Ôn tập kiến thức Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 1 - Trần Đình Cư

Cuốn sách Bài giảng Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư có nội dung trình bày bài giảng môn Toán 11 từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Toán 11. Phần 1 cuốn sách giúp các bạn củng cố lý thuyết và làm quen với các dạng bài tập về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung phần 1 cuốn sách tại đây.

LỚP TOÁN THẦY CƯ- XÃ TẮC- TP HUẾ Trung tâm ứng dụng CN và dạy học MTC

SĐT: 0834 332 133

WEB: TOANTHAYCU.COM CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tập xác định của hàm số côsin là 

y  x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì T  ; hàm

số y  cot x tuần hoàn với chu kì T  

2) Chú ý

● Hàm số y  sinax  b tuần hoàn với chu kì 0

2 T a





● Hàm số y  cosax  b tuần hoàn với chu kì 0

2 T a

tự nhiên nguyên tố cùng nhau )

III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

● Tập xác định D  , có nghĩa và xác định với mọi x   ;

● Tập giá trị T   1;1, có nghĩa   1 sin x  1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,  có nghĩa sinx  k 2  sin x với k   ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

WEB: TOANTHAYCU.COM

● Tập xác định D  , có nghĩa và xác định với mọi x  

● Tập giá trị T   1;1, có nghĩa   1 cos x  1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,  có nghĩa cosx  k 2  cos x với k   ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; 2  k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tanx  k  tan x với k   ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , ;

WEB: TOANTHAYCU.COM

● Tập xác định D   \k k  ,  ;

● Tập giá trị T   ;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tanx  k  tan x với k   ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k   ;  k , k   ;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

x 2

Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau

 y u x  có nghĩa khi và chỉ khi u x  xác định và u x( ) 0

Như vậy, ys in u  x , y c osu x  xác định khi và chỉ khi u x  xác định

 ytanu x  có nghĩa khi và chỉ khi u x  xác định và   ,

Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx  0 x k, k.

Vật tập xác định D\k k,  

xy

x







Hàm số xác định khi và chỉ khi cosx  1 0 cosx  1 x k2 ,  k

Vậy tập xác định D\k2 , k 

sin 2

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin  2 x  0 và tan x xác định

2

sin 1

2 cos 0

WEB: TOANTHAYCU.COM

A D   B D    2; . C D 0;2  D D  

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin  x   0 sin x  1.  *

Mà   1 sin x  1 nên  * sin 1 2 ,

Hàm số xác định khi và chỉ khi .cos cos 1 2

- Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm không chẵn và không lẻ trên D;

- Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f x là hàm không chẵn và cũng không ( )

xy

Ta có:   sin    tan    sin tan sin - tan  

WEB: TOANTHAYCU.COM

Ta có:   cos3 3 1 cos3 3 1 cos33 1  

A y  sin x B y  cos x C y  tan x D y  cot x

A y   sin x B y  cos x  sin x C y  cos x  sin 2 x D y  cos sin x x

Lời giải Chọn C

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D   Do đó      x D x D.

Bây giờ ta kiểm tra f    x f x  hoặc f    x f x .

 Với y  f x   sin x Ta có f     x sin   x sin x    sin x

     Suy ra hàm số y  cos x  sin x không chẵn không lẻ

 Với y  f x  cos x  sin 2 x Ta có f   x cos   x sin 2  x

    Suy ra hàm số y  cos x  sin 2 x là hàm số chẵn

 Với y  f x  cos sin x x Ta có f   x cos    x sin    x cos sin x x

f x f x

     Suy ra hàm số y  cos sin x x là hàm số lẻ

A y  sin 2 x B y  x cos x C y  cos cot x x D tan .

sin

x y x



Lời giải Chọn D

WEB: TOANTHAYCU.COM

A y  sin x B y  x 2 sin x C .

cos

x y x

 D y   x sin x

Lời giải Chọn A

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ

A y  sin cos 2 x x B sin cos 3

2

y x     x     C 2

tan tan 1

x y

x

  D y  cos sin x 3 x

Lời giải Chọn B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

O

Xét đáp án B, ta có   sin cos 3 sin sin 3 sin 4

2

y f x  x  x   x x x

hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung

A y  cos x  sin 2 x B y  sin x  cos x

C y   cos x D y  sin cos3 x x

Lời giải Chọn D

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D là hàm số lẻ

A y  cot 4 x B sin 1.

