Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Trường ĐH Duy Tân

Bài giảng Sức bền vật liệu 2 có kết cấu gồm 5 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: một số vấn đề đặc biệt trong lý thuyết uốn và xoắn thanh; tính chuyển vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng; ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm; thanh chịu tải trọng động; tính độ bền kết cấu theo tải trọng giới hạn;... Mời các bạn cùng tham khảo!

KHOA XÂY DỰNG

Panes 2

⁄Z 004x009 ìbơnnsongene ve4dire VỂ, Ì+onenmo et © ete wie tmnt arene x1

sư $%1.8992%Á80%)8:4 W.420V4 tài ⁄0a2YÓ ` Vu *+.n Oanh te ÚẾ cử tr, (nhadmestsendssan +.4Mnfð( (01.9 GEN PMCA4022-, What ear, ae ened

eer cee? Nha mmee

Chương 0: MOT SO VAN DE DAC BIỆT

TRONG LY THUYET UON VA XOAN THANH

OL, MO RONG CONG THUC NAVIER-TURAVSKI TINH UNG SUAT TIẾP CHỊU UON NGANG PHANG: |

Nie .1,1 Công thức Navier-Juravski đối với tiết điện chữ nhật hẹp: i‘ # ` „ | ® Ae ro gek oA cm

Khi thanh chịu uốn ngang phăng, nội lực thanh gồm lực cắt Q„ và mômen uốn M, Đối với thanh có tiết diện chữ nhật hẹp (b.h), lực cat Qy được giả thiết chỉ gây ra ứng suất tiếp xy phân bố đều theo bề rộng b của tiét dién (Hinh 9.1)

Hình 9.1; Biểu đồ ứng suất trên tiết điện chữ nhật hep

Theo Juravski, ứng suất tiếp ty được xác định theo công thức:

6

l[.b bh Lak a, £ 1k _34, 3

Ứng suất tiếp lớn nhật rmạ„ đạt trị số: T1 max =T ọ — 2 b bh_ 2 AL Q Qy (9.2)

9.1.2 Mở rộng công thức Juravski cho tiết điện đặc không hẹp:

Khi tiết diện có bề rong không hẹp (hình tròn, hình vuông, .), ứng suất tiếp trên

tiết điện sẽ có hai thành phan 1, va ty

Chương 9: Một số vẫn đề đặc biệt trong lý thuyết uén và xoắn thanh

- Ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây ra: To, = 7 5 (9 6)

+, ’ , +, A ‹ O S£

- Ứng suất tiếp do lực cắt Q, gâyraA iQ = 7 5 ˆ (9 7)

2, Trong trường: hợp uỐn không gian có cả luc cat O, va Gy thi ứng suất tiếp toàn phân sẽ bằng tông đại số của các ứng suất tiếp do OQ, va Oy gay ra riêng lẽ:

_9, 1a, O, ->r | —~» Ứng suất tiếp toàn phân: t = Tạ, +rọ, (cung phương)

Dựa vào điều kiện cân băng của mômen trong mặt phẳng tiết diện để xác định vị trí

- Nếu tiết điện có trục đối xứng và chịu uốn trong mặt phẳng chứa trục đối xứng thì tâm

uốn chính là tâm của tiết diện

- Nếu tiết điện gồm các giải chữ nhật đồng quy tại một điểm thì tâm uốn chính là điểm đồng quy vì tại đây ủ ứng suất tiếp không gây ra mõmen (Hình 9.5)

Dé xác định tâm uốn cần tiến hành các bước sau:

- Xác định các hợp lực ứng suất tiếp trên mặt cắt tiệt diện (rên hình vẽ)

- Xác định giá trị của các hợp lực ứng suất tiếp trên mặt cắt tiêt diện ˆ

- Xác định vị trí tâm uốn của mặt cắt tiết diện đựa vào điều kiện: mômen đo các hợp lực ứng suất tiếp gây ra tại tâm uốn băng không

112

3, Xác định vị trí tâm uốn: Gọi C là tâm uốn cách hợp lực R một khoảng cách e

- Mômen do các hợp lực ứng suất tiếp gây ra tại điểm C bằng 0:

5 T.(h

>UM,=0 > Re-2T== =0 > e= T(a-8) (*)

- Thay cac gia tri cua T va R vào (*) có vị trí của tâm uốn C:

- Giả thiết các lớp vật liệu tạo nên dầm là găn chặt với nhau

- Các liên kết giữa các lớp vật liệu là tuyệt đối cứng, bề mặt tiếp xúc của các lớp vật liệu liền nhau sẽ cùng làm việc và cùng biến dạng như nhau -

113

Chương 09: Mộ số vẫn đê đặc biệt trong lý thuyết uốn và xoắn thanh

_— Mặt cắt ngang khi uốn vẫn phẳng nên biến đạng dài e do ứng suất pháp Bay ra phân bố bậc nhất theo trục y |

9.3.2 Bài toán uốn đầm gồm nhiều lớp vật liệu:

- Nhằm đảm bảo tính đơn giản mà vẫn mang tính tổng quát, xét dim gồm hai lớp vật

liệu lần lượt có các đặc trưng \ về điện tích A¡, A> va médun dan hồi Bị, B¿ (Hình 9.7):

Hinh 9.7: Uốn đầm gồm hai lơp vật liệu

9.3.2.1 Xác định vị trí đường trung hòa:

- Độ cong của lớp trung hòa: E, =E= + với p là bán kính cong

- Tai vi tri trụng trung hòa, luc doc N bang không nên có:

Hay | E, J ydA +E, | y.dA =0 | (9.10)

(Phương trình (9.10) dùng để xác định vị trí của truc rung hòa trên mặt cắt ngang ) 9.3.2.2 Xác định ứng suất pháp Ơ;:

- Mémen uén M, phat sinh trong dam: | M, =| G,.y.dA = =| G¡.y đA + J o,.y.dA

- Dựa vào điều kiện về mômen uốn để xác định a cong 1/p của thanh:

M, = Jovan fo, yaa = fy dA+=2 > {x aa~ "6, I, +E, 1,,)

Từ bài toán uốn đầm gồm hai lớp vật liệu, có thể đưa ra một số nhận xét sau:

- 1 Tưởng hợp dâm gôm nhiễu lớp vật liệu, cách tính hoàn toàn tương

dam gom hai lop vat liéu

- Chỉ áp dụng khi tính ứng suất pháp và không dùng được khi tính ứng suất tiếp

Cho dâm ghép bằng hai lớp vật liệu có kích thước †— 20 —+

và chịu tải trọng như hình vẽ:

E2; @

Xác định ung suất lớn nhất và nhỏ nhất t phat sin sinh y

trong mỗi lớp vật liệu Biét: E, ¡ = 19.10 kN/cmẺ và E; = 2.10 kN/cmẺ =

Le eae | I> qa?

1, Xác định vị trí nguy hiểm nhất của dầm: oe 2a “ va : a

- Xác dinh phan luc lién két Va va Vp: x} 5a8 | | | Vex 3a

+ Phản lực ni B: Ve = a Hình 9.8a: Biểu đồ mômen uốn M,

- Vẽ biểu đồ mômen M, (Hình 9.8a) | 20

- Gia tri [Mxlmax’ IMixlmax = — Ma=— —— =90kNm = 3000 NIN cr ~—

2, Xác định vị trí của trục trung hòa: 4| |! | @® _

- Giả thiết trục trung hòa nề trong lớp vật liệu I Sẽ có: 4T t

- Chương 9: Mội số vẫn đề đặc biệt trong lý thuyết uốn và xoắn thanh

+ 8o sánh với điều kiện, chọn: _— t†=23,80cm

3, Xác định ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất phát sinh trong mỗi lớp vật liệu:

- Xác định các mômen quán tính của các lớp vật liệu:

—> Ứng suất pháp lớn nhất: ơÌ„ =3 267 EN va o! © min = -3,333 KN

cm? -em? Ymax = 23,80m Va Ymin = = 19 ,Scm

—> Ứng suất pháp lớn nhất: Ơ max = 0,413 KN va ơ' min = 0,344 KN

+ Lớp 2: — Tọa độ cực trị:

Xét thanh có mặt cắt mỏng kín, bê day 5, chiu M, (Hinh 9 9) Để xác định được img suất trong trường hợp này cần dựa vào một số giả thiết sau:

Hình 9.9: Xoắn thanh cỏ mặt cắt mỏng kin,

- Thanh chi chiu tác dụng của mémen uén M, nén trén mat phẳng tiết diện chỉ xuất hiện ứng suất tiẾp t va tông mômen của chúng đối với trục thanh sé bang M,

116

- Vi 5 rat bé nên có thể xem + phân bố đều trên 8

- Phương của ứng suất tiếp cùng phương tiếp tuyến với đường trung bình

Xác định biểu thức tính ứng suất:

- Tách phân tố thanh giới hạn bởi A và B, Trên mặt tiết diện chỉ có ứng suất tiếp:

- Điều kiện cân bằng của phân tố thanh REZ=0 —> Ta = Ts = T = const (9.13)

Từ (9.13) chứng tỏ: Hợp lực của ứng suất trên bề dày tại mọi điểm là như nhau

dù bê dày tai mọi điểm có thể khác nhau

Xét một phân tổ có: ® Diện tích dA: §.ds

+ Tổng hợp lực trên phân t6: T.0.ds _

$ Tông mômen của phân tô đổi vớiO: t.ô:ds.h

- Tông mômen đối với O của hợp lực trên toàn tiết điện: —M, = Í[tôh.ds =T [h.ds

Trong đó: ( là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường trung bình của toàn tiết diện

Từ (9.14) chứng tỏ: Ứng suất tiếp khi xoắn không phù thuộc vào vật liệu Do đó,

có thê áp dụng công thức (9.14) để tính ứng suất tiếp cho thanh chịu xoắn làm từ các loại

vật liệu khác nhau

9.4.2 Biểu thức tính góc xoắn: |

Để tính goc xoan của thanh thành mỏng sử dụng nguyên lý cân bằng năng lượng

Xét đoạn thanh có chiều dai băng đơn vị, chịu mômen xoắn M,„ có góc xoắn tương

Chương 9: Mét sé van dé dac biét trong lý thuyết uỗn và xoắn thanh

2

- Công trên thể tích phan t6 dang xét: | 10

- Công trên toàn bộ đoạn thanh đang xét: fe 5.ds

- Theo nguyén ly can bằng năng lượng, công của mômen trên chuyên vị góc và công của ứng suất trên các biển đạng tương đương là như nhau:

_ Suy ra, góc xoắn Ô trên một đơn vị chiều dài thanh: - N (9.15)

- Xác định mômen quán tính xoắn của tiết điện lu: ty (9.1 we

AS: vi drain coxa Hay TB SG << Lí

v= x

£ | a athe gta ty iy pth đt hos CỐ ` Bá

+ Néu 6 = const trén tiét dién, goi L 1a chiêu dài đường trung bình: I= 7

‘ a ay VÀO ane a oe ` 4Q?

