Giáo trình Đại số hiện đại: Phần 1 - Nguyễn Tự Cường

Giáo trình Đại số hiện đại nhằm cung cấp các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải có bất cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó, ngoài ta còn trình bày các khái niệm, cấu trúc đại số dưới một ngôn ngữ tổng quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn các tính phổ dụng của các khái niệm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 dưới đây.

Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

-_ Lời giới thiệu

của sinh viên các trường Đại học, nghiên cứu sinh, cán bộ nghiên cứu

và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt Bộ sách "Toản cao cắp ” của

Viện Toán học ra đời nhằm góp phân đáp ứng yêu câu đó, làm phong phú thêm nguôn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có

£ [ rong những năm gân đây, nhu câu sách tham khảo tiếng Việt về toán

Bộ sách Toán cao cấp sẽ bao gỗm nhiều tập, đề cập đến hâu hết các lĩnh vực khác nhau của toán học cao cáp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tâm quan trọng trong sự phát triển

lý thuyết và ứng dụng thực tiễn Các tác giả của bộ sách này là những người có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đông thời là những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu Vì thể, mục tiêu của các cuốn sách trong bộ sách này là, ngoài việc cung cắp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất, còn cô gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan đến lĩnh vực mà cuỗn sách dé cập đến

Bộ sách Toán cao cấp có được là nhờ sự ủng hộ quỷ báu của Viện Khoa học

và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Đặng Vũ Minh và Giáo

su Nguyễn Khoa Sơn Trong việc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được sự

giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội Nhiêu nhà toán học trong và ngoài Viện Toản học đã tham gia viết, thâm định, góp ý cho bộ sách Viện Toán học xin chân thành cám ơn các cơ quan và cá nhân kê trên

_Do nhiéu nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toản cao cấp chắc chắn còn rất nhiều thiểu sói Chúng tôi mong nhận được ý kiên đóng góp của độc giả đê bộ sách được hoàn thiện hơn

Chủ tịch Hội đồng biên tập

GS-TSKH Hà Huy Khoái

§4 Tap hop tuong duong - - 6 6 ee ee et h nh 13

§5 Tiên đề chọn và các mệnh để tương đương - - - 16 Bài tập ào g g h h h h h h hs 19

§4 VAnh céc phan thtte © 6 6 ee ee et 86

“ượo ORIS Os req Key Nap Sugp os req

‘doy 32 YuRA vax} UNpour ygAng3 £7 NYU gs rep vụa 3061) ưenb qượầu øgo NNO wanysu OBA ttgg tp 9ñ đội) quịp £ go BIS D6p Sunyu 002 nẹp ipYyy 2n)

(Q11 {q ưn2 ñs your ef NYU 01ax 9} 92 qu1} oy13 e2 tọna Supnyo rey ‘Aba

HN 'UEO( 091 YURA Wal} UIZIY $A 10190N ữnpQUI 'qượ ex unpow ‘ex 19u unpow nyu 3ud13 wenb 43Iq v‡p unpo0i dỌ[ Qs 3001 2011 E2 £@q qui} 2ä1A O2 qượp 3uu2 rọon2 đuonq2 '#eu Zupnyo 3u034 HỘP 9X 20np 3un2 8ung2 end ual} NEp WEIS Bop yey quJ) nu 3002 px ua} BA WOH Ny urey tị unpour yng} 4] end yqu 3uỏ1‡ ưenb n} ureY rey “gs rep eno yequ đuöỏ1} ưenb 2n1)

-_ E2 “INĐOHI 1Ẩn} Ấ[ e2 ưyQ 02 UIộfH rÿ(J3{ 2ÿ2 tA VIYZU YUIp ogo £eq quụ

ÿ 32upnq©) 'ưyOtJ 0917 ưA ga UY NgIyU 093 381A 2ÖTĐ quH1) ow†8 (A ea Agu

ĐỘA O2 (9/4) EIS Op fT “TOY Ip Sugyy seqy os rep YUL} oF nạiqu ui harp tị 3u02 Ẩgp “A uop ny ugyd 129 ug} As IoY Iep vy YURA yOu eIYSU Yip

2013 VỊ 4 NYO yOur go ‘yu yodnyy 4] ga SupNYD Suogy, -uynb yyyu yoro

JOU YULI} OFIZ yOns 3uO0I} gs rep end BuNp oyd yury 3ưeui 3uó1} ươnb urệiu I3 2ÿ2 9Iq8u quip ogta ogo AeZu Ha onyd urgyu feu Supnyo ova enp 90np 3un2 ny tệ $A t6rữd tiệt Tey '{0ỊS ti tỤA [@QV UIỌNU 201) nự2 ÿ^ 0t Á Ẩệq {ut1) qượp vui ưu nụ uiọqu 3aÁng} £[ ưgd enb ọq Bund

tO† 2unq2) ‘woyu viysu yuip oga AeZu p VưI tIỌqU tại) '0iọqu snu Onn

ng2 3unqu wnb oq r0 8unq2 ‘uroyu ‡aÁnd3 Ấ[ 8A ø 3uong2) 8ưoxT, -oayy daty

Supny yo oy ugar nary £y 2ÿ2 ygqu 3ư0dq} urequ ¿q ưenb 2g2 '¿x que ‘doy

đẻ} 1oÁng]1 Á[ QA 999 uga Aeq yu} | 8uonq2 'Øuong2 9 wg3 oeq yoRS

'Ẩgư tiộtu reyy SỐnH

ugyu dar} eA 2ưnp quy gp 26p 1anZu oyo dis urgyu neyu oyyy hp ta naryu

e1 enp Buys go 19} Sunyo Supny ngs} warU [e3 {001 nữs '2nJ) yUTY quỊ)

qq UTI ap ugryU Any, '0s rep 3uox† yqu 3uỏ1) ưenb dụqd Suonyd ey onqy

qury Anp ny dyyd Supnyd ipa vanb ure] oop ton3u dụ(3 $A tiệt r3 30ui

đUO1} Ơ@A Ite{u 2ÿ 201 I2 2g2 ENP Buep ap tA Ẩeq qu1) q2g2 91 đượp uy8u }n1 “u0q 9} 3u03 utqu q22 30ui o2 e) dạqd oqo Leu dyyd Supnyd ‘19 |

ng ‘Aep opnszy Os [ÉP 2ÿS UỌI2 202 JgY NY IPA [ÿ1} UIẸ[ 21A 4OUT BT ‘ayy ho uạp đuøn1 t1) q3 tp dẹqd 3uonqd oet3 321A 2önp Ẩeu qui) o918 'ọp o1

“VLU uoq 8uön) n1) 'yynb 8u0‡ £np n‡ Zunyu oyo yoy, ugdnyy eA Itếqu 241

Mỏ dầu 5

Cuối mỗi chương của cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc Các bài tập này không chỉ để người đọc giải nhằm tự kiểm tra sự tiếp thu những điều đã học, mà nhiều bài tập là những bổ sung hay mở rộng kiến thức chưa có trong sách Vì vậy, sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều bài tập

Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thể dùng làm giáo trình đại số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho những sinh viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh Tuy nhiên,

vì các khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bổ ích cho tắt cả những ai muốn học thêm về đại số

Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại số đại cương bằng một ngôn ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việc làm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong muốn nhận được những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những thiếu sót của cuốn sách này

