Ôn tập kiến thức Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 2 - Trần Đình Cư

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Bài giảng Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao tiếp tục cung cấp tới người học lý thuyết, các dạng bài tập thuộc chủ đề giới hạn hàm số, hàm số liên tục, vi phân của hàm số... Cùng tham khảo để nắm được chi tiết nội dung cuốn sách nhé các bạn.

WEB: TOANTHAYCU.COM BÀI 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ

 Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng x ;b 0 

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x   khi xx0 nếu với dãy số  xn bất kì,

nghĩa như sau:

* Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng a;

Ta nói hàm số y f x  có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x )n bất kì,

WEB: TOANTHAYCU.COM Nhận xét:

3 Một vài quy tắc về giới hạn vơ cực:

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim f(x) L 0 và lim g(x) hoặc thì lim f(x)g(x)

WEB: TOANTHAYCU.COM

xx ,x x ,x    ,x

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn

3 3

WEB: TOANTHAYCU.COM

Lời giải Chọn A

 2 2

2

x

x x

Chọn B

 

 

2 2

1

1 3 3

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 6: Giá trị của giới hạn 4

1

1 lim

9 lim

1 lim

lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L

lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L







WEB: TOANTHAYCU.COM

Ví dụ 3: Tính 32

x 2

x 2x 3lim

x

x x

2

2 2

2 lim 2 0 & 2 0, 2

x

x x

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 2: Kết quả của giới hạn

2

2 lim

2

x

x x

2

2 2

2 lim 2 0 & 2 0, 2

x

x x

2

x

x x

13 30 lim

Chọn C

Ta có x   3 0 với mọi x   3, nên:

x

x x

x f x

 là:

Lời giải Chọn B

1 lim lim

.

li m 1 0 & 1 0 1

x x

x f x



A a  1. B a  2. C a  3. D a  4.

Lời giải Chọn B

Khẳng định nào dưới đây sai?

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số

LƯU Ý: Định nghĩa được phát biểu hoàn toàn tương tự

Giới hạn vô cực tại vô cực

Cho hàm số xác định trên khoảng với mọi dãy số

WEB: TOANTHAYCU.COM

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tính

Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của tại một điểm có giá trị âm rất nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi ), chẳng hạn tại Máy hiển thị kết quả như hình:

Đó là một giá trị dương rất lớn Vậy chọn đáp án C , tức

Có thể giải nhanh như sau : Vì là một hàm đa thức của nên có giới hạn tại

vô cực Mà với mọi nên giới hạn của tại chắc chắn là

Mà hệ số của trong lớn hơn hệ số của trong nên suy ra

Câu 2: Giá trị của giới hạn  3 2 

WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải

Giải nhanh: x32x23x ~ x3  khi x 

Câu 3: Giá trị của giới hạn lim 2 1 

   là:

Lời giải Chọn B

lim

.1

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 5: Giá trị của giới hạn lim  4 2 7 2 

Lời giải Chọn D

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x 1, để phân tích 1

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x1 1, để phân tích

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner

 Nếu u x  và v x  cĩ chứa dấu căn thì cĩ thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đĩ phân tích chúng thành tích để giản ước

A B lượng liên hiệp là: A B.

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

CALC 1 10   ta được kết quả   24.

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

x



 

Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận

CALC 4 10   ta được kết quả  8.

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

x 4 8 4 2x 8lim

x 4 4 2x 8lim

x 4 x 12 2 x 12 4

x 12 16lim

x

x x

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 2: Giá trị của giới hạn 53

1

1 lim

1

x

x x

3 2

2 2

x

x x

Ta có 3   x 0 với mọi x  3, do đó:

2 2

2 33

3 3

WEB: TOANTHAYCU.COM

 Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu)

 Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số

 ấn CALC 10 15 ta được kết quả 1

Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả 2 1.

  ấn CALC 10 15 ta được kết quả  

Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là 

Ví dụ 3: Tính 44 65

x

3x 2xlim

  ấn CALC 10 15 ta được kết quả 0

Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0

Ví dụ 4: Tính 45 45

x

3x 4x 2lim

2 2

3

51

x 1 1 2xlim

2x

5 3 2

2

5 3 2

WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn D

Khi x thì x 2    x  x 2   1 x  x 2       x x x 2 x 0

 chia cả tử và mẫu cho x, ta được 2

2

3 2

A P min  1. B P min  3. C P min  4. D P min  5.