+ Nêu 6 = const trén timg doan chiéu dai |; cua đường trung bình: I, = |

8,

9.5 XOAN THANH CO MAT CAT MONG HO:

Để đơn giản, tính toán cho trường hợp thanh có mặt cắt ngang mỏng hở được hình thành từ các hình chữ nhật mong

Xét tiết diện mỏng hở chịu mõmen xoắn M (Hình 9.1 L) Tiết diện được chia thành những phân tử chữ nhật mỏng có kích thước bị và õ; (b; > 8) cing chiều xoăn:

- Các phân tử chữ nhật này là các bộ phận của một tiết điện duy nhất, nên:

+ Qóc xoãn: các góc xoăn thành phần 0, cùng bắng góc xoắn Ð của tiết diện:

vật liệu như nhau 2 | 2 2

So sinh độ , bén và độ cing Y _Tiết diện1 | Tiết diện2 2 Z

của hai tiết diện kế trên czz/2 2a b

1, So sánh về độ bên của hai tiết dién:

- Đối với tiết điện 1:

+ Mémen quan tinh I}, : Ij, cite =sE 215.5? + 408.(38)° |= 3748"

+ Ung suat tiếp lớn nhất: Thy = =a " -_—M,

I, "3748" 124,678"

_~ Đối với tiết diện 2: SỐ

+ Diện tích giới hạn bởi đường trung bình: © = 19,58.41ỗ = 799,582

119

Chirong 9: Mét số vẫn để đặc biệt trong lý thuyết uỗn và xoắn thanh

- Kết luận: Vậy Tiết diện 2 cứng hơn tiết điện 1

9.6 DAM TREN NEN DAN HOI:

Nền là môi trường hay vật thể đàn hồi có dầm đặt tiếp xúc liên tục trên bề mặt

Gia tr nội lực trong | dim được xác định phù thuộc vào biến dạng của dầm cũng như phù thuộc vào quan niệm về mô hình nền |

Mô hình nên Winkler: Cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ với độ lún của nên tại điểm đó Mô hình này có những đặc điểm sau:

~ Công thức xác định phản lực nên: p=ky : (9.20)

Trong dé: — p: Phan lực nên trền một đơn vị điện tích ˆ |

— y: Độ lún của nên ( bằng độ võng của dầm)

— k: hệ sô nên, là đặc trưng cơ học cơ bản của nên k được xác định từ các

thí nghiệm và phụ thuộc vào loại nên

- Ưu và nhược điêm của mô hình:

+ Ưu điểm: Quan niệm nên như một dãy các lò xo có độ cứng k, do đó, quá trình tính toán đơn giản và có kê đến tính lún của nền,

+ Nhược điểm: Khi chịu tải trọng phân bố đều, nên được xem như lún đều Nhưng

thực tế không phải như vậy Do đó, mô hình chỉ phản ánh gần đúng thực tế

120

9.6.2 Phương trình vi phân độ võng của dầm trên nén Winkler:

- Phản lực nên phân bố đường: qị = b.p = b.k.y=K.y TE

Trong dé: K = k.b, cé thir nguyén : [luc]/[chiéu dai} Zz gi (z)

- Tổng tải trọng tác dụng lên dâm : q, - q :

- Phuong trinh vi phan t vong cata), dâm chịu uôn: Hình 9.12: Dằm trên nền đàn hồi

M q+q, | chịu tải trọng phân bố

/"=———YV = —>E.Ly" =q-K

y El y" E] y =q-KY

Có thê viết lại dưới dang sau: y"+4a' y= A (9.21) voi a=4 K

- Nghiệm của phương trình (1.21) có dạng: y=y+y`

Trong đó: — y: Nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) với về phải bằng 0

y =e™(C, cosaz+C, sinaz)+e™ (C, cosaz+C, sin az) (9.22)

(Vo1: C; la các hang số được xác định từ điều kiện biên.)

_ = y*: Nghiệm riêng của phương trình (1.21) y ` = az) = dữ) (9.23)

9.6.3 Dầm đài vô hạn chịu lực tập trung P:

Xét dầm có chiều dài được xem là vô hạn chịu lực tập trung P (Hình 1.13)

VỊ đầm dài vô hạn nên lực P được coi là đặt tại giữa dầm Lúc nay, dim là đối xứng nên chỉ cần xét nữa đầm có z > 0: ⁄

P

- Khi không có lực phân bố, nghiệm riêng của phương trình a

y =0, nghiém cua phương trình sẽ là: z

O,

y =e (C,.cosaz+C,.sin az) +e" (C,.cosaz+C,.sin az) i

+ Khi z—> œ => y—> 0= C¡ =C; =0 Sẽ có: 7

— Nghigm: y=e™(C, cosaz+C, sin az) Hình 9.13: Dầm trên nên đàn hỏi

nw chịu tải trọng tập trung

— Độ võng: |

— _ =y =-œ,e [(C; - Ca).cosœz + (Cạ + Ca) sindZ] -

— 'Mômen: M =-E.Ly® = -207 E.Le™.(C3.sinaz — Ca cosoz)

— Luc cit: Q=-ELy® = -203 E.Le™[(Cs+Cy).cosaz + (Cy — Cs).sinaz]

121

Chuong 9: Mé6t số van đề đặc biệt trong lý thuyết uỗn và xoắn thanh

- Phương pháp này có thể áp dụng cho các bài toán sau:

+ Dâm dài vô han chịu tải trọng phân bỗ đều q trên chiều dài I (Sử dụng nguyên

lý cộng tác dụng)

+ Dâm dài nữa vô hạn chịu mômen và tải tập trung tại đầu mút dẦm -

+ Dâm dài vô hạn chịu mômen tập (rung

_CAU HOI ON TAP CHƯƠNG 9

1, Nêu giả thiết của công thức Juravski để tính ứng suất tiếp trên thanh chịu uốn phẳng,

2, Tâm uốn của một tiết diện mỏng chịu uốn phắng là gì? Đề xác định tâm uốn cần sử dụng những điều kiện nào?