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Lê Tuấn Hoa đã đọc kỹ

toàn bộ bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để cuốn sách được tốt

hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn G5 V§ Nguyễn Văn Đạo đã quan tâm đến bộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học Tự nhiên và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ để cuốn sách được xuất bản

Hà Nội, tháng 10 năm 2002

Chương 1

Sơ lược về lý thuyết tập hợp

Trong chương mở đầu này, chúng ta sẽ trình bày một cách sơ lược về tập hợp, ánh xạ vàquan hệ, nhằm mục đích thống nhất các ký hiệu và thuật ngữ được dùng trong suốt bài giảng này Phần cuối của chương bàn về các dạng tương đương khác nhau của tiên để chọn Vì chưa tìm thấy tài liệu bằng tiếng việt nào có chứng minh đầy đủ cho các tương đương này, nên

chúng ta sẽ đưa ra một chứng minh để bạn đọc tham khảo thêm

§1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1.1 Định nghĩa Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nhưng lại là một khái niệm không được định nghĩa Một cách trực quan, ta có thể hiểu một tập hợp như là sự tụ tập những vật, những đối tượng hay những khái niệm toán học được xác định bởi một hay nhiều tính chất chung

Ta thudng sit dung cdc chit cdi La tinh A, B, C, ,X, Y, Z hoặc chữ cái Hy Lạp cổ như F, 9, A, để chỉ một tập hợp

Các vật của một tập hợp X gọi là các phần tử của tập hợp đó Một phần tử z của tập hợp X được ký hiệu là z € X

Nếu tất cả các phần tử của một tập hợp X đều là phần tử của một tập hợp Y thì ta nói tập hợp X là một tập hợp con của tập hợp Y và ký hiệu

là X CY hay Y Ð X Trường hợp X C Y và Y C X thi ta noi rằng tập hợp X bằng tập hợp Y và ký hiệu là X = Y Nếu X CY và X # Y.,thì X được gọi là tập hợp con thực sự của Y và ký hiệu là X C Y

7

Chương 1 So lugc vé ly thuyét tap hop 9 Dac biét, ta hay viét X” dé ky hiéu cho tích Descartes của n-lan tập hợp X

§2 Ánh xạ

Cùng với khái niệm tập hợp, ánh xạ thuộc vào một trong những khái niệm

cơ bản nhất của toán học

2.1 Định nghĩa

(i) Mot anh sa ƒ: X —¬Y từ tập hợp X đến tập hợp Y là một phép tương ứng mỗi một phần tử z € X duy nhất một phần tử ƒ(z) € Y Tap hop X được gọi là tập nguồn của ánh xạ ƒ và tập hợp Y gọi là

tập đích của ánh xạ ƒ

(ii) Mot anh xa f : X —+ Y được gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử z,z' € X tùy ý mà f(z) = f(z’), suy ra z = 2’ Dac biét khi X CY thì đơn ánh ƒ : X — Y xác định bởi f(x) =z, Vz € X duge goi la phép nhúng tự nhiên và ký hiệu là X oY

(ii) Một ánh xạ ƒ: X — Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử tùy ý y € Y luôn tồn tại ít nhất một phần tử z € X sao cho ƒ(z) = ÿ (iv) Một ánh xạ ƒ: X —¬› Y được gọi là song ánh nếu ƒ vừa là đơn ánh

vừa là toàn ánh

(v) Cho ƒ: X — Y và g: Y — Z là những ánh xạ, ta gọi ánh xạ h: X —¬ Z được xác định bởi h(z) = ø(ƒ(z)),V+ € X là ánh xạ hợp thành của hai ánh xạ ƒ, g và ký hiệu là h = g o ƒ

2.2 Chú ý

a) Cho ánh xạ ƒ : X — Y và A là một tập hop con cha X Ta goi tap

hợp ƒ(A4) C Y xác định bởi ƒ(A) = {ƒ() € Y |z € 4} là anh cha A qua ánh xạ ƒ Vậy ánh xạ ƒ là toàn ánh khi và chỉ khi ƒ(X )=Y

b) Cho là một tập con tùy ý của Y, ta gọi tập hợp ƒ~1(B) C X, được xác định bởi ƒ~Ì(PB) = {z e X | ƒ(z) € B}, là nghịch ảnh của Ö qua

Chương 1 Sa luge vé ly thuyét tap hop 11 (iii), f la song ánh khi uà chỉ khi tồn tại hai ánh xạ g : Y — X tà h:Y — ÄX sao cho go Ƒƒ =1x tà ƒoh = ly

Chứng minh của định lý dễ dàng được suy ra từ Bổ đề (2.3), chúng tôi xem như là một bài tập đơn giản cho người đọc

1) Q = {(n,nạ) 6€ N? | nị,nạ đều là những số chãn} Ta nhận thấy rằng, từ nạÔna suy ra nam, những n§n là không đúng với mọi số

lẻ n Trong trường hợp này ta nói rằng © là một quan hệ 2-ngôi đối xứng nhưng không là phản xạ

2) Q= {(n\,nạ) € N2 | nị chia hết cho nạ} Ta dễ nhận thay rang nQn với mọi n € N, nhưng từ nạQn¿ nói chung không suy ra nạn Vậy trong trường hợp này quan hệ 2-ngôi © là phản xạ nhưng không là đối xứng

3) Q = {(n,nạ) € N? | ước số chung lớn nhất (mị, 2) # 1} U {(1, l)}

Rõ ràng quan hệ hai ngôi mới này là phan xạ và đối xứng, nhưng từ

mị nạ và nang nói chung không suy ra n¡Ông (206 và 63 nhưng

ta không có 2Q3) Ta nói quan hệ hai ngôi trong ví dụ này là phản

xạ, đối xứng nhưng không là bắc cầu Dễ thấy rằng các quan hệ hai ngôi trong các ví dụ (1) và (2) đều là bắc cầu

Ví dụ 3.2 cho ta thấy có rất nhiều quan hệ hai ngôi thú vị trên một tập

hợp cho trước Sau đây chúng ta sẽ đưa ra hai loại quan hệ đặc biệt quan

trọng trong đại số.

Chương 1 Sơ lược về lý thuyết tập hợp 13

Cho A là một tập hợp con của tập hợp X và z € X Ta nói rằng z là

một cận dưới (cận trên) của tập A trong tập X nếu z < ø (ø < z),Va € A Đặc biệt, một phần tử z € X được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của tập hợp X, nếu z là cận trên (cận dưới) duy nhất của tập {z} trong X Quan hệ thứ tự bộ phận < trên tập hợp X được gọi là tuyến tính nếu hai phần tử tùy ý của X đều so sánh được với nhau Một quan hệ thứ tự tuyến tính trên X được gọi là quan hệ thứ tự ¿ố nếu mọi tập hợp con khác rỗng của X đều chứa một phần tử cực tiểu

3.6 Ví dụ

1) Cho X là một tập hợp, tập hợp 2Ã = {A | A C X} được gọi là tập hợp các bộ phận của X (dễ chứng minh được rằng, nếu X có n phần

tử thì 2X có 2" phần tử, điều này giải thích tại sao ta lại dùng ký

hiệu như trên) Ta xác định một quan hệ < trên 9x , được gọi là quan

hệ bao hàm như sau: A < B khi và chỉ khi A C B Dé dang chứng

minh được rằng quan hệ này là một quan hệ thứ tự bộ phận trên 3X,

Hơn nữa, nếu X chứa ít nhất 2 phần tử z # thì quan hệ đó không bao giờ là một quan hệ tuyến tính, vì {z} không so sánh được với