cos

x y

x



 C y  tan 2 x D y  cot x

Lời giải Chọn A

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

sin

x y x



Lời giải

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn Đáp án C là hàm số lẻ

A y   1 sin 2 x B y  cot sin x 2 x

C y  x 2 tan 2 x  cot x D y   1 cot x  tan x

Lời giải Chọn C

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 10: Cho hàm số f x  sin 2 x và g x  tan 2 x Chọn mệnh đề đúng

Viết lại đáp án B là sin 1 sin cos 

y x   x x



 Viết lại đáp án C là 2 cos sin cos

4

y x   x x



 Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

    Vậy y  sin 2 x không chẵn, không lẻ

A Đồ thị hàm số y  sin x đối xứng qua gốc tọa độ O

WEB: TOANTHAYCU.COM

C Đồ thị hàm số y  tan x đối xứng qua trục Oy

D Đồ thị hàm số y  tan x đối xứng qua gốc tọa độ O

Lời giải Chọn A

Ta kiểm tra được hàm số y  sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy

  1 s inx 1;  1 cosx 1

 0 sin 2x1; 0 cos 2x 1

 0 sinx1; 0 cosx1

 Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản

o Phương trình bậc hai: ax2bx c 0 có nghiệm x khi và chỉ khi 0

0a

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y sinx cosx  ; b) y 3 sin 2xcos 2x

Ta có   1 sin x   1   3 3sin x   3   5 3sin x   2 1

1

5

M y

Ta có   1 cos 2 x   1   3 3cos 2 x   3   2 3cos 2 x   5 8

Ta có   1 sin x   1   1 sin x   1   3 3sin x  3

Ta có y   5 4 sin 2 cos 2 x x   5 2 sin 4 x

Mà   1 sin 4 x   1   2 2 sin 4 x   2    3 5 2 sin 4 x  7

3 y 7 y y 3;4;5;6;7

        nên y có 5 giá trị nguyên

WEB: TOANTHAYCU.COM

A m   2016 2. B m   2. C m  1. D m   2017 2.

Lời giải Chọn B





Áp dụng công thức sin sin 2 cos sin

Ta có y  sin 4 x  cos 4 x sin 2 x  cos 2 xsin 2 x  cos 2 x  cos 2 x

Ta có   1 cos 3 x   1   0 cos 3 x   1   0 2 cos 3 x  2

 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2  2.

Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số y  sin 6 x  cos 6 x

Ta có y  sin 2 x  2 cos 2 x sin 2 x  cos 2 x cos 2 x   1 cos 2 x

Ta có y  8 sin 2 x  3cos 2 x  8 sin 2 x  3 1 2 sin  2 x 2 sin 2 x  3.

Mà   1 sin x   1   0 sin 2 x   1   3 2 sin 2 x   3 5

Ta có y  2 sin 2 x  3 sin 2 x   1 cos 2 x  3 sin 2 x

Ta có 4 sin 2 3cos 2 5 4sin 2 3cos 2

               nên có 3 giá trị thỏa mãn

Câu 22: Hàm số y  cos 2 x  2 sin x  2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có y  cos 2 x  2 sin x    2 1 sin 2 x  2 sin x  2

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Dấu ''  '' xảy ra sin 1 2  .

Ta có   1 cos x   1   0 cos 2 x  1

4 7 3cos x 7 2 7 3cos x 7

cho bởi một hàm số 4 sin  60 10

nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

3cos 12.

