Tài liệu Xác xuất và thống kê: Phần 1 - Trường CĐ Y dược Tuệ Tĩnh Hà Nội

Tài liệu Xác xuất và thống kê: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: các khái niệm cơ bản về xác suất; biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo!

BQ LAO DONG THUONG BINH VA XA HOI

TRUONG CAO DANG Y DƯỢC TUỆ TĨNH HA NỘI

TAI LIEU

XAC XUAT VA THONG KE

(Hệ đào tạo Cao Đẳng)

(Lưu hành nội bộ)

LOI NOI DAU Nhằm đáp ứng nhụu cau học tập, giảng dạy, nghiên cứu khoa học của cán bộ

giảng viên, sinh viên, học sinh, Trường Cao đẳng Y Dược Tuệ Tĩnh Hà Nội 16 chức

xây dựng bộ tài liệu, giáo trình phục vụ việc học tập, giảng dạy, nghiên cứu khoa học

của giảng viên, sinh viên, học sinh

Bộ Giáo trình này được xây dựng, sưu tầm, biên khảo, biên tập lại dựa trên

chương trình khung đào tạo cao đăng của Tổng cục Giáo dục nghề nghiệp - Bộ LĐTB&XH, chương trình khung đào tao Được sỹ cao đẳng của Cục Khoa học Công nghệ và Đào tạo - Bộ Y tế, giáo trình đào tạo Dược sỹ cao đẳng của Trường Đại học

Được Hà Nội, Trường Cao đẳng Dược Trung ương, Hai Dương, Trường Cao đẳng V

Dược Phú Thọ và các cơ sở đào tạo nhân lực y tẾ uy tín khác

Trong quá trình siru tầm, biên tập, biên khảo lại, các tác giả đã cố gắng lược bỏ những nội dung không còn phù hợp với thực tễ hoạt động nghiệp vụ của ngành, cập nhật thêm một số nội dung kiến thức, kỹ năng mới, nhằm đáp ứng những yêu cầu thực tiễn hiện nay

Mặc dù đã rất cỗ gắng, song vì điều kiện thời gian và năng lực có hạn, các tài

liệu này chắc chắn còn nhiều sai sót Nhà trường rất mong nhận được sự góp ý, bỗ sung của các Thay, Cé giáo, các đồng nghiệp và các em học sinh, sinh viên

Trường Cao đẳng Y Dược Tuệ Tĩnh Hà Nội chân thành cảm ơn các tác giả của

bộ giáo trình này và trân trọng tiếp thu những ý kiến quý báu của các tác giả, các nhà khoa học, các độc giả để bộ tài liệu này ngày càng hoàn thiện hơn

BAN GIÁM HIỆU

MUC LUC

PHAN 1 LY THUYET XAC SUAT

CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BAN VE XAC SUAT

3.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

3.4 Công thức Bernoulli TH HH HH HHHHHHHHHHHH TED.TTHTTTTREHrrtrrrir

CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHAN PHOI

XÁC SUÁT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

I BIẾN NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa

2 QUY LUẬT PHÂN PHÓI XÁC SUÁT CỦA BIÊN NGẪU NHIÊN 42

2.1 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

2.3 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên

3.CAC SO DAC TRUNG CUA BIEN NGAU NHIÊN

3.1 Ky vong

3.2 Mốt

3.3 Trung vị

3.4 Phương sai và độ lệch chuẩn

4 MỘT SÓ QUY LUẬT PHÂN PHÓ

4.1 Phân phối nhị thức B(n; p)

4.2 Phan phdi Poisson PA)

4.3 Phân phối chuẩn NG ;u?)

4.4 Phân phối khi bình phương yŸ(n)

4.5 Phan phối Studen (hay phân phối T) Tín) 4.6 Phân phối Fisher (hay phân phối F) F(m; n;) 5.LUẬT SÓ LỚN

5.1 Bất đẳng thức Trébusep

5.2 Định lý Trêbưsep

5.3 Định lý Bernoulli

5.4 Định lý giới hạn trung tâm CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

PHAN II: THONG KÊ TOÁN HỌC

CHƯƠNG I: LÝ THUYÉT MẪU LPHƯƠNG PHÁP MẪU

1.1 Tổng thể

1.3 Các phương pháp lây mẫu đơn giản

2.MẪU NGẪU NHIÊN -

3.CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ MẪU 3.1 Bang phân phối tần số và tần suất thực nghiệm

3.2 Hàm phân phối thực nghiệm

3.3 Biểu đồ 4.CAC SO DAC TRUNG CUA MAU

4.1 Trung bình mẫu 4.2 Mốt mẫu 4.3 Trung vị mâu

4.4 Khoảng biến thiên 4.5 Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu 4.6 Cách tính trưng bình mẫu và phương sai mẫu cụ thể CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

CHƯƠNG II : ƯỚC LƯỢNG THAM SÓ THÓNG KÊ 1.UGC LUGNG DIEM 1.1 Ước lượng khéng chéch 1.2 Ước lượng hiệu a 1.3 Ước lượng vững

2.1 Khái niệm khoảng tin cậy

2.2 Khoảng tin cậy của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ¬

2.3 Khoảng tin cậy của tỉ lệ hay xác suất của biến ngau nhién 109

3 PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU CĂN THIÉT 114

5

=

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

CHƯƠNG III: KIEM DINH CAC GIA THIET THONG KE

1 GIA THIET THONG KE VA PHUONG PHAP KIEM DINH

2.KIỀM ĐỊNH GIA THIET VE GIA rs) TRUNG BÌNH - 121

2.1; Thông hợp đã biết phương sai ø ? hoặc kích thước mẫu n > 30 121

3.KIỀM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TỶ LỆ (HAY XÁC SUÄT) 128

4, SO SANH HAI GIÁ TRITRUNG BINH C UA HAI MAU BOC LAP 131

2 30 4.1 Nếu đã biết các phương sai oxva ơa hoặc mẫu lớn (nạ >

6.SO SÁNH HAI TỶ LỆ (HAY XÁC SUÁT) CUA HAI MAU

7.SO SÁNH HAI PHƯƠNG SAI -cc5ccvvvveeeeerrerree l0\085/0)01/.6:7tuv 0 .ố

PHỤ LUE .900501100040018000110084811081050018836348401448.8803384604008088

Tài liệu thai KHẢG -scssessco800610080060000010110180135000884404136880888

_ PHAN1

LY THUYET XAC SUAT

Muc dich yéu cau:

Trang bị cho người đọc các kiến thức cơ bản và tối thiểu về xác suất, vận

dụng được lý thuyết xác suất vào trong thực tiễn và công tác nghiên cứu khoa

học

Lý thuyết xác suất là cơ sở về mặt lý thuyết đẻ xây dựng các nội dung cho

thống kê toán học, nhằm áp dụng vào nghiên cứu khoa học, các môn học khác

và trong thực tiễn

Nội dung:

- Chương I Các khái niệm cơ bản về xác suất

- Chương ]I Biểu ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên

Sinh viên định nghĩa được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, biến có và

xác suất của một biến cổ Van dung kiên thức giải tích tổ hợp và các định lý về

xác suất đề giải được các bài toán tính xác suất của một biến cỗ

ĐT : người A, B, C vào 3 ghế ngồi la mét hodn vj cua 3 phan tir (ba

Vậy số cách xếp là số các hoán vị của 3 phần tử: P; = 3 ! = 6 (cách)

Đó là các cách xếp sau: ABC , ACB , BAC, BCA, CAB, CBA

b Số các chỉnh hợp

Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần từ được ký hiệu là Ak và dễ dàng

chứng minh được ring: A‘ = n(n—1) (n—k +1) “Goel

Một tổ hợp chập k của n phần tử (k nguyên, n nguyên dương và 0 < k < n) của tập

hợp A là một cách lây ra k phân tử không kê thứ tự từ n phân tử đã cho

Một hộp có 10 ống thuốc, trong đó có 7 ống tốt Người ta lấy ngẫu nhiên ra 6

ông đề kiểm nghiệm Hỏi có bao nhiêu cách lây ra 6 ông thuốc ? có bao nhiêu

cách lây ra 6 ống thuốc đẻ trong đó có 4 ống thuốc tốt ?

Giải

Mỗi cách lấy ra 6 ống thuốc từ 10 ống thuốc là một tổ hợp chập 6 của 10 phần

tử (ống thuốc), nên số cách lấy 6 ống thuốc từ 10 ống thuốc là sô các tô hợp

10! _ _ 210 (cách)

chập 6 của 10 phan tir: Ci, “6iIo~6)

Trong 6 ống thuốc lấy ra có 4 ống thuốc tốt thì còn lại 2 ống thuốc không tốt

Mỗi cách lấy 4 ống thuốc tốt từ 7 ống thuốc tốt là một tổ hợp chập 4 của 7 phần

tử, nên số cách lấy 4 ống thuốc tốt từ 7 ống thuốc tôt là số các tô hợp chập 4 của

7!

——— =35 (cach) aq7-ay

Số ống thuốc không tốt trong hộp là: 10 - 7 = 3 (ống thuốc không tốt)

Mỗi cách lấy 2 ống thuốc không tốt từ 3 ống thuốc không tốt là một tô hợp chập 2 của 3 phần tử, nên số cách lầy 2 ống thuốc không tốt từ 3 ống thuốc không tôt là số

eer

7 phần tử: C4 =

các tổ hợp chập 2 của 3 phẩn tử: C? =

Với mỗi cách lấy 4 ống thuốc tốt thì có 3 cách lấy 2 ống thuốc không tốt, đo đó

theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ra 6 ống thuốc dé trong đó có 4 ống thuốc tốt

là CC? =35.3=105 (cách)

1.4 Chỉnh hợp lặp

a Định nghĩa

Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử (k, n nguyên đương) là một cách lấy ra

từng phân tử một có hoàn lại từ n phân tử đã cho và lấy k lan

Giải

- Con xúc xắc có sáu mặt, nên số trường hợp có thể có ở lần gieo thứ nhất là 6

Để ba lần gieo có số chấm thu được giống nhau thì ở lần gieo thứ hai và sue chỉ có một trường hợp là giống lần gieo thứ nhất Vậy số trường hợp để ba lần

gieo có số chấm thu được giông nhau là: 6.1.1 = 6 (trường hợp)

- Mỗi trường hợp để ba lần gieo | có số chấm thu được khác nhau là một chỉnh

hợp chập 3 của 6 phần tử, nên số trường hợp để ở ba lần gieo có số chấm thu

được khác nhau là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 phẩn tử: A¿ =6.5.4=120 (trường hợp)

- Số trường hợp để ba lần gieo có hai lần có số chấm ¡giống nhau bằng số trường hợp có thể có khi gieo liên tiếp ba lần một con xúc xắc trừ đi tổng số trường hợp

để ba lần gieo có số chấm thu được giống nhau và số trường hợp để ba lần gieo

có số chấm thu được khác nhau

Mà số trường hợp có thể có khi gieo liên tiếp ba lần một con xúc xắc là số các

chỉnh hợp lặp chập 3 của 6 phần tử: 6 = 216 (trường hợp)

Vậy số trường hợp để ba lần gieo có hai lần có số chấm giống nhau là:

63 - (6 + 120 ) = 90 (trường hợp)

Chú ý

- Nếu nói lấy ra k phần tử từ n phần tử thì hiểu đó là lấy ra cùng một lúc k phần tử

- Nếu nói lấy ra từng phần tử một từ n phần tử thì hiểu đó là lấy không hoàn lại

khi i gieo một đồng xu thì việc xuất hiện mặt sắp hay mặt ngửa là một hiện tượng

ngẫu nhiên Tỉ số trai và gái của trẻ sơ sinh trong một năm ở một địa phương nào đó là một hiện tượng ngẫu nhiên

Khi thực hiện một số các điều kiện nào đó để dẫn đến việc xuất hiện hiện tượng ngẫu nhiên thì ta nói một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) được thực hiện

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu

của phép thử và ký hiệu là O (đọc là ô-mê-ga)

nhiên, ta chỉ xét các phép thử có

Để nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu

: hat u kiện khác khau

thể lặp đi lặp lại nhiều lần như nhau trong những điề

b, Biến cỗ và phân loại hiến cỗ

Khi thực hiện một phép thử thì hiện tượng (kết quả) có thể Xây râ hay không

xảy ra được gọi là biến cố

Người ta chia biến cố ra làm ba loại:

- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử và được ký hiệu bởi các chữ cái Ạ, B, C

- Biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) là biến cố không thể xảy ra khi

thực hiện phép thử và được ký hiệu là ®

- Biến cố chắc chắn là biến có chắc chắn xảy ra khi thực hi

ký hiệu là ©

Chẳng hạn khi gieo một con xúc xắc thì biến cố "xuất hiện mặt 2 cham" là một

biến cố ngẫu nhiên, biến cố "xuất hiện mặt có số châm lẻ” là một biên cô ngẫu nhiên, biến cố "xuất hiện mặt có số cham bang 8" là một biên cô không, biên cô

"xuất hiện mặt có số chấm không quá 6" là một biên cô chắc chăn

ện phép thử và được

e Quan hệ và các phép toán giữa các biẾm cố

- Biến cỗ sơ cấp là biến có chỉ nhận duy nhất một kết quả trong tập hợp các kết

quả có thê có của phép thử

- Các biến có đồng khả năng là các biến cố có khả năng xuất hiện như nhau

trong phép thử

- Biến cố A được gọi là kéo theo (hay thuận lợi cho) biến cố B nếu biến cố A

xảy ra thì biên cô B xảy ra và được ký hiệu là A c B

- Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A c B và B CA, được ký hiệu

- Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cổ

A và B xảy ra, được ký hiệu là AB (hay A ¬ B)

- a a ne được gọi là xung khắc với nhau nếu tích của hai biến cổ Á

và B là biên cô không (AB = @) Nghĩa là hai biến có Ẫ A Ai

thời xảy ra trong một phép thử 6 A va B khéng thể đông

- Tổng của hài biến có A và B là một biến cố xây ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biển cố Á hoặc B xảy ra, được ký hiệu là A L¿ B

