Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới thiệu; Định nghĩa; Một vài dạng ma trận đặc biệt; Các toán tử ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
NGUYỄN PHƯƠNG
Bộ môn Toán Kinh tế Trường Đại học Ngân hàng TP HCM
Email liên lạc : nguyenphuong0122@gmail.com
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 2MỤC LỤC I
1 BÀI1 MA TRẬN
Giới thiệu
Định nghĩa
Một vài dạng ma trận đặc biệt
Các toán tử ma trận
2 BÀI2 ĐỊNH THỨC
Định nghĩa
Các phương pháp tính định thức
Các tính chất của định thức
Hạng của ma trận
Ma trận nghịch đảo
Phương trình ma trận
3 BÀI3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Định nghĩa
Định lý Kronecker–Capelli
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 3MỤC LỤC II
Hệ phương trình Cramer
Hpt tuyến tính thuần nhất
4 BÀI4 KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Định nghĩa
Tổ hợp tuyến tính
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Hạng của hệ vectơ
Không gian con
Tọa độ của vectơ
5 BÀI5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Mô hình cân bằng thị trường
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Mô hình IS−LM
Mô hình input−output Leontief
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 4Công ty điện tử ABC sản xuất 4 mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD và quạt máy Công ty có 3 đại lý bán hàng Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng bán được của các đại lý trong
tháng 9 vừa qua:
TV radio đầu máy VCD quạt máy
Ta có thể viết lại bảng trên như sau:
q =
120 150 80 210
140 180 120 220
150 120 180 250
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 5Định nghĩa 1.1.
Ma trận cấp (còn gọi là cỡ) m × n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có kích thướcm hàng vàn cột
A =
a11 a 1j a 1n
a i1 a ij a in
a m1 a mj a mn
m×n
← hàng thứ i
↑ cột thứ j
Ký hiệu
A = (a ij)m×n với i = 1, m, j = 1, n
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 6Ví dụ 1.1.
1 A =
0 −1
là ma trận cấp 3 × 2
2 B = 2 1 0 là ma trận cấp 1 × 3
3 C =
√
2 3.1 −2
3 12 0
là ma trận cấp 3 × 3
4 D = (4) là ma trận cấp 1 × 1
5 E =
1
1
2
là ma trận cấp 3 × 1
Ví dụ 1.2
Các phần tử trong A ở Ví dụ 1.1: a11=1; a22=4;
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 7Định nghĩa 1.2.
Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dòng Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột
Ví dụ 1.3
Trong Ví dụ 1.1, ta thấy B là ma trận dòng; E là ma trận cột.
Định nghĩa 1.3
Ma trận vuông là ma trận có số hàng m bằng số cột n Ký hiệu
A = (aij)n×n với ∀i, j = 1, n Ma trận vuông có n dòng được gọi
là ma trận vuông cấp n.
Ví dụ 1.4
A =
0 4
1 2
; B =
1 2 3
−1 3 2
0 0 2
; C =
0 3 9 −1
−2 3 0 1
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 8Định nghĩa 1.4.
Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên đường chéo chính
khác 0 Ký hiệu A = diag(a1,a2, ,an).
Ví dụ 1.5
A =
1 0
0 2
; B =
1 0 0
0 3 0
0 0 2
; C =
2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
Định nghĩa 1.5
Ma trận đơn vịcấp n là ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần
tử trên đường chéo chính đều bằng 1 Ký hiệu A = In
Ví dụ 1.6
I2 =
1 0
0 1
, I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 9Định nghĩa 1.6.
Ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0 được gọi ma trận tam giác trên Ngược lại, được gọi là
ma trận tam giác dưới
Ví dụ 1.7
A =
0 4
0 2
; B =
1 −1 0
; C =
−2 −1 0 1
Định nghĩa 1.7
Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều bằng 0 Ký hiệu
A =0.
Ví dụ 1.8
01×1= (0); 02×4=
0 0 0 0
0 0 0 0
; 04×3=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 10Định nghĩa 1.8.
Hai ma trận A = (a ij)m×n và B = (b ij)m×n bằng nhau khi và chỉ
khi A, B cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau aij=bij với ∀i, j
Ví dụ 1.9
Cho A =
1 x
2 4
,B =
1 −1
và C =
1 −1 0
ở đây
x là hằng số Thì
A = B khi và chỉ khi x = −1.
A ̸= C với mọi x.
