ôỔn định của một số tập idean nguyên tố gắn kết liên quan đến dãy đối chính quy chiều lớn hơn k

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản để làm cơ sở cho Chương 2 như tập nguyên tố liên kết, tập nguyên tố gắn kết, dãy chính quy, dãy lọc chính quy và dãy đối chính quy chiều > E. Trong toàn bộ luận văn này chúng tôi luôn giả thiết rằng là một vành giao hoán và có đơn vị 10. 

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

Và THÀ TH SINH

ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U LÎN HÌN k

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

B¼nh ành - n«m 2019

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

Và THÀ TH SINH

ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U LÎN HÌN k

Chuy¶n ng nh : ¤i sè v  lþ thuy¸t sè

M¢ sè : 8 46 01 04

Ng÷íi h÷îng d¨n: TS PH„M HÚU KHNH

Möc löc

1.1 Tªp nguy¶n tè li¶n k¸t 4

1.2 Tªp nguy¶n tè g­n k¸t 10

1.3 D¢y ch½nh quy v  d¢y låc ch½nh quy 14

1.4 D¢y èi ch½nh quy chi·u lîn hìn k 19

2 ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U LÎN HÌN k 27 2.1 K¸t qu£ ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t t [ i=0 AttR(0:A(x1n1 , , xini ) R) 28

2.2 K¸t qu£ ên ành cho tªp nguy¶n tè g­n k¸t t [ i=0 AttR(TorRi (R/I, (0:AJn))) 32

Líi c£m ìn

º ho n th nh qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n thi»n luªn v«n " ên ànhcõa mët sè tªp idean nguy¶n tè g­n k¸t li¶n quan ¸n d¢y èi ch½nh quychi·u lîn hìn k ",líi ¦u ti¶n tæi xin ch¥n th nh gûi líi c£m ìn s¥u s­c ¸nth¦y gi¡o TS Ph¤m Húu Kh¡nh Th¦y ¢ trüc ti¸p ch¿ b£o v  h÷îng d¨ntæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi ho n thi»n luªn v«n n y

Ngo i ra tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Th¦y, Cæ Khoa To¡nTr÷íng ¤i Håc Quy Nhìn ¢ t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh luªn v«n

óng thíi h¤n quy ành

Cuèi còng, tæi xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n, b¤n b± ¢ luæn b¶n tæi,

ëng vi¶n tæi ho n th nh khâa håc v  luªn v«n n y

Ng y 6 th¡ng 8 n«m 2019Håc vi¶n thüc hi»n

Và THÀ TH SINH

MÐ †U

Trong suèt luªn v«n n y ta luæn cho (R, m) l  v nh giao ho¡n, Noether, àaph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m I, J l  hai i¶an cõa R, M l  R−mæun húuh¤n sinh v  A l  R−mæun Artin

Lþ thuy¸t biºu di¹n thù c§p cõa mæun Artin ÷ñc I G Macdonald

÷a v o n«m 1973 ÷ñc xem nh÷ mët èi ng¨u vîi lþ thuy¸t ph¥n t½chnguy¶n sì cõa mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether Mët R−mæun N

÷ñc gåi l  thù c§p n¸u N 6= 0 v  vîi måi r ∈ R, ph²p nh¥n bði r tr¶n N l 

to n c§u ho°c lôy linh Trong tr÷íng hñp n y pAnnR(N ) =pl  mët i¶annguy¶n tè Khi â, ta nâi N l  p−thù c§p

Mët bi¹u di¹n thù c§p cõa mæun K l  mët ph¥n t½ch th nh têng húuh¤n cõa c¡c mæun con K = K 1 + + K n ,trong â Ki l  pi −thù c§p Måibiºu di¹n thù c§p cõa K ·u câ thº ÷a ÷ñc v· d¤ng tèi thiºu tùc l  c¡c

pi æi mët kh¡c nhau vîi måi i = 1, , n v  khæng câ K i n o thøa Khi âtªp {p1 , ,pn } ÷ñc gåi l  tªp nguy¶n tè g­n k¸t cõa mæun K, kþ hi»u

l  AttR(K) Theo Macdonald, måi mæun Artin ·u câ biºu di¹n thù c§p.N«m 1979, M Brodmann [5] chùng minh tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

AssR(M/JnM )ên ành khinõ lîn Nh÷ mët k¸t qu£ èi ng¨u, R Y Sharp[15] chùng minh r¬ng tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸t AttR(0:AJn)ên ànhkhi n õ lîn Tø ¥y, mët c¥u häi ÷ñc °t ra l  vîi méi d¢y (x1, , xr)c¡cph¦n tû cõa v nh R, tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸tAttR(0 :A (xn1