Nếu hai biến cố A va B xung khắc với nhau thì tổng của hai biến có A và B còn

được ký hiệu là A + B

- Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cô À xảy

ra và biến cố B không xảy ra, được ký hiệu là A\B

- Biến cố đối lập của biến cố A là một biến cố được ký hiệu là A và xảy ra khi

và chỉ khi biến cố A không xảy ra và ngược lại Nghĩa là A=O\A

Hai biến cố A va A được gọi là hai biến có đối lập với nhau

- Các biến cổ Ai, Az„ Aa (n > 2) được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng

từng đôi một xưng khắc với nhau và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn

Nghĩa là A;A; = ® (voi i #j) va OA, =Q

Vi du:

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất

Gọi - A; là biến cố "xuất hiện mặt ¡ chấm" (ï= 1, 2, , 6)

C là biến cố "xuất hiện mặt có số chấm chin"

L là biến cố "xuất hiện mặt có số chấm lẻ"

H là biến cố "xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hoặc bằng 5"

Các biến cố xung khắc với nhau:

C và L xung khắc với nhau

A¡ (=1, 2, ., 6) đôi một xung khắc với nhau

Ai, A3, A;, C đôi một xung khắc với nhau

Ao, Ag, Ac, L đôi một xung khắc với nhau

Ai, À¿, Á›, A4, C đôi một xung khắc với nhau

Hai biến có đối lập với nhau: C và L

Nhóm đây đủ các biến cố:

Aj (i= 1,2, , 6)

CvaL

Al, Aa, Az, Ay, H

Aj, Aj, As, C

Ao, Ag, Ag, L

Tích của hai biến cố: chẳng hạn CL = ®, A;H = ®, AyC = Ag, AsH = As

Tổng của hai biển cố: chẳng hạn C (2L = ©, A; (2 A; = H, A; L2 C= C

Hiệu của hai biển có: chẳng hạn H \ A; = A¿, L\ A¿=L, AA HE®

2.2 Định nghĩa xác suất

a Dinh nghĩa cỗ điển của xác suất

Xét một phép thử ngẫu nhiên gồm có n biến cố sơ cấp A;, As, , Aa (n kết quả

có thê có của phép thử)

Giả sử các biến có A; (¡ = 1, 2, n) đồng khả năng lập thành một nhóm đầy đủ

các biến cố và biến cố A là biến có bằng tổng của m biến cố sơ cấp A; nào đó (m biến cố thuận lợi cho biến cố A)

Khi đó xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A), là tỉ số giữa số biến cố

thuận lợi cho biên cô A và sô biên cô đòng khả năng có thê có của phép thử

Vậy P(A)=—

Hién nhién c6: P(®) =0, P(Q)=1,0<P(A) <1

Vidu I:

Một hộp có 10 viên BI, trong đó có: 5 viên bỉ đỏ, 2 viên bị xanh, 3 viên bi

trắng Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp

Tìm xác suất đê viên bỉ lầy được có màu: đỏ, xanh, trắng

Giải

Gọi ĐÐ là biến cố "lay được bỉ đỏ"

X là biến cố "lây được bi xanh",

T là biến cố "lây được bi trắng"

Theo bài ra thì trong hộp có 10 viên bi Do lấy ngẫu nhiên 1 viên B1, nên số kết

quả đồng khả năng của phép thir la C!, = 10

Trong hộp có 5 viên bỉ đỏ, 2 viên bi xanh, 3 viên bỉ trắng, mà lấy ngẫu nhiên một

viên BI, nên số kết quả thuận lợi cho các biến có Ð, X, T tương ứng là: 5, 2, 3

Do đó: P(Đ)=-——=—=0,5: Bi FÙHJ= ha as BER) ¡0s “02 :F(T)=1g chế =—=0,3

Ví dụ 2:

Có hai lô sản phẩm Lô A gồm 3 sản phẩm loại I, 7 sản phẩm loại II và 15 sản

phẩm loại II Lô B gồm 10 sản phẩm loại I, 6 sản phẩm loại II va 8 san phim loại HI Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô một sản phẩm Tìm xác suất đẻ hai sản phẩm lấy ra là: Cùng loại I, cùng loại, một loại II và một loại III, ít nhất một loại III

Do đó số kết quả đồng khả năng của phép thử là: C;.C;, =24.25 =600

Gọi H¡ là biến cố lấy được hai sản phẩm loại I

H; là biến cố lấy được hai sản phẩm cùng loại

H; là biến cố lấy được một sản phẩm loại II và một sản phẩm loại II

H¿ là biến cố lấy được ít nhất một sản phẩm loại III

Lô A có 3 sản phẩm loại I, nên số cách lấy 1 sản phẩm loại I ở lô A là: C; =3

Lô B có 10 sản phẩm loại I, nên số cách lấy 1 sản phẩm loại I ở lô B là:

* Số cách lấy được 2 sản phẩm cing loai I là: C}.C), =3.10 =30

Số cách lấy được 2 sản phẩm cùng loại II là: C;.C;=7.6=42

Số cách lấy được 2 sản phẩm cùng loại II là: CC} =15.8=120

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố H; là: 30 + 42 + 120 = 192

phẩm không phải loại II

Mà số sản phẩm không phải loại III ở lô A là 3 + 7 = 10 và số sản phẩm không

phải loại III 6 16 B 1a 10 + 6 = 16, nén số cách lấy được 1 sản phẩm không phải

loại II ở lô A và I sản phẩm không phải loại II ở lô B B Cho-Cig = 10.16 =160

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố H4 là 600 - 160 = 440

Vi du 3:

Gieo liên tiếp ba lần một con xúc xc

Tìm xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện: Một lần, hai lần, ba lần, ít nhất hai lần

Tìm xác suất đẻ có hai lần xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Giải

Một con xúc xắc có 6 mặt, nên mỗi lần gieo có 6 trường hợp xảy ra

Mà gieo liên tiếp 3 lần một con xúc xắc, nên các lần gieo độc lập với nhau

Vay số kết quả đồng khả năng của phép thử là: 6° = 216

Goi A là biến có "trong ba lần gieo có một làn xuất hiện mặt 1 chấm"

B là biến cố "trong ba lần gieo có hai lần xuất hiện mặt 1 chắm",

C là biến cố "trong ba lần gieo thì cả ba lần xuất hiện mặt 1 châm"

D là biến cố "trong ba lần gieo có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 1 chấm"

E là biến có " trong ba lần gieo có hai lần xuất hiện mặt có số chấm chin"

* Số cách chọn lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm trong 3 lần gieo là C =3

Với mỗi cách chọn lần gieo xuất hiện mat 1 cham đó thì số trường hợp lần gieo

đó xuất hiện mặt một chấm và hai lần gieo kia xuất hiện mặt khác l chấm là:

cic} sC; =1.5.5=25

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 3 25 = 75

Do đó PA) e —== vũ 347

216 72

* Số cách chọn hai lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm trong 3 lần gieo là: C? =3

