Ôn tập trọng tâm kiến thức môn Toán lớp 12 : Phần 2 - Trần Đình Cư

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Bài giảng trọng tâm Toán 12 sẽ tiếp tục trình bày kiến thức lý thuyết và bài tập về chủ đề: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng; Số phức; Khối đa diện; Mặt nón, mặt trụ và khối trụ;... Cùng tham khảo để nắm được chi tiết nội dung cuốn sách nhé các bạn.

Trang 1

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 163

G x F x  cũng là một nguyên hàm của C f x trên   K

Định lý 2: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x  đều có dạng F x C,với C là một hằng số

Hai định lý trên cho thấy:

Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì   F x C, C  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên  K Kí hiệu

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Trang 2

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu ( ) f u duF u( )C và uu x( ) có đạo hàm liên tục thì:

A 0dx C B

5

4d5

Trang 3

Trang 4

A 4 2 3

3

C x

Câu 9: Họ các nguyên hàm của hàm số f x 5x46x2 là 1

Trang 5

Câu 10: Nguyên hàm của hàm số   2018

f x x , (x ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

d12

I u u C Iu u5d D 1 5

d4

Trang 6

Trang 7

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 2

11

Vậy  f x dx x ln x 1 1 là một nguyên hàm của f x  

Câu 6: Biết F x là một nguyên hàm của     1

Trang 8

Trang 9

Câu 11: Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2

  trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b

c là phân số tối giản Khi

F x x  x Vậy  1 1 1ln 3

2

F    a1; b1; c  2 a b c   4

Câu 13: Cho hàm số f x xác định trên   1

\2

Trang 10

Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x  x trên 1 0; 

3 320192

Trang 11

13

It t t t C  I 23x x C

Trang 12

Trang 13

 

0 0

3 7

F F

C m



Lời giải

Chọn B

Trang 14



2 2

1

12

3

u

u u u

Xét ln cos ' cos ' sin tan



I c xdx



Trang 15

A  f (x)dx   cot x cos x C   B  f (x)dx   tan x cos x C  

C  f (x)dx   cot x cos x C   D  f (x)dx   tan x cos x C  

Lời giải Chọn A

Ta có

1 2

1 sin cos

Câu 6: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A f x sin 2x và g x cos2x B f x tan2x và   12 2

Trang 16

Chọn D

Vì  2 /

sin x 2sin cosx xsin 2x

Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x e2x

Theo công thức nguyên hàm cơ bản eax bdx 1eax b C

Trang 17

F x ax b e là nguyên hàm của hàm số 2 3  x

y x e Khi đó ab là

Trang 18

sin 3xdx

u x dv

Trang 19

Trang 20

Khi đó  2 sin 3  2 cos3 1sin 3

Trang 21

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 183

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

1.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]a b

và  u x( )   Giả sử có thể viết f x( ) g u x u x x( ( )) ʹ( ),  [ ; ],a b với g liên tục trên đoạn [ ; ]  

Khi đó, ta có:   ( )

( )

( ) ( )

u b b

Trang 22

Bài toán: Tính tích phân   ( ) ( )  

Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cả cận

Dấu hiệu chung:

Nếu hàm số chứa căn  đặt tcăn

Nếu hàm số chứa mẫu  đặt tmẫu

Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt tbiểu thức chứa lũy thừa bậc cao

d 1

x x I

sin d

Trang 23

adt

t a

t

Nếu hàm f x  có chứa x2 a2 thì

đặt  sin

a x t

2

cos sin cos sin

dx

t t

Trang 24

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

2 0

Trang 25

Ta có f (x)  

12

34

21

Mà f( )0 =1c1 f(x)x2 xln2x11

Câu 5: Cho

3 1 4 0

1ln1

1 3

4

x dx I

0 1

dx I

x

=+

ò theo các bước Bước 1: Đặt tan ,x= t suy ra

Các bước làm trên, bước nào bị sai

A Bước 3 B Bước 2 C Bước 1 D Không bước nào sai

Trang 26

Câu 7: Tích phân

1

0 2 5

dx dx

1 5ln

435-

Lời giải Chọn B

Câu 8: Tính tích phân

2

2 1

1

ln1

Lời giải Chọn C

x

=+

ò bằng

2

Câu 11: Biết

1

1 2

-= ++

ò với , a b là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phương pháp: Chia tử cho mẫu

