TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2022 2023

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = fx, ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hàm số fđồng biến trên K    x x 1 2,  K x , 1  x 2  f x     1  f x 2 

Hàm số f nghịch biến trên K    x x 1 2,  K x , 1  x 2  f x     1  f x 2 

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f x '      0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f x '      0, x I

Trong khoảng I, nếu đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) luôn không âm (f'(x) ≥ 0) và bằng zero tại một số điểm hữu hạn, thì f(x) đồng biến trên I Ngược lại, nếu f'(x) luôn không lớn hơn 0 (f'(x) ≤ 0) và bằng không tại một số điểm hữu hạn, thì f(x) nghịch biến trên I Nếu f'(x) bằng 0 tại mọi điểm trong khoảng I, nghĩa là hàm số không đổi trên đó.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

Để phân tích hàm số, đầu tiên ta tìm các điểm tới hạn bằng cách tính y và xác định các điểm mà y = 0 hoặc không tồn tại Sau đó, lập bảng xét dấu y để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm trong các miền xác định.

Câu 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y  2x 2 4x5 b) 2 5

Câu 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y 6x 4 8x 3 3x 2 1 b) 2 2 1

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x  D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax 2 bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g x( )ax 2 bx c với số 0:

5) Để hàm số y ax 3 bx 2  cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Câu 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y x 3 5x13 b) 3 3 2 9 1

Câu 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y  5x cot( 1)x b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Câu 3 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: a) y x 3 3mx 2 (m2)x m b) 3 2 2 1

Câu 4 Tìm m để hàm số: a) y x 3 3x 2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 b) 1 3 1 2 2 3 1

3 2 y x  mx  mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4 y 3x  m x  m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Câu 5 Tìm m để hàm số: a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1

3 y x  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +) b) y x 3 3(2m1)x 2 (12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +) c) y mx m x m4 ( 2)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0 b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui taộc 1: Duứng ủũnh lớ 1

 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi

Qui taộc 2: Duứng ủũnh lớ 2

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …)

Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi

Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi

Câu 1 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y3x 2 2x 3 b) y x 3 2x 2 2x1 c) 1 3 4 2 15 y 3x  x  x d) 4 2 3

Câu 2 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y (x 2) ( 3 x1) 4 b) 4 2 2 2 1

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0

 Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2  cx d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân bieọt

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

+ y x( ) 0 Ax 0 B, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

Q x (aa  0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác '

a Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et

Câu 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) y x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m 3 b) y2x 3 3(2m1)x 2 6 (m m1)x1 c) y x 2 m m( 2 1)x m 4 1 x m

Câu 2 Tìm m để hàm số: a) y(m2)x 3 3x 2 mx5 có cực đại, cực tiểu b) y x 3 3(m1)x 2 (2m 2 3m2)x m m ( 1) có cực đại, cực tiểu c) y x 3 3mx 2 (m 2 1)x2 đạt cực đại tại x = 2 d) y mx 4 2(m2)x 2  m 5 có một cực đại 1 x2 e) y x 2 2mx 2 x m

Câu 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y x 3 3x 2 3mx3m4 b) y mx 3 3mx 2 (m1)x1 c) 2 5

Câu 4 Tìm a, b, c, d để hàm số: a) y ax 3 bx 2  cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

3 b) y ax 4 bx 2 c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 c) 2

  đạt cực trị bằng –6 tại x = –1 d) y ax 2 bx ab bx a

  đạt cực trị tại x = 0 và x = 4 e) 2 2 2

  đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Câu 5 Tìm m để hàm số : a) y x 3 2(m1)x 2 (m 2 4m1)x2(m 2 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

2 x x x  x   b) 1 3 2 1 y3x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x x 1  2 8 c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

3 3 y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x 1 2x 2 1

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax 3 bx 2 cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0 0

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là: '( ) 2

Câu 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : a) y x 3 2x 2  x 1 b) y3x 2 2x 3 c) y x 3 3x 2 6x8

Câu 2 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: a) y x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m 3 b) y x 3 3(m1)x 2 (2m 2 3m2)x m m ( 1)

Dưới đây là các câu hỏi liên quan đến tìm giá trị m để hàm số có đặc điểm liên quan đến đường thẳng song song hoặc vuông góc với các đường thẳng cho trước Câu 3 gồm ba phần, trong đó phần a yêu cầu tìm m để hàm số y = 2x³ + 3(m-1)x² + 6(m-2)x - 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và song song với y = –4x + 1; phần b yêu cầu xác định m sao cho các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m-1)x² + 6(1/2)m - m x nằm trên đường thẳng y = –4x; phần c tìm m để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm y = x³ + mx² + 7x + 3 lại vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R) a) 0 0

2 Tính chaát: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b f x  f b a b f x  f a b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì

VẤN ĐỀ : Tìm GTLN, GTNN của hàm số theo 2 cách Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có)

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

Câu 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y x 2 4x3 b) y4x 3 3x 4 c) y x 4 2x 2 2 d) y x 2  x 2 e) 2 1

Câu 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y2x 3 3x 2 12x1 treân [–1; 5] b) y3x x 3 treân [–2; 3] c) y x 4 2x 2 3 treân [–3; 2] d) y x 4 2x 2 5 treân [–2; 2] e) 3 1

Câu 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y2sin 2 xcosx1 b) ycos2x2sinx1

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

 Đường thẳng x x 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

 Đường thẳng y y 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim ( ) 0 x f x y

 Đường thẳng y ax b a  , 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim  ( ) ( ) 0  x f x ax b

 Q x là hàm số phân thức hữu tỷ

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x 0

 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

Khi bậc của đa thức P(x) bằng bậc của đa thức Q(x) cộng một, đồ thị hàm số sẽ có hai tiệm cận xiên Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta áp dụng các giới hạn sau: lim (x→∞) [f(x) - (ax + b)] = 0 và lim (x→∞) x [f(x) - (ax + b)] = 0.

Câu 1 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) 2 5

Câu 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) 2

Câu 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) y x 2 4x b)

Câu 4 Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a)y x 2 m x m 2

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn như giao điểm với các trục toạ độ, giúp việc vẽ chính xác hơn Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp, có thể bỏ qua bước này để tiết kiệm công sức Ngoài ra, nên tìm thêm một số điểm trên đồ thị để đảm bảo bản vẽ phản ánh đúng hình dạng của hàm số một cách rõ nét hơn.