{y}

2) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số nguyên Z là một quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không là một quan hệ thứ tự tốt (chẳng hạn, tập hợp { - 2,—1,0} không có phần tử cực tiểu) 3) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số tự nhiên N

là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa nó là một quan hệ thứ tự tốt

§4 Tập hợp tương đương

4.1 Định nghĩa Hai tập hợp X và Y được gọi là tương đương, ký hiệu

là X ~Y, nếu tồn tại một song ánh ƒ : X —¬ Y Khi đó ta cũng nói rằng

X và Y có cùng lực lượng

4.2 Chú ý Rõ ràng quan hệ “tập hợp X tương đương với tập hợp Y" thoả mãn các tính chất sau:

Chương 1 Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 15 4.5 Dinh ly Cantor-Bernstein Cho X,Y là hai tập hợp Nếu X tương đương uới một tập hợp con của V uà V tương đương tới một tập hợp con của X thì X tương đương tới Y

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại Xị C X và Yị C Y sao cho Xi~

VY, Yị ~ X Giả sử ƒ : Y — X; là một song ánh Đặt ÄX¿ = f(%) Vi

X~Y,,Y, ~ Xo, suy ra X ~ Xo Vay, tồn tại một song ánh g : X — Xo

Đặt Xo = X và qua công thức truy chứng Xn+i = 0(Xa-¡) ta nhận được một dãy vô hạn các tập hợp lồng nhau

X = Xo 2X1 2D X22 X3 Dựa vào cách xây dựng của Xa và tính song ánh của ø dễ dàng suy ra rằng

Bây giờ ta dễ thấy các tập hợp X, Xị có thể biểu diễn được như sau

X=DUD,U (X41 \ X2) U (X3 \ X4) U(X; \ Xs)U ],

X;i=DUD2U (X41 \ X2) U (X3 \ X4) U (X5 \ Xe) U vel

Chương 1 Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 17

ho không rỗng những tập hợp con của X có tính chất: một tập hợp

con A của X thuộc uào họ % khi uà chỉ khi mọi tập hợp con, hữu hạn phần tử của A thuộc % Khi đó % chứa ít nhất một phần tử cực đại

theo quan hệ bao hàm trong tập hợp

Chứng mảnh Ta sẽ chứng mình định lý theo lược đồ sau đây: Tiên đề chọn

=> (i)=> (ii) = (iñi)=œ(iv)=> Tiên đề chọn

Tién dé chon ==> (i): Trước hết ta định nghĩa một vài thuật ngữ mới, cần thiết cho chứng minh Một tập hợp con Ö của một tập hợp được sắp tốt A được gọi là một đoạn của A, nếu với b€ B tùy ý, thì {z€ A|z <b}CB Bay gid, gid sit B là một đoạn của A và B # A.Vì A\B #0, tồn tại phần tử cực tiểu b trong tập hợp này Ta dễ dàng suy ra B = {z € A |# < bvà x # b} Khi đó ta nó đoạn B được sinh bởi b trong tập hợp 4 và ký hiệu B = [A,}]

Trở lại chứng minh định lý Cho X là một tập hợp tùy ý Theo Tiên

đề chọn ta có một ánh xạ ¿ xác định trên tập hợp tất cả các bộ phận của

X, sao cho với mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X xác định một phần tử œ(Y) € Y Ta gọi một tập hợp con A cia X là iối, nếu nó là một tập hợp được sắp thứ tự tốt và với mọi phần tử ø € 4 luôn có

a = 9(X \ [A, al)

Rõ ràng luôn tổn tại tập hợp con tốt trong X, vì {@(X)} là một tập hợp con tốt của X Hơn nữa, ta nhận thấy rằng mọi tập hợp con tốt đều có phần tử cực tiểu là @(X) Vậy, néu A, B la hai tap hop tốt của X thì chúng

có ít nhất một doan chung lA {y(X)} Dat C la hợp của tất cả các đoạn chung của hai tập hợp này Dễ thấy rằng Ở là một đoạn chung của cả hai tập hợp A va B Gia stt ring C không trùng với cả A và B Vì Œ là tập hợp tốt của hai tập hợp 4 và B, nén theo nhận xét ở phần đầu chứng mình

C = [A, p(X \C)] = [B, o(X \C)] Vay C! = CU{y(X \C)} la mot doan chung của A và chứa thực sự đoạn C Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của Ơ Vậy, trong hai tập hợp tốt A và phải có một tập hợp là đoạn của tập hợp kia Bây giờ với ký hiệu D là hợp của tất cả các tập hợp con tốt của X, ta sẽ chứng minh cũng là một tập hợp con tốt của X Thật vậy, nếu a,b là hai phần tử tùy ý của D, thì a,b phải nằm trong bai tập

(ii) X \ (O;er4¿) = mer(X \ 4i)

2) Cho ƒ: X — Y là một ánh xạ và Œ, D là hai tập hợp con của Y

Chứng minh các tính chất sau là đúng

6) ƒ*!(ŒUD) = ƒ*'!(Ø)U ƒ"1(D)

(ii) fFO(CM D) = ƒ"!(@)n ƒ"1(D)

(ili) f-"\(Y\C) = X\ fr'(C)

3) Cho ƒ: X —> Y vag: Y — Z là những song ánh Chứng mỉnh rằng

9° f lại là song ánh và (go ƒ)”!= ƒ loa",

4) Cho f : X — X là một ánh xạ xác định trên tập hợp hữu hạn X

Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:

9) Ký hiệu 2Ÿ là tập hợp tất cả các tập hợp con của tập hợp X Chứng

mỉnh rằng lực lượng của hai tập hợp X và 2X là khác nhau

10) Cho > là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp X Chứng mình

các mệnh đề sau đây là tương đương:

() Mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X chứa ít nhất một phần tử cực

tiéu

Chương 1 Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 21 (1) Mỗi xích giảm các phần tử của X

+ > xạ 2> Tn 2>

đều dừng, tức tồn tại một số tự nhiên k sao cho #y = #Zk+1 =

Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Loi gidi thiéu

của sinh viên các trường Đại học, nghiên cứu sinh, cản bộ nghiên cứu

và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt Bộ sách "Toán cao cấp" của Viện Toản học ra đời nhằm góp phân đáp ứng yêu câu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có

£ Ỉ rong những năm gân đây, nhu cẩu sách tham khảo tiếng Việt về toán

Bộ sách Toản cao cap sé bao gom nhiéu tập, đề cập đến hâu hết các lĩnh vực

khác nhau của toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tâm quan trọng trong sự phái triển

lý thuyết và ứng dụng thực tiễn Các tác giả của bộ sách này là những người có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đông thời là những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu Vì thế, mục tiêu của các cuốn sách trong bộ sách này là, ngoài việc cung cắp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất, còn cỗ gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan dén lĩnh vực mà cuốn sách đề cập dén

Bộ sách Toản cao cắp có được là nhờ sự ủng hộ quý báu của Viện Khoa học

và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Đặng Vũ Minh và Giáo

su Nguyén Khoa Son Trong viéc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được sự

giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội Nhiêu nhà toán học trong và ngoài Viện Toán học đã tham gia viêt, thâm định, góp ý cho bộ sách Viện Toán học xin chân thành cảm ơn các cơ quan và cá nhân kê trên

Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắc chắn còn rất nhiều thiểu sót Chúng tôi mong nhận được ý kiên đóng góp của độc giả đề bộ sách được hoàn thiện hơn

Chủ tịch Hội đồng biên tập

GS-TSKH Ha Huy Khoai

MUC LUC

§1 Tập hợp và các phép toán trên tập hop 7

§3.Quanhé «© ee ee ee h h hh h dl

§4 Tap hop tuong duong - 6 6 ee et ts 13

§5 Tiên đề chọn và các mệnh để tương đương - 16

§5 Pham triva ham tie 2 6 6 ee ee h h h nh 38

§6 Nhóm Abel hữu han sinh KV v22 4 4x3 + + x SĨ

Mở đầu

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này Điều này cũng dễ hiểu, vì ta biết rằng hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà

hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số Đã có

rất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài được xuất bản ở Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thành kinh điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học toán trên khắp thế giới Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc làm rất khó khăn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại từng phần các giáo trình đã có Cuốn sách này được viết dựa trên các bài giảng về đại số của tác giả trong vòng 10 năm trở lại đây cho học viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trường đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các

lớp cử nhân tài năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Quốc gia Hà Nội Nó được viết hướng tới hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cung cắp các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải có bất cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó, ngoại trừ một chút yêu

thích toán học

Mục tiêu thứ hai của cuốn sách là trình bày các khái niệm, cấu trúc đại

số dưới một ngôn ngữ tổng quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn

các tính phố dụng của các khái niệm Nói cách khác, tác giả muốn người

đọc nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số

3

Mở dầu 5 Cuối mỗi chương của cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc Các bài tập này không chỉ để người đọc giải nhằm tự kiểm tra sự tiếp thu những điều đã học, mà nhiều bài tập là những bổ sung hay mở rộng kiến thức chưa có trong sách Vì vậy, sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều bài tập

Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thể dùng làm giáo trình đại số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho những sinh viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh Tuy nhiên,

vì các khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bổ ích

cho tất cả những ai muốn học thêm về đại số

Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại số đại cương bằng một ngôn ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việc làm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong muốn nhận được những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những thiếu sót của cuốn sách này

Tác giả xin chân thành cảm on PGS TSKH Lé Tuấn Hoa đã đọc kỹ toàn bộ bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để cuốn sách được tốt hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS§ V§ Nguyễn Văn Đạo đã quan tâm

đến bộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học Tự

nhiên và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ để cuốn sách

được xuất bản

Hà Nội, tháng 10 năm 2002

Chương 1

Sơ lược về lý thuyết tập hợp

Trong chương mở đầu này, chúng ta sẽ trình bày một cách sơ lược về tập hợp, ánh xạ vàquan hệ, nhằm mục đích thống nhất các ký hiệu và thuật ngữ được dùng trong suốt bài giảng này Phần cuối của chương bàn về các dạng tương đương khác nhau của tiên đề chọn Vì chưa tìm thấy tài liệu bằng tiếng việt nào có chứng minh đầy đủ cho các tương đương này, nên chúng ta sẽ đưa ra một chứng minh để bạn đọc tham khảo thêm

§1 Tap hợp và các phép toán trên tập hợp

1.1 Định nghĩa Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nhưng

lại là một khái niệm không được định nghĩa Một cách trực quan, ta có thể

hiểu một tập hợp như là sự tụ tập những vật, những đối tượng hay những khái niệm toán học được xác định bởi một hay nhiều tính chất chung

Ta thường sử dụng các chữ cái La tỉnh A, B, C, ,X, Y, Z hoặc chữ cái Hy Lạp cổ như F, 9, A, để chỉ một tập hợp

Các vật của một tập hợp X gọi là các phần tử của tập hợp đó Một phần tử z của tập hợp X được ký hiệu là z € X

Nếu tất cả các phần tử của một tập hợp X đều là phần tử của một tập hợp Y thì ta nói tập hợp X là một tập hợp con của tập hợp Y và ký hiệu

là XC Y hay Y Đ X Trường hợp X C Y và Y €C X thì ta nói rằng tập hợp X bằng tập hợp Y và ký hiệu là X = Y Nếu X C Y và X # Y.thì X được gọi là tập hợp con thực sự của Y' và ký hiệu là X CY

7

Chương 1 Sơ luge vé ly thuyết tập hợp 9 Đặc biệt, ta hay viết X" để ký hiệu cho tích Descartes của n-lần

tập hợp 4

§2 Ánh xạ

Cùng với khái niệm tập hợp, ánh xạ thuộc vào một trong những khái niệm

cơ bản nhất của toán học

2.1 Định nghĩa

(ï) Một ánh zạ ƒ: X — Y từ tập hợp X đến tập hợp Y là một phép tương ứng mỗi một phần tử z € X duy nhất một phần tử ƒ(z) € Y Tap hợp X được gọi là tập nguồn của ánh xạ ƒ và tập hợp Y gọi là

tập đích của ánh xạ ƒ

(ii) Mot anh xa f : X —> Y được gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử z,z'€ X tùy ý mà f(x) = f(z’), suy raz = z/ Đặc biệt khi X C Y thì đơn ánh ƒ : X — Y xác định bởi ƒ(z) = z, Vz € X được gọi là phép nhúng tự nhiên và ký hiệu là X oY

(iii) Một ánh xạ ƒ : X — Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử tùy ý € Y luôn tồn tại ít nhất một phần tử z € X sao cho f(x) = y (iv) Một ánh xạ ƒ : X —¬ Y được gọi là sơng ánh nếu ƒ vừa là đơn ánh

vừa là toàn ánh

(v) Cho ƒ: X — Y vàg: Y —¬ Z là những ánh xạ, ta gọi ánh xạ h: X —¬ Z được xác định bởi h(z) = g(ƒ(z)), Vz € X là ánh xạ hợp thành của hai ánh xạ ƒ, g và ký hiệu là h = go ƒ

2.2 Chú ý

a) Cho ánh xạ ƒ: X —¬ Y và A là một tập hợp con của X Ta gọi tập hợp ƒ(4) C Y xác định bởi f(A) = {f(z) € ¥ |x € A} là ảnh cia A qua ánh xạ ƒ Vậy ánh xạ f là toàn ánh khi và chỉ khi ƒ(X) = Y

b) Cho B là một tập con tùy ý của Y, ta gọi tập hợp ƒ"}1(B) C X, được xác định bởi ƒ~1{B) = {z € X | ƒ(z) € B}, là nghịch ảnh của qua

Chương 1 Sơ lược uề lý thuyết tệp hợp 11

(iii) f la song ánh khi uà chỉ khi tồn tại hai ánh rạ g : Y —> X va h:Ÿ — X sao cho go Ƒƒ =1x tà ƒoh = ly

Chứng minh của định lý dễ dàng được suy ra từ Bồ đề (2.3), chúng tôi xem như là một bài tập đơn giản cho người đọc

1) Q = {(m,nạ) € N? | mị,nạ đều là những số chẵn} Ta nhận thấy rằng, từ nÔn¿ suy ra nạQm1, nhưng nữ là không đúng với mọi số

lẻ œ Trong trường hợp này ta nói rằng © là một quan hệ 2-ngôi đối xứng nhưng không là phản xạ

2) O= {(m\,nạ) € N2 | nị chia hết cho nạ} Ta dễ nhận thấy rang nQn

với mọi nø € N, nhưng từ mịÔn¿ nói chung không suy ra n2f)m Vậy trong trường hợp này quan hệ 2-ngôi © là phản xạ nhưng không là đối xứng

3) Q = {(mi,na) € NỀ | ước số chung lớn nhất (m,n2) # 1} U {(1,1)}

Rõ ràng quan hệ hai ngôi mới này là phản xạ và đối xứng, nhưng từ

mịÖng và nạn nói chung không suy ra nịÔnạ (206 và 693 nhưng

ta không có 2Q3) Ta nói quan hệ hai ngôi trong ví dụ này là phản

xạ, đối xứng nhưng không là bắc cầu Dễ thấy rằng các quan hệ hai ngôi trong các ví dụ (1) và (2) đều là bắc cầu

Ví dụ 3.2 cho ta thấy có rất nhiều quan hệ hai ngôi thú vị trên một tập hợp cho trước Sau đây chúng ta sẽ đưa ra hai loại quan hệ đặc biệt quan trọng trong đại số.