1 , , xnr

r ))

câ ên ành khin õ lîn khæng? Tuy nhi¶n, Katzman [5] x¥y düng mët v½ döv· mët v nh àa ph÷ìng (R,m)câ chi·u b¬ng 5 v  hai ph¦n tû x, y ∈m saocho AssR(H(x,y)R2 (R)) l  tªp væ h¤n Do â, S

n∈N

AssR(R/(xn, yn)R) l  tªp væh¤n Suy ra S

Nh n v  Ho ng [13] ÷a ra kh¡i ni»mA−èi d¢y chi·u> knh÷ sau: Mëtd¢y(x1, , xr)c¡c ph¦n tû cõa m ÷ñc gåi l A−èi d¢y chi·u> k n¸uxi 6∈

p vîi måi p ∈ (AttR(0 :A (x1, , xi−1)R))>k vîi måi i = 1, , r. Ti¸p theo,

l  tªp húu h¤n, trong â (x1, , xr) l  mët A−èi d¢y chi·u > k

Dung va Nh n [12] chùng minh r¬ng n¸udimR(0 :A I) > kth¼ måiA−èid¢y chi·u> ktrongI câ thº k²o d i ¸n cüc ¤i v  måiA−èi d¢y chi·u> k

cüc ¤i trong I ·u câ còng ë d i ë d i chung n y ÷ñc gåi l  ë rëngchi·u > k cõaA trong I, kþ hi»u l  Width>k(I, A) N¸u dimR(0 :A I) ≤ k th¼vîi måi sè nguy¶n d÷ìng r ·u câ thº t¼m ÷ñc mët A−èi d¢y chi·u > k

trong I câ ë d ir Trong tr÷íng hñp n y ta quy ÷îc Width>k(I, A) = +∞.B¬ng c¡ch sû döng t½nh ên ành cõa AttR(0 :A Jn) ta câ thº ch¿ ra r¬ng

Width>k(I, (0 :A Jn)) ên ành khi n õ lîn

Luªn v«n n y gçm câ 2 ch÷ìng Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸nthùc cì b£n v· tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t, tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t,d¢y ch½nh quy v  d¢y låc ch½nh quy, d¢y èi ch½nh quy chi·u > k v  ërëng chi·u > k Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· k¸t qu£ ên ành cõa tªp nguy¶n tèg­n k¸t St

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n º

l m cì sð cho Ch÷ìng 2 nh÷ tªp nguy¶n tè li¶n k¸t, tªp nguy¶n tè g­n k¸t,d¢y ch½nh quy, d¢y låc ch½nh quy v  d¢y èi ch½nh quy chi·u > k Trong

to n bë luªn v«n n y chóng tæi luæn gi£ thi¸t r¬ngR l  mët v nh giao ho¡n

v  câ ìn và 1 6= 0

1.1 Tªp nguy¶n tè li¶n k¸t

Trong möc n y chóng tæi tr¼nh b y l¤i ành ngh¾a v· tªp nguy¶n tè li¶nk¸t v  mët sè t½nh ch§t cõa tªp nguy¶n tè li¶n k¸t

ành ngh¾a 1.1.1 Cho M l  mëtR−mæun Mët i¶an nguy¶n tè p cõa

R ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû

x ∈ M, x 6= 0 sao cho AnnR(x) = p

Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõaM kþ hi»u l AssR(M )ho°cAss(M ).Nh÷ vªy,

AssR(M ) = {p∈ SpecR | ∃x ∈ M, x 6= 0, p= AnnR(x)}.

ành ngh¾a 1.1.2 Ph¦n tû a cõa v nh R ÷ñc gåi l  mët ÷îc cõa khængcõa R−mæun M n¸u tçn t¤i x ∈ M, x 6= 0 sao cho ax = 0.

Tªp c¡c ÷îc cõa khæng cõa M ÷ñc kþ hi»u l  ZDR(M ). Nh÷ vªy,

Thªt vªy, vîi måi a, b ∈ R m  ab ∈ p, b / ∈ p ta câ abx = 0, bx 6= 0 Do

0 6= bx ∈ M n¶n Ann(bx) ∈ F V¼ Ann(x) l  ph¦n tû cüc ¤i cõa F v 

Ann(x) ⊂ Ann(bx) do â Ann(bx) = Ann(x) Hìn núa, ta câ abx = 0 n¶n

a ∈ Ann(bx) Do â a ∈ Ann(x) Suy ra p l  i¶an nguy¶n tè Vªy p l  i¶annguy¶n tè li¶n k¸t cõa M

Ti¸p theo ta s³ chùng minh r¬ng AssR(M ) 6= ∅ khi v  ch¿ khi M 6= 0 Gi£

sû M 6= 0 khi â tçn t¤i 0 6= x ∈ M v  do â F 6= ∅ V¼ R l  v nh Noethern¶n tçn t¤i mët ph¦n tû cüc ¤i p∈ F Theo chùng minh tr¶n p∈ AssR(M )

n¶n AssR(M ) 6=∅ Ng÷ñc l¤i, n¸u AssR(M ) 6= ∅ th¼ tçn t¤i 0 6= x ∈ M saocho AssR(x) =p, vîi p nguy¶n tè Do â M 6= 0

(ii) Gi£ sû α ∈ ZDR(M ), ta chùng minh α ∈ S

p∈Ass R (M )

p Thªt vªy, v¼

α ∈ ZDR(M ) n¶n tçn t¤i x 6= 0 sao cho αx = 0 Suy ra α ∈ Ann(x) V¼ th¸

tçn t¤i p∈ Ass(M ) sao cho Ann(x) ⊆p Suy ra α ∈ S

Bê · 1.1.5 Cho R l  v nh v  M, N l  c¡c R−mæun Khi â

(i) N¸u N ⊂ M th¼ AssR(N ) ⊂ AssR(M )

(ii) Cho p l  i¶an nguy¶n tè tr¶n v nh R Khi â p∈ AssR(M ) khi v  ch¿khi tçn t¤i mët R−mæun con N cõa M sao cho N ∼ = R/p.

