Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7 và các tiết dự giờ của đồngnghiệp ở trường, bản thân tôi nhận thấy như sau: Với các dạng toán tỉ lệ thức tôi chưa hệ thống hóa được các dạng bài tậ
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: tìm ra các phương pháp giảng dạy thông qua việc đọc, tìm hiểu các sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu có liên quan
- Phương pháp quan sát: Quan sát trực tiếp qua các giờ học tỉ lệ thức
- Phương pháp dạy học tích cực: hướng tới tính chủ động tiếp thu và lĩnh hội kiến thức của học sinh
- Kiểm tra thực nghiệm: Sử dụng bài kiểm tra để đánh giá kết quả học tập, từ đó phát hiện những sai lầm của học sinh và kịp thời điều chỉnh
Khi giáo viên hướng dẫn học sinh lớp 7 làm toán về tỉ lệ thức theo các biện pháp này thì: Về mặt Toán học: học sinh sẽ nắm chắc chắn về lí thuyết Tỉ lệ thức, làm được các dạng toán cơ bản của Tỉ lệ thức, sáng tạo được các đề toán tương tự, cụ thể hóa hay tổng quát hóa của một bài toán cho trước, khắc phục được các sai lầm khi giải toán Về tính ứng dụng thực tiễn, học sinh phân tích được các hiện tượng trong thực tế là đáp án của một bài toán, giải được bài toán đó ta sẽ tìm được bản chất của hiện tượng thực tế Khi đặt giả thuyết này,tôi luôn hướng tới về mặt thái độ của học sinh: ngày càng tích cực, năng động,sáng tạo tìm hiểu kiến thức trong thực tế, dùng kiến thức liên môn để giải thích các hiện tượng.
Các em học sinh đã thường gặp các bài toán về tỉ lệ thức ngay từ lớp dưới Mặc dù chưa được chính thức làm quen với khái niệm tỉ lệ thức nhưng ở bậc Tiểu học, học sinh đã được làm quen với dạng bài tập về tỉ lệ thức như như tìm x biết a : x = b ( với a và b là 2 số trước) Lên lớp 6 các bài toán về tỉ lệ thức chủ yếu cho dưới dạng tìm x với phân số Đến lớp 7 các em chính thức được học về khái niệm tỉ lệ thức Lên lớp 8 và 9 các em tiếp tục được gặp các dạng toán trên nhưng mở rộng trong hình học Đặc biệt là khi các em tham gia vào các kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10, thi vào lớp chọn, … thì dạng toán về tỉ lệ thức càng hay gặp Đây là dạng toán phổ biến, là cơ sở, nền tảng của những năm học sau và có nhiều ứng dụng vì vậy việc hướng dẫn học sinh lớp 7 làm toán về tỉ lệ thức là rất quan trọng
Trước tiên, người giáo viên cần dạy chắc khái niệm giúp học sinh hiểu bản chất vấn đề Những kiến thức cần trang bị cho học sinh:
1 1 Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
- Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c b d
Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Tính chất 2 (tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại: a c b d ad = bc a d c d d c b a d b c a
1 2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Từ tỉ lệ thức a c b d ta suy ra a c a c a c ( b d ) b d b d b d
- Tính chất mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau b a d c e f ta suy ra b a d c e f b a d c e f b a d c e f (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c b d suy ra +)
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Khi chưa dạy cho các em các cách làm toán về tỉ lệ thức, các em rất lúng túng khi giải dạng toán này Thông thường, các em phải mò mẫm cách giải, cách giải còn thiếu suy luận logic Ngoài ra, tồn tại rất nhiều học sinh yếu, kém về kĩ năng phân tích đề bài, định hướng dạng bài tập Chính vì vậy mà việc hướng dẫn các em làm toán về tỉ lệ thức là rất cần thiết
Do vậy, tôi cố gắng hệ thống lại một số cách làm các bài toán về tỉ lệ thức mà học sinh thường gặp, bổ sung thêm một số bài toán tích hợp liên môn để tăng cường tính ứng dụng trong môn toán, hào hứng cho học sinh trong học tập Bên cạnh đó, tôi cũng đã rút ra được một số sai lầm mà các em hay mắc phải để khắc sâu cách làm cho các em
III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH
1 Hướng dẫn học sinh làm các dạng toán cơ bản về tỉ lệ thức
Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau Sau đó cho học sinh làm các bài toán cùng loại để tìm ra một quy luật nào đó làm cơ sở, mẫu cho việc chọn lời giải Tôi đã minh họa điều đó bởi các dạng toán, bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
1 1 Dạng 1: Tìm một số hạng chưa biết trong tỉ lệ thức
Bài toán 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 0,52 : x 9,36 : 16,38 b 3 : 3 : 1
Hướng dẫn giải: a Tôi đã cho các em tự làm và đưa ra lời giải Các hướng làm bài được đưa ra đó là:
- Cách 1: Tìm x bằng cách coi x là số chia
- Cách 2: Đưa về dạng tỉ lệ thức a c b d
8 x 9, 6 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) =>x 0,91
Vậy: x = 0,91 Trong bài toán này, tôi yêu cầu học sinh cần nêu được kiến thức đã sử dụng (Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) Từ đó rút ra nhận xét: Trong một tỉ lệ thức nếu biết trước 3 số hạng ta luôn tìm được số hạng còn lại:
; ; a c b c a d a d a d b c a b c b d d c b b Tôi hướng dẫn học sinh nêu các số hạng của tỉ lệ thức, từ đó thấy rằng các tỉ lệ thức trên đều biết trước 3 số hạng và cần tìm số hạng còn lại Từ đó ta có 2 cách làm
Tuy nhiên trong các câu b c d nên đưa về dạng tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi mới tìm x thì bài toán sẽ bớt cồng kềnh
Bài toán 2: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 4
Hướng dẫn giải: a Trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng chúng lại giống nhau Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất cơ bản của tỉ lệ thức Áp dụng tính chất tỉ lệ thức vào bài toán ta có điều gì? Từ đó giúp học sinh đưa ra lời giải:
=> x = 8 hoặc x = -8 Vậy x 8;8 Ở các câu b, c, d tôi yêu cầu học sinh nhận dạng bài toán: Tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng chúng giống nhau Từ đó có cách làm: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi đưa về lũy thừa để tìm x
Tôi cũng yêu cầu học sinh tự đề xuất các bài toán tương tự để khắc sâu thêm dạng bài Đặc biệt, lưu ý cho học sinh trường hợp x 2 bằng một số âm thì không có giá trị nào của x
Bài toán 3: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 3 5
- Cách 1: Dùng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
=> x Vậy x Như vậy, để làm bài tập trên, ta đã áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, quy tắc nhân 1 số với 1 tổng, quy tắc chuyển vế
- Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> x Vậy x Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn cách làm để có lời giải thích hợp, học sinh có thể vận dụng để làm tốt các phần b và c
- Cách 1 Ta thấy rằng x nằm trong cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số của x đều bằng 1 Do đó nếu sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để biến đổi thì x 2 sẽ triệt tiêu, ta có thể làm như sau:
- Cách 2 Ta có thể khai thác theo hướng đơn giản hơn đó là áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1 2 Dạng 2: Tìm nhiều số hạng chưa biết trong tỉ lệ thức
Bài toán 1: Tìm x, y, z biết và x + y + z = 36
NỘI DUNG I Cơ sở lí luận
Thực trạng của vấn đề
Khi chưa dạy cho các em các cách làm toán về tỉ lệ thức, các em rất lúng túng khi giải dạng toán này Thông thường, các em phải mò mẫm cách giải, cách giải còn thiếu suy luận logic Ngoài ra, tồn tại rất nhiều học sinh yếu, kém về kĩ năng phân tích đề bài, định hướng dạng bài tập Chính vì vậy mà việc hướng dẫn các em làm toán về tỉ lệ thức là rất cần thiết
Do vậy, tôi cố gắng hệ thống lại một số cách làm các bài toán về tỉ lệ thức mà học sinh thường gặp, bổ sung thêm một số bài toán tích hợp liên môn để tăng cường tính ứng dụng trong môn toán, hào hứng cho học sinh trong học tập Bên cạnh đó, tôi cũng đã rút ra được một số sai lầm mà các em hay mắc phải để khắc sâu cách làm cho các em.
