n), pi_2(n), , pi_k(n))^T đại diện cho phân bố xác suất tại thời điểm n Việc tính toán pi(n) dựa trên phân bố ban đầu pi(0) và ma trận chuyển trạng thái P, và qua mỗi bước n, vectơ trạng thái được cập nhật theo quy luật chuyển trạng thái của chuỗi Markov.

Trong mô hình hệ Markov, x_n là vectơ trạng thái biểu diễn xác suất hệ ở mỗi trạng thái tại thời điểm quan sát n Mỗi phần tử x_i đại diện cho x_i = P(system ở trạng thái i tại thời điểm n), tức là xác suất để hệ tồn tại ở trạng thái i Tổng các phần tử của vectơ trạng thái phải bằng 1 để phản ánh rằng hệ luôn ở một trong các trạng thái được liệt kê Bất kỳ vectơ cột x nào cũng là một phân phối xác suất trên tập trạng thái, với x_i ≥ 0 và ∑_i x_i = 1.

Với x1 + x2 + … + xk = 1 được gọi là vectơ xác suất Trong ví dụ này, giả sử lúc đầu mọi người ăn ở nhà, vectơ trạng thái ban đầu x(0) sẽ mô tả phân bổ xác suất cho từng trạng thái, trong đó trạng thái ăn ở nhà có xác suất bằng 1 và các trạng thái còn lại có xác suất bằng 0, tức x(0) = (1, 0, …, 0).

Trong khoảng thời gian quan sát tiếp theo, giả sử vào cuối tuần đầu tiên, vectơ trạng thái sẽ là

Vào cuối 2 tuần, vectơ trạng thái là

Lưu ý rằng ta có thể tính toán 𝑥 (2) trực tiếp bằng cách sử dụng 𝑥 (0) như

Tương tự, ta có thể tìm vectơ trạng thái cho các khoảng thời gian quan sát 5, 10, 20

Gợi ý rằng vectơ phân phối trạng thái của một chuỗi Markov có thể hội tụ tới một vectơ cố định khi số bước quan sát tăng lên Tuy nhiên, điều này không phải là đặc trưng của mọi chuỗi Markov Ví dụ, một chuỗi có chu kỳ (periodic) hoặc bị phân rã thành các miền riêng biệt có thể không hội tụ tới một vectơ trạng thái duy nhất mà thay vào đó dao động theo thời gian hoặc chỉ hội tụ theo chu kỳ Ngược lại, với chuỗi Markov bất khả quy và aperiodic, phân phối trạng thái sẽ hội tụ tới phân phối cân bằng (stationary distribution), và do đó vectơ trạng thái sẽ tiếp cận tới một vectơ cố định bất kể vectơ khởi tạo.

0] ta có thể tính toán các vectơ trạng thái cho các khoảng thời gian quan sát khác nhau:

Những tính toán này chỉ ra rằng hệ này dao động và không tiếp cận bất kỳ vectơ cố định nào

Một ma trận vuông được gọi là chính quy nếu với một số nguyên n, tất cả các phần tử của 𝐴 𝑛 nó đều dương

Trang 51 không phải là ma trận chính quy, vì với mọi số nguyên dương n,

] là một ma trận thông thường, bởi vì 𝐴 1 có tất cả các mục tích cực

Cũng có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng khác của A đều nhỏ hơn 1 và bội số đại số của 1 là một

Có thể chỉ ra rằng nếu A là ma trận chính quy của chuỗi Markov, thì các luỹ thừa A^n tiến tới một ma trận Q sao cho mọi cột của Q đều bằng cùng một vectơ xác suất q được gọi là vectơ trạng thái dừng của chuỗi Markov chính quy Nói cách khác, khi A chính quy thì A^n → Q và Q có dạng [q q … q], tức là mọi cột của Q bằng q Vectơ q chính là vectơ trạng thái dừng (phân phối ổn định) của chuỗi Markov liên quan.