3, Trình bày những giả thiết cơ bản khi tính dam có tiết diện gồm nhiều lớp vật liệu Viết điều kiện xác định vị trí đường trung hòa khi uốn dầm làm từ nhiêu lớp vật liệu

4, Nêu giả thiết về phân bố ứng suất tiếp trên tiết diện mỏng kín chịu xoăn So sanh diém khác nhau về sự phân bố ú ứng suất tiếp trên các tiết diện mỏng kín và hở chịu xoắn

5, Nêu đặc điểm và biểu: thức của mô hình nên Winkler Ý nghĩa vật lý và thứ nguyên của

hệ số nên

6, Viết phương trình vi phân của độ vong đầm năm trên nền đàn hồi Winkler

122

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHƯƠNG 9 Bai 9.1: Xác định tâm uốn.của các tiết diện(Hình 9.14):

Hình 9.14: Xác định tâm uốn của các mặt cắt ngang trên,

Bai 9.2: Cho dam có mặt cắt ngang (Hình 9.15) Xác định ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ

nhật phát sinh trong mỗi lớp vật liệu tại tiết điện nguy hiém nhat Biét: E, = 20E)

Chương 10: Tinh chuyén vi cia hé thanh theo các phương pháp năng lượng,

THEO CÁC PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG

10.1 THE NANG BIEN DANG ĐÀN HÔI:

_ 10.1.1 Công của ngoại lực: -~

chuyển điểm đặt của lực, như vậy ngoại lực sẽ sinh công - đó là công của ngoại lực

~ Định nghĩa: Công của ngoại lực là sô đo năng lượng được thực hiện của ngoại lực khi điểm đặt của nó có các chuyển vị

- Công thức xác định:

+ Khi vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi: A,, = ta (10.1)

+ Khi hệ có nhiêu lực tác dụng: c A= > P A, (10.2)

| i=]

Trong do: —ñn : Số lực tác dụng vào hệ

+ P, : Ngoại lực thứ ¡ tác dụng lên hệ

— A; : Chuyén vi của hệ tại vị trí đặt lực P,

10.1.2 Công của nội lực:

Ngoại lực tác dụng lên hệ gây ra chuyển vị nên sinh ra công dương A„; Tương ứng tại vị trí đó, nội lực cũng sinh ra một công âm A, nhằm ngăn cản chuyển vị

Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: Ang =- An

10.1.3 Thé nang bién dang đàn hồi (TNBDĐH):

_ PNBDDH U tích lũy trong vật thể: - U=A,=-A,

Cé thé tinh TNBDDH theo công nội lực Theo nguyên lý cộng tác dụng, TNBDĐH

của hệ băng tổng TNBDDH tương ứng với từng thành phan nội luc:

_- Đôi với bài toán không gian (Công thức 10.3):

0 x! path] EI,” * | 2BL, d+) 2GI,, d+) *2GA e+) "y 2GA

“Di véi bai todn hing mm BẠN pháng U=ŸYƒ-Š-az+ ƒ Ms dz+> | o q te DBA 42B, 72GA (10.4) _

124

TC ed M?

— —_ Đối với bài toán đầm chịu uốn (bỏ qua lực đọc, lực cắt: = U= of 2n (10.5)

10.2 XAC ĐỊNH CHUYEN VI THEO THE NAN G:

10.2.1 Ap dung trực tiếp biểu thức thế năng:

Cách này áp dụng khi trên hệ có một lực tác dụng Yêu cầu xác định chuyền vị Á có

vị trí và phương tương ứng với lực P :

Từ công thức: A, = 3 PA =U suyra A= | (10.6) 10.2.2 Xác định chuyển vị theo định lý Castigliano:

10.2.2.1 Độ võng của dầm tại vị trí đặt lực P: |” P› |” |’

Xét một dim (Hình 10.1) chịu tác dụng của n lực: P\, = ——”

P¿, , Pụ, , Pa Độ võng của đầm tại các điểm dat LN Sle, le We & lực lần lượt là: Át, Á¿, , Áy ; Ấn | KM & ane ;

Giả sử đầm làm việc trong giới hạn đàn hôi Lúc này,

TNBDDH là một hàm của tải trong: U = f(P;) Do đó,

dU cũng là một hàm cia tai trong: dU = f(P))

dat cdc luc Py, Po, ., Px, Pa

Sau khi biến dạng, lực đPy thực hiện một công dA: dA = dP, Ay : (10.8) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng và các công thức (10.7) và (10.8) có:

Dinh ly Castigliano: “Dai ham riêng của thé năng biển dụng dan hồi theo mot lực nào đó bằng chuyển vị theo phương tác dung của lực đặt tại diém dé”