Lời giải Chọn B

Khi x   thì x 2   x  x 2   1 x  x 2     x x x 0

  Nhân lượng liên hợp:

2 2

lim

lim 1

x

x x

WEB: TOANTHAYCU.COM

1 1 4

b a



Lời giải Chọn B

 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

 Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định    ;0 hoặc chuyển về dạng vô định ;0

Hướng dẫn giải

WEB: TOANTHAYCU.COM 2

Hướng dẫn giải

x x

x

L

x x

2 2

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 4: Giá trị của giới hạn lim 1 2 2 

   là:

Lời giải Chọn B

WEB: TOANTHAYCU.COM 1

WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải

1 lim sin

1

x

x x

WEB: TOANTHAYCU.COM BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng K và x0 K

Hàm số y f x  được gọi là liên tục tại x nếu 0    

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một ''đường liền'' trên khoảng đó

Hàm số liên tục trên khoảng  a b; Hàm số không liên tục trên khoảng  a b;

III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lí 2

Giả sử y f x  và y g x   là hai hàm số liên tục tại điểm x Khi đó: 0

b a

y

O

x

WEB: TOANTHAYCU.COM

Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; và f a f b    0, thì tồn tại ít nhất một điểm

 ;

c a b sao cho f c 0

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; và f a f b    0, thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  a b;

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục tại x 2 khi a 1 2   a 3

Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x 0

A m  0. B m  1. C m  2. D m  3.

Lời giải Chọn D

Tập xác định: D  , chứa x  2 Theo giả thiết thì ta phải có

 2 lim2   lim2 2 2 lim2 1 3.

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 2: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số  

3 2 2 2

khi 1 1

Hàm số xác định với mọi x   Theo giả thiết ta phải có

Hàm số f x  có TXĐ: D0; Điều kiện bài toán tương đương với

Ta có: 1  1 lim1 lim1 1 lim1 1 1 1

Hàm số f x  có tập xác định là  1;  Theo giả thiết ta phải có

A mọi điểm trừ x0,x 1 B mọi điểm x.

C mọi điểm trừ x 1 D mọi điểm trừ x0

Lời giải Chọn B

Hàm số y f x  gián đoạn tại x1

Dạng 3 Hàm số liên tục trên một khoảng

1 Phương pháp

 Để chứng minh hàm số y f x  liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm

số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào

Hàm số y f x   được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Hàm số y f x   được gọi là liên tục trên đoạn a,b nếu nó liên tục trên  a,b và

x alim f(x) f(a), lim f(x) f x b (b)

 lim2   lim2 2 4 lim2 2 2 lim2 2 2 2 4

 Do đóf x  liên tục trên  f x  liên tục tại 2 lim2    2

TXĐ: D Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ; 2; 2;

Khi đó f x  liên tục trên  f x  liên tục tại x2

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 2: Biết rằng hàm số    

Dễ thấy f x  liên tục trên mỗi khoảng  0; 4 và  4;6 Khi đó hàm số liên tục trên đoạn

 0;6 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x4,x0,x 6

khi 1

x x

Hàm số f x  liên tục trên  ;1 và 1; . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên  khi và chỉ khi nó liê tục tại x  1, tức là ta cần có

không tỏa mãn với

mọi a   Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 4: Biết rằng  

2 1 khi 1 1

A a là một số nguyên B a là một số vô tỉ C a  5. D a  0.

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định và liên tục trên  0;1 Khi đó f x  liên tục trên  0;1 khi và chỉ khi

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x  không liên tục trên  B f x  không liên tục trên  0;2

C f x  gián đoạn tại x  1. D f x  liên tục trên 

Lời giải Chọn D

Vậy hàm số f x  liên tục trên 

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số  

2 2

Chọn A

Điều kiện bài toán trở thành: lim3   lim3      3 *

x f x x f x f

3 2 2

khi 2 2

1 khi 2 4

x

x x

2

ma 2

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A f x  liên tục tại x  0. B f x  liên tục trên  ;1 

C f x  không liên tục trên  D f x  gián đoạn tại x  1.

Lời giải Chọn C

gián đoạn tại x  0.

Câu 9: Tìm các khoảng liên tục của hàm số   cos 2 khi 1

1 khi 1

.

f x

x x

Câu 10: Hàm số f x  có đồ thị như hình bên không liên tục tại

điểm có hoành độ là bao nhiêu?

Dễ thấy tại điểm có hoành độ x  1 đồ thị của hàm số bị ''đứt''

nên hàm số không liên tục tại đó

Cụ thể: lim1   0 3 lim1  

x  f x x f x

     nên f x  gián đoạn tại x  1.

x 2

3 y

1 O 1

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x  0

C mọi điểm trừ x  1 D mọi điểm trừ x  0 và x  1

Lời giải

WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn A

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x  1

C mọi điểm trừ x  3 D mọi điểm trừ x  1 và x  3

Lời giải Chọn D

gián đoạn tại x  3.

Câu 13: Số điểm gián đoạn của hàm số   2

WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn A

A mọi điểm thuộc x   B mọi điểm trừ x  0.

C mọi điểm trừ x  1. D mọi điểm trừ x  0; x  1.