Có thể chỉ ra rằng đối với bất kỳ vectơ xác suất 𝑥 (0) nào khi n lớn lên, 𝐴 𝑛 𝑥 (0) sẽ tiệm cận với vectơ trạng thái dừng q [

Cũng có thể chỉ ra rằng vectơ trạng thái dừng q là vectơ duy nhất sao cho

Lưu ý rằng điều này cho thấy q là một vectơ riêng của A và 1 là giá trị riêng của A.

Bài tập

1)Ma trận nào sau đây là ma trận ngẫu nhiên? a)[0.25 0.75

2)Giả sử rằng thu nhập từ nghề nghiệp của một đứa trẻ, khi trưởng thành, phụ thuộc vào thu nhập từ nghề nghiệp của cha mẹ chúng được cho bởi ma trận chuyển đổi sau, trong đó

L= thu nhập thấp, M= thu nhập trung bình, U= Thu nhập cao

Trang 53 a) Xác suất để đứa cháu của một gia đình có thu nhập thấp có gia đình có thu nhập cao là bao nhiêu? b) Về lâu dài, bao nhiêu bộ phận dân số sẽ có mức thu nhập thấp?

Ứng dụng trong mạch điện

Giới thiệu

Một mạch điện đơn giản là một kết nối khép kín của Pin , Điện trở , Dây dẫn Một mạch điện bao gồm các vòng điện áp và các nút hiện tại

Các đại lượng vật lý sau đây được đo trong một mạch điện

Dòng điện là sự chuyển động có hướng của các hạt mang điện như electron hoặc ion, di chuyển qua vật dẫn hoặc không gian Nó được xác định bởi lượng điện tích di chuyển qua một tiết diện cố định trong một đơn vị thời gian, tức là cường độ dòng điện, và cho biết mức độ tích điện di chuyển qua môi trường dẫn theo thời gian.

Dòng điện là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong khoa học điện và điện tử, là cốt lõi của khoa học về điện và được biểu thị bằng cường độ dòng điện I, đo bằng đơn vị ampe (A) Điện trở là thước đo sự đối kháng của vật liệu đối với dòng điện trong mạch Có thể bỏ qua điện trở của các dây dẫn trong mạch vì nó rất nhỏ so với các thành phần còn lại Động cơ, bóng đèn và cuộn dây đốt nóng là những ví dụ điển hình về điện trở trong mạch.

Biểu thị bằng R đo bằng Ohms ( W )

Chênh lệch điện thế giữa hai điểm bất kỳ trong mạch được đo bằng đơn vị vôn và được gọi là điện áp (điện áp rơi) Trong thực tế, điện áp rơi có thể đo bằng thiết bị gọi là vôn kế Sự sụt giảm điện áp được gọi là điện áp rơi; nếu sự sụt giảm mang dấu âm, ta gọi đó là tăng điện áp.

Georg Simon Ohm đã xây dựng mối quan hệ giữa điện áp, dòng điện và điện trở cho một mạch điện theo định luật sau:

R = Điện trở (ohms) Được biểu thị bằng V đo bằng vôn (v)

Ba định luật cơ bản chi phối dòng điện trong mạch điện:

1 Định luật Ôm là một định luật vật lý về sự phụ thuộc vào cường độ dòng điện của hiệu điện thế và điện trở Nội dung của định luật cho rằng cường độ dòng điện đi qua 2 điểm của một vật dẫn điện luôn tỷ lệ thuận với hiệu điện thế đi qua 2 điểm đó, với vật dẫn điện có điện trở là một hằng số

2 Định luật bảo toàn năng lượng của Kirchhoff : Xung quanh bất kỳ vòng kín nào

(vòng điện áp), tổng điện áp giảm bằng tổng điện áp tăng

3 Định luật Kirchhoff bảo toàn điện tích: Tổng cường độ dòng điện chạy vào một điểm bất kỳ bằng tổng cường độ dòng điện đi ra khỏi điểm đó

Các mạch đơn giản được phân loại thành hai loại:

1 Mạch nối tiếp: Mạch nối tiếp là mạch chỉ có một đường dẫn Không có nhánh nào trong mạch và do đó điện chỉ có thể đi theo một tuyến