Trang 27

ìïï =ïïï

ïïïî

Câu 12: Cho

2 2 1

Trang 28

Câu 14: Tích phân 1 2

2 0

1

d ln1

d ln 3 ln 2( 1)

Ta có dx 2 dx 2 x C

x  2 x  

Trang 29

Câu 2:

3 2

31

x dx x

Trang 30

-ç

= - = ççè - - + ÷÷ø = +

ì =ïï

27-

I = ò x + xdx và u= 2x+1 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A 3 2( 2 )

1

12

Trang 31

u= 2x+1u du=x dx Đổi cận ta có: u=1 khi x=0

,1

n

x =+

n là một phân số tối giản Tính m-7 n

íï =  =ïî

141

7 141 7.20 120

1

m

n n x

ì =ïï

Ta có

0 0

Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản Lời giải:

Trang 32

Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản

Dùng máy tính bỏ túi tính

1

2 2 2

Ta có

4

4 0 0

Trang 33

Cách 1:

1 2 0

13

với Start: 0, End: 18, Step: 1

Được cặp số x2, f x  thỏa mãn Suy ra 3 a2,b3

Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác

4 2 0

Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân

Trang 34

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=x-sin2x là

A

2

cos22

6 6

Ta có

3 3

11

ì =ïïï

= = - íï =-ïïî  =

4 2 0

2 0

1

4os

Trang 35

Câu 7: Kết quả của tích phân 2 ( )

A a+2b=8 B a b+ =5 C 2a-3b=2 D a b- =2

0 0

Đặt t=sinxdt=cosxdx

12

t p t

ì =  =ïï

ïí

ï =  =ïïî

Trang 36

2

x x

Sau khi nhân thêm 2 ta được a  2,b      4 a b 6

Câu 5: Giá trị của 

Trang 37

1 sin 2 sin 2 d 2

0 0

1 sin 2 2 sin 2 d 2

C  2 π  π

0 0

1 sin 2 2 sin 2 d 2

0 0

1 sin 2 sin 2 d 2

1 sin 2 sin 2 d

1 4

Lời giải Chọn D

Trang 38

A S 60. B S 70. C S 72. D S 68.

Trang 39

4 2

a b c

Trang 40

Câu 16: Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  thỏa mãn 2F   1 F 0  1 và    

Trang 41

ln 2 ln ln 3 ln 2 ln 6 2

Trang 42

Ta có     



2 khi 2 2

Trang 43

Trang 44

x t dx 2 dt t Với x   1 t 1 và x 16  t 4

Khi đó 4  

1

1 2 d

3

0

1 (3 )

Trang 45

A I 5 B I 7 C I 8 D I 10

3

1

4 ( )

3

1

2 ( )

3

1

2 ( )

3

f x dx

Trang 46

2 Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn  a b; , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được xác định: ( )

b

a

S f x dx

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục trên đoạn

 a b; và hai đường thẳng x a , xb được xác định: ( ) ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường xg y( ), x h y ( ) và hai đường thẳng

y f x

y 0 H

Trang 47

II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY

1 Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

( )

S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x,

(a x b) Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b

2 Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb quanh trục Ox:

( )

xg y , trục hoành và hai đường thẳng yc, y d quanh trục Oy:

V    g y dy

( ) : ( )( ) :

V   f x dx

a

 ( )

y f x y

Trang 48

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x, y 0, x 0, x 2 Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x, y 0, x 0, x 2 có diện tích là

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b ,     được tính theo công thức  d

Tổng quát

Cho hai hàm số y f x  và y g x  liên tục trên D  a b; D

Diện tích giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y g x  và các đường thẳng x a x b , 

là    d

b

a

S f x g x x

Trang 49

Phương trình trục Ox là y 0 Do đó áp dụng cho bài toán trên ta có diện tích cần tìm là:

Trang 50

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x   và trục Oxlà

Câu 7: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C của hàm số yx 1 x2 , trục

hoành, trục tung và đường thẳng x 1 Biết Sa 2 b a b,  Tính a b

Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x2  0  x 0

Trang 51

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 2

là 2   1   2  

S f x xf x xf x x

Câu 9: Cho hàm sốy f x( ) liên tục trên  và có đồ thị là đường cong như hình bên Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x 0,x 2 là

