Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề giải phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là t... Ta biến đổi phương trình thành:... .Vậy tập nghiệm của phương trình 1 là... Chia 2 vế của phương trình cho x3 ta được:... Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH CH

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ:

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG

Bài 4: Giải phương trình: x4 2x3 4x2 2x  1 0

Bài 5: Giải phương trình: x4 3x3 6x2   3 1 0x

Bài 7: Giải phương trình: x43x34x2  3 1 0x

Bài 8: Giải phương trình: 3x413x316x213x 3 0

Bài 9: Giải phương trình: 6x4 5x3 38x2   5x 6 0

Bài 10: Giải phương trình: 6x4 7x3 36x2 7x  6 0

Bài 11: Giải phương trình: 2x4 x3 6x2  x 2 0

Bài 12: Giải phương trình: 2x45x36x2  5x 2 0

Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4 x3 2x2  x 1 0

Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4    x3 x2 x 1 0

HD:

Biến đổi phương trình thành: x2  x 1 x2  x 2  0

Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG x a x b x c x d           k

Phương pháp:

Nhận xét về tích a d b c   , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ

Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung

Bài 1: Giải phương trình: x 7 x 5 x 4 x 2  72

Bài 4: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x 5  40

Bài 5: Giải phương trình: x x  1 x 1 x 2  24

Bài 6: Giải phương trình: x 4 x 5 x 6 x 7  1680

Bài 7: Giải phương trình: x x  1 x 1 x 2  24

Bài 8: Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7  297

Bài 9: Giải phương trình: x x  1 x 2 x  3 24

Bài 10: Giải phương trình: x 2 x 2 x2  10  72

6x 7 3x 4 x  1 6

HD:

Nhân hai vế với 12 ta được:   2   

6x 7 6x 8 6x 6  72 Đặt y6x7

Bài 15: Giải phương trình: 4x 1 12  x 1 3  x 2 x   1 4 0

Bài 16: Giải phương trình:  2 2 





           Với t  2 x2 2x     12 0 x 1 13

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:x 3;x4;x 1 13

Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

Bài 6: Giải phương trình:   4 4

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

Bài 1: Giải phương trình:  2  2 2 

2x  3x 1  5 2x  3x  3 24 0 

Bài 2: Giải phương trình:  2  2 2 

x x  x x Bài 3: Giải phương trình:  2 2  2 

Đặt

1

1 2 2

Phương trình trở thành: y3  z3 t3 0 vậy yzt0 x 1 x 2 1 2   x  0

Bài 10: Giải phương trình:   3  3 3

x  

Bài 14: Giải phương trình: x2  1 x2  4x  3 192

HD:

Biến đổi phương trình thành:

Bài 15: Giải phương trình: 3   3  3 3

Vậy phương trình có hai nghiệm:x 0;x  6

Bài 18: Giải phương trình:  3 3 3

Bài 19: Giải phương trình: x2  x 2 x2   x 3 6

Với t 3 thì x2 x 2 3 x2 x 5 0 x 1 2 21

 

.Vậy tập nghiệm của phương trình là

1 21 1 21 1;0; ;

hoặc

5 6

x 

Với t 4 thì 2 2

36x  84x 48    4 36x  84x 52 0  , phương trình này vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 22: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x  5 10

HD:

Đặt

3 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   6 3; 6 3   

Bài 23: Giải phương trình: x2  x 2 x2  2x 2 2x2

Vậy tập nghiệm của phương trình là

t

Với t1 thì x 1x 1 x2 x 1 0 x 1 2 5

1 3

2 50

25 2

Với

9 2

Điều kiện x     1; 2; 3; 4;0 Ta biến đổi phương trình thành:

x 

.Bài 31: Giải phương trình:

Do x0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của

mỗi phân thức ở vế trái của phương trình cho x, rồi đặt

7 4

.Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là

PT trên thành: 3t2  6xt 20t  0 t t3  6x 20    0 t 0 hoặc 3t   6x 20

Với t 0 thì x2   6 0, suy ra x  6 (thỏa mãn đk)

