bai tap he hai phuong trinh bac nhat hai an nang cao

Mỗi nghiệm chung của hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ.. Giải hệ hai phương trình là ta đi tìm tất cả các nghiệm chung của hai phương trình bậc nhất hai ẩn có tron

Bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nâng cao

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

A Lý thuyết

1 Định nghĩa

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng















2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

Trong đó a1xb1yc1và a2xb2yc2 là các phương trình bậc nhất hai ẩn

Mỗi nghiệm chung của hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ

Giải hệ hai phương trình là ta đi tìm tất cả các nghiệm chung của hai phương trình bậc nhất hai ẩn có trong hệ

Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Minh họa hình học

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Do đó, trên cùng một mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm chung của hai đường thẳng  d1 :a1xb1yc1và  d2 :ax2by2 c2

Khi đó, nếu:

  d1 cắt  d2 thì hệ có một nghiệm duy nhất và tập nghiệm của hệ được biểu diễn bởi giao điểm của  d1 và  d2

    d1 // d2 thì hệ vô nghiệm và tập nghiệm là tập rỗng

  d1 trùng với  d2 thì hệ có vô số nghiệm và tập nghiệm được biểu diễn bởi

 d1

3 Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3.1 Phương pháp thế

Để giải hệ phương trình















2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

bằng phương pháp thế, ta làm như sau:

Giả sử rằng a1 0

Bước 1: Rút một ẩn x từ một phương trình a1xb1yc1, ta được

1

1 1

a

y b c

x 

Bước 2: Thay

1

1 1

a

y b c

x  vào phương trình a2xb2yc2 , ta được một phươn

1

1 1

a

y b c

a  









Bước 3: Giải phương trình một ẩn trên, tìm được giá trị củay

Bước 4: Thay giá trị tìm được của ẩny vào biểu thức

1

1 1

a

y b c

x  , ta tìm được giá trị tương ứng của x

Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho

! Chú ý:

 Nếu a 0 , thì phải có điều kiện b 0 Khi đó rút y từ phương trình

1 1

1x b y c

a  

 Khi các hệ số a1,b1,a2,b2 là những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của

nó có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất

3.2 Phương pháp cộng đại số

Để giải hệ phương trình















2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x

như sau:

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số

của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối nhau)

Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để được một phương trình

một ẩn Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta được một hệ mới

Bước 3: Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó Thay giá trị vừa

tìm được của ẩn đó vào phương trình còn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia Cặp giá trị tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

4 Một số hệ phương trình nâng cao

4.1 Hệ đối xứng loại 1

 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi

 Tính chất: Nếu x0; y0 là một nghiệm của hệ thì y0; x0 cũng là nghiệm của hệ

 Cách giải: Đặt













y x P

y x

S

. điều kiện S2  4P , quy hệ phương trình về 2 ẩn

P

S,

4.2 Hệ đối xứng loại 2

 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia

 Tính chất: Nếu x0; y0 là một nghiệm của hệ thì y0; x0 cũng là nghiệm của hệ

 Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình



















0 ,

0 0

,

y x f

y x y

x f y

4.3 Hệ đẳng cấp

 Định nghĩa: Hệ đẳng cấp là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp hoặc

các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp

+ Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

ax bxy cy d

ex gxy hy k





 , ax bxy cy22 22 dx ey

gx hxy ky lx my





 , ax bxy cy23 2 2 2d 3

gx hx y kxy ly mx ny





+ Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện

 Cách giải: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạp ra

a x a x  y  a y  Từ đó ta xét hai trường hợp:

+ y 0 thay vào để tìm x

+ y 0 ta đặt x ty thì thu được phương trình 1 n n k 0

a t a t   a  Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x y, (Cách làm cũng tương tự với trường hợp y tx )

B Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:





















15

2 5

1 6 1

4

3 1 1

y x

y x

Lời giải:

Trước khi giải hệ phươn trình, ta phải đặt điều kiện cho các ẩn để hệ phương trình có nghĩa Điều kiện: x 0  ;y 0

x 

y 

1 (Khi đặt ẩn ta lưu ý đặt điều kiện nếu có)

Khi đó hệ phương trình trở thành





















15

2 5

1 6

3

b a

b

a

Sử dụng phương pháp thế hoặc

phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta được

















) ( 4 1

) ( 2 1

tm b

tm a

















4

12

1

b

a

ta có





























) ( 4

) ( 2 4

1

1 1

tm y

tm x

y

)

4

;

2

(

)

;

(x y 

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:



















xy y

x

xy y

x

5 2

5 3

Đáp số:   x; y 12 ; 25

b)

























2 12

1 12

y

x y

x y

x y x

Đáp số:   x; y 144 ; 36























9 40 40

5 4

y x y x

y x y x

Đáp số:    x; y 9 ; 1

d)

























1 1

9 1 2

2

y

x

y x

Đáp số:   x;y   3 ; 3

hoặc   x;y   3 ;  1

e)





















30

25

y y x

x y x

Đáp số:   x;y  16 ;  7

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

















8

2 2

3

3 y x

xy y x

Lời giải:

Ta biến đổi hệ phương trình thành





















8 ) )(

(

2 2

2

2 xy y x

y x

xy y x























8 )

(

)

(

2 2

2 xy y x

y

x

xy

y

x

Đặt













y x P

y x

S

. điều kiện S2  4P, hệ trở thành:















8 )

.(

2

2

2 P

S

S

P

S

Giải hệ trên rồi với ẩn S, P Khi tìm được S, P, ta sẽ tính được nghiệm của hệ phương trình là    x; y 0 ; 2 hoặc    x; y 2 ; 0

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau



















6

3 )

(

2

3

3

3 2

3 2

y

x

xy y x y

x

Đáp số:   x;y   2 ; 3 hoặc   x;y  3 ;  2

b,     





2 8

19

3 3

xy y

x

y x

Đáp số:   x; y 8 ; 64 hoặc   x; y 64 ; 8

c,























4 1 1

3

y x

xy y

x

Đáp số:    x; y 3 ; 3

d,

















 4

2 8 2

2 2

y x

xy y

x

Đáp số:    x; y 4 ; 4

e,

























xy y

































0 11 1

0 30 2

1

2 2

3 2

2 3

y y y x y x

xy y y x y y x

Đáp số:   











2

5 3

;1

; y









 

2

5 3

; y

x









 



2

21 5

; 2

21 5

x

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

















x y y

y x x

2

2

2 2

Lời giải:

Điều kiện x, y 0 Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

y y y x

x

x2   2   2 

         1  2    0

Vì   x y xy 1  2 x y  0 nên phương trình đã cho tương đương với

y

x 

Thế x  y vào một trong hai phương trình trên ta được nghiệm của hệ phương trình là    x; y 0 ; 0 hoặc    x; y ;1 1 hoặc 









2

5 3

; 2

5

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

























1 6

1

1 6

)

1

(

2 2

2 2

y x x

y

x y y

x

Đáp số:    x; y 2 ; 2 hoặc    x; y 3 ; 3

hoặc    x; y 2 ; 3 hoặc   x; y 3 ; 2

b,





























x y

y y

y x

x x

1 2 1 3

1 2 1 3

3 3

Đáp số:    x; y 0 ; 0

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:





Lời giải:







Đểy ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta được phương trình đẳng cấp bậc 3: 6x3 y38x 2y x  2  3y2 Từ đó ta có lời giải sau:

Vì x 0không là nghiệm của hệ nên ta đặt y tx Khi đó hệ trở thành:

2

t

2

1 3

1 4

t

t t

t

 



  



Với 21 3 2 6 3

1

1 3

3

y y

 







Với

4 78

13

x t

y



 



   

 

Suy ra ta được các cặp nghiệm của hệ phương trình

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

2

2 2

2

x y xy y x y

xy x y x y







Đáp số: x y ;   1;1 ,   x y   ; 1; 1,

 ;  2 2; 2

x y   

x y    

2

2







9 1 8

2

1 2

x y

x

x y x y







Đáp số:  ;  17 3 13 3 17;

x y     

2 2

1 3

1

x y

x y

x y



  



x y       

x y        

x y xy x

x x xy







3

1

9

x y   

f,

2

2

xy x y

xy x x y x







Đáp số:  ;   1;1 , 31 ;34

3 9

x y   

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình với tham số m

m x y m

x m y







a, Giải hệ phương trình với m 3

b, Giải và biện luận hệ phương trình

c, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d, Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn điều kiện x y nhỏ nhất

Lời giải:

a, Với m 3 hệ trở thành

11

x

x y

 



 



 2 1  2 1 2 2 2 1(3)

+ Nếu m 0 thì x m2 21

m



m



+ Nếu m 0 thì phương trình (3) trở thành 0x 1 Hệ đã cho vô nghiệm

c, Ta phải có m2  1 m2  1 m2  m U    1   1

Với m 1 thì x 2,y 2 Với m 1 thì x 2,y 2

Vậy các giá trị nguyên của m là 1 và -1

d, Ta có x y m m2 2 2 1 1 22 m 0

 

t

x y   t t  t     t   

Áp dụng:

Bài 1: Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình sau là các số dương:

3 2

mx y

x y

 



  



2

m

  

Bài 2: Tìm các giá trị của m để hai hệ phương trình sau tương đương:

x y

x y



  

3

mx y

x y



  



Đáp số: m 4

Bài 3: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:

m x my m







Đáp số: m 2hệ vô nghiệm, m  1 hệ có vô số nghiệm

Bài 4: Cho hệ phương trình với tham số m:

1

m x y m

x m y m







a, Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b, Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số nguyên

c, Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất

Đáp số: b, m  1; 2

c, m 0 hoặc m 2

Bài 5: Cho hệ phương trình với tham số m:

mx y

x m y



    



a, Giải hệ phương trình với m 3

b, Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên.

Đáp số: a, x y  ;  1; 1

c, m  3;3;1

Bài 6: Cho hệ phương trình với tham số m:

1

x my m

mx y m





a, Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b, Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm các giá trị của m để tích xy

nhỏ nhất

Đáp số: b, min xy    1 m 0

Tải thêm tài liệu tại:

https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9