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2  cx d a( 0):

 Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị: a > 0 a < 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

3 Hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c a( 0):

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0) cx d

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x d

 c và một tiệm cận ngang là y a

 c Giao ủieồm cuỷa hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y x 3 3x 2 9x1 b) y x 3 3x 2 3x5 c) y  x 3 3x 2 2 d) y (x 1) (4 2 x) e) 3 2 1

Câu 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y x 4 2x 2 1 b) y x 4 4x 2 1 c) 4 3 2 5

Câu 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) 1

Câu 4 Vẽ đồ thị của các hàm số: a) y x 3 3x 2 b) y  x 3 3x 2 2 c) y x 4 2x 2 3 d) 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax 3 bx 2  cx d a( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Phương trình ax 3 bx 2   cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

 Hàm số y ax 3 bx 2  cx d có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT y 0

Câu 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau: a)

Câu 2 Tìm m để đồ thị các hàm số:

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) 2 2 3 ; 2

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) 2 ; 2

 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu d) 2 4 5; 2

 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu e) ( 2) ; 2 3

 cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau f) 2

 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Dưới đây là các bài tập tìm giá trị m để đồ thị các hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt: Trong phần (a), chúng ta xác định giá trị m để hàm số \( y = 3 + 3x^2 + mx + 2 \) và \( y = -x^2 + m y \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt; phần (b), tìm m sao cho hàm số \( y = 3 + 3mx^2 - (1 - 2)m x - 1 \) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; phần (c), với hàm số \( y = -(x_1)(x_2 - mx) + 2 - 3 \), cần xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; phần (d), tìm m sao cho hai hàm số \( y = 3 + 2x^2 - 2x + 2m - 1 \) và \( y = 2x^2 + x^2 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt; phần (e), xác định m để đồ thị của các hàm số \( y = 3 + 2x^2 - m x^2 + 3 \) và \( y = 2x^2 + 1 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Để xác định các giá trị của m sao cho đồ thị các hàm số cắt nhau tại bốn điểm phân biệt, chúng ta cần phân tích từng bài toán cụ thể Trong phần a), hàm số y = 4 - 2x² - 1 cần cắt nhau tại bốn điểm phân biệt, dẫn đến điều kiện về các điểm giao nhau của đồ thị Đối với phần b), phương trình y = 4 - m(m+1)x² + m³ cần xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, đòi hỏi điều kiện về hệ số m để đảm bảo bốn nghiệm phân biệt của phương trình Trong phần c), hàm số y = 4 - (2m - 3)x² + m² - 3m cũng phải có bốn điểm cắt trục hoành phân biệt, yêu cầu xác định phạm vi giá trị của m phù hợp để đảm bảo điều kiện này Từ đó, việc tìm các m phù hợp giúp mở rộng kiến thức về đồ thị hàm số và phân tích các điểm giao nhau trong toán học.

Câu 5 Tìm m để đồ thị của các hàm số: a) 3 1; 2

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất b) 4 1;

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngaén nhaát

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k y c. x m c c A

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Để xác định số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0, ta thực hiện biến đổi thành các dạng đã khảo sát, dựa trên đồ thị của hàm số y = f(x) Việc vẽ và phân tích đồ thị giúp dễ dàng nhận biết số điểm giao của hàm số với trục hoành, từ đó xác định chính xác số nghiệm của phương trình Phương pháp này là một trong những cách hiệu quả để biện luận về số nghiệm của phương trình phức tạp dựa trên hình học của đồ thị hàm số.

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: a) y x 3 3x1; x 3 3x  1 m 0 b) y  x 3 3x1; x 3 3x m  1 0 c) y x 3 3x1; x 3 3x m 2 2m 2 0 d) y  x 3 3 1;x x 3 3x m  4 0 e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax 3 bx 2   cx d 0(a  0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x ( )ax 3 bx 2 cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

Trường hợp 1 : (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung

Cẹ CT f không có cực trị h a f có cực trị h b y y

Trường hợp 2 : (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox

 yf có cực trị CĐ CT y 2 0 ( 2)h

Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

 yf có cực trị CĐ CT y 2 0 ( 3)h

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương x" 0

Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad

Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad

Câu 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 2x 3 3(m1)x 2 6mx 2 0 b) x 3 3x 2 3(1m x)  1 3m0 c) 2x 3 3mx 2 6(m1)x3m12 0 d) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 e) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x  2 m 0 f) x 3 3mx2m0

Câu 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: a) x 3 (m1)x 2 (2m 2 3m2)x2 (2m m 1) 0 b) x 3 3mx2m0 c) x 3 (2m1)x 2 (3m1)x m(  1) 0 d) x 3 3x 2 3(1m x)  1 3m0

Câu 3 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2  1) 0 b) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 c) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x  2 m 0 d) 1 3 0

Câu 4 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2  1) 0 b) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 c) 1 3 5 2 4 7 0

Câu 5 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: a) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x  2 m 0 b) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2  1) 0 c) x 3 3x 2 9x m 0 d) x 3 x 2 18mx2m0 x 1 x A x B x C

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x 0  0 ; ( ) 0 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x 0  0 ; ( ) 0  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

3 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2 bx c px q   có nghiệm kép

VẤN ĐỀ : Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

2 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2 bx c px q   có nghiệm kép

Câu 1 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) ( ):C y x 1  3  (3 m x) 2 mx2; ( ):C 2 trụchoành c) ( ):C y x m x 1   3 ( 1) 1; ( ):  C y x 2  1 b) ( ):C y x 1  3 2x 2 (m1)x m C ; ( ): 2 trụchoành d) ( ):C y x 1   3 2x 2  2 1; ( ):x C y x m 2  

Câu 2 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) ( ):C y x 1  4 2x 2 1; ( ):C 2 y2mx 2 m b) ( ):C y 1   x 4 x 2 1; ( ):C 2 y  x 2 m c) ( ) : 1 1 4 2 2 9; ( ) : 2 2

6 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x ( ) Đồ thị (C) của hàm số y f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x   Đồ thị (C) của hàm số y f x    có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên

Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1): a) (C): y x 3 3x 2 6; (C): y x 3 3x 2 6; x 3 3x 2  6 m (1) b) (C): y x 4 2x 2 3; (C): y x 4 2x 2 3 ; x 4 2x 2  3 m (1) e) (C): 2 2