Chùng minh (i) Gi£ sû p ∈ AssR(N ) Khi â tçn t¤i 0 6= x ∈ N º p = AnnR(x) V¼ x ∈ N ⊂ M n¶n x ∈ M Do â p ∈ AssR(M ) Vªy AssR(N ) ⊂ AssR(M )

(ii) Gi£ sû p ∈ AssR(M ) Khi â tçn t¤i 0 6= x ∈ M sao cho p = AnnR(x)

°t N = Rx l  mët mæun con cõa M

Ng÷ñc l¤i, do AssR(R/p) = {p} = AssR(N ) n¶n tçn t¤i ph¦n tû x 6= 0,

x ∈ N ⊆ M, º p= AnnR(x) Vªy p∈ AssR(M )

Bê · ¢ ÷ñc chùng minh

ành lþ 1.1.6 ([16], Trang 182) Cho M l  mët mæun tr¶n v nh giaoho¡n Noether R, S l  tªp con nh¥n âng cõa R Khi â

AssS−1 R S−1M
=pS−1R | p∈ AssR(M ) ,p∩ S = ∅ .

Chùng minh V¼ R l  v nh giao ho¡n Noether n¶n S−1R công l  mët v nhgiao ho¡n Noether Do â, tªp AssS−1 R S−1M
l  x¡c ành

L§y p ∈ AssR(M ) sao cho p ∩ S = ∅ Khi â tçn t¤i m 6= 0, m ∈ M

sao cho p = (0 :R m) Ta câ pS−1R = (0 :S−1 R m/1) ∈ Spec(S−1R) Do

â, pS−1R ∈ AssS−1 R S−1M
Suy ra pS−1R | p∈ AssR(M ) ,p∩ S = ∅

⊆ AssS−1 R S−1M
.

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû q ∈ AssS−1 R S−1M
Khi â, q ∈ Spec(S−1)R v  câduy nh§t p∈ Spec(R) sao cho p∩ S = ∅ vîi q =pS−1R. M°t kh¡c, tçn t¤i

m ∈ M, s ∈ S sao cho q = (0 :S−1 R m/s). V¼ s/1 l  ph¦n tû kh£ nghàch cõa

S−1R n¶n q= (0 :S−1 R m/1). V¼ R l  mët v nh Noether n¶n p l  mët i¶anhúu h¤n sinh v  ÷ñc sinh bði c¡c ph¦n tû p1 ,p2, ,pn.

Khi â, pi m/1 = 0S−1 M ,vîi måii = 1, 2, n.M°t kh¡c, vîi méii = 1, 2, n

th¼ tçn t¤i mët si ∈ S sao cho sipim = 0.

°t t := s1 sn ∈ S Khi â, tpim = 0, vîi måi i = 1, 2, n. Suy ra

ptm = 0 do â p ⊆ (0 :R tm). Ng÷ñc l¤i, l§y r ∈ (0 :R tm). Khi â rtm = 0

n¶n (rt/1)(m/1) = 0S−1 M Suy ra rt/1 ∈ (0 :S−1 R m/1) =pS−1R.

V¼ p l  i¶an nguy¶n tè n¶n rt ∈ p. Hìn núa, t ∈ S ⊆ R/p n¶n r ∈ psuy ra p ⊇ (0 :R tm). Do â p = (0 :R tm), suy ra p ∈ AssR(M ). Vªy

pS−1R | p∈ AssR(M ) ,p∩ S = ∅ ⊇ AssS−1 R S−1M
.

H» qu£ 1.1.7 Cho M l  mët R mæun húu h¤n sinh v  p l  i¶an nguy¶n

tè cõa R Khi â,

AssRp(Mp) = {qRp | q∈ AssR(M ) ,q⊆p}

ành lþ 1.1.8 ([9], ành lþ 6.3)

Cho v nh R v 

0 −→ M0−→ Mf −→ Mg 00−→ 0 (1.1)

l  d¢y khîp c¡c R−mæun Khi â AssR(M ) ⊂ AssR(M0) ∪ AssR(M00).

Chùng minh Vîi måi p ∈ AssR(M ), theo Bê · 1.1.5 th¼ M chùa mëtmæun con N ∼ = R/p, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº xem N = R/p.Vîi måi x ∈ N v  x 6= 0 ta câ x = a +p, a / ∈p Do â AnnR(x) =p.

+) Tr÷íng hñp N ∩ M06= {0}, khi â tçn t¤i 0 6= x ∈ N ∩ M0

V¼ 0 6= x ∈ N n¶nAnnR(x) = p Hìn núa, v¼ x ∈ M0 n¶n ta ÷ñc

p∈ AssR(M0). (1.2)+) Tr÷íng hñp N ∩ M0 = {0} Ta i x²t ¡nh x¤

g|N : N −→ M00.