Diện tích Scủa hình phẳng cần tìm là: 2  

0

d

S f x x Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x  0,x 0;2 có nghiệm duy nhất là x 1

Trang 52

Do đó    

S f x x f x x Dựa vào đồ thị ta thấyf x    0, x  0;1 và f x    0, x  1;2

Vậy 1   2  

Sf x xf x x

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx2  2x 8 và trục hoành được xác

định theo công thức nào dưới đây

A 2 

2 4

Câu 11: Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ

Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x  và trục Ox được tính bởi công thức

Từ đồ thị hàm số ta thấy f x  0 với x  3;1, f x  0 với x 1;3

Trang 53

Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:   3 3

Trang 54

A 9.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị:

Câu 3: Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x ; y x; x 5

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H xung quanh trụcOx là

Hình phẳng  H gới hạn bởi các đườngy x ; y x; x 5 như hình vẽ

Bước 3: Từ hình vẽ ta thấy khi cho hình phẳng  H quay xung quanh trục Ox ta được

khối tròn xoay với thể tích là 1  5  1  5 

5 4

y = x

2 1

3

1 2

O

Trang 55

Ta thấy diện tích phần gạch sọc giới hạn bởi các đường y 2 ,x y 2,x 1,x 3 và trên  1;3

đồ thị hàm số y 2x nằm phía trên đồ thị hàm số y 2 nên diện tích phần gạch sọc bằng

Câu 5: Cho hàm số bậc hai yf x  và hàm số bậc ba y g x   có đồ thị như hình vẽ Diện tích

phần gạch chéo được tính bằng công thức nào sau đây?

Dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: x  3;x  1;x 2

Mặt khác, trên khoảng   3; 1, đồ thị hàm y g x   nằm phía trên đồ thị hàm số yf x ; trên khoảng  1;2, đồ thị hàm y f x  nằm phía trên đồ thị hàm số y g x   nên diện tích cần tìm là: 2     1     2    

Câu 6: Cho hàm sốy f x và y g x   có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ a

và b Gọi  H là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này

Trang 56

Diện tích của  H được tính theo công thức

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Trang 57

Xét phương trình: x2    1 x 3 x2   x 2 0 1

2

x x

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y x C  với trục hoành là nghiệm của hệ

x y





  

  C Ox O  0;0 Tọa độ giao điểm của đường thẳng y  6 x  với trục hoành là:   Ox A  6;6

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y x C  và đường thẳng y   6 x  là nghiệm của

x y

Trang 58

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm sốyx3 x;y 2x và các đường x 1;

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm sốyx3 x; y 2x và các đường

3



  dx Bảng xét dấu x3  3x

Ta có         x2 x 2 x2 x 2 0 1

2

x x

 



   Vậy diện tích hình phẳng là

Trang 59

Câu 14: Cho đồ thị hai hàm số yx3  3x2  x 3 và y  x2 2x1 như hình sau

Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây?

Trang 60

Chia phần diện tích S cần tính thành 2 phần S1 và S2 như hình vẽ sau

+ Phần S1: phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f x x3  3x2  x 3,

Trang 61

Xét phương trình hoành độ giao điểm là:  2 3

y x y

Trang 62

A 2

3 6 2

x dx

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol 1 2

2

x

     Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là:

Ta có công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Trang 63

Câu 19: Gọi  H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị

của các hàm số y 3x2, y  4 x và trục hoành Diện tích của  H là bằng bao nhiêu?

Phương trình đường tròn tâm O(0;0), bán kính 2 2 là : x2 y2  8

Trang 64

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn : 2 8 2

Câu 22: Cho hình thang cong  H giới hạn bởi các đường y ex, y 0, x 0, x ln 4 Đường

thẳng xk 0  k ln 4 chia  H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên Tìm k để S1 2S2

A

4

ln 2 3

k B ln8

3

k C k ln 2 D k ln 3

Tiêu đề	Ôn tập trọng tâm kiến thức môn Toán lớp 12 : Phần 2 - Trần Đình Cư
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Huế
Chuyên ngành	Toán lớp 12
Thể loại	Sách giáo khoa và ôn tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Huế

Định dạng
Số trang	207
Dung lượng	9,22 MB