Với mỗi cách chọn hai lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm thì số trường hợp hai lần gieo đó xuất hiện mặt 1 chấm và lần kia xuất hiện mặt có số chấm khác 1 là:

* Số kết quả thuận lợi cho biến có D bằng tổng của số kết quả thuận lợi cho biến

cố B ya số kết quả thuận lợi cho biến cố c, nên số kết quả thuận iợi cho biến cố Dla: 15+1=16

* Số cách chọn | hai lần gieo xuất hiện mặt có s6 cham chin trong 3 lan gieo l;

C =3 Với mỗi cách chọn hai lần gieo xuất hiện mặt có số cham chin thj số

trường hợp hai lần gieo đó xuất hiện mặt có sé cham chin va lần gieo còn hị

xuất hiện mặt có số chấm lẻ là: C!.C1.C; =3.3.3= 27

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến có E là: 3 27 = 81

Do đó P(E)= ne =3 0,375

Dinh nghia cỗ điển về xác suất có ưu điểm cơ bản là để tìm xác suất của mội

biến cố ta chỉ cần thực hiện _ phép thử một cách giả định Ngoài ra, có the tim

được chính xác giá trị xác suất của một biến cố

Tuy nhiên, định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế là nó đòi hỏi phải biết

được số kết quả đồng khả năng thuận lợi cho biến có cần tìm và số kết quả đồng khả năng của phép thử, đồng thời số kết quả đồng khả năng của phép thử phải hữu hạn

Trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết quả có thể có là vô hạn hoặc không

biết được hoặc không biết được số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tìm

Chẳng hạn: tính xác suất sinh con trai hay con gái hoặc tính xác suất một loại

sản phẩm được làm ra bị hỏng ở một nhà máy

Hạn chế lớn nữa là nhiều khi không thẻ biểu diễn được các kết quả có thể có của phép thử dưới dạng các kết quả duy nhất và đồng khả năng (thường thì tính đồng khả năng của các kết quả được suy ra từ tính đối xứng) Chẳng hạn khi

gieo một con xúc xắc thì ta đã giả sử con xúc xắc đó là cân đối và đồng chất

Nhung trong thực tế nhiều bài toán không có tính chất đối xứng đó

Vì vậy ngoài định ¡ nghĩa cỗ điển về xác suất, người ta còn đưa ra định nghĩa thống kê về xác suất dễ giải quyết nhiều bài toán trong thực tế,

b Định nghĩa thông kê vỀ xác suất

Thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử n lần mà có m lần biến cố A xuất hiên thì tỉ số

m = 43 4A Ậ Š ae £

— a được gọi là là tân suât xuât hiện xuât hiện biên cô A và ký hiệu là f(A) biến cố A và lý hịa

Vay t(A)==

Khi số phép thử n thay đổi thì tần suất f(A) =— cũng thay đổi Nhưng qua

thực nghiệm, nếu số phép thử n khá lớn thì tần wil f(A) dao động rat it xung

quanh một số không đổi nào đó và khi n càng lớn thì tần suất f(A) cing gần số

không đổi đó Số không đổi ¡ này được gọi là xác suất của biến cố A trong một

phép thử (theo định nghĩa thống kê) và ký hiệu là P(A)

Ta nói f{A) hội tụ theo xác suất về P(A) khi n —> +œ và viết: f(A)—E—_>P(A)

Trong thực tế, với số phép thử n đủ lớn ta có P(A) f(A)= =

n

Hiển nhiên có: P(®) = 0, P(Q) = 1 , 0 <P(A) < 1

Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm là không đòi hỏi những điều kiện

áp dụng như đối với định nghĩa cỗ điển về xác suất, nó hoàn toàn dựa vào

những quan sát thực tế để đưa ra kết luận về xác suất của một biến có

Nhưng định nghĩa thống kê về xác suất chỉ áp dụng được đối với các biến cố

ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính én định

Hơn nữa mức độ chính xác của giá trị xác suất của biến cố cần tìm phụ thuộc

vào sô lân thực hiện phép thử Muốn có độ chính xác cao, ta phải thực hiện một

sô lân đủ lớn các phép thử

2.3 Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lớn

* Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 0 thì thực tế trong một phép thử, biến

cố đó gần như không xảy ra

Việc quy định mức xác suất được coi là đủ gần 0 để một biến cố coi như không

xảy ra trong thực tế tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể và được gọi là mức ý

nghĩa Mức ý nghĩa thường được lấy trong khoảng từ 0,01 đến 0,05

* Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế trong một phép thử, biến

cế đó gần như chắc chắn xảy ra

Việc quy định mức xác suất được coi là đủ gần 1 để một biến cố coi như chắc chắn

xảy ra trong thực tế tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể và được gọi là độ tin cậy Độ

tin cậy thường được lấy trong khoảng từ 0,95 đến 0,99

3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VẺ XÁC SUÁT

3.1 Định lý cộng xác suất

a Định lý

19

Nếu A và B 1a hai bién cé bat ky thi P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ta chứng minh định lý bằng định nghĩa cổ điển về xác suất

Giả sử trong một phép thử, số biến cố đồng khả năng có thể có là n, sỐ kết qui thuận lợi cho các biến cố A, B, AB tương ứng là mạ, mp, mạn

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố AuB là ma + mg - Map

Bằng quy nạp toán học, mở rộng cho n biến cố ta có:

Nếu Á¿, A¿, , Án là n biến cố thì:

P(A, VA, V UA,)

= 2P(Ai)- >P(AA) + x P(A,A,A,)~ +(-1)""P(A,A, A,)

Hé qua

Nếu Ai, Az, , A› là n biến cố đôi một xung khắc với nhau thì:

P(A, + Ap + + An) = P(A¡) + P(A¿) + + P(A,)

Ví dụ:

Một xạ thủ băn một viên đạn vào một bia Biết xác suất bắn trúng điểm 10 là

0,1; ban tring diém 9 la 0,2 và được điểm dưới 9 là 0,7 Tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất 9 điểm

:

Giải:

Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng điểm 10, B là biến cố xạ thủ bắn trúng điểm 9

và H là biến có xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm

Ta có A, B xung khắc và H= A+B nên:

P(H) = P(A) + P(B) = 0,1 + 0,2 = 0,3

3.2 Định lý nhân xác suất

a Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là số đo khả năng xảy ra của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra và ký hiệu là P(A/B)

Ví dụ

Một lớp học được chia làm ba tổ Tổ một có 15 sinh viên, trong đó có 8 nữ Tổ

hai có 14 sinh viên, trong đó có 8 nữ Tổ ba có 14 sinh viên, trong đó có 7 nữ

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp Tìm xác suất đề chọn được sinh viên

nữ, nếu biết sinh viên đó thuộc: tổ một, tổ hai, tổ ba

Giải

Goi A là biến cố chọn được sinh viên nữ trong lớp

B; là biến cố chọn được sinh viên thuộc tổ ¡ (¡ = 1, 2, 3)