V¼ (1.1) l  d¢y khîp v Kerg|N = Kerg∩N n¶nKerg|N = M0∩N = {0} Suy ra

g|N ìn c§u do âN ⊂ M00 p döng Bê · 1.1.5 th¼AssR(N ) ⊂ AssR(M00).Hìn núa, v¼ AssR(N ) =p n¶n

p∈ AssR(M00). (1.3)K¸t hñp (1.2) v  (1.3) ta ÷ñc p ∈ Ass(M0) ∪ AssR(M00) Vªy AssR(M ) ⊂ AssR(M0) ∪ AssM(M00).

Chùng minh V¼ M 6= 0 n¶n AssR(M ) 6= ∅ Chån p1 ∈ AssR(M ) b§t ký.Theo Bê · 1.1.5 tçn t¤i M1 l  mæun con cõa M º M1 ∼= R/p

Vªy Mn = M Ta câ i·u c¦n chùng minh

ành lþ 1.1.10 ([9], ành lþ 6.5) Cho R l  mët v nh Noether v  M l mët R−mæun húu h¤n sinh Khi â AssR(M ) l  tªp húu h¤n

Chùng minh Tr÷íng hñp M = 0 th¼ AssR(M ) = ∅ do â AssR(M ) l  tªphúu h¤n

Tr÷íng hñp M 6= 0, theo ành lþ 1.1.9 th¼ s³ tçn t¤i mët chuéi d¥y chuy·nc¡c mæun con cõa M nh÷ sau

0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ⊂ M n = M

vîi M i /M i−1 ∼= R/pi, pi ∈ SpecR

X²t d¢y

0 −→ M n−1 −→ M −→ M/M n−1 −→ 0,V¼ d¢y tr¶n l  d¢y khîp n¶n ¡p döng ành lþ 1.1.8 ta ÷ñc

AssR(M ) ⊂ AssR(Mn−1) ∪ AssR(M/Mn−1)

trong â AssR(M/Mn−1) = Ass(R/pn) = {pn}

X²t d¢y thù hai nh÷ sau

0 −→ Mn−2−→ Mn−1 −→ Mn−1/Mn−2 −→ 0.

T÷ìng tü nh÷ tr¶n ta ÷ñc bao h m thùc sau

AssR(M n−1 ) ⊂ Ass(M n−2 ) ∪ Ass(M n−1 /M n−2 )

v  AssR(M n−1 /M n−2 ) = AssR(R/pn−1 ) = {pn−1 } Thüc hi»n ti¸p töc nh÷vªy ta nhªn ÷ñc d¢y khîp

0 −→ M1 −→ M2−→ M2/M1−→ 0

v  ta câ AssR(M2) ⊂ AssR(M1) ∪ AssR(M2/M1)

Do AssR(M2/M1) = AssR(R/p2) = {p2} v  AssR(M1) = AssR(R/p1) = {p1}

n¶n AssR(M ) ⊂ {p1} ∪ {p2} ∪ ∪ {pn} = {p1,p2, ,pn} Vªy AssR(M ) l tªp húu h¤n

ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh xong

Trong möc n y chóng ta s³ nh­c nhúng ki¸n thùc cì b£n v· mæun thùc§p, biºu di¹n thù c§p cõa mæun, tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa mæun,mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t v  ành ngh¾a v·

èi ng¨u Matlis

ành ngh¾a 1.2.1 Mët R−mæun M ÷ñc gåi l  thù c§p n¸u M 6= 0 v n¸u vîi måi x ∈ R, tü çng c§u ϕx,M : M −→ M ÷ñc x¡c ành bði ph²pnh¥n cõa x tr¶n M l  to n c§u ho°c lôy linh

Chó þ 1.2.2 N¸u M l  mët R−mæun thù c§p th¼ pAnnR(M ) l  mëti¶an nguy¶n tè p cõa M

ành ngh¾a 1.2.3 Mët R−mæun M l  thù c§p v  p = pAnnR(M ) th¼

M ÷ñc gåi l  p−thù c§p

M»nh · 1.2.4 ([8], Trang 26) Mët mæun th÷ìng kh¡c khæng cõa mæun

p−thù c§p l  mæun p−thù c§p

Chùng minh Gi£ sû M l  R−mæun p−thù c§p, N l  mæun con thüc sücõa M khi â M/N l  mæun th÷ìng kh¡c khæng cõa M Vîi måi x ∈ R

x£y ra hai tr÷íng hñp sau

+) Tr÷íng hñp x ∈ p th¼ ϕx,M : M −→ M l  lôy linh Do â tçn t¤i n ∈ N

sao cho xnM = 0 Suy ra xn(M/N ) = (xnM + N )/N = 0 do â

p

AnnR(M ) =p, khi â tçn t¤i k > 0 º xkM = 0 suy ra xk(M/N ) = 0 Do

â xk ∈ AnnR(M/N ) suy ra x ∈pAnnR(M/N ) Do â pAnnR(M/N ) =p.Vªy M/N l  mët p−thù c§p