Chương 1 Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 13

Cho A là một tập hợp con của tập hợp X và z € X Ta nói rằng z là một cận đưới (cận trên) của tập A trong tập X nếu z < a (ø < z), Va € A

Đặc biệt, một phần tử z € X được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của

tập hợp X, nếu z là cận trên (cận dưới) duy nhất của tập {z} trong X Quan hệ thứ tự bộ phận < trên tập hợp X được gọi là tuyến tính nếu hai phần tử tùy ý của X đều so sánh được với nhau Một quan hệ thứ tự

tuyến tính trên X được gọi là quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập hợp con khác

rỗng của X đều chứa một phần tử cực tiểu

3.6 Ví dụ

1) Cho X là một tập hợp, tập hợp 2Ý = {4 | A € X} được gọi là tập

hợp các bộ phận của X (dễ chứng minh được rằng, nếu X có n phần

tử thì 2X có 2" phần tử, điều này giải thích tại sao ta lại dùng ký

hiệu như trên) Ta xác định một quan hệ < trên 2X , được gọi là quan

hệ bao hàm như sau: A < B khi và chỉ khi A C B Dé dang ching

mỉnh được rằng quan hệ này là một quan hệ thứ tự bộ phận trên 2X,

Hơn nữa, nếu X chứa ít nhất 2 phần tử z # y thì quan hệ đó không

bao giờ là một quan hệ tuyến tính, vì {z} không so sánh được với

{y}

2) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số nguyên Z là

một quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không là một quan hệ thứ tự tốt (chẳng hạn, tập hợp { — 2,—1,0} không có phần tử cực tiểu)

3) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số tự nhiên N

là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa nó là một quan hệ thứ tự

tốt

§4 Tập hợp tương đương

4.1 Định nghĩa Hai tập hợp X và Y được gọi là fương đương, ký hiệu

là X ~Y, nếu tồn tại một song ánh ƒ : X — Y Khi đó ta cũng nói rằng

X và Y có cùng lực lượng

4.2 Chú ý Rõ ràng quan hệ “tập hợp X tương đương với tập hợp Ý" thoả mãn các tính chất sau:

Chương 1 So luoc vé ly thuyét tap hep 15 4.5 Dinh ly Cantor-Bernstein Cho X,Y la hai tap hợp Nếu X tương

đương uới một tập hợp con của Y va Y tuong duong vdi mot tap hợp con

của X thì X tương đương tới Y

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại Xị C X và Yị C Y sao cho Xi ~

Y, Yị ~ X Giả sử ƒ : Y —¬ X 1a mét song ánh Đặt 542 = ƒŒ) Vì X~Y;,Y, ~ Xo, suy ra X ~ Xo Vay, tồn tại một song ánh g : X — 3a

Đặt Xo = X và qua công thức truy ching Xn+1 = g(Xn-1) ta nhận được một dãy vô hạn các tập hợp lồng nhau

Bây giờ ta dé thấy các tập hợp X, Xị có thể biểu diễn được như sau

X = DUD, U((X1 \ Xa) U (Xs \ Xa) U (Xs \ Xe) Ud,

X, = DU DgU (Xj \ Xo) U (Xs \ Xa) U (Xs \ Xe) U- }

Chương 1 Sơ lược vé ly thuyết tập hợp 17

họ không rỗng những tập hợp con của X có tính chất: một tập hợp

con A của X thuộc ào họ % khi tà chỉ khi mọi tập hợp con, hữu hạn phần tử của A thuộc % Khi đó % chứa ít nhất một phần tử cực đại

theo quan hệ bao hàm trong tập hợp

Chưứng mảnh Ta sẽ chứng mình định lý theo lược đồ sau đây: Tiên đề chọn

==> (i)=> (ii) = (ii)=(v)=> Tiên đề chọn

Tiên đề chọn —> (0): Trước hết ta định nghĩa một vài thuật ngữ mới, cần thiết cho chứng minh Một tập hợp con của một tập hợp được sắp tốt A được gọi là một đoạn cia A, nếu với b € Ö tùy ý, thì {£ec A|z<b}C8 Bay giờ, giả sử Ø là một đoạn của 4 và z# A Vì A\B #Ú, tồn tại phần tử cực tiểu b trong tập hợp này Ta dễ dàng suy ra = {z € A | # < bvà + z b} Khi đó ta nó đoạn ? được sinh bởi b trong tập hợp A và ký biệu B = [A,Ù]

Trở lại chứng minh định lý Cho X là một tập hợp tùy ý Theo Tiên

đề chọn ta có một ánh xạ ÿ xác định trên tập hợp tất cả các bộ phận của

X, sao cho với mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X xác định một phần tử œ@(Y) € Y Ta gọi một tập hợp con A của X là tất, nếu nó là một tập hợp được sắp thứ tự tốt và với mọi phần tử ø € A luôn có

a = 9(X \ [A,a})

Rõ ràng luôn tồn tại tập hợp con tốt trong X, vì {@(X)} là một tập hợp con tốt của X Hơn nữa, ta nhận thấy rằng mọi tập hợp con tốt đều có phần tử cực tiểu là ¿(X) Vậy, nếu 4, là hai tập hợp tốt của X thì chúng

có ít nhất một đoạn chung là {œ@(X)} Đặt Œ là hợp của tất cả các đoạn

chung của hai tập hợp này Dễ thấy rằng Œ là một đoạn chung của cả hai tập hợp A và B Giả sử rằng Œ không trùng với cả A và B Vì Ở là tập hợp tốt của hai tập hợp A va , nên theo nhận xét ở phần đầu chứng minh

Œ ={A,¿(X\©@)] = [B,e(X \@)] Vậy C'= CU {œ(X \€)} là một đoạn

chung của A và chứa thực sự đoạn C Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của C Vay, trong hai tap hợp tốt A và B phải có một tập hợp là đoạn

của tập hợp kia Bây giờ với ký hiệu D là hợp của tất cả các tập hợp con tốt của X, ta sẽ chứng minh D cũng là một tập hợp con tốt của X That vậy, nếu a,b là hai phần tử tùy ý của D, thì a,b phải nằm trong hai tập

Chương 1 Sơ lược vé lý thuyết tập hợp 19

AU {c} là một xích mới thự sự chứa A Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của A, do đó b là một phần tử cực đại của X

(ii) => (io): Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và X mot tập hợp các tập hợp con của X thoả mãn giả thiết của (iv) Chú ý rằng, X với quan hệ bao hàm C trở thành một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận

Để chứng minh trong # có một phần tử cực đại ta chỉ cần chứng minh rằng mọi xích trong % đều có cận trên trong % Bây giờ gọi V là hợp của tất cả

các tập hợp trong một xích của % Rõ ràng V là một cận trên của xích này

trong tập hợp 2X Việc còn lại của ta là chỉ ra V € % Giả sử {01, , Đn}

là một tập hợp con, hữu hạn nào đó của V Do mai 0; thuộc vào một tập hop A; nado dé trong xích ta đang xét, nên tồn tại một tập hợp, chẳng hạn

Ai, chứa tất cả những tập còn lại Suy ra {0ạ, 0n} € % Theo giả thiết của (iv) ta đi đến V € %

(iu) — Tiên đề chọn: Cho X là một tập hợp tùy ý Xét tập hợp % mà tất

cả các phần tử của nó là những tập hợp con của X thoả mãn Tiên đề chọn

Rõ ràng tập hợp này là không rỗng, vì mọi tập hợp con, hữu hạn phần tử của X đều thuộc %, hơn nữa % là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm Vấn đề còn lại là chứng mình X € % Thật vậy, cho

T = (4,) một xích tùy ý của X Dat A =U,A, Vì A; thoả mãn Tiên đề chọn nên trên nó tồn tại ánh xạ chọn ; Khi đó ta xác định trên Á một ánh xạ ¿ sao cho trên mỗi 4; nó trùng với œ; Rõ ràng ý là một ánh xạ chọn của 4 Vậy A € % là một cận trên của xích T trong X Sir dung tinh chất này với chứng minh hoàn toàn tương tự nhu trong (iii) ==> (iv) ta suy

ra trong % có ít nhất một phần tử cực đại V Giả sử V # X, tức tồn tại một phần tử z € X \ V Từ đây suy ra ngay rằng VU {z} € % Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của V Vậy V = X và định lý được chứng minh

Bai tap

1) Cho X và {4;};e¡ là những tập hợp Chứng minh các công thức sau đây:

(i) X \ (Mier Ai) = Vier (X \ Ai).

Chương 1 So luge vé ly thuyét tap hop

(ii) Mỗi xích giảm các phần tử của X

ay > mg > >In]

đều dừng, tức tồn tại một số tự nhiên k sao cho #¿ = #k+1 =

21

Chương 2

Nhóm

Lý thuyết nhóm thuộc vào một trong các lý thuyết được phát triển sớm nhất, do vậy rất phong phú và có nhiều ứng dụng nhất trong đại số Ngoài các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm được trình bày trong chương này, ta sẽ đưa thêm khái niệm phạm trù, không những nhằm làm gọn hơn các định nghĩa về nhóm tự do, tích và đối tích trong nhóm, mà nó còn rất hữu ích cho tất cả các chương về sau trong bài giảng này

§1 Định nghĩa và ví dụ về nhóm

1.1 Định nghĩa Một tập hợp G được gọi là một nhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G x Œ vào Œ (ảnh của phần tử (a, b) € G x G, với a,b là những phần tử tùy ý của Œ, qua ánh xạ này ta ký hiệu là ab - khi

đó G sẽ được gọi là một nhóm nhân) thoả mãn các tính chất sau đây (Gị) Kết hợp: ø(be) = (ab)c, Va, b,c € G

(Go) Có đơn vị : Tồn tại một phan tite € G sao cho ae = ea =a, Va€ G (Gas) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a € G luôn tồn tại một phần tử

b € G sao cho ab = ba = e Phan tit ab được gọi là tích của a va b va

ánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhóm nhân G

Phan tit e trong (G2) được gọi là phần tử đơn tị của G Phần tử b trong (Gs) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong G va ký hiệu

là a~1, Khi chỉ có một nhóm G cho trước ta ký hiệu phần tử đơn vị

23

Chương 9 Nhóm 25 Phần còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự

4) Trong Œ các phương trình ra = Ù tà az = b có nghiệm duy nhất Thật vậy, z = ba~1 là nghiệm của phương trình đầu và là duy nhất

do tính chất 3

5) Cho a € GŒ, ta rác định a0 = e, a" = a a (n-phan tha) via” = (a~!)* Khi đó ta được a"a”" = an+m (a")™ = a™™, hon nita, néuG

la Abel thi (ab)” = a"b",Va,b € G

Các công thức trên được suy ra dễ dàng từ định nghĩa

của X lên phần tử đơn vị của G va ánh xạ nghịch đảo ƒ ~† được xác

định bởi (ƒ~!)(#) = (f(z))71, Va € X Ta cing dé chứng mỉnh được rằng M(X, G) là một nhóm Abel khi và chỉ khi G là một nhóm Abel Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp œ có định thức khác không GL(n.R) trên tập hợp các số thực R với phép nhân ma trận thông thường lập thành một nhóm, được gọi là nhóm tuyến tính đầy đủ cấp

n với hệ số trong R Rõ ràng nhóm này là Abel khi và chỉ khi ø = 1 Cho X là một tập hợp khác rỗng Tập hợp tắt cả các song ánh từ X lên chính nó, ký hiệu S(X), là một nhóm nhân với phép toán nhân chính là phép lấy hợp thành hai ánh xạ đã được định nghĩa trong Chương 1, (2.1), (v) Phần tử đơn vị của S(X) là ánh xạ đồng nhất 1x và phần tử nghịch đảo của một song ánh ƒ € %(X) chính là ánh

Chương 9 Nhóm 27

§2 Nhóm con, Định lý Lagrange

2.1 Định nghĩa Một tập hợp con H cia một nhóm nhân G được gọi là

một nhớm con của Œ nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

() Phép toán nhân là đóng đối với H, tức zy € H,Yz,u € H;

(1ñ) H chứa phần tử đơn vị e của G;

(1i) z 1c H,Vze€ H

Nói cách khác, H z# 0 và là một nhóm với phép toán nhân chính là phép

toán của G

Để chỉ H là một nhóm con của G ta dùng ký hiệu H < Œ Một nhóm

con khác với nhóm con một phần tử {e} và khác với chính nhóm G được

gọi là nhóm con (hực sự của G

2.2 Mệnh đề Một tập hợp con H là một nhóm con của một nhóm G khi

va chi khi H AQ oà xu”! c H,Vx,ụ € H

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa nhóm con Ta chứng mỉnh điều kiện đủ của mệnh đề Vì H khác rỗng nên tồn tại ít nhất một phần tử z € H Suy ra e = zz”Ì œ H, tức điều kiện (ii) của (2.1) được thoả mãn Từ đây ta nhận được z~! = ez~! e H nếu z € H, tức điều kiện (ii) được thoả mãn Cuối cùng, nếu z,y € H thì z,y | € H, vay theo gid thiết ta suy ra z = z(0 7!) "Ì € H, tức điều kién (i) của (2.1) cũng được

thoả mãn Chứng tỏ H là một nhóm con của G O

Chương 2 Nhém 29 Chitng minh Dat

T = {ay an | a; € (AUA™'), n€ N}

Nếu H là một nhóm con của G chứa A thi ATLICH Suy ra theo định

nghĩa của nhóm con thì T C H, điều này chứng tổ T C< A > Vậy, dé ching minh T =< A > ta chi can chi ra rằng 7' là một nhóm con chứa Á

Đối với cdc nhém xyclic thi nhóm con của chúng có thể nhận biết một cách dễ dàng qua mệnh đề sau đây

2.7 Mệnh đề Mọi nhóm con thực sự của một nhom cyclic la xyclic

Chitng minh Gia sit G =< a > là một nhóm xyclic va H là một nhóm con thực sự của nó Vì H 4< e > nén tén tai m6t s6 nguyén k # 0 sao cho a* € H và do vậy ø * € H Điều này cho phép ta có thể giả thiết rằng k > 0 Gọi s là số tự nhiên bé nhất có tính chất a’ € H RG rang

< a3 >C H Ta sẽ chứng minh < a° >= H Thật vậy, nếu tồn tại một phần

tử a" € H mà a" ý< a° >, từ đây suy ra r không chia hết cho s Vậy phải tồn tại hai số nguyên z, sao cho

rz + s = Ír,s) = d< s

Do đó ta nhận được

(a")*(a*)¥ = aT? 94 = at EH

Điều này mâu thuẫn với giả thiết tối thiểu của s Vậy H =< a° > là một

R(x) = {y€G| yx) € H} = {y| She Hs y= ha} = He.