8 4

t

h     

  Mực nước của kênh cao nhất khi:

A t  13 (giờ) B t  14 (giờ) C t  15 (giờ) D t  16 (giờ)

   thì hàm số f có chu kì  là bội chung nhỏ nhất của  1, 2, , n

 Nếu hàm số y f x  tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y f x c(c là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T

A Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 

B Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 

C Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 

D Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì 

Lời giải Chọn C

Vì hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 

A y  sin x B y   x sin x C y  x cos x D y sinx.

x



Lời giải Chọn A

Hàm số y   x sin x không tuần hoàn Thật vậy:

 Tập xác định D  

 Giả sử f x T   f x ,   x D

x T sinx T x sin , x x D

        Điều này trái với định nghĩa là T  0

Vậy hàm số y   x sin x không phải là hàm số tuần hoàn

Tương tự chứng minh cho các hàm số y  x cos x và y sin x

x

 không tuần hoàn

A y  cos x B y  cos 2 x C y  x 2 cos x D 1 .

Hàm số y  sinax  b tuần hoàn với chu kì T 2

Hàm số y  cosax  b tuần hoàn với chu kì T 2

  tuần hoàn với chu kì T4 

2

y    x  

Hàm số y  cos 2 x tuần hoàn với chu kì 1

2 2

Hàm số y  cos3 x tuần hoàn với chu kì 1

2 3

T  Hàm số y  cos 5 x tuần hoàn với chu kì 2

2 5

T  Suy ra hàm số y  cos3 x  cos5 x tuần hoàn với chu kì T  2 

T   

Suy ra hàm số 3cos 2 1 2 sin 3

2

x

y x       tuần hoàn với chu kì T4 

Hàm số sin 2

3

y   x     tuần hoàn với chu kì 1

2 2

    tuần hoàn với chu kì T2 

Câu 11: Tìm chu kì T của hàm số y  tan 3  x

3

3

3

3

T 

Lời giải Chọn D

Hàm số y  tanax b   tuần hoàn với chu kì T

Hàm số y  cotax b   tuần hoàn với chu kì T

a





WEB: TOANTHAYCU.COM

Áp dụng: Hàm số y  tan 3 x tuần hoàn với chu kì 1

3

T Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T 2  

Suy ra hàm số y  tan 3 x  cot x tuần hoàn với chu kì T  

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2

y   x tuần hoàn với chu kì T  3 

y    x      tuần hoàn với chu kì T4 

Câu 15: Tìm chu kì T của hàm số y  2 cos 2 x  2017.

Lời giải Chọn C

Ta có y  2 cos 2 x  2017  cos 2 x  2018.

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T  

Ta có 2.1 cos 2 3.1 cos 6 13cos 6 2 cos 2 5 

6 3

T   Hàm số y   2 cos 2 x tuần hoàn với chu kì T 2  

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T  

Câu 17: Tìm chu kì T của hàm số y  tan 3 x  cos 2 2 x

Ta có tan 3 1 cos 4 12 tan 3 cos 4 1 

2

4 2

T   Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T  

Dạng 5 Đồ thị của hàm số lượng giác

WEB: TOANTHAYCU.COM

- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v  k T i .0 về bên trái và

phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox)

Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số

Tịnh tiến theo vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy

8



316



524



4



516



38



3



2

Hướng dẫn giải

Hàm số y = cos

3Miền xác định: D=

Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên miền 0;6

WEB: TOANTHAYCU.COM

x

0 34



32



216



336

Ta thấy tại x  0 thì y  1 Do đó loại đáp án C và D

Ta thấy:

Tại x  0 thì y  0 Do đó loại B và C

Tại x   thì y   1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa

Ta thấy:

WEB: TOANTHAYCU.COM

Tại x  0 thì y  1 Do đó ta loại đáp án B và D

Tại x  3  thì y  1 Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn

x  thì y1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn

ở bốn phương án A, B, C,D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  sin x B y  sin x C y  sin x D y   sin x

Lời giải Chọn D

Ta thấy tại x  0 thì y   1. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn

ở bốn phương án A, B,C,D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  sin x B y  sin x C y  cos x D y  cos x

Lời giải Chọn A

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn

Ta thấy tại x  0 thì y  0 Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn

ở bốn phương án A, B, C,D

WEB: TOANTHAYCU.COM

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  tan x B y  cot x C y  tan x D y  cot x

Lời giải Chọn C

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 Do đó ta loại đáp án A và B