Bê · 1.2.5 ([8], Trang 27) Linh hâa tû cõa mët mæun p−thù c§p l mët i¶an p−nguy¶n sì

Chùng minh Gi£ sû M l  R−mæun p−thù c§p Gi£ sû ab ∈ AnnR(M ) v 

bn ∈ Ann / R(M ), vîi måi n V¼ M l R−mæun p−thù c§p n¶n bM = M ho°ctçn t¤i mët sè tü nhi¶n n sao cho bn ∈ AnnR(M ) M°t kh¡c, theo nh÷ tagi£ thi¸t th¼ bn ∈ Ann / R(M ) n¶n bM = M V¼ ab ∈ AnnR(M ) n¶n abM = 0

suy ra aM = 0 v  do â a ∈pAnnR(M ) Nh÷ vªy, AnnR(M ) l  nguy¶n sì

Hìn núa, p=pAnnR(M ) n¶n AnnR(M ) l  p−thù c§p.

Bê · ¢ ÷ñc chùng minh

V½ dö 1.2.6 N¸u R l  v nh àa ph÷ìng vîi p l  i¶an nguy¶n tè cüc ¤i

v  måi ph¦n tû trong p ·u l  lôy linh th¼ R ch½nh l R−mæun p−thù c§p

Bê · 1.2.7 Cho M l  mët R−mæun v  p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa

R, M 1 , M 2 , , M r l  c¡c mæun con p−thù c§p cõa M

Khi â, P = M1+ M2+ · · · + Mr công l  p−thù c§p cõa M

Chùng minh Vîi måi x ∈ R x£y ra hai tr÷íng hñp sau

+) Tr÷íng hñp x ∈ p th¼ vîi måi i ta câ ϕx,Mi : Mi→ Mi l  lôy linh do âtçn t¤i ni sao cho xni Mi= 0

Vîi n = Max {n1, n2, , nr}, th¼xnMi = 0 vîi måi i, do â xnP = 0 Suy

ra ϕx,P : P −→ P l  lôy linh

+) Tr÷íng hñp x / ∈ p th¼ vîi måi i ta câ, ϕx,Mi : Mi → Mi l  to n c§u, khi

â xMi = Mi vîi måi i Do â xP = P suy ra ϕx,P : P −→ P l  to n c§u.Vªy P = M 1 + M 2 + · · · + M r l  R−mæun p−thù c§p

ành ngh¾a 1.2.8 (i) Mët biºu di¹n thù c§p cõa M l  mët ph¥n t½ch

M = M 1 + M 2 + · · · + M r th nh têng húu h¤n c¡c mæun con pi thùc§p M i N¸u M = 0 ho°c M câ mët bi¹u di¹n thù c§p th¼ ta nâi M

bi¹u di¹n ÷ñc

(ii) Mët biºu di¹n thù c§p cõa M ÷ñc gåi l  tèi thiºu n¸u c¡c mæuncon thù c§p M1, M2, , Mr thäa m¢n c¡c i·u ki»n

(1) C¡c i¶an nguy¶n tè pAnnR(Mi) ph¥n bi»t

(2) Khæng câ Mi n o n¬m trong têng c¡c mæun con cán l¤i

Måi biºu di¹n thù c§p cõa M ·u ÷a ÷ñc v· d¤ng tèi thiºu Tªphñp {p1, ,pn} ÷ñc gåi l  tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t cõa M, kþhi»u l  AttRM.

ành ngh¾a 1.2.9 ([8], Trang 35) Mët R−mæunM ÷ñc gåi l  b§t kh£têng n¸u M kh¡c khæng v  têng cõa hai mæun con thüc sü cõa M luæn l mët mæun con thüc sü cõa M.

Bê · 1.2.10 ([8], Trang 35) N¸u M l  R−mæun Artin kh¡c khæng v b§t kh£ têng th¼ M l  mæun thù c§p

Chùng minh Gi£ sû M khæng l  mæun thù c§p, khi â tçn t¤i ph¦n tû

x ∈ R sao cho M 6= xM v  xnM 6= 0, vîi måi n > 0. V¼ M l  R−mæunArtin n¶n d¢y c¡c mæun con {x n M }n≥0 cõaM l  d¢y døng, do â tçn t¤i

sè tü nhi¶n k sao cho xkM = xk+1M = · · · = x2kM =

°t M1 = Ker(ϕxk ,M ) v  M2 = xkM. Khi â, M1 v  M2 l  hai mæuncon cõa M V¼ xkM1 = 0 v  xkM 6= 0 n¶n M1 6= M, v  v¼ M 6= xM n¶n

M2 6= M. Do â M1, M2 l  hai mæun con thüc sü cõa M

Gi£ sû u ∈ M b§t ký, v¼ xku ∈ xkM = x2kM n¶n tçn t¤i v ∈ M sao cho

V¼ M l  R−mæun Artin n¶n tªp n y câ ph¦n tû cüc tiºu l  N Do N

l  mæun khæng biºu di¹n ÷ñc n¶n N khæng l  mæun thù c§p V¼ N l mæun Artin kh¡c khæng v  khæng l  mæun thù c§p n¶n N l  têng cõahai mæun con thüc sü N1 v  N2 Hìn núa, do t½nh ch§t cüc tiºu cõa N

trong tªp ta ang x²t n¶n N1, N2 l  c¡c mæun bi¹u di¹n ÷ñc V¼ N l têng cõa hai mæun bi¹u di¹n ÷ñc N1, N2 n¶nN công l  mët mæun bi¹u

di¹n ÷ñc i·u n y l  m¥u thu¨n vîi c¡ch chån N ð tr¶n.