Câu 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1): a) (C): y2x 3 9x 2 12x4; (C): y2x 3 9x 2 12 x4; 2x 3 9x 2 12x m b) (C): 2

7 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

Q x có toạ độ là những số nguyên:

 Q x , với A(x) là đa thức, a là số nguyên

  yx  Q(x) là ước số của a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số cuûa a

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận Áp dụng Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên: a) 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp : A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB

 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:

 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C): f(x) = 1x m

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1)

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm được m  xA, xB  yA, yB  A, B

Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành  A B

 A, B đối xứng nhau qua trục tung  A B

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b  A A B B 2 x x y y b

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a  A B 2

 Áp dụng Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: a) ( ) :C y x 3 x; d x: 2y0 b)( ) : 4; : 2 6 0

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y k x a b (  )

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: f(x) = k x a b(  ) (1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  A B

Câu 1 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B x A ) 2 (y B y A ) 2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: d(M, ) = 0 0

3) Diện tích tam giác ABC: S = 1 sin 1 2 2   2

2AB AC A2 AB AC  AB AC

Trong bài toán, chúng ta cần tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm A đến M là nhỏ nhất Để chứng minh rằng khi khoảng cách này nhỏ nhất, đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại điểm M, ta xét các trường hợp cụ thể Với đồ thị (C): y = 2 - 1/x và điểm A O(0,0), điểm M thích hợp nhất sẽ nằm trên (C) sao cho AM là nhỏ nhất, và điều này xảy ra khi đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến tại M Tương tự, với đồ thị (C): y = 2x và điểm A(3,0), hay đồ thị (C): y = 2x^2 + 1 và điểm A(9,1), quy trình tìm điểm M tối thiểu dựa vào tính chất hình học, trong đó hai đường thẳng vuông góc xác định điểm M tối ưu trên đồ thị.

Câu 2 Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất a) ( ) :C y2x 4 3x 2 2x1; d y: 2x1 b) ( ) : 2 4 5; : 3 6

HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

LUỸ THỪA

Số mũ  Cơ số a Luỹ thừa a 

2 Tính chất của luỹ thừa

Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 hoặc số mũ nguyên âm, cơ số a phải khác 0 để đảm bảo phép tính hợp lệ Ngoài ra, đối với các lũy thừa có số mũ không nguyên (số thực hoặc phân số), cơ số a cần phải là số dương để các phép toán phù hợp và loại trừ các trường hợp không xác định.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n ab n a b n ; n a n n a b( 0) b  b  ; n p a   n a p (a0); m n a  mn a

Neáu p q thì a a a n m   ; Đặc biệt n a mn a m

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A (1 )r N

Câu 1 Thực hiện các phép tính sau:: a) A     1 3  7 8    3  2 7  2 7     14 7 

Câu 2 Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) 4 2 3 x x ,  x  0  b) 5 b a a b 3 , , 0 a b  c) 5 3 2 2 2 d) 3 2 3 2 3

Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau: a)

Câu 4 So sánh các cặp số sau: a) 0,01  2 và 10    2 b)

  c) 5  2 3 và 5  3 2 d) 5 300 và 8 200 e) 0,001  0,3 và 100 3 f) 4 2 và 0,125   2 g)   2  3 và   2  5 h)

Câu 5 So sánh hai số m, n nếu: a) 3,2 m 3,2 n b)    2 m  2 n c) 1 1

Câu 6 Có thể kết luận gì về số a nếu: a)  a1  2 3   a 1  1 3 b)  2 1 a    3   2 1 a    1 c) 1 0,2 a 2 a

LOGARIT

Chú ý: log a b có nghĩa khi 0, 1 a 0 a

 Logarit thập phân: lgblogblog 10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnblog e b (với lim 1 1 2,718281 n e n

3 Các qui tắc tính logarit

 log ( ) log a bc  a blog a c  log a b log a b log a c c

Câu 1 Thực hiện các phép tính sau: a) 2 1

25 c) log a 3 a d) 4 log 3 2 9 log 2 3 e) log 2 2 8 f) 27 log 2 9 4 log 27 8 g) 3 4

1 7 log log log a a a a a a h) log 6.log 9.log 2 3 8 6 i) 92log 2 4log 5 3  81 k) 81 log 5 3 27 log 36 9 3 4log 7 9 l) 25 log 6 5 49 log 8 7 m) 5 3 2log 4  5 n) 6 8

9 4 o) 3 1 log 4  9 4 2 log 3  2 5 log 27 125 p) log 3.log 36 6 3

Câu 2 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log 14 2 a Tính log 32 49 theo a b) Cho log 3 15 a Tính log 15 25 theo a c) Cho log 2 7 a Tính 1

Câu 3 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log 7 25 a ; log 5 2 b Tính 3 5 log 49

8 theo a, b b) Cho log 3 30 a; log 5 30 b Tính log 1350 30 theo a, b c) Cho log 7 14 a; log 5 14 b Tính log 28 35 theo a, b d) Cho log 3 2 a; log 5 3 b; log 2 7 c Tính log 63 140 theo a, b, c

Câu 4 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa): a) b log a c c log a b b) log log log ( )

 c) log 1 log log ab a a c b c  d) log 1(log log )

3 2 c a b  c a c b , với a 2 b 2 7ab e) log ( 2 ) 2log 2 1(log log ) a x y  a 2 a x a y , với x 2 4y 2 12xy.

HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1 Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y x  ( là hằng số)

Số mũ  Hàm số y x  Tập xác định D

 là số thực không nguyên y x  D = (0; +)

1 y x n không đồng nhất với hàm số y n x n N(  *) b) Hàm số mũ y a x (a > 0, a  1)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị: c) Hàm số logarit ylog a x (a > 0, a  1)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

Chuù yù:   n n n với x nếu n chẵn x n x 1 với x nếu n lẻ

Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y 3 2 x  x 1 b) 4 1

Câu 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y(x 2 2x2)e x b) y(x 2 2 )x e  x c) y e  2 x sinx d) y e 2x x  2 e)

Câu 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yln(2x 2  x 3) b) ylog (cos ) 2 x c) y e x ln(cos )x d) y(2x1)ln(3x 2 x) e) y 1 x 3 x

Câu 4 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: a) x y x e xy x y

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a  1: 0 x log a a b  bx b

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a  1: a f x ( ) a g x ( )  f x( )g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N  (a 1)(M N ) 0 b) Logarit hoá: a f x ( )  b g x ( )  f x ( )   log a b g x  ( ) c) Đặt ẩn phụ:

 , trong đó P(t) là đa thức theo t

Chia 2 vế cho b 2 ( ) f x , rồi đặt ẩn phụ

  t d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: ( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)

( ) đơn điệu và ( ) hằng số f x g x f x g x c

  Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( ) f v( ) u v e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

   Phửụng trỡnh A 2 B 2    0  AB 00 f) Phương pháp đối lập

Nếu ta chứng minh được: ( ) f x( ) M g x M

Câu 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): a)9 3 1 x  3 8 2 x  b) 3 2 2  2 x  3 2 2 c) 5 2 x 7 x 5 35 7 35 0 2 x  x  d) 2 x 2  1 2 x 2  2 3 x 2 3 x 2  1 e) 5 x  x 2  4 25 f)  5 2 1  5 2 1 1 x x x

Câu 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): a)

Câu 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): a)4 x 2 x 1  8 0 b) 4 x  1 6.2 x  1  8 0 c) 3 4 8 x  4.3 2 5 x  27 0

Câu 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): a) 64.9 84.12 x  x 27.16 x 0 b) 3.16 x 2.81 x 5.36 x c) 6.3 2 x 13.6 x 6.2 2 x 0 d) 25 10 x  x  2 2 1 x e) 27 x 12 x 2.8 x f) 3.16 x 2.81 x 5.36 x g) 6.9 13.6 6.4 0

Câu 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): a) 2 3  x  2 3 x 14 b)  2 3  x  2 3 x  4 c) (2 3) x  (7 4 3)(2 3) x  4(2 3) d) 5 21 x 7 5  21 x 2 x  3 e) 5 24  x  5 24 x 10

Câu 6 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a)2 3  x  2 3 x 4 x b)  3 2   x  3 2  x    5 x c) 3 2 2   x  3 2 2 x 6 x d) 3 5 x 16 3  5 x 2 x 3 e) 3 7

Câu 7 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 9 x   3 x m 0 b) 9 x m3 1 0 x   c) 4 x 2 x  1 m d) 3 2 x 2.3 x (m3).2 x 0 e) 2 x (m1).2  x  m 0 f) 25 2.5 x  x   m 2 0

Câu 8 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) m.2 x 2  x  5 0 b) m.16 x 2.81 x 5.36 x c)  5 1  x m  5 1  x 2 x d) 7 3 5 7 3 5 8

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình logarit cơ bản

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit a) ẹửa veà cuứng cụ soỏ

Với a > 0, a  1: log ( ) log ( ) a f x  a g x  f xf x( )( ) 0 (g x( )hoặcg x( ) 0) b) Mũ hoá

Với a > 0, a  1: log ( ) a f x  b a log ( ) a f x a b c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

Dưới đây là các phương trình logarithm cần giải, đã được đưa về cùng cơ số hoặc dạng mũ hoá Phương trình a) log₂[x(x¹−¹)] yêu cầu biến đổi để đưa về cùng cơ số, giúp dễ dàng giải quyết Phương trình b).log₂ x + log₂(2x−1) = 1 cần sử dụng quy tắc cộng của logarithm để hợp nhất và giải Trong phương trình c), log₂(2x−2) = 6, chúng ta sẽ chuyển đổi sang dạng mũ để tìm giá trị của x Phương trình d) và e) là các dạng logarithm phức tạp hơn yêu cầu biến đổi phù hợp để giải Các phương trình f) đến n) cũng liên quan đến việc vận dụng các quy tắc về logarithm, như quy tắc cộng, trừ, chuyển đổi về dạng mũ hoặc sử dụng quy tắc logarithm của các cơ số khác nhau Đặc biệt, phương trình o) yêu cầu hiểu rõ các quy tắc logarithm để giải các biểu thức chứa nhiều phép tính phức tạp Việc giải các phương trình logarithm này giúp củng cố kiến thức về các quy tắc cơ bản của logarithm và kỹ năng biến đổi để tìm nghiệm phù hợp.

Để giải các phương trình logarit, ta cần đưa về cùng cơ số hoặc dạng mũ hoá theo các bước nhất quán, giúp xử lý nhanh chóng và chính xác hơn Trong đó, phương trình (a) yêu cầu cộng các log cùng cơ số để biến đổi thành log của tích, còn phương trình (b) cần biến đổi biểu thức phức tạp thành dạng đơn giản hơn để phân tích Các phương trình (c), (d), (e) đều liên quan đến việc sử dụng các quy tắc logarit như cộng, trừ hoặc quy đổi cơ số để giải quyết hiệu quả Riêng phương trình (f) đòi hỏi áp dụng quy tắc log với biểu thức phân số và biến đổi các biểu thức phức tạp về dạng cơ số phù hợp Việc nắm vững quy tắc cơ bản của logarit để đưa các phương trình về dạng dễ giải là chìa khoá để thành công trong các bài tập này.

Câu 3 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) log (9 2 ) 3 2  x  x b) log (3 3 x   8) 2 x c) log (6 7 ) 1 7   x  x d) log (4.3 3 x  1  1) 2x1

Câu 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log 2 3 x log 2 3 x  1 5 0 b) log 2 2 x3log 2 xlog 1/2 x2 c) log 2 log 4 7 0 x  x 6 d) 2 1 2 2

8 x x  e) log 2 2 x3log 2 xlog 1/2 x0 f) log 16 log 64 3 x 2  2 x  g) log 5 log 1 2 x 5 x  h) log 7 log 1 2 x 7 x  i) 2log 5 2 log 1 x 5 x  k) 3 log 2 x log 4 2 x0 l) 3 log 3 xlog 3 3 x 1 0 m) log 2 3 x 3 log 2 x 4 / 3 n) log 2 3 x 3 log 2 x  2 / 3 o) log 2 2 x 2log 4 1 0

 x  p) log (2 2 2  x) 8log (2 1/4  x) 5 q) log 2 5 x4log 5 25 x 5 0 r) log 5 log 5 9 log 2 5 x  x x 4 x s) log 3 log x 2  9 x1 t)  

Câu 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log xlog ( x2) b) log (x 3) log (x 2) 2 c) log ( 3 x 1) log (2 5 x 1) 2 d) log 2  x  3 log 6 x   log 6 x e) 4log 7   x  3 x f)log 1 2   x log 3 x

