Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 2 - Trần Mạnh Tường

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ tiếp tục cung cấp tới bạn đọc cách giải phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp vectơ; phương trình vô tỉ sử dụng BĐT để đánh giá; phương trình vô tỉ sử dụng bđt Bunhiacopxki; phương trình vô tỉ sử dụng sự tương giao của đường tròn đường thẳng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.

X PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 1 [Tính đơn điệu của hàm số] 3 3 3 3

 Hàm số ệu trên tậ ợc xét không ?

Lời giải

Đ ều kiện :

3 2 2

2 2

 2  2 2  3 2

0 1

2 1

y y

y y

Khi y    1 x 1 (thỏ ã ều kiện)

Vậy tập nghiệm của hệ là 1 5

 Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?

 Hàm số ệu trên tậ ợc xét không ?

3

x x

x  không là nghiệm của (3)

x x

9 y   2 7 y  2 y   5 2 y  3

2 3

-Khi y    2 x 3 (thỏ ã ều kiện (*))

-Khi y    3 x 8 (thỏ ã ều kiện (*))

Vậy nghiệm của hệ là 3 8

7 6 0

16

x x

x x

(3 5) 1

{2; }9

x x

ĐK x   2

Pt      

 2

x x

A. 5 B. 20 C. 21 D. 23

Lời giải Đáp án: C

x x

a b c

0

3 52

3 52

x x

3 52

x x

R  , thuộc phần y 0.

42

2 2 2

1,2 1,2

42

42

Nếu m  0  1 có nghiệm duy nh t x  0

Nếu 2  m 4  1 có nghiệm

2 1,2

42

C u v  a chứa trong tam giác OAB D

ếu 2a   2 a 2: B  1 vô nghiệm

ếu 2a  2   0 a 1: B  1 có nghiệm thỏa mãn 0 u a x  2a

ếu 2 2a2    : B 1 a 2  1 có nghiệm thỏa mãn

1 2

02

H B a

a a a





   

 b) Theo kết qu câu (a)





 

 Khi 1  hệ a 4  1 có hai nghiệm

2 1,2 2 2,1

2 2

-1 J

-1 I

XII PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Bài 1 [Lượng giác hóa] G 3

k k k

x u

2( ) 2( ) 2( 1) 0

Rõ ràng  D2 không cắt cung ABC

D  1 có nghiệm  D1 cắt cung ABC

Nhận xét: Sau khi tìm được điều kiện x  việc khảo sát hàm số 2 f x ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là ( )

dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số ( ) f x

định đến việc xét dấu của đạo hàm, mở đường cho việc sử dụng tính chất của hàm số

Bài 5: Tìm m ể ú ệm th c phân biệt

x

x x

11

x

t

x x

Do m là số nguyên nên có duy nh t 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 7: Tìm số các giai trị ủa tham số m ể

22

Bài 9: C m x  1 3 x 1 24 x2 , biết rằng tập t t c các giá trị của tham số m ể 1

ã ệm là nửa kho ng ( ; ].a b Tính giá trị biểu thức S a3b3

A 28

26.27

Lời giải Chọn B

Đ ều kiện x  , Chia hai vế cho 1 x 1 ợc pt:

B ng biến thiên của hàm f t( ) 3t22t trên [0;1)

Theo b ng biến thiên thì (*) có nghiệm thuộc [0; 1)    1 m 1/ 3

Phân tích Khác với hai ví dụ trên, biểu thứ ức là bậc 3, ta vẫn gi i theo công thức AB, ể

ợ ậc bố Lú ới s hỗ trợ của máy tính casio, ta sẽ í ợc thành tích số

d ng bậc 2 nhân bậc 2

Lời giải Đáp án: C

TN 1.2: Số nghiệm củ 2x26x 1 4x5 là

Lời giải Đáp án: C

Sử dụng máy tính Casio ta thu được:

1 2 3 4

2.4142135620.4142135623.7320508080.2679491924

x x x x

Tư duy Viet đảo: x1x2 2,x x1 2  1

Nhân tử thu được: x 2 2x 1

Trường hợp 2: Với 2

x  x    x Kết hợ ều kiện ta có x  2 3

Kết luận: P ệm phân biệt x  2 3 và x  1 2

TN 1.3: Tổ ệm củ 2x26x 1 4x5 là

A. 10 2 2 2 3 B 10 2 2 2 3 C 8 2 2 2 3.D 12 2 2 2 3Lời giải Đáp án: B

Lũ ừa sau khi sử dụ ợc nhân tử 2

Lũ ừa sau khi sử dụ ợc nhân tử 2

Đ ều kiện:

2 2 2

0.4301597091.6180339890.618033988

x x x

Tư duy Viet đảo: x2x3 1.0000000001 1, x 2 x3  0.99999999989 1

Nhân tử thu được: x2 x 1

x x

- T ờng hợp: a1a3 a2 (ví dụ 2) ở trong d ng toán này việc sử dụng hệ ều kiệ ể biế ổi giúp chúng

ta vừa sử dụ ợc phép biế ổ ũ ừa sử dụ ợc phép biế ổi hệ qu

- Đ c thù của d ng toán này là việ ều kiện

Lời giải Đáp án: D

 