10.2.2.2 Góc xoay của dâm tại vị trí đặt momen tập trung Mỹ):

Xét một dam chịu tác dụng của n mômen tập trung: Mụ, Mb, ., Mx „ Mạ Góc xoay của

dầm tại các điểm đặt mômen lần lượt la: 8), 82, ., Ox, ., Ôn

Tương tự, góc xoay tại vị trí đặt mômen tập trung: | Ô, = AM,

Dinh ly Castigliano chỉ xác định được độ võng và góc xoay ở các điểm có đặt lực

tấp trung và mômen tập trung Do đó, muốn xác định độ võng và góc xoay tại một điểm

(10.10)

125

Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng

bắt kỳ không có lực tập trung và momen tập trung cân đặt vào đó lực tập trung gia tao Py,

va momen tdp trung gid tao Mer Sau đó, cho Các ; đại lượng gia tao bang khong

1, Xác định chuyén vi tai B (Hinh 10.2a): © | yen V ( ) Yz > oP JEL —+ ——*.dz oP (*) +

- Thay vào (*) có chuyên vị tại B: (a) A

¬ 3 4 +

Yg= (=) (-z).dz = =2 _ 2 cọ

vay chuyén vi tai B di xuống )

2, Xác định góc xoay tại B (Hình 10.2b): Vì tại B không có (6) A

mômem tập trung nên đặt mômen giả tạo Mr tại :

- Mô men của đoạn dầm AB: M, =-zP -Mg

- Thay vào (2*) góc xoay tại B:

1ƒ Pz? | Pa? qai |

= -zP-M_.Ì(-I\dz= - = 0

"9= HT Í 2P -My.)-(-1).dz 2EI, | 3E, 3El,~

(Vậy, góc xoay tại B quay thuận chiều kim đồng hồ.) 10.2.3.2 VÍ dụ 2:

- Tại C không có lực tập trung nên đặt tại C lực tập trung Pự đề xác định chuyển vị tại C

- Xác định phản lực liên kết tai A va B: Pot es

Thay vao (2*) cé: yao =— || —®+qaz -—~— (=) dz =— qa2) 9% lq, = £9

2 | | 2qa* 4qa‘*

- Chuyén memes vj tai C: Ye SNe = yP + yA° = 2, Te SORT ~ OBI, =

2, Xac dinh géc xoay tai C (Hinh 10.3b):

Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng

“Đối với một hệ cô lập năm ở trạng thai can bang thì tổng công khả dĩ của các

lực trên các chuyên vị khả dĩ trơng ứng của một hệ sẽ bằng không”

Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô ) cùng bé do

một nguyên nhân bất kỳ nào đó gay ra

Với một hệ biến dạng đàn hồi trong đó có phát sinh nội lực thì công khả dĩ sẽ bao

gồm công khả đĩ của ngoại lực và công khả đĩ của nội lực

Gol — An là công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thai “k” sinh ra trên các biến dạng kha di của các nội lực ở trạng thái “?n”

— Am" là công khả dĩ của các nội lực ở trạng thái “k” sinh ra trên các biến đạng

khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “n”

Theo nguyên lý công khả dĩ, sẽ có: AS +A =0 (10.11) 10.3.1.2 Công khả dĩ của ngoại lực: ["Ƒ k2 Ữ kk lv Xét hệ có hai trạng thái (Hình 10.4): Ẩ rt

- Trang thai k: Hé chiu cdc ngoai luc P, + ch that k

_ - Trang thai m: Hé chiu các nguyên nhân m và trong hệ

_ tôn tại các chuyển vi kha di Arn: Ae & i PB x

Công khả dĩ của tất cả các ngoại lực Py trên các ` Ax 4 " Âkkm Atom

chuyén vj kha di A;,, duge xac dinh: m Ak2m — Akkm Okn

10.3.1.3 Công khả dĩ của nội lực;

Đề tính công kha di cua nội lực trên toàn chiều đài c của a thanh, tách ra khỏi thanh © một đoạn phân tô có chiều đài dz (Hình 10.4):

Ở trạng thái k, trên phân tố dz có : Ny, Mụ, Cr Đối với phân tố đang xét các thành phân nội lực này lại là ngoại lực

Ở trạng thái m, tại vị trí tương ứng tách ra phân tô đz có: Nn» Ms O, Ching gay ra các biến dang kha di tong ứng: Dé dan dai Adz, goc xoay Adg và biển dạng góc +

- Độ dãn dài Ađz do lực dọc gây ra: Adz = e.đz = 7 (10.13)

- Góc xoay Ado do moomen uốn gây ra: Ado = dz = My AZ (10.14)

Trong đó: "ị: Hệ số điều chỉnh, kể tới sự phân bồ ố không đều của ứng suất tiếp Hệ số

này phụ thuộc vào hình dáng của tiết diện :

— Tiết diện tròn , n= 1,18

— Tiét dién chit nhat : n=1,2

— Tiết điện hình ống mỏng H=2 ~

— Tiết điện chữ I TỊ = A/Ay

(với A và Ay lần lượt là điện tích toàn bộ tiết điện và diện tích của phan bung)

10.3.1.4 Công khả dĩ đỗi với hệ thanh:

Công khả dĩ trên phân tổ của các lực ở trạng thái “° trên các biến đạng khả dĩ tương ứng ở trạng thái m: đA»„ =N,Adz+M,Adp+Q,Ads (10.16)

Theo nguyên lý công khả dĩ : da =—dA™

Do đó: dA™ = —dA™ = —(N, Adz+M,.Adg + Q,.Ads)

129

Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng

E A EJ] G.A

TH trên toàn hệ thanh, công khả di của nội lực sẽ là :

ens|sJ Mày dz xịMAM.e dz +E Jn —

Hay: ER, A, = -r[R .N., dz xi M,, dz _ +Y fn See dz (10.17)