Vªy M l  mæun bi¹u di¹n ÷ñc

ành ngh¾a 1.2.12 Cho (R, m) l  v nh Noether àa ph÷ìng, M l  mët

R−mæun èi ng¨u Matlis cõa M l  mæun

D (M ) = HomR(M, E (R/m))

trong â E (R/m) l  bao nëi x¤ cõa R/m

Chó þ 1.2.13 ([18], Trang 33) Cho M, N l  c¡c R−mæun Gi£ sû r¬ng

M l  mët R−mæun húu h¤n sinh Khi â, ta câ ¯ng c§u

M ⊗RD (N ) ∼ = D (Hom R (M, N ))

Bê · 1.2.14 Cho M l  R−mæun Khi â,

Ann(D(M )) = Ann(M ).

M»nh · 1.2.15 Gi£ sû (R,m) l  v nh giao ho¡n àa ph÷ìng, Noether,

¦y õ Khi â,

(i) N¸u N l  R−mæun húu h¤n sinh th¼ D(N ) l  R−mæun Artin.(ii) N¸u N l  R−mæun Artin th¼ D(N ) l  R−mæun húu h¤n sinh.M»nh · 1.2.16 ([3] Trang 206) Cho R l  v nh àa ph÷ìng, ¦y õ, M

l  R−mæun húu h¤n sinh v  A l  R−mæun Artin Khi â,

(i) AttR(D(M )) = AssR(M ).

(ii) AttR(A) = AssR(D(A)).

1.3 D¢y ch½nh quy v  d¢y låc ch½nh quy

Trong ph¦n n y ta nh­c l¤i ành ngh¾a cõa d¢y ch½nh quy, d¢y låc ch½nhquy v  mët sè t½nh ch§t theo cuèn s¡ch [11]

ành ngh¾a 1.3.1 Cho M l  R−mæun Mët ph¦n tû x 6= 0 cõa R ÷ñcgåi l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M hay M −ch½nh quy n¸u xm 6= 0 vîi måi

M −d¢y ch½nh quy y¸u

Tø ành ngh¾a tr¶n chóng ta th§y r¬ng x ∈ R l  ph¦n tû ch½nh quy cõa

M n¸u v  ch¿ n¸u x / ∈p vîi måi p∈ AssR(M ). Ngo i ra, n¸u (R,m) l  v nh

àa ph÷ìng, x1, x2, , xr ∈ m v  M l  R−mæun húu h¤n sinh kh¡c khængth¼ i·u ki»n (i) luæn thäa m¢n bði Bê · Nakayama

Trong tr÷íng hñp M l  R−mæun húu h¤n sinh chóng ta câ thº t½nh

ë d i cõa mët d¢y ch½nh quy cüc ¤i cõa M trong I nh÷ sau

ành lþ 1.3.2 ([11], ành lþ 1.2.5) Cho M l  mët R−mæun húu h¤nsinh v  I l  i¶an cõa R sao cho IM 6= M Khi â, måi d¢y ch½nh quy cüc

¤i cõa M trong I ·u câ còng ë d i n ÷ñc cho bði

n = infi | ExtiR(R/I, M ) 6= 0 .

ành ngh¾a 1.3.3 Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh v  I l  i¶an cõa

R sao cho IM 6= M Khi â ë d i chung cõa måi d¢y ch½nh quy cüc ¤icõaM trong I ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M trong I v  k½ hi»u bði depth(I, M ).N¸u IM = M th¼ ta quy ÷îc depth(I, M ) = +∞

Nh÷ vªy, ë s¥u cõa M trong I ÷ñc cho bði cæng thùc sau

depth(I, M) = infi | ExtiR(R/I, M ) 6= 0 .

Trong tr÷íng hñp (R,m) l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng th¼

depth(m, M ) ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M v  k½ hi»u bði depth(M ).

M»nh · sau ¥y gióp chóng ta câ mët cæng thùc quy n¤p º t½nh ë s¥u.M»nh · 1.3.4 ([11], M»nh · 1.2.10) Cho M l R−mæun húu h¤n sinh.Khi â, n¸u x1, x2, , xr l  mët d¢y ch½nh quy cõa M trong I th¼

depth(I, M/(x 1 , x 2 , , x r )M ) = depth(I, M ) − r.

Bê · 1.3.5 Cho M l  mët R−mæun Khi â, n¸u a1, , an l  mët

M −d¢y ch½nh quy v a1α1+· · ·+anαn = 0 vîiαi∈ M th¼αi ∈ a1M +· · ·+anM,

vîi måi i = 1, n.