2 2 2

x x

Đ ều kiện x   P ã ới: 2

;1

a b

1 01

Từ (*) ệm

Kết luậ P ã ệm 1 5

.2

2 2

ã 0 Để xử lý các d ng toán này ta có thể ờng hợp của x làm cho

f x  g x  à ờng hợp f x  g x 0 Cụ thể, với bài toán này ta có thể xử l

Lời giải Đáp án: C

Lời giải Đáp án: B

V ề dắt ra là làm sao nhậ ợ ể ền số x  vào hai vế 1

Ý ởng xu t phát từ việc tàm ra số  và  sao cho 2   2 1  

Đế , ỉ việ x ịnh  ,  sao cho:





  

Do:

TN 3.2: Tích các nghiệm củ 2x25x 1 7 x3 bằng1

A.  10 B.  6 C. 10 D. 6

Lời giải Đáp án: C

x x

x x

x x

x x

Đ ều kiệ x ịnh: 2   x 2

 với ,a b là các

số K ị tổng S a2b2 bằng:

Lời giải Đáp án: A

 

1 31

32

2

1 31

Đ ều kiệ x ịnh: 1   x 4

Đ t t x 1 4x ( t  ) 0

2

5( 1)(4 )





   

Với t 3 x 1 4 x 3 5 2 (x1)(4x)9 (x1)(4x)2





  

Vậy tập nghiệm củ S  0;3

TN 3.7: Tích các nghiệm củ x2   x 1 3 x2  x 1 1là

A 1

Lời giải Đáp án: B

10

10

45

x x

x

g x

x x

16x 6x 2

13

3x 7x 6x 4

23

y y

3

2 73



 suy ra a 2,b3,c 7Vậy Sa2 b3 c4 22 33 74  2432

Đối với học sinh lớp 10, ta chứng minh hàm   3

f t   đồng biến trênt t nhƣ sau:

16x 6x 23x 7x 6x 4 16x 6x 2 16x 6x 2 3

3

2 73

331.28

Đáp án: B

Dễ th y x  không là nghiệ ế pt cho 0 x3 ợc: √

3 2 3

13

7    

x x x

x

x

3 3

4

      

TN 4.4: Cho hàm số ( )f x liên tục trên à ồ thị ẽ

Hỏ f  1 sin x  f 1 cos x có t t c bao nhiêu nghiệm thuộc 3; 2?

Lời giải Đáp án: B

thỏ Vậy có duy nh t 1 nghiệm

TN 4.5: Gọi x0 là nghiệm th c củ x 5x2 1 x 6x2 1 2x42x2 1 x2 , biết bình 1

A. S 26 B. 25 C. 24 D. 22

Lời giải

t x

1 17

( )8

1 17

( )8

Đ t t f x  1 tx3 3x2 6x2

K f f x   1 1 f x  trở thành: 2

1;15; 6

3 2

x x x

y à ờng thẳng y t Ta có b ng biến thiên

D a vào b ng biến thiên, ta có

+ Với t  t2  1;1, ta có d cắt (C) t ểm phân biệ , ệm

  12 1 1  

22

 D.2

Lời giải Đáp án: B

Đ ề ệ x  1

T

 

11

Lời giải Đáp án: C

Lời giải Đáp án: A

D , ố nghiệm của pt  * chính là số ểm của  P và  d

Phát họa  P và  d lên cùng hệ trục, ta th ã ệm khi 2  m 6

TN 6.2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2018; 2018 ể

 nên có 2019 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

TN 6.3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ể x23x 1 m x4x2 có nghiệm 1

Lời giải Đáp án: A

2

x

x x

11

x

t

x x

3

m

  

Do m là số nguyên nên có duy nh t 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TN 6.4: Tìm số các giai trị ủa tham số m ể

A. 0 B.1 C. 2 D. 3.

Lời giải Đáp án: B

22

TN 6.5: C m x  1 3 x 1 24 x2 , biết rằng tập t t c các giá trị của tham số m ể 1

ã ệm là nửa kho ng ( ; ].a b Tính giá trị biểu thức S a3b3

A 28

26.27

Lời giải Đáp án: B

Đ ều kiện x  , Chia hai vế cho 1 x 1 ợc pt:

B ng biến thiên của hàm f t( ) 3t22t trên [0;1)

Theo b ng biến thiên thì (*) có nghiệm thuộc [0; 1)    1 m 1/ 3

TN 6.6: Biết rằng tập hợp các giá trị của m ể (m2) x 3 (2m1) 1    có x m 1 0

nghiệ là n  a b ;

Giá trị của S2019b2020a172 là :

A.1918 B.1819 C 1981 D.2019

Lời giải Đáp án: C

2 2

4( 2) (2 1) 1 0

2 1

m k

m





 (vì với 1

d 1 : k 1 =17 -1

3 -1 3

f x( ) = 4 x2

2 2

O

4164

0

2 2

x x

m x

x x m x

m m

Do m thuộc Z nên T 3;2;1;0;1;2;3;20

TN 6.8: Có bao nhiêu giá trị m ể m x  m x m có nghiệm

Lời giải Đáp án: C

0

0

00

0

00

x m x

4

4

m m

2

2

24

4

2 04

TN 6.9: Tìm giá trị nhỏ nh t của m ể 3 x42x2 1 33 x2    có nghiệm.1 1 m 0

2 1

5 4

Ta chỉ cầ xé ờng hợp x  và 0 m  K ểu thức vế ề x ịnh 0

Đ t y2 x2 x m và z2 x m y z,  0

Ta có hệ

222