TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2022 2023

Phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử: là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.. Không gian mẫu:

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY

3

Mục lục

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 7

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 10

ÔN TẬP CHƯƠNG I 13

CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 14

BÀI 1 QUY TẮC ĐẾM 14

BÀI 2 HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP 16

BÀI 3 NHỊ THỨC NEWTON 19

BÀI 4 BIẾN CỐ 21

BÀI 5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 23

CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN 25

BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 25

BÀI 2 DÃY SỐ 27

BÀI 3 CẤP SỐ CỘNG 30

BÀI 4 CẤP SỐ NHÂN 33

CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG 35

BÀI 1 PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP TỊNH TIẾN 35

BÀI 5 PHÉP QUAY 38

BÀI 6 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU 42

BÀI 7 PHÉP VỊ TỰ 45

BÀI 8 PHÉP ĐỒNG DẠNG 47

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG 49

BÀI 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 49

BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 55

BÀI 4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 58

BÀI 5 PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN. 62

- Hàm số tuần hoàn chu kì T 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng

- Hàm số tuần hoàn chu kì T 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ;  k2

- Hàm số tuần hoàn chu kì T 

- Đồng biến trên mỗi khoảng xác định

- Đồ thị:

- Tập xác định: \ k 

- Tập giá trị:

- Là hàm số lẻ

- Hàm số tuần hoàn chu kì T 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

x x

x x

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 3 – 2 sin x b) y = 2 + 3 cosx c) y= 4sinx +3 d) y= - 3sin(

x



i) y= 3 – 4 sin2xcos2x j) y = 2 sin2x – cos 2x k) y=2 cosx1 l) y= 4 5 sin x

m) ysin4xcos4 x n) sin sin 2

7

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM

I PHƯƠNG TRÌNH sin x m

+ Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu m 1: gọi  là một nghiệm của phương trình

sin u sin v  sin u sin( v) 

II PHƯƠNG TRÌNH cos xm

+ Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu m 1: gọi  là một nghiệm của phương trình

3 Một vài lưu ý

cosu  cosv  cosu cos(v)

cos u sin v cos u cos v

tanu  tanv  tanu tan( ) v

cot x m x arc cot m k , k

2 Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cotx 0  x 0  0 

PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN, DẠNG TÍCH

Câu 1 Giải các phương trình sau:

i) sin 3x cot x = 0 j) tan (x – 30o) cos (2x – 150o) = 0

Câu 2 Giải các phương trình sau:

a) sin 3x – cos 5x = 0 b) sin 3x = cos 2x

c) sin x + cos 2x = 0 d) cos 4x + cos 3x = 0

e) sin 2x+ cos x = 0 f) tan 3x + tan x = 0

i) sin 6x + sin 4x = 0 j) tan (3x + 2) - cot 2x = 0

Câu 3 Giải các phương trình sau:

a) sinx + sin3x + sin5x = 0 b) cosxcos2xsinxsin2x

c)sinxsin2xsin3x0 d)sinxsin2xsin3xsin4x0

e) cos2xcos8xcos6x10 f)

2

35sin3sinsin2 x 2 x 2 x

g) cosxcos2xsin3x h)cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác

a u b u c  a Đặt tcotu,điều kiện sinu0

Câu 1 Giải các phương trình sau:

k) tan 42 xtan4x 2 0 l) tan x + cot x = 2

m) tan x – 2 cot x + 1 = 0 n) 5tanx2cotx 3 0

o) 2

2sin x- 3sinx 1 0 p) 2cos 2x3sinx 1 0

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1 Đinh nghĩa: Là phương trình có dạng: a.sinx b cosxc (1) ; với a b c, ,  và a2b2 0