Chùng minh Chùng minh quy n¤p theo n

+) Vîi n = 1, gi£ sû a1 l  ph¦n tû M −ch½nh quy v  a1α1 = 0, α ∈ M Suy

ra α1 = 0 do â α1 ∈ a1M

+) Gi£ sû bê · tr¶n óng vîi n − 1, tùc l  n¸u a1, , an−1 l  mëtM −d¢ych½nh quy v a1α1+· · ·+an−1αn−1= 0 vîiαi ∈ M th¼αi∈ a1M +· · ·+an−1M,

vîi måi i = 1, n − 1 Ta s³ chùng minh nâ công óng vîi n, gi£ sû a 1 , , a n

l  mët M −d¢y ch½nh quy v  a 1 α 1 + · · · + a n α n = 0 vîi α i ∈ M, ta ichùng minh α i ∈ M th¼ α i ∈ a 1 M + · · · + a n M, vîi måi i = 1, n Thªt vªy, v¼

a 1 α 1 +· · ·+a n α n = 0 n¶na n α n = −(a 1 α 1 +· · ·+a n−1 α n−1 ) ∈ a 1 M +· · ·+a n−1 M

do â a n (α n + (a 1 M + · · · + a n−1 M )) = 0 Hìn núa, theo gi£ thi¸t a 1 , , a n

l  mët M −d¢y ch½nh quy n¶n a n l  ph¦n tû M/ (a 1 , , a n−1 ) M −ch½nh quy,

do â αn + (a1, , an−1) M = 0 suy ra αn ∈ (a1, , an−1) M ⊂ (a1, , an) M,suy ra αn = a1β1+ a2β2+ + an−1βn−1, βi∈ M, vîi måii = 1, n − 1 Khi â,

a1α1+ · · · + anαn = a1α1+ · · · + an−1αn−1+ an(a1β1+ a2β2+ + an−1βn−1) = 0

haya1(α1+ anβ1) + a2(α2+ anβ2) + + an−1(αn−1+ anβn−1) = 0 M°t kh¡c,

do gi£ thi¸t quy n¤p n¶n ta câai(αi+ anβi) ∈ (a1M + · · · + an−1M ), vîi måi

i = 1, n − 1 Vªy αi ∈ a1M + · · · + anM, vîi måi i = 1, n

Vªy bê · ¢ ÷ñc chùng minh

ành lþ 1.3.6 N¸ua1, , an l M −d¢y ch½nh quy th¼aδ1

1 , , aδn

n l M −d¢ych½nh quy

Chùng minh º chùng minh ành lþ tr¶n ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng n¸u

a1, , an l M −d¢y ch½nh quy th¼aδ1, , an l M −d¢y ch½nh quy Thªt vªy,gi£ sû aδ1

1 , , an l  M −d¢y ch½nh quy °tM1 = M/a1δ1 M khi âa2, , an

l  M1−d¢y ch½nh quy, suy ra aδ2

2 , , an l  M1−d¢y ch½nh quy Cù ti¸p töcqu¡ tr¼nh nh÷ vªy, ta ÷ñc aδn

n l  M/ a1δ1 , a2δ2 , , an−1δn−1

M −d¢y ch½nhquy vîi M 6= a1δ1 + a2δ2 + · · · + anδn

M.B¥y gií ta i chùng minh, n¸u a1, , an l  M −d¢y ch½nh quy th¼

aδ1, , an l  M −d¢y ch½nh quy b¬ng quy n¤p Vîi δ = 1 d¢y tr¶n óng.Vîi δ > 1, gi£ sû d¢y tr¶n óng vîi δ − 1 Ta chùng minh d¢y tr¶n óng vîi

δ

Doa1l  mët ph¦n tû ch½nh quy cõaM n¶n ta câaδ1l  mët ph¦n tû ch½nh quycõaM Vîii > 1, ta chùng minhaδ1

1 , , ail  mëtM −d¢y ch½nh quy Vîiω ∈

M, gi£ sûai(ω+(aδ1, , ai−1)M ) = 0, suy raaiω = aδ1ξ1+· · ·+ai−1ξi−1, ξi ∈ M.V¼ (aδ1, , ai−1)M ⊂ (aδ−11 , , ai−1)M n¶n aiω ∈ (aδ−11 , , ai−1)M. Hìnnúa, do gi£ thi¸t quy n¤p (aδ−11 , , ai−1, ai) l  M −d¢y ch½nh quy n¶n

ω ∈ (aδ−11 , , ai−1)M Do âω = aδ−11 η1+ · · · + ai−1ηi−1ηi ∈ M Suy raaiω =

a 1 aδ−11 η 1 + · · · + a i a i−1 η i−1 Vªy0 = aδ−11 (a 1 ξ 1 − a 1 η 1 ) + · · · + a i−1 (ξ i−1 − a i η i−1 ).

Do aδ−11 , , a i−1 l  M −d¢y ch½nh quy n¶n ¡p döng Bê · 1.3.5, ta ÷ñc

a 1 ξ 1 − a i η 1 ∈ aδ−11 M + · · · + a i−1 M. Suy ra a i η 1 ∈ a 1 M + · · · + a i−1 M.