Tổng điện trở trong mạch nối tiếp bằng tổng các điện trở riêng lẻ

2 Mạch song song: Một mạch được gọi là mạch song song khi có các thành phần điện được kết nối theo cấu hình song song, hay đầu của chúng được kết nối với một điểm chung Nó tạo thành nhiều vòng hoặc đường dẫn cho dòng điện chảy

Trong các mạch điện có phần nối tiếp và phần song song, hãy phân chia mạch thành các phần nối tiếp và các nhánh song song, tính giá trị điện trở cho từng phần và sử dụng các giá trị này để tính điện trở tổng của mạch Cụ thể, với mỗi đường dẫn chuỗi riêng biệt, hãy tính tổng điện trở bằng cách cộng các điện trở trên đường dẫn đó; sau đó ghép các giá trị điện trở theo nguyên lý nối tiếp và song song để xác định điện trở của toàn mạch.

Thứ hai, sử dụng các giá trị này, bằng cách giả sử rằng mỗi đường dẫn là một điện trở duy nhất, tính tổng điện trở của mạch

Việc áp dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính là cách hiệu quả để giải các bài toán mạch điện Với một mạch điện cho trước, nếu ta có đầy đủ giá trị của cường độ dòng điện, điện trở và hiệu điện thế, ta có thể suy ra các giá trị còn thiếu của các đại lượng này bằng cách thiết lập và giải hệ phương trình liên quan.

Ví dụ

Ví dụ : Tìm cường độ dòng điện trong mạch cho mạng sau

Để phân tích mạch, ta gán dòng điện cho từng nhánh giữa các điểm nút Với hai điểm nút, ta có ba nhánh mang dòng điện khác nhau cần xác định Giả sử các dòng điện chạy theo chiều kim đồng hồ, ta thiết lập các phương trình dựa trên định luật Kirchhoff để tính toán giá trị của từng dòng điện và hiểu sự phân phối dòng điện qua các nhánh mạch.

Vậy cường độ dòng điện trên đoạn EFAB là I 1 , trên đoạn BCDE là I 3 và trên đoạn EB là I 2

Sử dụng Định luật Kirchhoff bảo toàn điện tích cho nút B mang lại phương trình

Trang 57 Đối với nút E, chúng ta sẽ nhận được phương trình tương tự Sau đó, ta sử dụng định luật điện áp của Kirchhoff

Khi đi qua acquy từ (-) sang (+), hiệu điện thế trên đoạn EF là -30 V Trên đoạn FA, qua điện trở 5 Ω, hiệu điện thế là -5 I1 V Theo cách tương tự, sự khác biệt tiềm năng trên các đoạn còn lại của vòng lặp EFAB có thể được xác định bằng cách phân tích lần lượt hiệu điện thế qua từng phần tử và áp dụng cùng quy tắc, từ EF sang FA rồi qua AB và quay lại EF.

Trong vòng lặp BCDE, Định luật bảo toàn năng lượng của Kirchhoff sẽ mang lại phương trình sau:

Bây giờ ta có ba phương trình với ba ẩn số:

Các hệ phương trình tuyến tính có thể được giải bằng các phương pháp đại số tuyến tính, mang lại cách tiếp cận hiệu quả để tìm nghiệm Những phương pháp này đặc biệt hữu ích khi mạng lưới hoặc hệ có cấu trúc phức tạp và số ẩn lớn, giúp xử lý bài toán lớn một cách nhanh chóng và chính xác.

Hệ trên có nghiệm như sau:

Bài tập

1 Xác định cường độ dòng điện chưa biết trong các mạch sau:

2.Xác định cường độ dòng điện, vôn và ôm chưa biết cho các phần khác nhau của mạng sau:

Ứng dụng trong phân luồng giao thông

Giới thiệu

Trong thời gian gần đây, các khái niệm và công cụ phân tích mạng đã chứng minh tính hữu ích trong nhiều lĩnh vực, từ lý thuyết thông tin đến nghiên cứu hệ thống giao thông Phân tích lưu lượng giao thông trên mạng lưới đường bộ trong giờ cao điểm cho thấy cách các hệ phương trình tuyến tính có nhiều nghiệm có thể xuất hiện và được áp dụng thực tế nhằm dự báo, tối ưu hóa luồng xe và cải thiện quy hoạch giao thông.