Hoặc a.sinx b cosxc; a.cosx b sinxc

Câu 1 Giải các phương trình sau:

a) 3cosxsinx 2 b)cosx 3sinx1

c) 3 cosxsinx 2 d)cosx 3sinx 2

e) 3 cos7xsin7x 2 f) 3 cos 3xsin 3x 1 0

k) 5sinx2cosx4 l)5 cos 2x + 12 sin 2x – 13 = 0

Câu 2 Giải các phương trình sau:

a)cos7xsin5x 3(cos5xsin7x) b)3sin3x 3cos9x14sin33x

c) 3(1 cos 2 ) cos

2sin

x

x x

f)cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

g)4(sin4xcos4x) 3 sin 4x2 h)sin( 3 ) sin 3 1

i)cos 7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin 5 sin 7x x

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng :

cos x , ta được phương trình 2 2

Câu 1 Giải các phương trình sau:

2sin x7sin cosx xcos x4

3sin 2xsin 2 cos 2x x4cos 2x2

c) sin2 sin 2 cos2 1

a) 2sin2xsin cosx x3cos2x0 b) 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x – 3 = 0 c) 4cos2x3sinxcosxsin2x3 d) 2sin2xsinxcosxcos2x2e) 4sin2x2sin2x3cos2x1 f) cos2xsin2x5sin2x2

g) 3sin2x4sin cosx x5cos2x2 h) 4cos2x3sinxcosx3sin2x1i)

2

1cos22sin

sin2 x x 2 x j) 6sin2xsin cosx xcos2x2

k) 25sin2x15sin 2x9cos2x25 l) 3 sin cos 1

c) 1

sin

e) sinx 1 sinx 2 0

f) sin5x 3 cos5x 2sin7x

CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI 1 QUY TẮC ĐẾM

A LÝ THUYẾT:

1 Quy tắc cộng

a) Định nghĩa: Xét một công việc H

Giả sử H có k phương án H H1, 2, ,H k thực hiện công việc H Nếu có m1cách thực hiện phương án H , có 1 m cách thực hiện phương án 2 H , , có 2 m cách thực hiện phương án k H k và mỗi cách thực hiện phương án H không trùng với bất kì cách thực hiện phương án i H j

(i j i j; , 1, 2, ,k) thì có m1m2  m k cách thực hiện công việc H

m cách thực hiện, công đoạnH có 2 m cách thực hiện,…, công đoạn 2 H k có m cách thực hiện k

Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m m1 2 m k cách

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập A A1, 2, ,A n đôi một rời nhau Khi đó:

1 2 n 1 2 n

Chú ý:

3 Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng; quy tắc nhân

+ Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công

việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?

+ Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H H1, 2, ,H n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H ( i i1, 2, ,n)

+ Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:

Câu 1 Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32 Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu

khác nhau Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ?

Câu 2 Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác

nhau Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn

Câu 3 Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác

nhau

Câu 4 Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người Câu 5 Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn Cứ hai đội

thì gặp nhau đúng một lần Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra

Câu 6 Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến

thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối trực tiếp B với C Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D

Câu 7 Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào

ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau

Câu 8 Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế Hỏi có mấy cách xếp sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau?

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau?

Câu 9 Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ

ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau

b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau

Câu 10 Cho các chữ số 1, 2, 3, , 9 Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3

b) Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123

+ Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy

+ Có  n1 ! cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế

2 Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử n1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho

Định lý 2:      !

!

k n

C C  b) Hằng đẳng thức Pascal: Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với 1 k n Khi đó

1 1

Câu 2 Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách:

a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy

b) Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này

Câu 3 Cho 5 điểm A, B, C, D, E Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 được thành lập từ hai trong năm

điểm trên?

Câu 4 Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm

nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách

Câu 5 Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực Hỏi có bao nhiêu

cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh

17

Câu 6 Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba

loại, số câu dễ không ít hơn hai Hỏi lập được bao nhiêu đề?

Câu 7 Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh? Câu 8 Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ

41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?

Câu 9 Một trung tâm tuyển sinh đại học có 5 cổng Có bao nhiêu cách chọn để một thí sinh bắt

buộc vào một cổng và ra một cổng khác

Câu 10 Có 4 con đường nối liền thành phố A và thành phố B, 2 con đường nối liền thành phố B và

C, 3 con đường nối liền thành phố C và D Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?