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – ẹửa veà cuứng cụ soỏ

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M a N  (a 1)(M N ) 0

Câu 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): a) 2

Câu 2 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) 2.14 x 3.49 x 4 x 0 b)

Câu 3 Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) 4 x m.2 x   m 3 0 b) 9 x m.3 x   m 3 0 c) 2 x  7 2 x  2 m d)  2 1   x 2  2 1  x 2  1   m 0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – ẹửa veà cuứng cụ soỏ

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log a B  0 ( 1)(a B 1) 0; log

Câu 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): a) log 5 (12x)1log 5 (x1) b) log 1 2log2   9 x 1 c) 1 1  

3 log log x 5 0 h) 6 log 2 6 x  x log 6 x  12 i) log2  x  3 1 log 2   x1 l) 3 1

Câu 2 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log 2 x2log 4 3 0 x   b) 5     log 1 2 x  1 log 5 x1 c) 2log 5 xlog 125 1 x  d) log 64 log 16 32 x  x 2  e) log 2.log 2.log 4 x 2 x 2 x1 f) 2 1 1 2

1 x x  k) log 2 3 x4log 3 x 9 2log 3 x3 l) log 9 (3x 2 4x2)1log 3 (3x 2 4x2) m)

NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1 Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH

 AB 2 AC 2 BC 2  AB 2 BC BH AC , 2 BC CH  1 2 1 2 1 2

Trong tam giác ABC, các mối liên hệ về các cạnh và góc được thể hiện qua các công thức như AB = AC * sin C, BC = AC * cos B, và các công thức liên quan đến các bán kính đường tròn ngoại tiếp R, đường tròn nội tiếp r, cùng nửa chu vi p Các độ dài các cạnh a, b, c cùng với các trung tuyến ma, mb, mc đóng vai trò quan trọng trong việc xác định đặc điểm của tam giác và mối liên hệ giữa các yếu tố này Biết các giá trị này giúp hiểu rõ hơn về tính chất hình học của tam giác ABC, cũng như các mối liên hệ trong phép tính các lượng như diện tích, chu vi và các bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.

 Định lí hàm số cosin: a =b 2 2 c 2 –2bc cosA; b 2 c 2 a 2 2ca.cos ;B c 2 a 2 b 2 2ab.cosC

 Định lí hàm số sin: R

 Công thức độ dài trung tuyến:

2 Các công thức tính diện tích a) Tam giác:

 ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH 

Sa b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB AD sinBAD . e) Hình thoi: 1

S AB AD sinBAD 2AC BD. f) Hình thang: S  a b .h

 (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy

Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy

II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

1 Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

2 Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

Điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tập hợp các điểm ngoài này tạo thành miền ngoài của khối đa diện Ngược lại, những điểm nằm trong khối đa diện nhưng không nằm trong hình đa diện chính được gọi là điểm trong của khối đa diện, còn tập hợp các điểm trong này tạo thành miền trong của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện liên quan của nó, trong đó các đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong và điểm ngoài đều phản ánh các thuộc tính của hình đa diện tương ứng Định nghĩa này giúp hiểu rõ cấu trúc của khối đa diện và mối liên hệ giữa các thành phần của nó Việc xác định các yếu tố như đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong và điểm ngoài đóng vai trò quan trọng trong phân tích hình học không gian Các thành phần này không chỉ giúp mô tả hình dạng của khối đa diện mà còn hỗ trợ trong các công trình nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.

- Các hình dưới đây là những khối đa diện:

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt Hình b không phải là hình đa diện do có một điểm đặc biệt trong hình không phải là đỉnh chung của hai đa giác Hình c không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác.

III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU

1 Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình, vì nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Một ví dụ điển hình là phép tịnh tiến theo vectơ v, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho khoảng cách từ M đến M giữ nguyên mọi lúc Phép tịnh tiến theo vectơ v là dạng phép dời hình đặc biệt, đảm bảo tính toàn vẹn của hình dạng trong không gian.

Phép đối xứng qua mặt phẳng \( P \) là một phép biến hình trong đó mỗi điểm thuộc mặt phẳng \( P \) không đổi, còn các điểm không nằm trên \( P \) thì được phản xạ qua mặt phẳng sao cho mặt phẳng \( P \) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối điểm ban đầu và của nó sau phản xạ Điểm ngoài miền trong \( d \) và điểm trong miền ngoài có liên quan đến đặc điểm của phép đối xứng qua mặt phẳng, giúp xác định vị trí của các điểm sau phản xạ trong không gian.

Phép đối xứng qua mặt phẳng P là phép biến hình biến hình H thành chính nó khi mặt phẳng P là mặt đối xứng của hình H Trong khi đó, phép đối xứng tâm O là phép biến hình giữ nguyên điểm O, đồng thời biến đổi mọi điểm M khác thành điểm phản xạ qua tâm O.

O thành điểm M sao cho O là trung điểm của MM

Trong hình học, tâm đối xứng của hình H là điểm O sao cho phép đối xứng qua tâm O biến hình H thành chính nó Phép đối xứng qua đường thẳng Δ là phép biến hình trong đó mọi điểm nằm trên Δ vẫn giữ nguyên, còn những điểm không thuộc Δ được phản xạ sao cho Δ là đường trung trực của đoạn nối điểm ban đầu và điểm phản xạ Đây là những phép biến hình cơ bản giúp hiểu rõ các tính chất đối xứng trong không gian hai chiều.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng  biến hình   H thành chính nó thì  được gọi là trục đối xứng của   H

 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình

 Phép dời hình biến đa diện   H thành đa diện   H  , biến đỉnh, cạnh, mặt của   H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của   H 

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Khi đó:

 Các hình chóp A A B C D     và C ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp    

A A B C D biến thành hình chóp C ABCD )

 Các hình lăng trụ ABC A B C    và AA D BB C    bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng

 AB C D    thì hình lăng trụ ABC A B C    biến thành hình lăng trụ AA D BB C   )

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến đổi hình này thành hình kia, đảm bảo tính đối xứng và đồng dạng Đặc biệt, hai đa diện được xem là bằng nhau khi có một phép dời hình biến đổi đa diện này thành đa diện kia, giúp xác định tính chất hình học của chúng một cách chính xác.

IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Khối đa diện H có thể được chia thành hai khối đa diện H1 và H2 nếu H là hợp của hai khối đa diện H1 và H2 không có điểm chung nào Điều này cho phép phân chia khối đa diện H thành hai phần riêng biệt mà không làm méo mó hình dạng ban đầu Phép chia này giúp dễ dàng phân tích cấu trúc của khối đa diện và phục vụ các mục đích thiết kế, tính toán diện tích và thể tích Việc xác định sự phân chia khối đa diện dựa trên tính chất của các phần không giao nhau đảm bảo tính logic và chính xác trong hình học không gian.

 H2 Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện  H1 và  H2 để được khối đa diện   H

Ví dụ 1 Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối chóp tam giác S ABC và S ACD Ta thấy rằng:

Hai khối chóp S ABC và S ACD không có điểm chung, tức là không tồn tại điểm nào nằm trong cả hai khối chóp cùng lúc Điều này đảm bảo rằng các khối chóp này hoàn toàn riêng biệt và không chồng lên nhau, giúp dễ dàng xác định tính độc lập của từng khối trong không gian Việc nhận biết các khối chóp không giao nhau là quan trọng trong các bài toán về hình học không gian, đặc biệt khi phân tích về thể tích và quan hệ giữa các khối Từ đó, người học có thể hiểu rõ hơn về tính chất của các khối chóp trong không gian 3 chiều và áp dụng vào các bài tập liên quan đến phân tích cấu trúc hình học phức tạp.

 Hợp của hai khối chóp S ABC và S ACD chính là khối chóp S ABCD .

Vậy khối chóp S ABCD được phân chia thành hai khối chóp S ABC và S ACD hay hai khối chóp

S ABC và S ACD được ghép lại thành khối chóp S ABCD .

Ví dụ 2 Cắt khối lăng trụ ABC A B C    bởi mặt phẳng  A BC   Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện A ABC và A BCC B  

Nếu ta cắt khối chóp A BCC B   bởi mặt phẳng

 A B C    thì ta chia khối chóp A BCC B   thành hai khối chóp A BCB  và A CC B  

Vậy khối lăng trụ ABC A B C    được chia thành ba khối tứ diện là A ABC , A BCB  và A CC B  

MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt

Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

Kết quả 6: Cho   H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu số mặt của

  H là lẻ thì p phải là số chẵn

Chứng minh: Gọi M là số các mặt của khối đa diện   H Vì mỗi mặt của   H có p cạnh nên

M mặt sẽ có p M cạnh Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của

C Vì M lẻ nên p phải là số chẵn

Kết quả 7 dựa trên chứng minh kết quả 6 cho biết rằng, nếu H là một đa diện có M mặt, trong đó tất cả các mặt đều là các đa giác đều có p cạnh, thì số cạnh của đa diện H có thể được tính dựa trên các đặc trưng này Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học của đa diện và các mối liên hệ giữa số mặt, số cạnh, và số đỉnh của nó Các nhà hình học có thể áp dụng kết quả này để xác định chính xác số cạnh của đa diện dựa trên số mặt và loại đa giác của các mặt.

Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn

Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M.

Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3

Mỗi khối đa diện bất kỳ luôn có thể được chia thành các khối tứ diện, góp phần vào việc phân tích cấu trúc hình học của chúng Ngoài ra, nếu mỗi đỉnh của khối đa diện đều là đỉnh chung của ba cạnh, thì số lượng đỉnh của khối phải là số chẵn, phản ánh tính chất đáng chú ý của các hình học đa diện này.

(Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn).

KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Khối đa diện H được xem là lồi nếu mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong H đều nằm hoàn toàn trong H Điều này có nghĩa là khối đa diện giới hạn H thoả mãn tính chất lồi, đảm bảo tính liên tục và không có khe hở Khái niệm khối đa diện lồi đóng vai trò quan trọng trong hình học và các ứng dụng liên quan đến thiết kế không gian và hình học tính toán.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Một khối đa diện lồi là khối đa diện mà toàn bộ miền trong của nó luôn nằm về một phía đối diện với mỗi mặt của nó Đặc điểm này đảm bảo tính không lồi của khối đa diện, giúp phân biệt rõ ràng giữa các khối đa diện lồi và không lồi Hiểu rõ đặc điểm này là cơ sở để xác định đặc tính của các khối đa diện trong hình học không gian.

II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

 Các mặt là những đa giác đều n cạnh

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n p , Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều Đó là:

Loại 3;3 : khối tứ diện đều

Loại 3;4 : khối bát diện đều

Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Chú ý Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại n p ; Ta có

 Xét khối mười hai mặt đều

 Xét khối hai mươi mặt đều

KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích của khối hộp chữ nhật:

V abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật

2 Thể tích của khối lập phương: V a 3

3 Thể tích của khối chóp:

V  S h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

4 Theồ tớch cuỷa khoỏi laờng truù:

V S đáy h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

5 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích bằng công thức

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

 Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ dễ dàng tính thể tích của chúng, sau đó cộng các kết quả lại để thu được thể tích tổng thể của khối đa diện ban đầu Phương pháp này giúp tính thể tích hiệu quả và chính xác hơn Để tính thể tích bằng cách bổ sung, ta chia khối đa diện thành các phần nhỏ hơn, tính thể tích từng phần rồi cộng lại nhằm đưa ra kết quả cuối cùng chính xác.

Bạn có thể ghép thêm vào một phần của khối đa diện bằng một khối đa diện khác sao cho thể tích của khối hợp nhất dễ tính toán Việc này giúp đơn giản hóa việc xác định thể tích của hình khối phức tạp Công thức tính thể tích bằng tỉ số thể tích là một phương pháp hiệu quả để xác định thể tích của các khối đa diện mới sau khi ghép thêm Áp dụng công thức này giúp dễ dàng tính toán thể tích tổng thể của hình khối mới, tối ưu hóa quá trình thực hiện và đảm bảo độ chính xác cao trong tính toán thể tích.

Ta có thể vận dụng tính chất sau: a b a c

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

Khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông ABCD với độ dài cạnh a Trong đó, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng \( a\sqrt{2} \) Thể tích của khối chóp được tính dựa trên diện tích đáy và chiều cao, kết quả là \( V = \frac{a^3}{3} \).