Lời giải Chọn C

Hàm số y  f x  có TXĐ: D  

Dễ thấy f x  liên tục trên mỗi khoảng  ;0 , 0;1   và 1; 

không liên tục tại x  1

Dạng 3 Số nghiệm của phương trình trên một khoảng

1 Phương pháp

 Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a và b sao cho f a f b   0

- Hàm số f x  liên tục trên đoạn a;b

- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x0 a;b

 Chứng minh phương trình f x 0có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số a ,b sao cho các khoảng i i a ;bi i rời nhau và

f(a )f(b ) 0, i 1, ,k 

- Phương trình f x 0có ít nhất một nghiệm xia ;b i i

 Khi phương trình f x 0có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :

- f a , f b    không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi

- Hoặc f a , f b   còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x 1 x 2 2x 1 0.     

Hướng dẫn giải Đặt f x   m x 1 x 2 2x 1.   

Tập xác định: D   nên hàm số liên tục trên 

Ta có: f 1 3; f 2      3 f 1 f 2    0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a)  2  3 2

1m x1 x   x 3 0

b) cosx m cos 2x 0

 Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

b) Đặt f x cosx m cos 2x f x  liên tục trên R

 Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

c) Đặt f x m2cosx 22sin 5x 1 f x  liên tục trên R

Câu 1: Cho hàm số f x  4x34x1 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số đã cho liên tục trên 

B Phương trình f x 0 không có nghiệm trên khoảng ;1 

C Phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng 2;0 

D Phương trình f x 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3;1

(i) Hàm f x  là hàm đa thức nên liên tục trên    A đúng

Câu 2: Cho phương trình 2x45x2   Mệnh đề nào sau đây là đúng? x 1 0.

A Phương trình không có nghiệm trong khoảng 1;1 

B Phương trình không có nghiệm trong khoảng 2;0 

C Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2;1 

D Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  0; 2

Lời giải Chọn D

Hàm số f x 2x45x2 x 1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên 

Lời giải Chọn D

Hàm số f x  x 3   3 x 1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng   2; 1 ,   1;0 , 0;2   

Ta có

Câu 4: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  1;4 sao cho f    1 2, f  4  7 Có thể nói gì về

số nghiệm của phương trình f x  5 trên đoạn [ 1;4]  :

A Vô nghiệm B Có ít nhất một nghiệm

C Có đúng một nghiệm D Có đúng hai nghiệm

Lời giải Chọn B

f x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1;4

Câu 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng  10;10 để phương trình

   nên tồn tại b  0 sao cho f b  0  4

Từ  1 và  2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng   ; 1; Từ  2 và  3 , suy

ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng  1;0; Từ  3 và  4 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; .

Vậy khi m  5 thỏa mãn m 10;10  9; 8; 7; 6 

 

      

WEB: TOANTHAYCU.COM CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng  a b; và x0 a b; Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

 

0

0 0

( )lim

0

( )lim

Đại lượng    x x x 0 gọi là số gia của đối số x tại x 0

Đại lượng   y f x    f x 0  f x 0   x  f x 0 được gọi là số gia tương ứng của hàm số Như vậy

0

lim

x

y x

a) Nếu y f x  gián đoạn tại x thì nó không có đạo hàm tại 0 x 0

b) Nếu y f x  liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0

4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

là đạo hàm của hàm số y f x  trên khoảng  a b , kí hiệu là y hay ; f x .

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Dạng 1 Tìm Số gia của hàm số

1 Phương pháp

 Số gia của hàm số y f x   tại điểm x0 là  y f x 0  x  f x 0

 Chú ý rằng số gia y của hàm số là một hàm số của số gia biến số x

WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải

.2



 

 Lời giải

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 6: Tính tỷ số y

 

y x

 

y x

 

Lời giải

  

y

x x x

  

y x x

 

Lời giải

WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải

x

f x fx

2lim

1

x

x xx

1

x

f x fx

1

x

f x fx

Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?

A Nếu hàm số y  f x  không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

B Nếu hàm số y  f x  có đạo hàm tại x 0 thì nó không liên tục tại điểm đó.

C Nếu hàm số y  f x  có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.

D Nếu hàm số y  f x  liên tục tại x 0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải Chọn C

Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x0 Đạo hàm của f tại x0 là:

Ta có Cho f là hàm số liên tục tại x0

WEB: TOANTHAYCU.COM

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 0

1

khi 0 4

Xét    

2

2 2

WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 6: Cho hàm số f x  xác định trên  \ 2  bởi  

 Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số không liên tục tại x  0 B Hàm số có đạo hàm tại x  2

C Hàm số liên tục tại x  2 D Hàm số có đạo hàm tại x  0

Lời giải Chọn D

   nên hàm số không liên tục tại x  0

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x  0

Câu 8: Tìm tham số thực b để hàm số  

2 2

khi 2

6 khi 2 2

Để hàm số có đạo hàm tại x  2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x  2, tức là