Câu 11 Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu:

Câu 12 Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai đều là số chẵn?

Câu 13 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau?

Câu 14 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau?

Câu 15 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai

điểm trong các điểm đó?

Câu 16 Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập được

bao nhiêu tam giác?

Câu 17 Từ tập A 0,1, 2,3, 4,5có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

Câu 18 Một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ Có bao nhiêu cách chọn chọn 1 tổ công tác gồm:

a) 6 người

b) 6 người trong đó có 1 nhóm trưởng

c) 6 người, trong đó có 1 đội trưởng và 1 đội phó

d) 6 người trong đó có cả nam lẫn nữ

e) 6 người sao cho có đúng 3 nam

f) 6 người sao cho có ít nhất 2 nữ

Câu 19 Một cái hộp có 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh Từ cái hộp trên, có bao

nhiêu cách chọn ra:

a) 6 quả cầu

b) 6 quả cầu trong đó có đúng 2 quả cầu trắng

c) 6 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu trắng

d) 4 quả cầu có đủ 3 màu

Câu 20 Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 chiếc ghế được kê thành hàng ngang,

sao cho:

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ

b) Các bạn nam ngồi liền kề

Câu 21 Một bình đựng 12 viên bi, trong đó có 7 bi vàng và 5 bi đỏ Lấy ra 5 viên bi Hỏi có bao

Câu 22 Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song

với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?

Câu 23 Một lớp có 25 em học sinh nam và 25 học sinh nữ Có bao nhiêu cách chọn:

a) 1 ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ và 4 uỷ viên

b) 1 ban văn nghệ gồm 5 em trong đó có đúng 2 em nữ

c) Một đội trực sao đỏ gồm 5 em sao cho có ít nhất 3 em nam

d) Một đội trực nhật gồm 4 em sao cho có nhiều nhất là 2 em nữ

Câu 24 Có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng, một lớp phó, một thủ quỹ từ một lớp có 40 em? Câu 25 Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu số:

a b được cho bởi công thức sau:

Với a b, là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton)

Trong biểu thức ở VP của công thức (1)

n n n

4 Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất

ghi hai số 1 Nếu biết hàng thứ n n1thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai

số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này Sau đó viết số 1

ở đầu và cuối hàng

- Xác định số hạng tổng quát của khai triển T k1C a n k n k b k(số hạng thứ k 1)

- Từ T k1 kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến k .)

- Giải phương trình để tìm kết quả

Câu 1 Xác định hệ số của x25.y trong khai triển 10  3 15

  , hãy xác định số hạng không chứa x

Câu 6 Xác địn số hạng thứ 5 trong khai triển a2 1

2

1

2x x

  , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ?

Câu 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 12 3

n

x x

n n , x0

Câu 9 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 13

n

x x

21

BÀI 4 BIẾN CỐ

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM

I PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU

1 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử): là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

2 Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian

mẫu của phép thử đó và ký hiệu là 

Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó, tuy

nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N)

Không gian mẫu của phép thử là  S N; 

II BIẾN CỐ

1 Một biến cố A(còn gọi là sự kiện A) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử Tlàm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

2 Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi A Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ

A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A

Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A

3 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T Biến cố chắc chắn được

mô tả bởi tập  và được ký hiệu là 

4 Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố không thể được mô tả bởi tập 

5 Các phép toán trên biến cố

* Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử Ta có:

* Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B

* Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B

* Nếu A  B thì ta nói A và B xung khắc

Dạng 1 : Mô tả biến cố, không gian mẫu

Câu 1 Xác định không gian mẫu của phép thử : « Gieo một con súc sắc » Xác định biến cố A:

« Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ »

Câu 2 Hãy mô tả không gian mẫu  khi tung ba đồng xu

Câu 3 Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số

23

BÀI 5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM

I Phép thử và biến cố

1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

 Kết quả của nó không đoán trước được;

 Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ (đọc là ô-mê-ga)

