Ứng dụng Matlab trong khảo sát tính ổn định của hệ thống

Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ.. b Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ.. d Hệ thống ổn đị

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ

MINH KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BỘ MÔN TỰ ĐỘNG ĐIỀU KHIỂN - ∆ - ⸙ ⸙

BÀI BÁO CÁO SỐ 2

CHƯƠNG 2: Ứng dụng Matlab trong khảo sát

tính ổn định của hệ thống

GVHD: NGUYỄN PHONG LƯU

SVTH: NGUYỄN TẤN TÀI

MSSV: 19151282

Tp Hồ Chí Minh, tháng 2 năm 2022

Bài 1: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Bode

Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là G(s)

a Với K=10, hãy vẽ biểu đồ Bode biên độ và pha của hệ hở trong khoảng tần số (0.1, 100)

b Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ Lưu biểu đồ Bode thành file *.bmp, chèn vào file word để viết báo cáo

Chú ý phải chỉ rõ các giá trị tìm được trong biểu đồ Bode

c Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

d Hãy vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống trên với đầu vào là hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian t=0÷10s để minh họa kết luận ở câu c Lưu hình vẽ này để

báo cáo

e Với K=400 thực hiện lại các yêu cầu từ câu a→d

BÀI LÀM:

K=10

a) Với K=10, hãy vẽ biểu đồ Bode biên độ và pha của hệ hở trong khoảng tần số (0.1, 100)

- Code MATLAB:

g=tf([10],conv([1 0.2],[1 8 20]));

bode(g,{0.1,100});

grid on;

margin(g)

b) Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ

Tần số cắt biên: 4.65 rad/s

Pha dự trữ: 24.8 dB

Tần số cắt pha: 0.455 rad/s

Biên dự trữ.: 103 deg

c) Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

d) Hệ thống ổn định do có hàm truyền hở có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của biểu đồ bode mô tả hệ thống dương

e) Hãy vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống trên với đầu vào là hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian t=0÷10s

a) Với K=400, hãy vẽ biểu đồ Bode biên độ và pha của hệ hở trong khoảng tần số (0.1, 100)

Code matlab:

clear

clc

g=tf([400],conv([1 0.2],[1 8 20]));

figure;

bode(g,{0.1,100});

grid on;

margin(g)

figure;

gf=feedback(g,1)

step(gf,10)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Time (seconds)

b) Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ

Tần số cắt biên: 4.65 rad/s

Pha dự trữ: -7.27 dB

Tần số cắt pha: 6.73 rad/s

Biên dự trữ.: -23.4 deg

c) Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

Hệ thống bất ổn định vì độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của biểu đồ bode mô tả hệ thống đều âm

d) Hãy vẽ đáp ứng quá độ của hệ thống trên với đầu vào là hàm nấc đơn vị trong khoảng thời gian t=0÷10s

Nhận xét: Hệ thống không ổn định do hệ thống có hàm truyền hở có độ độ dự trữ pha

và dự trữ biên nhỏ hơn 0

Bài 2: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Nyquist

Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là G(s)

a Với K=10, hãy vẽ biểu đồ Nyquist của hệ thống

b Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết quả ở câu 2.1.2 Lưu biểu đồ Bode thành file *.bmp, chèn vào file word để viết báo cáo

c Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

d Với K=400 thực hiện lại các yêu cầu từ câu a→c

BÀI LÀM:

K=10

a) Với K=10, hãy vẽ biểu đồ Nyquist của hệ thống

Code matlab:

clear

clc

g=tf([10],conv([1 0.2],[1 8 20]));

nyquist(g)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

1.5

-4 dB

-20 dB

2 dB 0 dB

-10 dB -6 dB -2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

System: G Gain Margin (dB): 24.8

At frequency (rad/s): 4.65 Closed loop stable? Yes System: G Phase Margin (deg): 103 Delay Margin (sec): 3.97

At frequency (rad/s): 0.455 Closed loop stable? Yes

b) Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết quả ở câu 2.1.2

Biên dự trữ = 24.8 (dB)

Pha dự trữ = 103 (độ)

c) Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

Hệ thống kín ổn định vì biểu đồ không bao điểm (-1,0j)

K=400

a) Với K=400, hãy vẽ biểu đồ Nyquist của hệ thống

Code matlab:

clear

clc

g=tf([400],conv([1 0.2],[1 8 20]));

nyquist(g)

b) Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết quả ở câu 2.1.2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

1.5

-4 dB

-20 dB

2 dB 0 dB

-10 dB -6 dB -2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

System: G Gain Margin (dB): 24.8

At frequency (rad/s): 4.65 Closed loop stable? Yes System: G Phase Margin (deg): 103 Delay Margin (sec): 3.97

At frequency (rad/s): 0.455 Closed loop stable? Yes

Pha dự trữ, biên dự trữ giống với câu 2.1.2

c) Hãy xét tính ổn định của hệ thống kín, giải thích

Hệ thống kín không ổn định vì biểu đồ bao điểm (-1,0j)