Tổ một có 15 sinh viên, trong đó có có 8 nữ, nên P(AIB,)=— =0,533

Tổ hai có 14 sinh viên, trong đó có có 8 nữ, nên P(A/B, =1 32 0,571 7

Tổ ba có 14 sinh viên, tong đó có? nữ, nên P(A /B,)= =— =0,5

42°

Chú ý: Nói chung P(A/B) # P(A)

Chẳng hạn ở ví dụ trên thì số sinh viên trong lớp là: 15 + 14 + 14 = 43, trong đó

số sinh viên nữ là: 8 + 8 + 7 = 23, nên P(A)= a0, 535

Vậy P(A/B)) # P(A) , P(A/B2) # P(A) , P(A/Bs) # P(A)

b Tính độc lập giữa các biến cô

* Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác xuất của biến cố kia và ngược lại

Vậy hai biến có A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi

P(A/B) = P(A) va P(B/A) = P(B)

* Các biển cố Ai, As, A„ được gọi là độc lập từng đôi một với nhau nêu mị,

cặp trong n biến cố đó độc lập với nhau

* Các biến cố A¡, A¿, , An được gọi là độc lập toàn phân (gọi tất là độc lập)

nếu việc xảy ra hay không xảy ra của (n - 1) biến cô bắt kỳ trong đó không lạm

thay đổi xác suất của biến cô còn lại

Chẳng hạn có n xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào một mục tiêu

Goi A; là biến cố xạ thủ thứ ¡ bắn, trúng mục tiêu (¡ = 1, 2, ; n)-

Rõ ràng Ai, As ,A,„ là n biến cố độc lập toàn phần và cũng là độc lập từng dại

một với nhau

Chú ý: Nếu các biến cố độc lập toàn phân thì chúng độc lập từng đôi một với

nhau, nhưng điều ngược lại không đúng

c Dinh If nhân xác suất

Néu A va B 1a hai bién cé bat ky thi: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Ta chứng minh định lý bằng định nghĩa có điển về xác suat

Giả sử trong một phép thử, số kết quả đồng khả năng có thể có là n, số kết quả thuận lợi cho các biến có A, B, AB tưorng trng 1a: ma, mg, Mag

Ta có:

P(A)=—>,P(B)=—>, (A)="2.,2(B)=2,P(aB) = = —AB

Với điều kiện biến có A đã xảy ra thì số kết quả đồng khả năng có thể có cia

phép thử đôi với biên cô B là my trong đó có mụp kết quả thuận lợi cho biến co

B (các kết quả thuận lợi cho cả biến có A và biến cố B)

Hoàn toàn tương tự ta có: P(AB)=—^”= a

Vay P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Hệ quả

Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng định ly

Bằng quy nạp toán học, mở rộng cho n biến cố ta có:

Nếu A;, A; là n biến cố bắt kỳ thì:

P(A¡A;¿ Áu ) = P(A)), P(Az/AI) P(A/ÁiA¿) P(Ay/AiÂts- Âm)

Hệ quả

Nếu A,A¿, A; là n là n biến cố độc lập (toàn phan) thi:

P(AiAz Aa) = P(A)) P(A;) P(A¿) P(Aa)

Ví dụ I

Rút liên tiếp hai con bài từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 con

Tìm xác suất để rút được cả hai con at

Gọi _ A là biến cố rút được cả hai con át

A¡ là biến cố rút lần thứ ï (¡ =1, 2) được con at

Ta có A = Ai A¿ Do đó P(A) = P(A¡A2) = P(A)) P(Az/Ai)

Mà P(A)=S› P(A, /A,) == Do đó P(A)= 1=2m~0,0045

Vĩ dụ 2

Một lô hàng gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt (0 < M < N) Lấy

ngâu nhiên n sản phẩm đem kiêm tra Nêu cả n sản phâm được kiểm tra là tốt thì

lô hàng được chấp nhận Tìm xác suât để lô hàng được châp nhận khi các sản phẩm đem kiểm tra được lấy trong các trường hợp sau:

- Lay không hoàn lại

- Lấy có hoàn lại

Giải

Goi A 1a biéncé chap nhận lô hàng

B; la biến có lấy lần thir i (= 1, 2, , n) được sản phẩm tốt

Ta có: A = B¡B¿ Bạ

- Nếu các sản phẩm đem kiểm tra được lấy không hoàn lại thì các biên cô: B,,

B;ạ, Bạ không độc lập với nhau Do đó:

Hai xa thủ A và B cùng bắn từng viên đạn vào một mục tiêu Biết xác suất bắn

trúng đích của xạ thủ A là 0,9 và của xạ thủ B là 0,8 Tìm xác suât đề:

- Xạ thủ A bắn trúng mục tiêu khi bắn 3 viên đạn

- Xa thi B chỉ bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ ba khi bắn 3 viên đạn

- Hai xạ thủ cùng bắn trúng mục tiêu khi mỗi xạ thủ bắn một viên đạn

~ Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu khi mỗi người bắn một viên đạn

Goi H; 1a bién cé xa th A bắn trúng mục tiêu khi bắn 3 viên đạn

Hạ là biến cố xạ thủ B chỉ bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ ba khi bắn 3 viên đạn

H; là biến cố hai xạ thủ A và B cùng bắn trúng mục tiêu khi mỗi xa thủ bắn một

Hạ là biển cố có it nhất một xạ thủ A hoặc B bắn trúng mục tiêu khi mỗi xạ thủ

băn một viên đạn

Ta có:

* Hi = AtOA¿© A¿ Do A¡, A;, A; độc lập với nhau nên:

P(H,) = P(Ay) + P(A;) + P(22) - P(A)P(A;) - P(A¡)P(2;) - P(Az)P(A¿) + +

* H4 = A; UB, Do Aj, B; déc lap véi nhau nén:

P(H¿) = P(Ay) + P(By) - P(A;) P(B,) = 0,9 + 0,8 - 0,9 0,8 = 0,98

Ví dụ 4

Một nông trường chăn nuôi, có một toại lợn bị bệnh Lợn có thé bị bệnh A với

xác suất 0,7;.có thể bị bệnh B với xác suất 0,5; có thể bị cả hai bệnh A và B

(giả thiết A và B độc lập với nhau) Người ta dùng cả hai loại thuốc T ị và T2 để điều trị cho lợn

Điều trị bằng loại thuốc Tì thì xác suất khỏi bệnh của lợn bị bệnh A là 0,8; của

lợn bị bệnh B là 0,6 và của lợn bị cả hai loại bệnh A và B là 0,3

Điều trị bằng loại thuốc T2 thì xác suất khỏi bệnh của lợn bị bệnh A là 0,6; của

lợn bị bệnh B là 0,7 và của lợn bị cả hai loại bệnh A và B là 0,4 Tìm xác suất

để lợn:

- Bi cả hai bệnh A và B

- Bị bệnh

- Bị bệnh và được chữa khỏi bằng loại thuốc Tị

- Bị bệnh và được chữa khỏi bằng loại thuốc T;