10.3.2 Dinh ly Betti vé sự tương hỗ của công khả dĩ các ngoại lực (Hình 1016):

Hình 10.6; Định lý tương hỗ của công khả dĩ

Định lý: “Đối với hệ đàn hôi tuyến tính, công khả dĩ của ngoại lực tác động lên hệ ở trạng thái k trên những chuyển VỆ khả dĩ của hệ ở trạng thái m sẽ bằng công khả dĩ của ngoại lực tác động lên hệ ở trạng thải m trên những chuyển vị khả dĩ ở trang thai k”’

Theo định lý sẽ có: Aum = Aim (10.18)

Định lý: “Đối với hệ đàn hồi tuyển tính, chuyển 1 Smk {Ps =]

vi don vj theo phương k do lực theo phương m gây ra sẽ ‘S ¢ — bằng chuyén vi don vi theo Phương m do luc ngang k A ~ ee "¬ =

| Trang thai k

Theo định lý sẽ có: Sim = Ome (10.20)

Hinh 10.7: Dinh ly tương hỗ

của các chuyển vị đơn vị

10.4 CONG THUC MAXWELL — MORH:

10.4.1 Thiết lập công thức:

Xét trường hợp bài toán phang, giả sử cần phải xác định chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt ngang tại A:

- Gọi trạng thái chịu lực của hệ là trạng thái m (Hình 10.8a)

- Lập một trạng thái k là trạng thái hệ chỉ chịu một lực đơn vị P‹x =1 theo Phương ck

_ (Hình 10.8Đ) Nội lực phát sinh ở trạng thái nay la Ny Mx,Q,

- Công khả của lực P¿ =1 trên chuyén vi kha di Ákm là :

130

a, Trangthaim b,Trạngthák c,Trangthaik qd, Trang thaik e, Trạng thái k

(Xac dinh Ay) (Xácđinhọa) (Xác địnhA¿n) (Xác định oan)

_ Hình 10.8: Xác định các chuyển vị theo phương k-k

` đó một lực tập trung đơn vị (Px =1), còn muốn xác định chuyền vị góc (góc xoay) thì ta Nếu muốn xác định chuyển vị thing tai một điểm nào đó của trục thanh, ta đặt tại điểm

đặt mômen tập trung đơn vị (Mx =1) (Hình 10.8c)

QA

inns Van dung công thức:

1, Dam, khung thẳng Có thể bỏ qua ảnh tướng của lực dọc N và lực cắt Q Lúc này chuyên vị được xác định theo công thức:

->/MMe dz

Ì,

(10.23)

2, Hệ thanh liên kết khớp chịu tải trọng ở nút, hệ dàn: Trong l hệ chỉ tôn tại lực doc

Lúc này chuyển vị được xác định theo cöngthức _

„ng dz 1024) Hay A = Ni.N Ni.N

Sm fg m] (10.25

(10.24) Hay A,, a ee (10.25)

3, Khi tinh chuyén vi tương đối:

- Nếu muốn xác định độ thay đôi khoảng cách giữa hai điểm của hệ, tai hai diém 4 Ay dat hai

lực có phương trùng với đường thăng nối nhưng ngược chiêu (Hình 10.8d)

131

Chuong 10: Tinh chuyén vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng

- Néu muốn xác định BÓC xoay tương đôi giữa hai mặt cắt, đặt hai mô men tập trung ngược chiều nhau tại hai mặt cắt cần xác định góc xoay (Hình 10.8e)

2, Thiét lap trang thai k (Hinh 10.9b): J _9

- Xác định phản lực liên kết tại A và B: Hình 10.9: Xác định chuyển vị và góc xoay tại C

vật = (= M, az = Ji qaz — qz 2 ae — a] l gaz” _ Gz Z= 2qa

Ác EI, EI, 4 2 \3 EI, 3 - 6 OFT

- Chuyén vi tai C: en ICE = yh + yac =2 2qa" = 4qa" >0 Vay, chuyén vi tai C đi xuống Ne Ye Sony opy 7» YY: Chuyen Vi |

Xác định chuyển vị (đọ dãn dài và góc xoay) tại đầu tự do A của khung có độ cứng E.]

= const va E.A = const (Hinh 10.10a) Biết 2AB = BC = 2a

Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh theo các phương pháp năng lượng

- Ở trạng thái m, lực dọc trên các thanh của hệ khung:

+ Thanh AB: Nin = qa | _ Thanh BC: Nom = ga

- Ở trạng thái k, luc đọc trên các ‘thanh của a hệ khung (Hình 10.10b):

- Độ dẫn đài t tại mút AD

mly=0+ 2 9 = 24-8

b, Xác định góc xoay tại đầu tự do A:

- Ở trạng thái m, mômen trên các thanh của hệ khung:

+ Thanh AB: | 1 = si 2 _ Thanh BC, - M.= ¬—.%

2 2

- Ở trạng thái k, môrnen trên các thanh của hệ khung (Hình 10.10c):

+ Thanh AB: Mi =—1 + Thanh BC: Mx =~—1

- D6 dan dai tai mut A:

M.M„ q2” qa’ q.z’ —q.a’

= MiMs 4, 1 đz+ ——— |dz |=——

¬ oar EI a J (ae 2 2 6E

10.5 PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU DO VERESAGHIN:

Nếu một trong hai hàm số dưới dấu tích phân | 0) dQ G(z)

co dang bac nhất thì có thể thay cách giải tích phân Q trên bằng phương pháp nhân biểu đồ của Vérésaghin