Đây đại diện cho một khu vực ở trung tâm thành phố Các tuyến đường ở đây là một chiều, được đánh dấu bằng các mũi tên chỉ hướng lưu thông Lưu lượng giao thông vào và ra ngoài mạng lưới được đo bằng số phương tiện mỗi giờ (vph) Dữ liệu tại đây được xây dựng dựa trên giờ cao điểm ngày làm việc, từ 7:00 đến 9:00 sáng và từ 16:00 đến 18:00 chiều.

Đề xuất cho phép tăng 2% lưu lượng giao thông tổng thể nhằm tối ưu hóa dòng chảy và giảm ùn tắc ở các nút giao Đồng thời, cần xây dựng một mô hình toán học để phân tích mạng giao thông này, giúp định lượng tác động của mức tăng lưu lượng lên thời gian di chuyển, mật độ xe và hiệu quả vận hành Việc kết hợp giữa điều chỉnh lưu lượng và mô hình phân tích mạng sẽ cung cấp cơ sở dữ liệu để đưa ra các quyết định quản lý giao thông dựa trên dữ liệu thực tế.

Ví dụ

Giả sử luật giao thông sau được áp dụng:

Tất cả các phương tiện đi vào giao lộ phải rời khỏi giao lộ đó

Sự bảo toàn giới hạn dòng chảy này (so sánh nó với quy tắc điểm Kirchhoff) dẫn đến một hệ phương trình tuyến tính:

Giao lộ A: Giao thông vào

Giao thông ra = 400+225 do đó

Giao lộ B: Giao thông vào

Giao thông ra do đó

Giao lộ C: Giao thông vào

Giao thông ra do đó

Giao lộ D: Giao thông vào

Những ràng buộc này đối với lưu lượng được mô tả bằng hệ phương trình tuyến tính sau:

Phương pháp khử Gauss-Jordan có thể được dùng để giải hệ phương trình này Bằng cách xây dựng ma trận tăng cường và thực hiện các bước khử cho đến khi đạt dạng bậc thang rút gọn, ta có thể xác định nghiệm của hệ một cách trực quan và chính xác Ma trận tăng cường và dạng bậc thang rút gọn của hệ trên được trình bày ở đây, cho thấy quá trình biến đổi cũng như kết quả nghiệm liên quan.

Hệ phương trình tương ứng với điều này rút gọn dạng cấp bậc là

Thể hiện mỗi biến chính theo biến còn lại, ta được

Hệ phương trình có nhiều nghiệm cho thấy nhiều luồng giao thông có thể xuất hiện tại các giao lộ, vì người lái xe có nhiều lựa chọn tại mỗi nút giao thông Áp dụng mô hình toán học này, chúng ta có thể phân tích và mở rộng thông tin về luồng giao thông, dự báo lưu lượng qua từng giao lộ và tìm cách tối ưu hóa dòng xe trên mạng lưới đường bộ Việc hiểu rõ các nghiệm của hệ và cách chúng phản ánh hành vi người dùng giúp cải thiện quản lý giao thông, thiết kế giao thông và điều tiết nhằm nâng cao hiệu quả di chuyển và giảm tắc nghẽn.

Giả sử cần phải thực hiện công việc làm đường trên đoạn Võ Nguyên Giáp

Mục tiêu của bài viết là giảm lưu lượng giao thông x3 trên đoạn đường này càng thấp càng tốt để giảm thiểu tắc nghẽn Các luồng xe được điều khiển và phân bổ qua các nhánh khác nhau bằng đèn giao thông, cho phép điều chỉnh lưu lượng theo thời gian thực Giá trị nhỏ nhất của x3 sao cho không dẫn đến tắc nghẽn giao thông là bao nhiêu vẫn là câu hỏi chính, đòi hỏi phân tích cách tối ưu hóa tín hiệu và phân bổ luồng xe giữa các nhánh Bài viết sẽ trình bày các yếu tố ảnh hưởng đến lưu thông, cùng với phương pháp điều chỉnh thời gian đèn và cấu hình nhánh để duy trì luồng thông suốt và tối ưu hiệu suất giao thông.