Chương 9 Nhóm 31

2.13 Hệ quả Cho a là một số tự nhiên không chia hết cho một SỐ nguyên

tố p Khi đó aP~Ì = 1(mod p)

§3 Nhóm con chuẩn tắc

3.1 Định nghĩa Một nhóm con H của một nhóm Œ được gọi là nhóm

con chuẩn tắc của G nêu các lớp ghép trái của H trong G tring với các lớp ghép phải tương ứng của H trong G, tức

Hx =zH, VreG

Trong nhiều tài liệu nhóm con chuẩn tắc còn được gọi là ước chuẩn tắc Khi H là một nhóm con chuẩn tắc của G thì tập hợp các lớp ghép trái của H trùng với tập hợp các lớp ghép phải của H trong Œ Vì vậy, từ nay

về sau khi nói đến lớp ghép của một nhóm con chuẩn tắc ta không cần phân biệt lớp ghép trái hay lớp ghép phải nữa

Để chỉ H là một nhóm con chuẩn tắc của Œ người ta viết là HG 3.2 Ví dụ

1) Bản thân nhóm G và nhóm con gồm chỉ một phần tử đơn vị {e} luôn

là những nhóm con chuẩn tắc của G

2) Nếu Œ là một nhóm Abel thì mọi nhóm con của nó luôn là nhóm con chuẩn tắc

3) Nhóm thay phiên A„ cấp n trong Ví dụ (2.3), (1) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm đối xứng Sa, vì Sn : An = 2 (xem bài tập 13)

3.3 Mệnh đề Một nhóm con H là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

G khi oà chỉ khí z—Lhz € H, Vz e G, Vh € H

Chitng minh (=>): Vì H là nhóm con chuẩn tắc của Œ, nên với z € G,h€ H cho trước, luôn tồn tại hc H sao cho haz = zh’ Tit day suy ra +_lh+ = z~Ìxh' = hc H

(©—): Giả sử H là một nhóm con va z~thz € H, Vz € G, Vh € H Ta suy

ra ha € cH, Vh c H, tức Hz C zH tương tự, từ (z1) !hz~}€ H, Vz €

xz = y(modH) nếu z, cùng thuộc vào một lớp ghép của H và nói rằng z, là đồng đư

theo médun H

§4 Đồng câu nhóm

4.1 Định nghĩa Cho G va H là hai nhóm Một ánh xạ

ƒ:G—:H được gọi là một đồng cấu từ nhóm Œ vào nhóm H, nếu

ƒ(zv) = ƒ(œ)ƒ(w), Y+, € G

đồng cấu ƒ được gọi là đơn cấu hoặc toàn cấu nếu ƒ là một đơn ánh hoặc toàn ánh Trường hợp ƒ là một song ánh thì khi đó ta nói đồng cấu ƒ là một đểng cấu hay nhóm G là đẳng cấu với nhóm H và ký hiệu la G = H Một đồng cấu từ nhóm Œ vào chính nhóm đó thì được gọi là một fự đồng cấu

4.2 Ví dụ

1) Cho Œ là một nhóm và là một nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó

ánh xạ

p:G — G/N, xác định bởi p(z) = Nz, Vr EG

Chương 2 Nhém 35 3) Cho f :G — H là một đồng cấu nhóm, là một nhóm con cia G

va B la mét nhém con cia H Dua vio Mệnh đề 2.2 ta có thể kiểm

tra dễ dàng được rằng ƒ(4) là một nhóm con của H và ƒ~!(B) cũng

là một nhóm con của Œ Đặc biệt, khi A = G thì ƒ(G) là một nhóm con của H, gọi là ảnh của Œ qua đồng cầu ƒ và được ký hiệu là Imƒ Mặt khác, vì {e;r} là một nhóm con của H nén ƒ~}(em) cũng là một nhóm con của G, gọi là hạt nhân (hoặc gọi là hạch) của đồng cầu ƒ và được ký hiệu la Ker ƒ Ta nhận thấy rằng với những phần tử z, € G

tùy ý thi f(x) = f(y) khi và chỉ khi ƒ(zy”1) = ƒ()(0))”' = em,

tức zy—! € Ker ƒ Điều này chứng tổ rằng ƒ là một đơn cấu khi và chỉ khi Ker ƒ = {ee}

4.4 Bỏ dé Cho f :G —> H la mét dong céu nhém va N là một nhóm cơn chuẩn tắc của H Khi đó ƒ~1(N) là một nhóm con chuẩn tắc của G Chứng mính Như đã biết ở trên, f7!(N) là một nhóm con của G Để chứng minh nó là một nhóm con chuẩn tắc ta lấy a € Œ và z € ƒF1(N) là những phần tử tùy ý Vì ƒ(z) € N và N là nhóm con chuẩn tắc của H nên

(ƒ(a))~!ƒ(z)ƒ(a) € N Tit day ta suy ra

ƒ(a~!za) = (f(a))“* F(x) f(a) € N

Điều nay chimg té a-!za € f~!(N) va f~!(N) 1& mét nhóm con chuẩn tắc

4.5 Hệ quả Cho ƒ : G — H la mét đồng cấu nhóm Khi đó Ker ƒ là

⁄ + ⁄ +

một nhóm con chuẩn tắc của G

Bay gid, gid sử ƒ : Œ — H là một đồng cầu nhóm Đặt N = Ker ƒ Theo trên thì W là một nhóm con chuẩn tắc của G nên có nhóm thương G/N

4.6 Dinh ly Cho f : G — H là một đồng cấu nhóm vdi hat nhân N=Ker ƒ Khi đó ánh rạ

g:G/N—H cẩm sinh từ ánh xạ f bang céch dat g(xN) = f(z), Vz € G la mot đồng cầu nhóm tà là một đơn cấu Hơn nữa nếu ƒ là toàn cấu thà g là một đẳng

câu.

được xác định Bây giờ ta xét ánh xạ

Keró={b€ M |bN =eN} ={be M |beN}ị=NnM,

nên cuối cùng ta suy ra

_ NM/N M/Ke¿= M/(NnM)

L] 4.9 Định ly Cho f : G —> H 1a một toàn cấu va N là một nhóm con chuẩn tắc chứa Ker ƒ của G đặt M = ƒ(N) Khi đó, M là một nhóm cơn chuẩn tắc của H oà ta có đẳng cầu

G/N > HẠM.