Hàm số xác định tại x   và tại x   thì y  0 Do đó chỉ có C thỏa mãn

WEB: TOANTHAYCU.COM

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y   1 sin x B y  sin x C y   1 cos x D y   1 sin x

Lời giải Chọn A

Ta có y   1 cos x  1 và y   1 sin x  1 nên loại C và D

Ta thấy tại x  0 thì y  1 Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa mãn

ở bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y   1 sin x B y  sin x C y   1 cos x D y   1 sin x

Lời giải Chọn B

Ta có y   1 cos x  1 và y   1 sin x  1 nên loại C và D

Ta thấy tại x   thì y  0 Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa

WEB: TOANTHAYCU.COM BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Vẽ đường tròn lượng giác tâm O, trục hoành là truc cosin, trục

tung là trục sin Trên trục sin lấy điểm Ksao cho OK a. Từ

Kkẻ đường vuông góc với truc sin,cắt đường tròn lượng giác tại

M và M’đối xứng với nhau qua trục sin (nếu a 1 thìMtrùng

với M’  Từ đó ta thấy số đo của cung lượng giác AM và AM'

là tất cả các nghiệm của phương trình (1)

Gọi là số đo radian của cung lượng giác AM ta có:

thì ta biết  arcsin(đọc là ac sin a,  nghĩa là

cung có sinbằng a) Khi đó nghiệm của phương trình sin x a được viết là:

d) Các trường hợp đăc biệt:

 a 1 : phương trình sin x 1 có nghiệm là x  k2 ,k 

M'

WEB: TOANTHAYCU.COM

 a 0 : phương trình sin x 0 có nghiệm là x k ,k  

Tương tự trường hợp sin x a. Trên trục cosin lấy điểm

Hsao cho OH a. Từ Hkẻ đường vuông góc với truc cosin,

cắt đường tròn lượng giác tại M và M’đối xứng với nhau

qua trục cosin (nếu a 1 thì Mtrùng với M’) Từ đó ta thấy

số đo của cung lượng giác AM và AM' là tất cả các nghiệm

của phương trình cos x a.

Gọi là số đo radian của cung lượng giác AM, ta có:

Tổng quát, cosf(x) cosg(x) f(x) g(x) k2 ,k  

b) Phương trình cosx cos o có nghiệm là

nghĩa là cung cócosinbằng a).Khi đó nghiệm của phương trình cos x a được viết là:

B

H M' O

M

WEB: TOANTHAYCU.COM

d) Các trường hợp đăc biệt:

 a 1 : phương trình cosx 1 có nghiệm là x k2 ,k  

 a 1: phương trình cos x 1có các nghiệm là x  k2 ,k 

 a 0 : phương trình cosx 0 có nghiệm là x    k ,k 

Hoành độ của mỗi giao điểm là nghiệm của phương trìnhtanx a

Gọi x1 là hoành độ giao điểm tanx1athỏa mãn điều kiện  x1

a) Phương trình tan x tan ,  với là số cho trước, có các nghiệm làx    k ,k 

Tổng quát tanf(x) tang(x) f(x) g(x) k ,k     

a) Phương trình tan x tan ocó nghiệm là

  o o 

Điều kiện của phương trình là x k ,k  .

Căn cứ vào đồ thị y cotx, ta thấy với mỗi số a thì đồ thị y cot x cắt đường thẳng y a tại các hoành độ sai khác nhau mội bội của 

Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trìnhcot x a.

Gọi x1 là hoành độ giao điểm (cotx1a)thỏa mãn điều kiện0 x 1 

Ký hiệu x1arccota (đọc là ac cotang a,  nghĩa là cung có côtang bằng a)Khi đó, nghiệm của phương trình cot x a là

x arccota k ,k Chú ý

a) Phương trình cot x cot ,  với là số cho trước, có các nghiệm làx    k ,k 

Tổng quát, cotf(x) cotg(x) f(x) g(x) k ,k     

b) Phương trình cot x cot ocó nghiệm là

sin x a( a 1); cosx a( a 1);  tan x a; cot x a có vô số nghiệm

Giải các phương trình trên làm tìm tất cả các nghiệm của chúng