Ta sử dụng hệ phương trình trước để trả lời điều này câu hỏi

Tất cả các luồng lưu lượng phải không âm (âm luồng sẽ được hiểu là phương tiện di chuyển sai hướng trên đường một chiều)

Trong hệ phương trình được phân tích, phương trình thứ ba cho biết x^3 sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x^4 được đẩy lên càng lớn càng tốt, miễn sao không vượt quá 900 Giá trị lớn nhất của x^4 mà không gây ra giá trị âm cho x1 hoặc x2 là 475. -**Support Pollinations.AI:** -🌸 **Ad** 🌸Powered by Pollinations.AI free text APIs [Support our mission](https://pollinations.ai/redirect/kofi) to keep AI accessible for everyone.

Theo các tính toán, giá trị nhỏ nhất của x^3 là 475 + 900 hoặc 425 Các dự án làm đường trên Võ Nguyên Giáp phải đảm bảo lưu lượng giao thông tối thiểu là 425 vph.

Trong thực tế, các mạng rộng lớn hơn nhiều so với mạng được thảo luận ở đây khiến các hệ phương trình tuyến tính có quy mô lớn hơn phải được xử lý trên máy tính, và việc nhập các giá trị khác nhau của các biến cho phép mô phỏng nhiều tình huống đa dạng để phân tích và tối ưu hóa kết quả trong các ứng dụng thực tế.

Bài tập

Để mô phỏng và phân tích luồng giao thông trong mạng lưới đường được thể hiện trên hình minh họa, bài viết xây dựng một mô hình toán học mô tả các mối quan hệ lưu lượng trên từng đoạn đường và tải trọng của toàn mạng Trong mạng lưới này, mọi tuyến đường là đường một chiều và tuân theo các hướng được chỉ định rõ ràng, giúp đơn giản hóa tính toán và đảm bảo sự nhất quán của luồng xe Mô hình này cho phép ước lượng lưu lượng tại các nút giao, đánh giá hiệu suất của mạng, và làm cơ sở cho các biện pháp tối ưu hóa như điều phối tín hiệu, điều chỉnh hướng đi hoặc thiết kế lại tuyến đường để cải thiện luồng giao thông và giảm thiểu tắc nghẽn.

Đơn vị đo lưu lượng được sử dụng là xe mỗi giờ Bài toán cho phép hai luồng lưu lượng riêng biệt có thể tồn tại trên hệ thống, và chúng ta cần xác định lưu lượng tối thiểu có thể dự kiến dọc theo nhánh AB Việc ước lượng lưu lượng tối thiểu trên nhánh AB dựa trên hai luồng lưu lượng này giúp phân tích và tối ưu lưu lượng giao thông một cách hiệu quả.

2)Hình dưới đây mô tả luồng giao thông, với đơn vị là số xe trên giờ

(a) Xây dựng hệ phương trình tuyến tính mô tả dòng chảy này

Trong một mạng lộ trình, tổng thời gian mà các phương tiện di chuyển trên một đoạn đường bất kỳ tỉ lệ thuận với lưu lượng giao thông dọc theo đoạn đó Ví dụ, tổng thời gian để x1 xe đi hết quãng đường AB bằng k × x1 phút, với k là một hằng số cố định cho mọi đoạn đường Giả sử hằng số này giống nhau trên toàn mạng, tổng thời gian cho toàn bộ 200 phương tiện trong mạng này sẽ là 200 × k phút.

Tổng thời gian này là bao nhiêu nếu k = 4? Cho biết thời gian trung bình mỗi xe đi