Câu 2 Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA4, AB6, BC10 và

CA Tính thể tích V của khối chóp S ABC

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh 7 ,cm

SA ABCD SB, 7 cm Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với độ dài cạnh AB bằng 2a, cho thấy diện tích đáy được xác định rõ ràng Tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, giúp dễ dàng xác định chiều cao của khối chóp Để tính thể tích V của hình chóp S ABC, cần tính diện tích đáy và chiều cao của khối chóp, từ đó áp dụng công thức thể tích hình chóp Chính xác, thể tích của khối chóp này được tính bằng V = (1/3) × diện tích đáy × chiều cao, phù hợp với các quy tắc hình học không gian.

Khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông với cạnh a, trong đó tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, tạo thành một góc 60 độ với cạnh bên SA Để tính thể tích V của khối chóp này, cần xác định chiều cao từ đỉnh S xuống mặt đáy, dựa trên các mối quan hệ hình học và các góc tạo thành trong không gian Phần quan trọng trong bài toán là sử dụng các công thức tính thể tích khối chóp dựa trên diện tích đáy và chiều cao, giúp đưa ra kết quả chính xác cho thể tích V.

Chúng tôi hỗ trợ tính thể tích của khối chóp S ABCD, trong đó đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Để tính thể tích, cần xác định chiều cao của khối chóp dựa trên vị trí của mặt bên và các thông số đã cho, từ đó áp dụng công thức thể tích hình chóp Điều này giúp chúng ta dễ dàng tính được thể tích chính xác của khối chóp S ABCD dựa trên các yếu tố đã đề cập.

Câu 7 Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông tại AvớiAB3 ,cm AC4cm

Hai mặt phẳng   SAB và   SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA5 cmTính thể tích khối chóp S ABC

Câu 8 Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC

Câu 9 Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a

Câu 10 Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45 0 Thể tích khối chóp đó

Câu 11 Cho khối lăng trụ đứngABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA 2a (minh họa như hình vẽ bên)

Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

Câu 12 Tính thể tích V của khối lập phươngABCD A B C D    , biết

Câu 13 Cho khối lăng trụ đứngABC A B C   cóB C 3a, đáyABClà tam giác vuông cân tại B vàACa 2 Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đứngABC A B C   

Câu 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết

AB a, AC 2a và A B 3a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C

Câu 15 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a,

AD a , AB a 5 Tính theo athể tích V của khối lăng trụ đã cho

Câu 16 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE3EB

Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.

Câu 17 Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A, B, C tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC Tính hể tích khối chóp S A B C    theo V.

Câu 18 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B C', ' sao cho 2a

AB a AC  Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD

Câu 19 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng 3

Trong hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, thể tích của hình chóp bằng a³ Để tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta cần sử dụng các công thức hình học không gian liên quan đến thể tích, chiều cao và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí của các điểm trong không gian hình chóp này Các bước tính toán dựa trên đặc điểm của tam giác đều, chiều cao của hình chóp, và các yếu tố liên quan đến thể tích để đưa ra kết quả chính xác về khoảng cách d.

Tứ diện ABCD có các cạnh AB = a, AC = a², AD = a³, với các tam giác ABC, ACD, ABD đều vuông tại đỉnh A Để tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD), ta xác định toạ độ của các điểm dựa trên giả thiết tam giác vuông tại A Nhờ đó, ta dễ dàng tính toán khoảng cách này bằng công thức phù hợp, đảm bảo chính xác và tối ưu trong việc lựa chọn các phương pháp tính toán.

Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, với mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD, cần xác định các tọa độ của các điểm và ứng dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Điều này yêu cầu phân tích mối quan hệ hình học giữa các mặt phẳng và các đường thẳng trong hình chóp, đồng thời sử dụng các công thức hình học không gian phù hợp để tìm ra kết quả chính xác.

KHỐI TRÒN XOAY

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

 Mặt cầu: S O R( ; ) M OM R   Khối cầu: V O R( ; ) M OM R 

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))

 Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính r R 2 d 2

 Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))

 Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung

Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng  Gọi d = d(O; )

 Nếu d < R thì  cắt (S) tại hai điểm phân biệt

 Nếu d = R thì  tiếp xúc với (S) ( đgl tiếp tuyến của (S))

 Nếu d > R thì  và (S) không có điểm chung

4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

Trong hình đa diện, mặt cầu ngoại tiếp là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của hình, còn mặt cầu nội tiếp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện Điều này có nghĩa là tất cả các đỉnh của hình đều nằm trên mặt cầu ngoại tiếp, trong khi tất cả các mặt của hình đều tiếp xúc trực tiếp với mặt cầu nội tiếp.

Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Cách 1 để xác định tâm của mặt cầu là khi (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn thấy hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông Trong trường hợp này, trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó chính là tâm của mặt cầu Phương pháp này giúp dễ dàng xác định tâm của mặt cầu dựa trên quan sát các đỉnh của đa diện.

 Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

– Xác định trục  của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

– Giao điểm của (P) và  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN

Cho đường thẳng  Xét một đường thẳng d cắt  tại O tạo thành một góc  với 0

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón)

● gọi là trục của mặt nón

●d gọi là đường sinh của mặt nón

●O gọi là đỉnh của mặt nón

● Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón

II HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN

Cho mặt nón N với trục , đỉnh O, góc ở đỉnh 2 Gọi

  P là mặt phẳng vuông góc với  tại điểm I khác O Mặt phẳng   P cắt mặt nón theo một đường tròn   C có tâm I

Lại gọi   P ' là mặt phẳng vuông góc với  tại O

● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng   P và

  P ' cùng với hình tròn xác định bởi   C được gọi là hình nón

●O gọi là đỉnh của hình nón

● Đường tròn   C gọi là đường tròn đáy của hình nón

● Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn   C , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón

● Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.)

Hình nón chia không gian thành hai phần rõ ràng: phần bên trong và phần bên ngoài của nó Khi kết hợp với phần bên trong, hình nón được gọi là khối nón, là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian.

MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

Khi hai đường thẳng và Δ sao cho song song với Δ và d đều nằm trong mặt phẳng R, quay quanh trục Δ một góc 360 độ sẽ tạo thành một mặt trụ tròn xoay, còn gọi là mặt trụ Quá trình quay này ứng với việc tạo ra một hình dạng ba chiều có hình dáng trụ, phù hợp trong các ứng dụng hình học và thiết kế kỹ thuật Mặt trụ tròn xoay thường được sử dụng trong mô hình hóa các vật thể thực tế như ống, cột hoặc các phần kết cấu hình trụ trong kỹ thuật.