Định nghĩa 1.9
Cho A = aijm×n,B = bijm×n và c là hằng số Ta định nghĩa
A + B, A − B và cA như sau:
1 Cộng ma trận: A + B = a ij+b ij
m×m
2 Trừ ma trận: A − B = aij − bij
m×n
3 Nhân vô hướng: cA = ca ij
m×n
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 11Ví dụ 1.10.
Cho A =
2 3 4
4 5 6
và B =
−1 −1 −1
Ta có
1 A + B =
2 + 1 3 + 2 4 + 3
4 + (−1) 5 + (−1) 6 + (−1)
=
3 5 7
3 4 5
2 A − B =
2 − 1 3 − 2 4 − 3
4 − (−1) 5 − (−1) 6 − (−1)
=
1 1 1
5 6 7
3 4A =
4 · 2 4 · 3 4 · 4
4 · 4 4 · 5 4 · 6
=
8 12 16
16 20 24
Tính chất 1.1
Cho ma trận A, B, C cùng cỡ và c, d là các hằng số Thì
1 A + B = B + A,
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 c(A + B) = cA + cB
4 (c + d)A = cA + dA
5 c(dA) = (cd)A = d(cA)
7 A − A =0 và
8 0A = 0
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 12Định nghĩa 1.10.
Nhân ma trận A = (aij)m×p với B = (bij)p ×n là ma trận C = AB =
(cij)n×m với
cij=ai1b 1j+ai2b 2j+ +aipbpj
hay
AB =
∗
a i1 a i2 a ip
∗
b 1j
∗ b 2j ∗
b pj
=
c ij
Lưu ý:
AB ̸= BA hầu chắc chắn;
AB = CB nhưng A chưa chắc bằng C;
A.B = 0 không suy ra được A = 0 hoặc B = 0.
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 13Ví dụ 1.11.
AB =
1 2 3
4 5 6
−1 −2
=
1 · 1 + 2 · 2 + 3 · (−1) 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · (−2)
4 · 1 + 5 · 2 + 6 · (−1) 4 · 1 + 5 · 3 + 6 · (−2)
=
2 1
8 7
BA =
−1 −2
1 2 3
4 5 6
=
1 · 1 + 1 · 4 1 · 2 + 1 · 5 1 · 3 + 1 · 6
2 · 1 + 3 · 4 2 · 2 + 3 · 5 2 · 3 + 3 · 6 (−1) · 1 + (−2) · 4 (−1) · 2 + (−2) · 5 (−1) · 3 + (−2) · 6
=
−9 −12 −15
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 14Ví dụ 1.12.
Cho A =
0 1
0 1
và B =
1 1
0 0
Ta có A ̸= 0 và B ̸= 0,
nhưng AB =
0 1
0 1
1 1
0 0
=
0 0
0 0
=0
Định nghĩa 1.11
Cho A là ma trận vuông cấp n và k là số nguyên dương Ta định nghĩa A k như sau:
A k =
I n nếu k = 0
AA · · · A
| {z }
k lần
nếu k ≥ 1
Ví dụ 1.13
Cho A =
1 2
1 3
Thì
A3=
1 2
1 3
1 2
1 3
1 2
1 3
=
11 30
15 41
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 15Cho bài toán sau:
Cho A = (aij)n×n và
f (x) = a n x n +a n−1 x n−1+ +a1x + a0
Tính f (A).
f (A) = a n A n +a n−1 A n−1+ +a1A + a0I n.
Ví dụ 1.14
Cho A =
2 1 1
1 2 1
0 0 1
và f (x) = x2+2 Tính f (A).
Lời giải: Ta có
f (A) =
2 1 1
1 2 1
0 0 1
2 1 1
1 2 1
0 0 1
+2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
7 4 4
4 7 4
0 0 3
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 16Định nghĩa 1.12.
Cho A = a ij là ma trận cỡ m × n Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A T (hoặc A t , là ma trận n × m trong đó aij trở thành aji.
Ví dụ 1.15
Cho A =
1 2 3 4
5 6 7 8
Ta có A T =
1 5
2 6
3 7
4 8
Tính chất 1.2
Cho A là ma trận cỡ m × n
1 A TT =A.
2 Nếu B là ma trận m × n thì (A + B) T =A T +B T
3 Nếu c là hằng số thì (cA) T =cA T
4 Nếu B là ma trận cỡ n × p thì (AB) T =B T A T
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Trang 17Định nghĩa 1.13.
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện:
1 Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng
2 Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có)
Ví dụ 1.16
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không?
A =
1 0 2
0 2 −1
; B =
0 2 −1 1
;
C =
0 −1 1
;D =
0 2 −1 1 0
Ngày 24 tháng 10 năm 2022