Các biện pháp đã tiến hành
1 Hướng dẫn học sinh làm các dạng toán cơ bản về tỉ lệ thức
Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau Sau đó cho học sinh làm các bài toán cùng loại để tìm ra một quy luật nào đó làm cơ sở, mẫu cho việc chọn lời giải Tôi đã minh họa điều đó bởi các dạng toán, bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
1 1 Dạng 1: Tìm một số hạng chưa biết trong tỉ lệ thức
Bài toán 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 0,52 : x 9,36 : 16,38 b 3 : 3 : 1
Hướng dẫn giải: a Tôi đã cho các em tự làm và đưa ra lời giải Các hướng làm bài được đưa ra đó là:
- Cách 1: Tìm x bằng cách coi x là số chia
- Cách 2: Đưa về dạng tỉ lệ thức a c b d
8 x 9, 6 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) =>x 0,91
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Tuy nhiên trong các câu b c d nên đưa về dạng tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi mới tìm x thì bài toán sẽ bớt cồng kềnh
Bài toán 2: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 4
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
=> x = 8 hoặc x = -8 Vậy x 8;8 Ở các câu b, c, d tôi yêu cầu học sinh nhận dạng bài toán: Tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng chúng giống nhau Từ đó có cách làm: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi đưa về lũy thừa để tìm x
Tôi cũng yêu cầu học sinh tự đề xuất các bài toán tương tự để khắc sâu thêm dạng bài Đặc biệt, lưu ý cho học sinh trường hợp x 2 bằng một số âm thì không có giá trị nào của x
Bài toán 3: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: a 3 5
- Cách 1: Dùng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
=> x Vậy x Như vậy, để làm bài tập trên, ta đã áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, quy tắc nhân 1 số với 1 tổng, quy tắc chuyển vế
- Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> x Vậy x Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn cách làm để có lời giải thích hợp, học sinh có thể vận dụng để làm tốt các phần b và c
- Cách 1 Ta thấy rằng x nằm trong cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số của x đều bằng 1 Do đó nếu sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để biến đổi thì x 2 sẽ triệt tiêu, ta có thể làm như sau:
- Cách 2 Ta có thể khai thác theo hướng đơn giản hơn đó là áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1 2 Dạng 2: Tìm nhiều số hạng chưa biết trong tỉ lệ thức
Bài toán 1: Tìm x, y, z biết và x + y + z = 36
Bài toán cho 1 dãy tỉ số bằng nhau và cho 1 biểu thức tính tổng liên hệ giữa x, y và z Để sử dụng được biểu thức tính tổng ta sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Từ đó đưa ra lời giải:
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy x = 8, y = 12, z = 16 Sau đó tôi đưa ra cách làm khác
- Cách 2: Phương pháp tìm giá trị của dãy số Đặt 2 3 4 x y z k
Vậy: x = 8, y = 12, z = 16 Với cách làm như vậy, các em có thể vận dụng để chọn lời giải phù hợp cho các bài tập tương tự sau: b 4 3 x y
Hướng dẫn giải: Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu có tìm được tỉ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau hay không?
Yêu cầu đó đã hướng học sinh sử dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để chọn lời giải cho phù hợp
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Như vậy, học sinh đã biết cách lập ra dãy tỉ số bằng nhau bằng cách tìm ra các tỉ số trung gian Từ đó, học sinh làm tương tự các câu b và c
Bài toán 3 : Tìm x, y, z biết : a 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 b 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60
Hướng dẫn giải: Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên Song tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp
- Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau :
- Cách 2: Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 8 Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau :
=> (Tương tự như trên ta có ) Vậy: x = 80; y = 48; z = 30
- Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích của hai số thành một thương Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :
Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b
* Giải phần b có hơi khác phần a một chút, yêu cầu các em phải có tư duy hơn để tạo nên tích trung gian như sau :
Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán này
Bài toán 4 : Tìm x, y, z biết rằng : a 2
Hướng dẫn giải Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có hướng đi cụ thể
- Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau ta có lời giải của bài toán như sau :
- Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỉ số ta có lời giải sau : Đặt :
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự giải phần (b) của bài toán 4
Bài toán 5 : Tìm x, y biết : a 2 5 y x và x y = 90 b 7 9 y x và x y = 252 c 5 3 y x và x 2 – y 2 = 4
Kết quả
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm trên tôi đã áp dụng ở một số lớp 7 từ khi học sinh học xong bài “ Tỉ lệ thức ” đến khi học sinh học hết chương trình lớp 7
Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh thấy rất lúng túng khi làm bài, một số em có xu hướng không muốn tham gia tìm hiểu và làm bài Nhiều học sinh sử dụng các sách bài tập có đáp án để giải bài tập Khi làm bài kiểm tra, học sinh khó khăn trong việc trình bày bài giải và vẫn còn mắc những sai lầm Kết quả bài kiểm tra trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB
Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh được làm quen các bài toán về tỉ lệ thức với mức độ dễ đến khó, các bài tập được giao ở các thời điểm thích hợp nên nhiều học sinh có thể làm được bài tập khó, các em tỏ ra rất thích thú khi gặp dạng toán về tỉ lệ thức, đặc biệt các bài tập có nội dung thực tế Trong các bài kiểm tra, học sinh làm được nhiều hơn, trình bày hoàn chỉnh hơn và giảm đáng kể các lỗi sai thường mắc phải
Trong năm học 2015 – 2016 tôi được phân công giảng dạy lớp 7A6 có
42 học sinh Kết quả qua bài kiểm tra sau khi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB
7A6 42 16 38 18 42,9 5 11,9 Đây chưa phải là một kết quả tốt, song về phía bản thân, tôi thấy mình thêm hiểu biết về tỉ lệ thức, các bài toán áp dụng tính chất của tỉ lệ thức Về phía học sinh, tôi tin rằng, sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh đã có sự say mê đối với các bài toán về tỉ lệ thức không những vậy còn tăng thêm cho các em lòng ham mê, yêu thích môn học, tự tin hơn trong các tiết học Toán.