- Bị bệnh và được chữa khỏi khi dùng đồng thời hai loại thuốc Tị va Tạ (eis

khả năng chữa khỏi bệnh cho lợn của hai loại thuốc T¡ và Tạ độc lập với thay 2)

Giải

Gọi A là biến cô lợn bị bệnh A thi P(A) = 0,7

B là biến cố lợn bị bệnh B thì P(B) = 0,5

D là biến cố lợn bị cả hai bệnh A và B thi D= AB

H là biến cố lợn bị bénh thi H=A UB

T; là biến cố lợn khỏi bệnh do điều trị loại thuốcT; Œ= 1,2) thì:

P(T,/A) = 0,8; P(T,/B) = 0,6; P(T,/D) = 0,3

P(T2/A) = 0,6; P(T,/B) = 0,7; P(Tz/D) = 0,4

* Do A, B độc lập với nhau nên P(D) = P(AB) = P(A) P(B) = 0,7.0,5 = 0,35

* P(H) = P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,5 - 0,35 = 0,85

* Gọi K; là biến cố lợn bị bệnh và được chữa khỏi bằng thuốc T; (i=l, 2)

Ta có: K; = HT;

P() = P(HT) = P[(AUB)Ti] = P(AT; L2 BT;) = P(AT;) +P(BT;) -P(ABT;)

= P(A) P(T/A) + P(B) P(T/B) - P(AB) P(T/AB) (với i = 1,2)

Với Tị thì PK) = 0,7 0,8 + 0,5 0,6 - 0,35 0,3 = 0,755

Với T; thì P;) = 0,7 0,6 + 0,5 0,7 - 0,35 0,4 = 0,63

* Gọi K là biến cố lợn bị bệnh và được chữa khỏi khi dùng đồng thời hai loại

thuốc Tụ và T› thì: K= Kị U Kp ViKy, Ky độc lập, nên:

P(K) = P(Ky U Kz) = P(K)) + P(K¿) - P(K)) P(K¿)

= 0,755 + 0,63 - 0,755 0,63 = 0,90935

3.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sử Bị, B¿ , Bạ là một nhóm đây đủ n biến cố và A là biến cố xảy ra chỉ khi

một trong n biến có Bị, Bạ, , B; xảy ra

Khi đó: P(A = PB, )P(A/B,)

Công thức này được gọi là công thức xác suất đầy đủ (hay toàn phẳn)

Do d6 A = QA = (ByU B; VU UBn)A = BA UB:

Mà Bị, B¿ạ, Bạ đôi một xung khắc với nhau nên B

xung khắc với nhau

Vậy P(A) =P(BỊA U) BạA (2 B,A) = P(ŒB¡A) + PŒ¿A) † P(B,A)

= P(B,) P(A/B,) + P(B,) P(A/B,)+ + P(B,)P(AB,) = 3›P(B,)P(A “B,)

~ Tìm xác suất dé sản phẩm được lay ra là tốt

- Sản phẩm lấy ra thấy là tốt, tìm xác suất để sản phẩm đó được lây ra từ lô II

Giải:

Goi B; (i= 1, 2, 3) tương trong là biến có lấy được lô I, II, III

Ta có Bị, Bạ, Bạ là một nhóm đẩy đủ các biến cố và P(B ‘) = sũ =1,2 33);

Goi A là biến cố lấy được sản phẩm tốt thì biến cố A xy ra chi khi một trong ba

biến cố Bị, Bạ, Bạ xảy ra

= P(A/B,)=—

3° (Are) 4

Có P(A/B,)=5, P(A/B,)=

- Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

-13.13 14 _ 12038222

34°33 33 18

+P(B,)P(A/B;)

- Theo công thức Bayes ta có:

ưởng sản xuất Phân xưởng Ï sản xuất được đạt tiêu chuẩn Phân xưởng 1I sản xuất được

u chuẩn Phân xưởng III sản xuất

t tiêu chuẩn Lấy ngẫu nhiên một

Mất loại sản phẩm được 3 phân x

45% số sản phẩm, trong đó có 80%

30% số sản phẩm, trong đó có 85% đạt tiê

được 25% số sản phẩm, trong đó có 95% đạ

sản phẩm

- Tím xác xuất để sản phẩm được lấy là đạt tiêu chuẩn

- Biết sản phẩm được lấy ra là đạt tiêu chuẩn, tìm xác suất để sản phẩm đó là

Gọi A biến cố lấy được sản phẩm đạt tiêu chuẩn thì: biến cố A xảy ra chỉ khi

một trong các biến cô Bị, Bạ, Bạ xảy ra

P(A)=P(B,)P(A/B,)+P(B,)p(A /E,)+P(B,)P(A/B,)

=2 16, 6 17) 5 19 _ 341 9 g595 20°20 2020 2020 400

- Theo công thức Bayes ta có:

Có hai hộp bi Hộp I có 6 bi đỏ, 4 bi xanh Hộp II có 8 bỉ đỏ, 6 bí xanh Lấy

ngẫu nhiên từ môi hộp một bỉ rồi sau đó từ hai bi thu được ta lấy ngẫu nhiên một bi

Tìm xác suất để bi lấy sau cùng là bi đỏ

Giải

Gọi A¡ (¡= 1, 2) lần lượt là biến cố bi lấy ra từ hộp I, II là bỉ đỏ

= Ai (i=1,2) lần lượt là biến cô bi lấy ra từ hộp I, II là bi xanh

Suy ra Bị = A¡A¿ là biến có lấy được ở hộp I bi đỏ và hộp II bi do

B;¿=A¡ A› là biến cố lấy được ở hộp I bi đỏ và hộp II bi xanh

B3 = Ai A; là biến có lầy được ở hộp I bi xanh và hộp II bi đỏ

B„ = A, A, là biến có lấy được ở hộp I bi xanh và hộp II bỉ xanh

Do các cặp Ai, A¿; Ai À2; A,;A, độc lập với nhau, nên ta có:

P(B,)=P(A;)P(A:)=š-7=z

29

P(B,)=P(A,).P(Az) -25 -2

r(3,)-(R)(A,)=2 408

P(B,)=P(A,)P(A:)=2 =z

Ta có Bị, Bạ, Bạ, Bạ là một nhóm đầy đủ các biến cố

Gọi H là biến cố bi lấy ra sau cùng là bi đỏ thì H là biến cố xây ra chỉ khi mạ

trong các biến có Bị, By, Bs, By xay ra nên theo công thức xác suất đầy đủ ta có; PŒI) = P@,) P(H/B)) + P(;) P(H/B;) + P(B;) P(H/B;) + P(B,) P(H/B,)

Một trạm cấp cứu bỏng có tỷ lệ bệnh nhân bị bỏng do nóng là : và do hoá chất

là 2 Trong số bệnh nhân bỏng thì bệnh nhân bỏng do nóng có tỷ lệ bị biến chứng là ; và bệnh nhân bỏng do hoá chất có tỷ lệ bị biến chứng là >