Bài 3: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Nyquist

Hãy xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là:

a

b

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10 dB

2 dB

0 dB

-10 dB-6 dB -4 dB

-2 dB

6 dB

4 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

System: G2 Phase Margin (deg): -23.4 Delay Margin (sec): 0.873

At frequency (rad/s): 6.73 Closed loop stable? No

System: G2 Gain Margin (dB): -7.27

At frequency (rad/s): 4.65 Closed loop stable? No

BÀI LÀM:

1 Hàm truyền 1

Vì biểu đồ không bao điểm (-1,0j) nên hệ kín ổn định

2 Hàm truyền 2

-1.5

-1 -0.5

0 0.5

1

1.5

0 dB

-20 dB -10 dB -6 dB

-4 dB -2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

-0.6

-0.4

-0.2

0 0.2

0.4

0.6

-10 dB

-20 dB

20 dB

10 dB

6 dB4 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Vì biểu đồ không bao điểm (-1,0j) nên hệ kín ổn định.

Bài 4: Khảo sát hệ thống dùng phương pháp quĩ đạo nghiệm số

Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vòng hở là G(s)

a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh của

hệ, chỉ rõ giá trị này trên hình Lưu QĐNS thành file *.bmp để báo cáo

b Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4

c Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7

d Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

e Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s

Hàm truyền hở có pha dự trữ = -41 độ nhỏ hơn 0 nên hệ kín không ổn định

BÀI LÀM:

A) Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống.

Code matlab:

clear

clc

g=tf([1],conv([1 0.2],[1 8 20]));

figure;

rlocus(g)

Kgh = margin(g)

line([-1 -1],[10 -10])

grid on

B) Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4.

K=8.09 tần số dao động tự nhiên ωn = 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.56 0.81

0.955

0.2 0.4 0.56 0.7

0.81 0.9

0.955 0.988

0.2 0.4 0.7

0.9

0.988

2 4

6 8

10

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 8.09 Pole: -3.72 + 1.45i Damping: 0.931 Overshoot (%): 0.0322 Frequency (rad/s): 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.56 0.81

0.955

0.2 0.4 0.56 0.7

0.81 0.9

0.955 0.988

0.2 0.4 0.7

0.9

0.988

2 4

6 8

10

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 172 Pole: -0.00482 + 4.64i Damping: 0.00104 Overshoot (%): 99.7 Frequency (rad/s): 4.64

System: G Gain: 174 Pole: 0.00636 - 4.66i Damping: -0.00137 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/s): 4.66

C) Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7

K =22.9 hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7

D) Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

K = 43.8 hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.56 0.81

0.955

0.2 0.4 0.56 0.7

0.81 0.9

0.955 0.988

0.2 0.4 0.7

0.9

0.988

2 4

6 8

10

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 22.9 Pole: -1.64 + 1.66i Damping: 0.702 Overshoot (%): 4.52 Frequency (rad/s): 2.34

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.56 0.81

0.955

0.2 0.4 0.56 0.7

0.81 0.9

0.955 0.988

0.2 0.4 0.7

0.9

0.988

2 4

6 8

10

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

System: G Gain: 43.8 Pole: -1.14 + 2.6i Damping: 0.402 Overshoot (%): 25.2 Frequency (rad/s): 2.84

E) Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s.

K = 52.7 hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.985

0.16 0.34

0.5 0.64

0.76 0.86

0.94

0.985

0.16 0.34

0.5 0.64

0.76 0.86

0.94

1 2

3 4

5 6

7 8

9

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Gain: 10.4 Pole: -1.01 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/s): 1.01

System: G Gain: 52.7 Pole: -1 + 2.85i Damping: 0.332 Overshoot (%): 33.1 Frequency (rad/s): 3.03

System: G Gain: 52.9 Pole: -1 - 2.86i Damping: 0.331 Overshoot (%): 33.2 Frequency (rad/s): 3.03

3 Bài tập

Thực hiện khảo sát hệ thông điều khiển bằng QĐNS với hàm truyền:

a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh của

hệ, chỉ rõ giá trị này trên hình Lưu QĐNS thành file *.bmp để báo cáo

b Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4

c Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7

d Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

e Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s

BÀI LÀM:

a) Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) của hệ thống

-15

-10

-5 0 5 10

15

0.97

0.48

0.88

0.62 0.76

0.12 0.24 0.36 0.48

0.62 0.76

0.88 0.97

0.12 0.24 0.36

2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12 14

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 103 Pole: 0.00398 + 4.3i Damping: -0.000926 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/s): 4.3

b) Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4

K = 78.6 hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = 4

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.97

0.48

0.88

0.62 0.76

0.12 0.24 0.36 0.48

0.62 0.76

0.88

0.97

0.12 0.24 0.36

2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12 14

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 78.6 Pole: -0.203 + 4i Damping: 0.0508 Overshoot (%): 85.2 Frequency (rad/s): 4

c) Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7.