2 Biến cố

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A

Tập hơp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A hoặc n A( )

 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T , kí hiệu là 

 Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, kí hiệu là 

II Tính chất : Giả sử  là không gian mẫu, A và B là các biến cố

 \ AA được gọi là biến cố đối của biến cố A

 AB là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra

 AB là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra A  B còn được viết là AB

 Nếu AB , ta nói A và B xung khắc

III Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  là một tập hữu hạn Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng   A Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P A( ), được cho bởi công thức

( ) A





Câu 1 Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5

viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

Câu 2 Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tính xác suất sao cho 2người được chọn đều là nữ

Câu 3 Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau

Câu 4 Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ

Câu 5 Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tính xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ

Câu 6 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia

Câu 15. Một sọt Cam có 10trái trong đó có 4 trái hư Lấy ngẫu nhiên ra 4 trái

a) Tính xác suất để lấy được 3trái hư

b) Tính xác suất để lấy được 1trái hư

c) Tính xác suất để lấy được ít nhất 1trái hư

Câu 16. Một hộp gồm 10 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi a) Tính xác suất để thu được 3 viên bi cùng màu

b) Tính xác suất để thu được 3 viên bi khác màu

đó Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh

Câu 19. Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15 nam và 20 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3 Tính xác suất để trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam

và nữ

25

CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN

BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

1 Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên

*

n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1.

Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n 1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n 2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên

*

n

2 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số tự nhiên) thì:

Bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

Bước 2 giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n k p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1.

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng: Ứng dụng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức ( )P n Q n( ) (hoặc P n( )Q n( )) đúng với

0, 0

   ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P n( ), ( )0 Q n0 rồi chứng minh P n( )0 Q n( )0

Bước 2: Giả sử P k( )Q k( ); k ,k n 0, ta cần chứng minh

Câu 2 Chứng minh với mọi số tự nhiên n1 ta luôn có: 1 3 5 2    n 1 n2

Câu 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, ta luôn có



c) 3 3 3 3  

21

trong đó u n u n hoặc viết tắt là u n , và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là

số hạng tổng quát của dãy số

2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1,2,3, ,m với m * được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là u u u1, , , , ,2 3 u n trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n 1 u n với mọi n *

Dãy số u n được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n 1 u n với mọi n *

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số u n với u n 3n tức là dãy 3,9, 27,81, không tăng cũng không giảm

Lưu ý: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u 1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u 1

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP





 Viết năm số hạng đầu của dãy số

Câu 6 Cho dãy số u n , biết

3 1

n

u 

 Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là

Câu 7 Cho dãy số u n , biết 1

n

n u

n Số

8

15 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 8 Cho dãy số u n , biết 2 5.

n

n u

7

12 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 9 Cho dãy số u n , biết 2 1

.1

n

n u

2

13 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 10 Cho dãy số u n , biết u n n3 8n2 5n 7 Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Dạng 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp giải tự luận



Nếu u n 1 1

u

  thì (u n) là dãy số tăng

29

Nếu 1

1

n n

u u

  thì (u n) là dãy số giảm

Câu 1 Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n)biết u n 3n6

Câu 2 Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n)biết 5

2

n

n u n

u n

1

n

n u n

Câu 3 Xét tính bị chặn của dãy số (u n)biết

BÀI 3 CẤP SỐ CỘNG

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng

Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng

2) Cấp số cộng  u n là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0

3) Cấp số cộng  u n là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0

Tính chất: Trong một cấp số cộng  u n , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình

cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

n u u

S  

.2

Câu 1 Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Câu 2 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai

a) Dãy số  a n , với a n 4n3; b) Dãy số  b n , với 2 3

Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số cộng trên

Câu 7 Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 2 3 5

1026

Câu 3 Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC Tính độ dài ba cạnh

của tam giác theo a

DẠNG 3 : TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG

n u u

S  

(1) hoặc 1 ( 1)

.2

Câu 4 Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: u n 7n3

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC

b) Tìm u2012.

c) Tính tổng 100 số hạng đầu