= Tir tap h6 so cia bénh nhân bị bỏng, lầy ngẫu nhiên một bệnh án Tìm xác suất

để đó là bệnh ản của bệnh nhân bị biến chứng

- Từ tập hồ sơ của bệnh nhân bị bỏng, lấy ngẫu nhiên một bệnh án của bệnh nhân bị biển chứng Tìm xác suất để đó là bệnh Án của bệnh nhân bị biến chứng

vi: bong do néng gay ra, bỏng do hoả chất gây ra

Giải

Gọi B; là biến cố lấy được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do nóng

B; là biến có lấy được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do hoá chất

dees 4 Fel

Ta có BỊ, B; lập thành một nhóm đầy đủ các biến có và P(B, ) = z › P(B,)=z

Gọi H là biến cố lấy được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng thì H là biên cô

xảy ra chỉ khi một trong các biến cố Bị hoặc B; xảy ra và

- Các phép thử độc lập: Cac phép thir được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất

để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử không phụ thuộc vào biến cố

đó có xảy ra hay không xảy ra ở các phép thử khác

- Phép thir Bernoulli: n phép thử độc lập với nhau được gọi là n phép thử

Bemoulli nếu trong mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: hoặc biến cố Á xảy ra, hoặc

biến cố A không xảy ra và xác suất xảy ra biển cô A trong mỗi phép thử đều bạng

p (xác suất không xảy ra biến có A trong mỗi phép thử đều bằng q = 1 - p)

b Dinh ly Bernoulli

Xét n phép thtr Bernoulli với bién cố A xay ra trong mỗi phép thử đều có xác suất bằng p Khi đó xác suất đề biển co A xuat hiện đúng k lần trong n phép thử là:

P,(kp)=Cạp (1~ p)””,(k=1,2, n)

31

cố không xảy ra biến cố A trong phép thử thir i (i=

Ta co: P(Aj) =p, P(A, )=I-p=q,0=1⁄2, ,n n)

Gọi B là biến cố trong n phép thử thì biến A xây ra đúng k lần Khi đó:

B=A,A, -Ay Ava Aw2An tu tA Ar AmtAs cin pan,

Tổng số các tích biến cố như vậy trong biểu thức trên chính là số cách chọn tr

phép thử có xảy ra biện cố A từ n phép thử, số cách chọn đó là Ck Đối sing i

tich nay ta thấy biến cố A xảy ra k lần với xác suất xảy ra ở mỗi lần là p va big

cố A không xảy ra (n-k) lần với xác suất không xảy ở mỗi lần là 1-p=q i

đó xác suất của mỗi biến có tích đều bằng p*q"* Vì các tích biến cố này đôi i

xung khắc với nhau nên:

k„kn~k P,(k;p)=P(B)=p*q" * + p*q""* + +p!q*Y = Cáp 'q”” = Cáp (1~p)””

SỐ tự nhiên mp ma i với nó THÊM p) lớn nhất được gọi là số có khả năng

nhất Ta có: |

P, (aep)e > P (m, + 1p)

Thay công thức Bernoulli vào hệ trên ta tìm được cách xác định mp như sau:

Quy téc tìm số có khả năng nhất: (n +1) p- 1< mạ< (n+ ]) p và mgeN

c Vidu

Một máy sản suất ra một loại sản phẩm Xác suất dé một sản phẩm làm ra không đạt chat lugng 1a 0,1

* Trong mỗi đợt sản suất ra 10 sẵn phẩm, tìm:

- Xác suất có 3 sản phẩm không đạt chất lượng

- Xác suất có ít nhất 1.sản phẩm không đạt chất lượng °

- Số sản phẩm không đạt chất lượng có khả năng nhất

* Phải sản xuất mỗi đợt bao nhiêu sản phẩm để số sản phẩm không đạt chất lượng có khả năng nhất trong mỗi đợt là 2

Ta có: P(A) = 0,1; P(A) = 0,9

* Trong dot san xuất ra 10 sản phẩm, ta có n =

suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p = 0,1 Theo côn

- Đối lập với biến cố ít nhất 1 sản phẩm không đạt chat lượng là ca 10s

đạt chất lượng Xác suất để cả 10 sản phẩm đạt chất lượng là:

* Gọi n là số sản phẩm mỗi đợt phải sản xuất ra để số sản phẩm không đạt chất

lượng có khả năng nhất trong mỗi đợt là mọ = 2 ta có:

CAU HOI VA BAI TAP

Bài 1 Một nhóm học sinh gồm 10 em đi xem phim cùng ngồi trên một hàng

ghế và chơi trò trao đổi chỗ cho nhau.Biết rằng mỗi lần đổi chỗ mắt hết 1 phút Hỏi thời gian họ đổi hết chỗ cho nhau là bao nhiêu ?

Bài 2 Một người bán hàng xếp 3 hộp thuốc Vitamin BI, 4 hộp Vitamin C, 2 hộp

Vitamin B6, 5 hộp Vitamin B12 vào một kệ theo từng loại thuốc Hỏi có bao

Bài 4 Một hội nghị y khoa có 35 bác sĩ tham dự Cần lập 1 nhóm bác si dé thực

hành 1 ca phẫu thuật minh họa cho một công trình nghiên cứu Hỏi có bao nhiêu

cách lập 1 nhóm gôm:

a) Một bác sĩ chính va 1 phy ta

b) Một bác sĩ chính và 2 phụ tá

Bài 5 Một người muốn xếp một số pho tượng vào l đãy có 6 chỗ trống trên 1

kệ trang trí Có bao nhiêu cách xếp nếu người đó có:

a) 6 pho tượng khác nhau

b) 4 pho tượng khác nhau

c) 8 pho tượng khác nhau

Bài 6 Một bộ đề thì có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là

đề thì của thí sinh này)

a) Có bao nhiêu đề thì khác nhau, biết rằng hai đề thì được coi là khác nhau sa

Bài 8 Một hộp có 5 viên bi xanh và 4 viên bi vàng

a) Lấy ra đồng thời 2 viên bi Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

b) Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử nếu lấy lần lượt ra 2 viên bi và:

- Không hoàn lại ˆ

~ Có hoàn lại

Bài 9 Gieo 3 con xúc xắc có mau xanh, trắng, đỏ Gọi X, Ys Z là số chấm hiện ra

ở mặt trên của các con xúc xắc đó Ghi kết quả của mỗi lần gieo là một bộ 3 sắp

thứ tự (x, y, z) Không gian mẫu có baó nhiêu phần tử ?