Chương 2 Nhóm 39 5.1 Định nghĩa phạm trù Một phạm trù K được cho bởi:

(Kn) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi là

một uậf của phạm trù K

(Ky) Hai vật A, tùy ý của Ob(K) luôn xác định một tập hợp Mor(A, B),

gọi là tập hợp các cấu zạ từ vật A đến vật Ö, sao cho với hai cặp khác

nhau của các vật (A, 8) # (Œ, D) thì

Morg(4, B)n Morg(€, Ð) = 0

(Ka) với mỗi bộ ba (4, B, C) tùy ý các vật của Ob(K) luôn có một ánh xạ Morx (B,C) x Morx(A, B) 3 (8, a) +> Ba € Morx(A,C),

gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn:

(¡) Kết hợp: +(đœ) = (y8)œ, Yœ € Morg(A, B), 8 € Mork (B,C),

+ € Morx(C, D)

(ii) Có đồng nhất: Voi méi vat A € Ob(K) tay ý luôn tồn tại một cấu xạ 1a € Morg(A, 4), gọi là phần tử đồng nhất, sao cho

al, =lga=a, Vae Mor, (A, B)

Khi phạm trù K đã xác định trước thì để cho tiện ta viết Mor(A, B) thay cho Morg(4, 8) và ký hiệu

Mor(K) = U Mor(A, B)

A,BeOb(K) Ngoài ra ta cũng viết A € K thay cho A € Ob(K), a € K thay cho

a € Mor(K) va viét a : A —> B thay cho a € Morx(A, B)

5.2 Mệnh đề Đồng nhất 1A sác định như trong (K3), (it) la duy nhất Chứng mảnh Giả sử e4 là một đồng nhất khác thoả mãn (K3), (ii) thì

5.3 Định nghĩa Cho K là một phạm trù và œ : A —¬ B là một cấu xạ Khi đó ta có các định nghĩa sau đây

Phạm trù các không gian tô pô *

- Ob(#) = lớp tất cả các không gian tô pô

- Mor(A, B) = Tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục từ không gian tô

pô A vào không gian tô pô B

-Tich các cấu xạ = ánh xạ hợp thành

Trong bốn ví dụ trên các vật của phạm trù được xét là những tập

hợp không có (trong Ø) hoặc có một cấu trúc thêm vào và các cấu

xạ chính là các ánh xạ bảo toàn các cấu trúc này Các ví dụ tiếp theo đây không còn các tính chất đó nữa

Phạm trù lập từ một tập hợp được sắp

Cho (X,<) là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận Một phạm trù

X được xây dựng từ X như sau:

- Ob(X) = X.

tử mới từ phạm trù Q vào phạm tri R Khi đó, bằng cách lấy hợp thành

ta được một hàm tử mới G o f': P —> R gọi là hàm tử hợp thành của F

và Œ Dễ dàng thấy rằng, nếu Ƒ và Œ đều cùng hiệp biến hoặc nghịch biến thi Go F là hiệp biến, ngược lại thi Go F là nghịch biến

5.7 Ví dụ

1) Hàm tử quên F từ phạm trù các nhóm Abel & vao pham trù tập hợp

G dude dinh nghia như sau:

Fo: Ob() 3 A— A e Ob(Ø), Fw: Mor(%) 3 œ— œ € Mor(Ø)

Hàm tử này là hàm tử hiệp biến và "quén" di cấu trúc nhóm Abel 2) ) Hàm tử biểu diễn Cho K là một phạm trù và A cK Khi đó ta xác định một hàm tử Morg (A, —) từ K vào phạm trù tập hợp Ø như

sau:

- Morg(A,—): Ob(K) 3 XÃ — Morg(4A, X) € Ob(Ø),

va voi X,Y Ob(K), œ€ Morg(X,Y) thì

- Morg(A,—): Mor(K) 3 œ—> Mork(4, œ) € Mor(Ø),

ở đây Morg(A, œ) được xác định bởi

Mork (A, @) : Morx(A,X) 3 Br œ8 e Morg(A, Y)

Dé kiém tra thấy rằng Morg(4, —) là một hàm tử hiệp biến

Một cách hoàn toàn tương tự ta có thể xây dựng được một hàm tử khác Mor(—, 4) từ K vào Ø như sau:

Tương tự ta ký hiệu

Q= H A;

ier

nếu (Q,(Ø,);e¡) là đối tích của họ (:)¡er-

5.9 Dinh lý Cho K là một phạm trù 0à (Ai)ier là một họ các uật của E Khi đó các mệnh đề sau đây là đứng:

(i) Néu (P,(ai)ier) tà (P',(oœj)¡ei) là các tích của họ (Ai)ier trong K,

luôn tồn tại một đẳng cấu œ : P —> P' sao cho

œ¡ = œ;¿œ, Vị € Ì,

(ii) Nếu (Q,(6)¡er) tà (Q', (Bi)ier) la cdc đất tích của ho (Ai)ier trong

K, luôn tồn tại một đẳng cấu 8 : Q — Q' sao cho

Bl = BB, Vie I

Chitng minh (i) Thay bd (C,(%)) trong định nghĩa tích 5.8 bằng bộ (P’, (a4)) ta có một cấu xạ d' : P“ — P sao cho

a, = aja’, Wie I.

Chứng mình 1) Tồn tại tích: Xét tích Descartes của họ (Gi):

G= 1e: = {(#¡)¡e1 | x; € G;, VieE 1

ie]

với (Z¡)¡er và (wi)¡er là hai phần tử tùy ý của Œ, ta xác định một phép

nhân như sau

(xi)ier(Yi)icr = (Zi¥i)ier-

Dé dàng kiểm tra được rằng phép nhân trên làm Œ trở thành một nhóm

Hơn nữa ta có các ánh xạ

piiG — Gi, pi((#i)ie1) = z¡, Ví € I

Hiển nhiên các ánh xạ đó là những toàn cấu nhóm được gọi là foàn cầu chính tắc Bay gid ta sẽ chứng mình (G, (p›;);e¡) là một tích của họ (C;)¡e¡-

Thật vậy, giả sử

hy: H — G,, Wiel

là một họ các đồng cấu nhóm Khi đó đồng cấu nhóm

+:H—¬G, +(z) = (h())iei, V+z € H thoả mãn tính chất

S, tức ta có một tương ứng một-một cho ứng mỗi phần tử œ € Â) với một nhóm S,, ma về tập hợp thì SŠ„ chính là tập S (Chi y rằng sự tồn tại

(ii) X¡ là nhóm con chuẩn tắc của X, Vi € I

(iii) Xi) < UngiXe >= {ex}, Vie 1,

Ba tính chất trong nhận xét trên đưa chúng ta đến những định nghĩa

"nội tại" cho tổng trực tiếp như sau

5.13 Định nghĩa Một nhóm X gọi là phân tích được thành tổng trực

fp của một họ các nhém con (Xi Jier, nếu %;#j = #/Zi¡, Va, € Xi, Vaz €

X;, ¡# 7 và mọi phần tử z € X đều có thể viết một cách duy nhất (không phụ thuộc thứ tự) đưới dạng tích hữu hạn các phần tử của X;:

+ =1 lẻ ty Tụ EX A= 1, ,7

Dưa vào nhận xét ở trên ta nhận được một tiêu chuẩn thuận tiện để nhận

biết khi nào một nhóm là phân tích được thành tổng trực tiếp của các

nhóm con của nó