●  gọi là trục của mặt trụ   T

● gọi là đường sinh của mặt trụ   T

●R gọi là bán kính của mặt trụ   T

II HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY

Cắt mặt trụ   T trục , bán kính R bởi hai mặt phẳng

  P và   P ' cùng vuông góc với , ta được giao tuyến là hai đường tròn   C và   C '

●Phần của mặt trụ   T nằm giữa   P và   P ' cùng với hai hình tròn xác định bởi   C và   C ' gọi là hình trụ

● Hai đường tròn   C và   C ' gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ

● OO' gọi là trục của hình trụ

● Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ

● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ

● Với mỗi điểm M    C , có một điểm M '    C ' sao cho MM' OO' Các đoạn thẳng như MM' gọi là đường sinh của hình trụ

Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ

Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau

Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy

Khi điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M' lên mặt phẳng α, và M' di động trên một đường tròn cố định C, thì điểm M nằm trên một mặt trụ cố định T chứa đường tròn C Mặt trụ T có trục vuông góc với mặt phẳng α, điều này cho thấy mối liên hệ giữa chuyển động của điểm M, hình chiếu M' và đường tròn cố định C trong không gian Paragraph này giúp làm rõ đặc điểm của điểm M khi di chuyển trong không gian dựa trên hình chiếu vuông góc và đường tròn cố định, phù hợp với các tiêu chuẩn SEO cho nội dung toán học.

3 Khối trụ Định nghĩa Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.

DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

Dieọn tớch S4R 2 S xq 2 Rh tp xq 2 đáy

S xq Rl tp xq đáy

VẤN ĐỀ 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU

Câu 1 Cho mặt cầu có bán kính R2 Tính diện tích của mặt cầu đã cho

Câu 2 Cho mặt cầu có diện tích bằng 16a 2 Tính bán kính mặt cầu

Câu 3 Cho khối cầu có bán kính r4 Tính thể tích của khối cầu

Câu 4 Tìm bán kínhR mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2 a

Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa, ADAA' 2 a Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật đã cho

Câu 6 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3 cm

Hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a, trong đó cạnh đáy là 4a Đặc biệt, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, giúp xác định rõ chiều cao của hình chóp Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là 60°, tạo điều kiện để tính các chiều cạnh và khoảng cách trong không gian Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC được xác định dựa trên các yếu tố này, mang ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu cấu trúc hình học của hình chóp trong toán học.

Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, với cạnh bên SA bằng a√6 và vuông góc với mặt đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD được tính dựa trên các yếu tố hình học của hình chóp này, trong đó việc xác định bán kính của mặt cầu phụ thuộc vào các thông số về chiều cao và cạnh đáy Bằng cách sử dụng các công thức hình học, ta có thể xác định chính xác diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD theo a, giúp hiểu rõ hơn về tính chất không gian của hình học không gian này.

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB3a, BC4a, SA12a và

SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Trong bài tập này, chúng ta xem xét tứ diện đều ABCD với cạnh là a Đầu tiên, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều dựa trên tính đối xứng và đặc điểm của tứ diện đều Tâm của mặt cầu nằm tại trung điểm của hình chóp, còn bán kính được tính bằng cách sử dụng các công thức hình học phù hợp, như khoảng cách từ tâm tới các đỉnh của tứ diện Tiếp theo, ta tính diện tích mặt cầu bằng công thức 4πR² và thể tích khối cầu bằng (4/3)πR³, trong đó R là bán kính tìm được Các bước tính này giúp xác định chính xác các đặc trưng hình học của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, đảm bảo đáp ứng các yêu cầu của bài tập một cách chính xác và tối ưu cho SEO.

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a và các cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 độ Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta cần phân tích cấu trúc của hình chóp dựa trên các góc và kích thước đã cho Diện tích mặt cầu có thể được tính dựa trên bán kính xác định, trong khi thể tích khối cầu được tính bằng công thức V = (4/3)πr³, đảm bảo tính toán chính xác dựa trên các dữ kiện liên quan đến hình chóp Nội dung này cung cấp hướng dẫn cụ thể để xác định các yếu tố quan trọng của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều, phù hợp với các yêu cầu về kiến thức có thể tối ưu hóa cho công cụ tìm kiếm.

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S A B C D, , , ,

Câu 13 Hình chóp S ABC có đường cao SA a, đáy ABClà tam giác đều cạnh a.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°, giúp xác định chính xác tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm của mặt cầu ngoại tiếp nằm tại trung điểm của đường cao của hình chóp, còn bán kính được tính dựa trên khoảng cách từ tâm đến đỉnh S hoặc các đỉnh của hình chóp Việc tính toán bán kính mặt cầu ngoại tiếp liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là các mối quan hệ về góc, khoảng cách và tâm của hình chóp đều có vai trò quan trọng trong quá trình xác định kết quả đúng nhất.

VẤN ĐỀ 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN

Câu 1 Cho hình nón có bán kính đáy r2 và độ dài đường sinh l7 Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 2 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3a 2 và bán kính đáy bằng a Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho

Trong không gian, xét tam giác vuông ABC tại A với độ dài các cạnh AB = a và AC = a³ Khi quay tam giác này quanh trục AB, hình thành phần sinh của hình nón cần tính độ dài đường sinh l Để xác định độ dài đường sinh l của hình nón, ta cần tính chiều cao và bán kính của hình nón dựa trên các cạnh của tam giác ban đầu Công thức tính đường sinh của hình nón được áp dụng dựa trên dữ liệu của hình học, giúp xác định chính xác độ dài đường sinh l của hình nón sau khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Câu 4 Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 5 Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có một góc 120 và cạnh bên bằng a Tính thể tích khối nón

Câu 6 Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường tròn đáy bằng 15 Tính thể tích của khối nón đó

Câu 7 yêu cầu tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh huyền là a Để tính thể tích khối nón, ta cần biết chiều cao và bán kính đáy dựa trên thiết diện, trong khi đó diện tích xung quanh được tính dựa trên bán kính của đáy và chiều cao của khối nón Việc xác định các đại lượng này dựa trên hình dạng và kích thước của tam giác vuông cân giúp dễ dàng áp dụng công thức tích phân và hình học để tính toán chính xác Đây là bài toán quan trọng trong việc vận dụng kiến thức hình học để tìm các đại lượng liên quan tới khối nón dựa trên thiết diện qua trục.

Câu 8 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh của hình nón