Bài 10 Một hộp đựng 5 quả bóng hing, 4 † quả bóng xanh, 4 quả bóng vàng Các quả bóng chỉ khác nhau vê màu Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng, tính xác suất để được:

a) 3 quả cùng màu xanh

a) Tong sé chdm 6 mit trên của 2 con xúc xắc bằng 7

b) Hiệu số chấm ở mặt trên của 2 con xúc xắc có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 3

©) Số chấm ở mặt trên 2 con xúc xắc bằng nhau

Bài 13 Trong một hộp thuốc tiêm có 10 ống Vitamin C và 5 ống Vitamin BI

Lấy đồng thời 3 ô ống thuốc Tính xác suất đề:

a) Cả 3 ống lấy ra là ống Vitamin C

b) Trong 3 ống lấy ra có 2 ống Vitamin C

©) Có ít nhất 1 ống Vitamin C được lấy ra

Bài 14 Viết 5 chữ số 0, 1,2, 3, 4 lên 5 mảnh bìa như nhau Rút ngẫu nhiên ra 3 mảnh bìa và xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang Tìm xác suất sao cho 3 mảnh bìa được xếp tạo thành một số:

a) Có 3 chữ số

b) Có 3 chữ số chia hết cho 3

c) Có 3 chữ số chia hết cho 5

đ) Số có 3 chữ số và là số lẻ

Bài 15 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến số “mặt trên

của con xúc xắc có I hoặc 2 hoặc 3 chấm”, B là biến số “mặt trên của con xúc xắc có 3 hoặc 4 hoặc 6 chấm” Tinh P(A), P(B), P(AUB), P(A/B)

Bài 16 Một bác sĩ điều trị cho 3 bệnh nhân A, B, C trong cùng 1 ngày Xác suất

để bệnh nhân A, B, c cần đến sự chăm sóc của bác sĩ lần lượt là 0,90; 0,80 và 0,85 Hãy tính xác suất để trong 1 ngày:

a) Không có bệnh nhân nào cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

b) Có ít nhất một bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác si

c) Có không quá 1 người bệnh cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

d) Ca 3 bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

e) Chỉ có bệnh nhân A càn đến sự chăm sóc của bác sĩ

Bài 17 Một phòng khám bệnh có 3 bác sĩ nhưng hiện đang có 7 người bệnh đến

khám trong đó có 3 nam và 4 nữ Phòng khám phục vụ theo nguyên tắc “ai đến

trước được khám trước” Tìm xác suất để người bệnh được khám trước:

a) Đều là nam

b) Cé 2 nam và 1 nữ

©) Có ít nhất 2 nữ

Bài 18 Một lô thuốc tiêm cùng loại có 100 hộp thuốc, trong đó 10 hộp có nhãn

bị mờ Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 6 hộp thuốc, nếu có ít nhất 1 hộp thuốc

có nhãn bị mờ thì không nhận lô thuốc Tìm xác suất để lô thuốc đó được nhận

Bài 19 Có n viên đạn được bắn vào I mục tiêu di động Xác suất trúng đích của

mỗi viên đạn là p Xác định số viên đạn phải bắn ít nhất để xác suất mục tiêu bị bắn trúng lớn hơn B áp dụng với p = 0.003; B = 0,98

Bài 20 Trong điều trị bệnh lao có hiện tượng kháng thuốc Gọi A là hiện tượng

“khang INH của vi khuẩn lao”, B là hiện tượng “kháng PAS của vi khuẩn lao”,

C là hiện tượng “kháng Streptomycin của vi khuẩn lao” Qua theo dõi, biết khả

năng kháng INH, PAS và Streptomycin của vi khuẩn lao lần lượt là 20%, 40%

và 30% và việc kháng các loại thuốc khác nhau là độc lập với nhau Nếu phối hợp cả 3 loại thuốc trên thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu?

Bài 21 Có 3 hộp thuốc Hộp một có 5 ống thuốc tốt, 2 ống thuốc không đạt chất

lượng Hộp hai có 4 ống tốt, 1 ống không đạt chất lượng Hộp ba có 3 ống tốt

Lay ngẫu nhiên ra 1 hộp, từ đó lại rút ngẫu nhiên ra 2 ống thuốc

a) Tìm xác suất để rút được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc không đạt chất

phòng kiểm tra hoạt động độc lập

Bài 23 Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một địa phương là 30% Biết rằng tỷ

lệ viêm họng trong số những người nghiện thuốc lá là 60% còn tỷ lệ người bị

viêm họng trong số những người không hút thuốc lá là 40%

a) Lay ngau nhién 1 người, biết người đó bị viêm họng Tính xác suất để người

đó là người nghiện thuốc lá

b) Nếu người đó không viêm họng Tính xác suất đẻ đó là người nghiện thuốc lá

Bài 24 Trong 1 hộp thuốc tiêm có 10 ống thuốc, trong đó có 6 ống thuốc A và 4 ống thuốc B có cùng kích thước Một ô ống bị vỡ không rõ là loại thuốc gỉ Từ hộp rút ngẫu nhiên ra 1 ống Tìm xác suất đẻ ông rút ra là thuốc A

Bài 25 Một bà me sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Giả sử xác suất sinh con trai

là 0,51 Tìm xác suất để trong 2 người con được sinh đó:

a) Có đúng 1 con trai

b) Không có con trai

©) Có 2 con trai

Bài 26 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu được cá

ở những chỗ đó tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8 Biết rằng ở mỗi chỗ người đó thả câu

3 lần và chỉ câu được 1 con cá Tìm xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhật

Bài 27 Có 2 lô sản phẩm Lô một toàn chính phẩm, lô hai có tỷ lệ phế phẩm và

1 chính phẩm là 1/4 Chọn ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lại lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tìm xác suất để lấy phải phế phẩm

Bài 28 Ở một địa phương có tỷ lệ nam/ nữ là 12/13 Khả năng mắc một bệnh

hiêm nghèo ở nam là 0,6% và ở nữìà 0,35% Tìm xác suất dé:

a) Khi gặp 1 người bất kỳ của địa phương đó thì gặp phải người bị bệnh

b) Khi gặp được người bị bệnh thì người đó là nam

Bài 29 Có 2 lô thuốc tiêm Lô một có 90% số thuốc do xí nghiệp 1 sản xuất Lô

hai có 85% số thuốc đo xí nghiệp 1 sản xuất Lấy ngẫu nhiên ra 1 lô, rồi từ đó

lại lấy ngẫu nhiên ra 1 lọ thì thấy thuốc của xí nghiệp 1 Trả lọ thuốc này trở lại

lô của nó Từ lô này lại lây ra 1 lọ thuốc Tìm xác suất để lọ thuốc được lấy sau

là của xí nghiệp 1 san xuat

Bài 30 Theo kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ người bị lao ở một địa phương là

0,001 Tìm xác suất đề khi khám cho 10 người ở địa phương đó thì:

a) Không có ai bị lao

b) Có ít nhất 1 người bị lao

c) Số người bị lao có khả năng nhất

Bài 31 Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8 Có người nói rằng cứ 5 người bệnh đên chữa thì chắc chắn có 4 người khỏi bệnh, người khác lại cho rằng trong 10 người bệnh đến chữa chắc chắn có 8 người khỏi bệnh Các khẳng định trên có đúng không?

Bài 32 Một máy dập thuốc viên có tỷ lệ viên đạt chất lượng là 99%,

nhiên ra 20 viên thuốc được máy đó sản xuất Tính xác suất để tro

được chọn ra có đúng 1 viên không đạt chất lượng,

Chọn ngẫu

ng 20 viên

In(1-p)

Bai 20 0,976

e 0,027

0,8757

a 0,999'° b 1-0,999"° c 10

Kết luận đó là không đúng 0,1652