Không tồn tại K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7

d) Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

K =9.15 hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25%

e) Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s

K = 19.3 hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.97

0.48

0.88

0.62 0.76

0.12 0.24 0.36 0.48

0.62 0.76

0.88

0.97

0.12 0.24 0.36

2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12 14

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

-1 )

System: G Gain: 9.15 Pole: -1.24 + 2.8i Damping: 0.404 Overshoot (%): 25 Frequency (rad/s): 3.06

Khảo sát hệ thống trên bằng biều đồ bode.

Nhận xét: Hệ thống ổn định vì độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của biểu đồ bode mô tả

hệ thống đều dương

-100

-50

0

-270

-225

-180

-135

-90

-45

Bode Diagram

Gm = 5.98 dB (at 4.29 rad/s) , Pm = 37.7 deg (at 3.07 rad/s)

Frequency (rad/s)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.48 0.62

0.12 0.24

0.36 0.48

0.62 0.76

0.88

0.97

0.12 0.24

0.36 0.76

0.88

0.97

2 4 6 8 10 12 14

2 4 6 8 10 12 14

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Gain: Inf Pole: -1 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/s): 1

System: G Gain: 19.3 Pole: -1 + 3.01i Damping: 0.315 Overshoot (%): 35.2 Frequency (rad/s): 3.18 System: G Gain: 19.3 Pole: -1 - 3.01i Damping: 0.315 Overshoot (%): 35.2 Frequency (rad/s): 3.17

Khảo sát hệ thống trên bằng biều đồ nyquist.

Nhận xét: Vì biểu đồ đi qua điểm (-1,0j) nên hệ kín ở biên giới của ổn định

Câu hỏi mở:

1) So sánh các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển

- Nyquist chỉ cung cấp một số lượng hạn chế trực quan để giải thích tại sao một hệ thống là ổn định hay không ổn định, hoặc làm thế nào để biến một hệ thống từ không ổn định sang ổn định Các kỹ thuật như biểu đồ Bode, ít tổng quát, đôi khi lại là một công cụ thiết kế hữu ích hơn

- Phương pháp QĐNS phức tạp hơn nhưng có thể khảo sát được nhiều thông số ảnh hưởng đến chất lượng hệ thống hơn so với 2 phương pháp còn lại

2) Khi nào sử dụng các phương pháp khảo sát điều khiển

- Nhìn vào biểu đồ Nyquist của các hệ thống vòng hở, nó có thể được áp dụng mà không cần tính toán một cách rõ ràng các cực và zero của hoặc hệ thống vòng kín hoặc hệ thống vòng hở Nó có thể được áp dụng cho các hệ thống được xác định

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 dB

0 dB

-6 dB

-4 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

bởi các hàm không phải là hàm phân thức, chẳng hạn như hệ thống có độ trễ Ngược lại với biểu đồ Bode, nó có thể xử lý các hàm truyền với các kỳ dị ở mặt phẳng bên phải

- Phương pháp quỹ đạo nghiệm số dùng để khảo sát ảnh hưởng của thông số thay đổi đến chất lượng hệ thống

3) Chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ Bode và Nyquist

- Dựa vào biểu đồ Nyquist vẫn có thể xác định được độ dự trữ pha và độ dự trữ biên như biểu đồ Bode nên có thể áp dụng tiêu chuẩn Bode

4) Giải thích vì sao muốn tìm K có txl =4, tương ứng có ξωn =1 ta nhấp chuột tại vị trí giao điểm của QĐNS với đường thẳng song song với trục tung cắt trục hoành tại -1

- Khi có thời gian Txl =4 , tương ứng với ξωn =1, thì ta xác định giá trị của phần thực là -1, của cặp nghiệm phức, nên tại vị trí giao điểm của QĐNS với đường thẳng song song với trục tung cắt trục hoành tại -1, đó chính là cặp nghiệm phức quyết định, Nên ta nhấp chuột vào đó ta xác định được giá trị K để có cặp nghiệm phức đó

5) Giải thích vì sao muốn tìm K có tần số dao động tự nhiên là 4 ta nhấp chuột tại vị trí giao điểm của QĐNS với đường tròn tâm O bán kính là 4 Chọn giao điểm gần trục

ảo để giá trị K này làm hệ thống có tính dao động

- Vì từ vị trí của cặp cực quyết định đến gốc toạ độ O là ωn, nên để có tấn số dao động tự nhiên là 4 thì ta nhấp chuột vào vị trí giao điểm QĐNS với đường tròn tâm O bán kính là 4, chọn gần trục ảo vì nghiệm đó là cặp nghiệm quyết định 6) Giải thích vì sao muốn tìm K có hệ số giảm chấn là 0.7 ta nhấp chuột tại vị trí giao điểm của QĐNS với đường thẳng đi qua gốc O có ξ=0.7

-Vì ta có ξωn = suy ra được hệ số góc =ξ=0.7 nên để hệ số giảm chấn là 0,7 thì ta nhấp giao điểm của QĐNS với đường thẳng đi qua gốc O có hệ số góc là 0,7