V¼ a 1 , , a i−1 , a i l  M −d¢y ch½nh quy n¶n η 1 ∈ a 1 M + · · · + a i−1 M hay

η 1 = a 1 η01+ · · · + a i−1 ηi−10 Do â,

ω = aδ1η10 + aδ−11 a2η20 + · · · + aδ−1i−1ai−1ηi−10 + a2η2+ · · · + ai−1ηi−1.

= aδ1η10 + a2(aδ−11 η20 + η2) + · · · + ai−1(aδ−1i−1η0i−1+ ηi−1).

∈ aδ1M + a2M + · · · + ai−1M.

Suy ra ai l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M/(aδ1, a2, · · · , ai−1)M Nh÷ vªy, n¸u

a1, · · · , an l  M −d¢y ch½nh quy th¼ aδ1

1 , a2, , an l  M −d¢y ch½nh quy th¼

aδ1

1 , a2, , an l  M −d¢y ch½nh quy ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh

Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m d¢y låc ch½nh quy l  mët trongnhúng kh¡i ni»m mð rëng cõa d¢y ch½nh quy ÷ñc N T C÷íng, N V.Trung v  P Schenzel giîi thi»u v o n«m 1978, [4]

ành ngh¾a 1.3.7 Mët d¢y c¡c ph¦n tû x 1 , x 2 , , x n ∈ m ÷ñc gåi l d¢y låc ch½nh quy cõa M hay M-d¢y låc ch½nh quy n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi

p∈ Ass (M/ (x1, x2, , xi−1) M ) \ {m} th¼ xi ∈ / p, vîi måi i = 1, 2, , n.

Mët ph¦n tû x ∈m ÷ñc gåi l  ph¦n tû låc ch½nh quy èi vîi M hay ph¦n

tû M −låc ch½nh quy n¸u x / ∈p vîi måi p ∈ AssR(M)\{m}.

Tø ành ngh¾a tr¶n ta câ c¡c k¸t qu£ sau:

(i) x ∈m l  M −ph¦n tû låc ch½nh quy n¸u v  ch¿ n¸u x / ∈ S

M»nh · 1.3.8 Cho d¢y c¡c ph¦n tû x1, x2, , xn ∈m Khi â

(i) x1, x2, , xn l M −d¢y låc ch½nh quy n¸u v  ch¿ n¸ux1/1, x2/1, , xn/1

l  Mp−d¢y ch½nh quy vîi måi p∈ Supp(M ) \ {m} chùa x1, x2, , xn.(ii) N¸u x1, x2, , xn l  M-d¢y låc ch½nh quy th¼ xα1

Chùng minh (i) Hiºn nhi¶n.

(ii) Theo (i) ta câ x1/1, x2/1, , xn/1 l  M p-d¢y ch½nh quy vîi måi p ∈ {p | p∈ Supp (M ) \ {m} , x1, x2, , xn ∈ p} Suy ra xα1

1 /1, xα2

2 /1, , xαn

n /1 l 

M p-d¢y ch½nh quy vîi måi p ∈ {p | p∈ Supp (M ) \ {m} , x 1 , x 2 , , x n ∈ p}

Do â, theo (i) ta l¤i câ xα1

1 , xα2

2 , , xαn

n l  M-d¢y låc ch½nh quy

Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh

ành ngh¾a 1.3.9 Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa R Khi â

(i) Mët M −d¢y låc ch½nh quy x1, x2, , xn trong I gåi l  tèi ¤i n¸u

x1, x2, , xn, xn+1 khæng l  M −d¢y låc ch½nh quy vîi b§t k¼ xn+1 ∈ I.

(ii) ë s¥u låc cõa M trong I l  ë d i cõa mët M −d¢y låc ch½nh quy tèi

¤i b§t ký trong I, k½ hi»u l  f depth(I, M ).

Quy ÷îc: N¸u trong I khæng tçn t¤i M −d¢y låc ch½nh quy tèi ¤i n o c£th¼ f depth(I, M ) = ∞.

1.4 D¢y èi ch½nh quy chi·u lîn hìn k

Kh¡i ni»m ph¦n tû èi ch½nh quy v  d¢y èi ch½nh quy ¢ ÷ñc A.Ooishi[18] ÷a ra v o n«m 1976 Nh n v  Ho ng [13] ¢ mð rëng kh¡i ni»m n yl¶n th nh d¢y èi ch½nh quy chi·u lîn hìn k, vîik ≥ −1 l  mët sè nguy¶n.Sau â, trong [12] Nh n v  Dung ¢ tr¼nh b y th¶m c¡c m»nh · v· d¢y

èi ch½nh quy chi·u lîn hìn k Trong möc n y ta luæn x²t (R, m) l  v nhNoether àa ph÷ìng v  A l  R−mæun Artin

ành ngh¾a 1.4.1 Cho (R,m) l  v nh Noether àa ph÷ìng, M l  mët

R−mæun húu h¤n sinh, A l  mët R−mæun Artin v  k ≥ −1 l  mët sènguy¶n Khi â,

(i) Mët ph¦n tû x ∈ m ÷ñc gåi l  ph¦n tû A−èi ch½nh quy chi·u lînhìn k n¸u x / ∈p, vîi måi p∈ AttRA thäa dim (R/p) > k.