(Hinh 10.11):

Giả thiết trên đoạn chiều dai Ì nào đó của de

thanh, hàm số G(z) co dang bat ky con ham sé F(z) |

có dạng bậc nhất: F(z) = az + b Luc nay, (*) thanh:

134

Hay: ¬ -“(Ñ:ÌN,) +2 M}M, +a @ \Q,,) (10.27)

- Đi với bài toán kéo (nén) đúng tâm: A, = =~ (Ne)(N,) 40.28)

10.5.2 Mật số điểm cần lưu ý khi thực hiện phép nhân (Hình 10.12):

_~ Tung độ nhất thiết phải lây ở đường bậc nhất

- Kết quả phép nhân Sa | | mang dấu dương khi Ot, Cy 2, Ce M2, Cr Os, C3 _ Ôi, Cr Qa, Co điện tích và tung độ đều

cùng dâu hoặc cùng năm In 1

gãy khúc, thi phai chia '~ “yp i

thanh nhiều đoạn, mỗi 1=6.yị t†Ô¿dy¿ T=Oiyi+ O¿.y¿ tOawy T=-O¡.y) + O22 y2

ron

- Khi dién tích là hình phức tạp thì có thể chia thanh nhiều hình đơn giản

- Kết quả của phép nhân biểu đề đối xứng với biêu đồ phản xứng sẽ bằng không

19.5 3 Các ví dụ: |

_ 10.5.3.1I Ví dụ I: V1 dụ 2 (18.23) | me

1, Thiét lap trang thai m (Hinh 10 13a): 4 _20 4

- Xac dinh phan luc lién kết tai A va B: Mx (qa?) ; | —

NPT M.=M +M=0 Hinh 10.13: Chuyén vj va géc xoay tai C

2, Thiết lập trạng thái k (Hình 10.13):

135

Chuong 10: Tinh chuyén vi cha hé thanh theo cdc phương pháp năng lượng

Hình 10.14: Ví dụ về phương pháp nhân biểu đỗ của Vérésaghin

a, BD mémen 6 trang thai m |

b, BD mémen 6 trạng thái k xác định góc xoay tại Á

c, BD mémen ở trạng thái k xác định độ võng tại B

2, Xác định góc xoay tai A va chuyển vị tại B:

- Vẽ biểu đồ mômen ở trạng thái k khi đặt ngẫu My =1 tại A (Hình 10.14b):: Mạc=l

- Vẽ biểu đồ mômen ở trạng thái k' khi đặt lực P„ =1 tại C (Hình 10.14c):

+Digm A: M)=M?=0 +ĐiểmB: M?=M?=0

- Diện tích và tung độ của mỗi hình chia:

+ Hình 1: 2 qa2a = ga); yi=1;

- Góc xoay tai A: ; 0,= EL S9) Q.) = El, (Fa —qa’+7qa*+2qa’ | = 4 4a 6EI 7 x > 0

Vay, goc xoay tai A quay thuận chiéu kim đồng hồ

Chương 10: Tính chuyển vị của hệ thanh theo cúc phương pháp nững lượng

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 10

1, Định nghĩa các chuyển vị trong hệ thanh? Và cho biết các chuyển vị này khi nào là chuyên vị thăng, khi nảo là chuyển vị xoay?

2, Néu va phân biệt ba đại lượng về năng lượng trong hệ vật rắn? Viết mối quan hệ giữa các đại lượng này trong hệ đàn hồi?

3, Phát biểu và chứng minh định lý Castigliano?

4, Hãy chứng minh công thức Mohr xuất phát từ định lý Castigliano?

5, Thê nào là các chuyên động khả dĩ: cho ví dụ về các chuyện động khả dĩ đôi với một dâm côngxôn, dầm mút thừa

6, Phát biểu dinh ly Maxwell — Betti vé su tương hỗ của các chuyền vị đơn VỊ và minh họa băng một ví dụ |

7, Hãy cho biết điều kiện để có thể áp dụng phương pháp nhân biêu đồ đề tính chuyển vị?

Chương I1: ON DINH CUA THANH THANG

CHIU NEN DUNG TAM

_ 11.1 KHÁI NIỆM VẺ ÔN ĐỊNH: SỐ

11.1.1 Định nghĩa:

_ Độ én định của kết cấu là khả năng duy trì, bảo quản được dạng cân bằng ban đầu

trước các nhiều động có thê xảy ra

11.1.2 Hiện tượng on định và mất on định của thanh chịu nén đúng tâm:

1I.1.2.1 Cân bằng của quả cầu trên các dụng mặt tiếp xúc:

Cho quả cầu một chuyên dịch nhỏ (gọi là nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân cận rồi bỏ nhiều đi Quan sát đôi với mỗi loại mặt tiệp xúc sẽ có những hiện tượng sau:

mat | qm TITITVTITITVIT (@) CB éndinh (ĐCB không én dinh © CB phiém dinh

Hình 11.1: CB của quả cầu trên các đạng mặt tiếp xúc

- Trên mặt lõm (Hình 11.1a): Quả cầu quay về vị trí ban đầu: Sự cân bằng ổn định

- Trên mặt lôi (Hình 11.1b): Quả cầu chuyển động ra xa hơn vị trí ban đầu: Sự cân bằng

không ỗn định

- Trên mặt phăng (Hình 11.1): Quả cầu giữ nguyên vị trí mới: Sự cân bằng phiếm định 11.1.2.2 Cân bằng của thanh thẳng chịu nén đúng tâm chịu lực tập trung P:

Xét thanh chịu nén trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn

đúng tâm .) Nếu cho điểm đặt của lực P một chuyển vị bé ð do một lực ngang nào đó gây

ra, sau đó bỏ lực này đi thì sẽ xảy ra các trường hợp biến dạng sau:

P<Pụ P=Pụ — P>Peạl

Ỳ Ỷ 3

Thanh CB 6n dinh C® Thanh CB tdi han Œ Thanh CB không én định

| Hình 11.2: CB của thanh thăng chịu nén đúng tâm

- Nếu lực P < Pu (P„ là lực tới hạn) (Hình 11.2a): Thanh sẽ phục hôi lại trạng thái biến _ đạng thăng: Thanh làm việc ở trạng thái ốn định | |

- Néu P = Pu (Hình 11.2b): Thanh vẫn giữ nguyên chuyên vị ồ và trạng thái biến dạng cong

Sy can bang cua trang thai thang là phiêm định: Thanh làm việc ở trạng thái tới hạn

139

Chuong 11: On dinh cha thanh thing chịu nén đúng tâm

- Trạng thái tới hạn là trạng thái chuyên biến từ dạng cân bang é ôn định sang dạng cân bằng không ê ồn định Trị SỐ của lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn Pạ,

- Néu P > Pt (Hinh 11.2c): Chuyén vi của thanh sẽ tăng và thanh bị cong thêm Sự cân bằng của thanh là khong 4 ôn định: Thanh làm việc ở trạng thái mắt ỗ on định

11.1.3 Điều kiện về ôn định:

Khi xây ra mat ổn định, dù chỉ của một thanh cũng dẫn tới sự sụp đồ của toàn bộ kết

cấu Tính chất phá hoại đo mắt ôn định là đột ngột và nguy hiểm Vì vay, khi thiét kế cần phải đảm bảo cả điều kiện én định, ngoài điều kiện bên và điều kiện cứng

_ Điều kiện ổn định: p< tw any

ỏd

Trongđó: - — kạa : Hệ số an toàn về ồn định (kạa >1)

11.2 BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN:

11.2.1 Thanh thẳng có liên kết khớp ở hai đầu:

Xét thanh thăng liên kết khớp hai đầu làm việc trong giai

đoạn đàn hồi, chịu lực nén đúng tâm P Khi bị nhiễu, thanh sẽ

bị uốn cong và cân bằng có đạng mới (Hình 11.3)

Xét mặt cắt có hoành độ z có độ võng tương ứng là Yy:

- Phương trình vi phân độ võng: y''=— M, —™, (11.2a)

E.I E.I Trong đó: — Mômen uỗn M,= P.v(2) (11.2b)

- Nghiệm tông quát của phương trình (11.3): y = C).sinaz + Cy.cosaz (11.4)

- Xác định các hệ số C¡ và C; căn cứ vào điều kiện biên: |

+Tai z=0;y=0 —- C,=0 va y =C).sinaz

+ Tại z=l ;y=0 — C).sinol=0 — œÌ =n.z với n= l; 2;

11.2.2 Thanh thẳng có liên kết khác ở hai đầu:

Ap dụng phương pháp trên cho thanh có các liên kết khác nhau ở hai đâu, công thức

Trong do: =—>m _r SỐ nửa sóng hình sin của đường đàn hồi khi mất ổn định

| — u = a : Hệ số phù thuộc điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (Hình 11.4)

Hinh 11.4: Cac dang mat én định và hệ số p

Công thức (11.6) sử dung tri 86 Inin dling voi traong hop thanh có liên kết như nhau

trong hai mặt phẳng quản tính chính xz và vz Khi thanh có liên kêt khác nhau trong hai mặt phăng quản tính thì cần tính lực tới hạn riêng biệt trong từng mặt phẳng và chọn trị số nhỏ hơn làm lực tới hạn thục

11.3 ỨNG SUÁT TỚI HẠN GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER:

11.3.1 Ứng suất tới hạn và độ mảnh:

Ứng suất trong thanh thắng chịu nén đúng tâm gây ra bởi lực Pu gọi là ứng suất tới

(11.7)

Chuong 11: Ôn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm

11,3.2 Giới hạn án dụng công thức Euler:

Công thức Euler được xây dựng trên cơ Sở phương trình vì phân đường đàn hồi, vì

vậy chỉ áp dụng được khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:

Từ quan hệ giữa øụ và ^ (Hình 11.5) có: Gin Ệ

- Khi > Ao: Thanh làm việc trong giai đoạn đàn hôi Ơn

- Khi 4 <2»: Thanh làm việc ngoài giai đoạn dan héi on |

Viéc nghiên cứu lý thuyết ổn định của thanh

làm việc ngoài giai đoạn đàn hôi gặp nhiêu khó khăn

Vì vậy, xác định ứng suất tới hạn thường được rút ra

11.4.2.1 Thanh co a6 manh vira (A; <1 <Ay):

- Ứng suất tới hạn: | Ơn =a— b.À + c.Àˆ (11.12)

Trong đó: a,b, c: Cac hé SỐ phù thuộc vào loại vật liệu, được xác định từ thí nghiệm:

+ Với thép CT3: a=3IkN/em, b=0,114kN/em’ và c=0

- Đối với vật liệu dòn: Oi, = Op = OD | (11.13)

- Đối với vật liệu dẻo: Ơi = Oo = Och (11.14)

11.4.3 Vi du:

142