Với 3t  6x 20 ta có 3x2     18 6x 20 hay 3x2  6x  2 0 suy ra

  ĐK: t 5 ,x t  x Khử mẫu thức ta được PT tương đương

(thỏa mãn ĐK)Với t x thì 3x2    2 x 3x2   x 2 0 Phương trình vô nghiệm Với

11 2

x

.Vậy tập nghiệm của PT(5) là

Bài 40: Giải phương trình: x44x319x2106x120 0

Bài 41: Giải phương trình: 4x412x35x26x 15 0

Bài 42: Giải phương trình : x4 8x 7

   

2

2t    t 1 0 2 1t t  1 0

Bài 45: Giải phương trình: x44x36x24x24 0

Bài 46: Giải phương trình:  3    

 2

13 1 1

2 7

x x

  , phương trình trở thành: 2 7  y2  13yy 2 1 7   y  0 Bài 49: Giải phương trình:  2 3 6  3

x x

x x x x

Bài 50: Giải phương trình:  2   2   2

Bài 56: Giải phương trình: 4x3 6x2 12x  8 0

Bài 57: Giải phương trình:  2 2

HD :

 

3 1 3

2 3x x 2x 3 x  1

Đặt 1

2 3

x x

a b

Nhận thấy x  1 không phải là nghiệm của phương trình

Với x  1 , phương trình đã cho tương đương với

Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1

Bài 60: Giải các phương trình sau:  2 2  2  2

x  x  x x   x x 

HD:

Dạng 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu

là ước của hệ số bậc cao nhất

+ Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình bậc 2

Bài 1: Giải phương trình: x42x35x24x 12 0

HD:

Phương trình tương đương với x 1 x 2 x2  x 6  0

Bài 2: Giải phương trình:x42x34x2  5x 6 0

HD:

Phương trình tương đương với: x 2 x 3 x2   x 1 0

Bài 3: Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0

HD:

Phương trình tương đương với x 1 x 2 x2  x 4  0

Bài 4: Giải phương trình: 6x4 x3 7x2  x 1 0

HD:

Phương trình tương đương với: x2  1 2  x 1 3  x  1 0

Bài 5: Giải phương trình: x4 2x3 4x2   3x 2 0

HD:

Phương trình tương đương với x2  x 1 x2  x 2  0

Bài 6: Giải phương trình:2x43x38x26x 5 0

HD :

Phương trình tương đương với x2  x 1 2  x2   x 5 0

Bài 7: Giải phương trình sau:  2 2

HD :

Thêm 16x2 vào hai vế ta được :

3 21 2

Biến đổi phương trình thành: x4  4x2   4 9x2  18x  9 0

Bài 15: Giải phương trình : 2x4  10x3  11x2   x 1 0

Bài 18: Cho đa thức: P x  x4 x3  6x2  40x m  1979

a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2

b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0

HD:

a, P x   x 2 x3  3x2  12x 16 m 2011

, Do p x  chia hết cho x 2 nên

y y

Ta thấy phương trình x4   x3 x2 x 1 vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình sau: x5 x3  3x 2x4 x2  3

HD:

Phương trình tương đương với 2x 2 x4 x2   3 0

Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x6      x5 x4 x3 x2 x 1 0

HD:

Nhân hai vế với x 1 ta được: x7   1 0 x 1

Bài 5: Giải phương trình: x5 x2  2x  2

Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của phương trình cho x3 ta được:

Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

=> x    9 0 x 9Bài 4: Tìm x, biết:

Bài 14: Giải phương trình:

1

3x 4 t x

Vì

2 2

Bài 23: Giải phương trình:

2

5

x x

Bài 28: Giải phương trình:

2 8 1

x x

90 1

x

y x





 , Phương trình trở thành: y22y 8 0Bài 32: Giải phương trình: 2 2

Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu được:

x

  

thì phương trình trở thành:

12 3

6 2

1

x

x x

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 35: Giải phương trình: 2 2 2

Dạng 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1: Giải phương trình sau: 2x  3 x 3

Bài 2: Giải phương trình sau:

0 1

x

x   

Bài 3: Giải phương trình sau: 2x  1 x 1

Bài 4: Giải phương trình sau: 2x 1 x23x4

Vì 2x 5 0, 2x27x 5 0, Nên suy ra: 2x 5 2x27x 5 0

x x

 

  

 , Vậy: x= 1; x= 3Bài 8: Giải phương trình : 2  

x  x x 

HD:

Lập bảng xét dấu Từ đó ta có 3 trường hợp:

TH 1:

0

x x

1 29 2

x x

Bài 12: Giải phương trình :

Bài 14: Giải phương trình : x2  x 2 x2 2x

Bài 16: Giải phương trình : 3x 5 2x1

Bài 17: Giải phương trình : 7x 4 3x4

Bài 18: Giải phương trình : 2x 1 x

Bài 19: Giải phương trình : 3x  4 x 2

Bài 20: Giải phương trình :

3 2 1

x  x

Bài 21: Giải phương trình : 2x 5 3x2

Bài 22: Giải phương trình : x 3 2x1

Bài 23: Giải phương trình :

2 7

3 1 1

x

x x



 



Bài 24: Giải phương trình :

3 1

3 2

x

x x



 

Bài 25: Giải phương trình :

5 2

2 3

x

x x



 

Bài 26: Giải phương trình : x2   4 x 2

Bài 27: Giải phương trình : x 1 2x 3 0Bài 28: Giải phương trình : x 1 x2 1 0

Bài 29: Giải phương trình : x2 1 x23x 2 0Bài 30: Giải phương trình : 5x 2 3x 4 4x5

Bài 1: Giải phương trình: 2x  1 x 2

Bài 2: Giải phương trình sau: x 4 3x5

Bài 3: Giải phương trình:

Bài 4: Giải phương trình sau: x 1 x3 x 1

Bài 5: Giải phương trình sau: 4x22x 1 2x

Bài 6: Giải phương trình sau: x25x  4 x 4

Bài 7: Giải phương trình: x24x 5 4x17

Bài 9: Giải phương trình sau:  2

2 2

2

1 2 7

1 1

x x

x x

HD:

Vì x22x  3 0, x , Nên phương trình  

2 2

x x

Bài 14: Giải phương trình: x22x   x 1 5 0

Bài 15: Giải phương trình: x22x5 x  1 5 0

Bài 16: Giải phương trình: 4x220x4 2x  5 13 0

Bài 17: Giải phương trình: x24x2 x  2 1 0

Bài 18: Giải phương trình: x22x5x  1 5 0

Bài 19: Giải phương trình sau:  2

Bài 23: Giải phương trình :

Bài 26: Giải phương trình: x2 x 12  x2 x 2 (x  5; 7)

Bài 27: Giải phương trình: x23x 2 2x1 (x 5 21)

Bài 28: Giải phương trình: x24x  3 x 3 (x0; 5)

Bài 29: Giải phương trình:

Bài 30: Giải phương trình: x2  1 1 4x

Bài 31: Giải phương trình: 4x  1 x2 2x4

Bài 32: Giải phương trình: 3x 5 2x2 x 3

Bài 33: Giải phương trình: x25x3x  2 5 0

Bài 34: Giải phương trình: x2 2x 8 x21

Bài 35: Giải phương trình: x2 5 x  1 1 0

Bài 36: Giải phương trình: 3x2  2 6 x2

Bài 37: Giải phương trình:

x x

Bài 42: Giải phương trình: 4x24x52x  1 5 0

HD:

Nếu

1 2

x , Phương trình trở thành: 2 2x x  7  0

Nếu

1 2

x phương trình trở thành: 2x 5 x  1 0 Bài 43: Giải phương trình: x  3 x 1

Với        3 x 0 x 3 x 1 vô nghiệm

Với x     3 x 2 không thỏa mãn:

III, Phương trình dạng: f x   g x   h x   t x

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu:

Sử dụng tính chất: a b   a b ab. 0 hoặc: a b a b   b a b    0

Bài 1: Giải phương trình sau: x 1 2x 2 3x 3 4

Bài 2: Giải phương trình sau:

1

3 1

x x

HD:

Biến đổi phương trình về: x 3 x  1 x x  4  3

Bài 4: Giải phương trình sau: x  1 1 x  1 1 2

HD:

Sử dụng tính chất a b   a b b a b    0

Phương trình tương đương với: x   1 1  x  1 1    2 2 2,

Dấu bằng khi: 2 x     1 1 0 x 2

Vậy phương trình có nghiệm x 2

Bài 5: Giải phương trình sau: x 1 3x    1 x 2 x 2x2

Bài 6: Giải phương trình sau: x 2a x a a2x 0

Bài 7: Giải phương trình sau: x   3 x 2 7

Bài 8: Giải phương trình sau: x 2x  3 x 1

Bài 9: Giải phương trình sau: x     1 x x x 3, 1  x 3

Bài 10: Giải phương trình sau: x  3 x 1

Bài 11: Giải phương trình sau: x2x 2 3x 3 4

Bài 12: Giải phương trình sau: x2x 1 3x 2 4

Bài 13: Giải phương trình sau: x     1 x 2 x 3 4x

Bài 14: Giải phương trình sau: x x 3 x2  x 1 1

Bài 15: Giải phương trình sau:

Bài 17: Giải phương trình sau: x    x 1 3 2x

Bài 18: Giải phương trình sau: 5    x x 1 x 6

IV Giải và biện luận

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: mx2m mx x  1

m 

, Phương trình có nghiệm đúng với mọi xVới

1 2

Nếu m  1, Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x

Nếu m  1 , Thì phương trình có nghiệm x = 0

Với phương trình (3) ta có :

Nếu m  3 , thì phương trình (3) vô nghiệm

Nếu m  3 , thì phương trình (3) có nghiệm

2 3

x m



 Kết luận : Với m  1 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Với m  3 , Phương trình có nghiệm x = 0Với m 1,m 3 , Phương trình có nghiệm x=0 và

2 3

x m



 Bài 3 : Tìm m để phương trình x2  x mx2 m 1x 2m 1

, có 3 nghiệm phân biệt :

HD :

Phương trình tương đương với : x x  1  x 1 mx 2m 1

Nếu m 1 , thì phương trình (1) vô nghiệm, Khi đó PT ban đầu không thể

có ba nghiệm phân biệt

Nếu m  1 , thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có

ba nghiệm phân biệt

Nếu m  1 , thì

1 2 1 (4)

1 2 1

m x

m m x

3 2

  Kết luận : Vậy với

1 2 1; ; ;0;1

2 3

  , thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài 4: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0

HD :

Ta có: |x2 – 2x +m|+x=0  x22x m  x

2 2

2

0 0

3 0 (1) 2

0 (2)

x x

Bài 5: Cho phương trình : x22x2x   1 m 3 0

a, Giải phương trình khi m= -2

b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm

t     m t t có nghiệm t  0 đồ thị hàm số f x     t 2 2t , với

Với m 1, Phương trình trở thành : 0x  1 , Vô nghiệm

Với m 1 , Phương trình tương đương với

1 2 1

m x

m





Giải (2) :

Với m  1 , Phương trình trở thành : 0x 1 , phương trình vô nghiệmVới m  1 , Phương trình tương đương với :

2 1 1

m x

m

 



Kết luận :

Với m  1 , Phương trình có nghiệm là

3 2

x 

Với m  1 , Phương trình có nghiệm là :

1 2 1

m x

m x

m

 



 Bài 7: giả và biện luận phương trình: mx2x mx1

Nếu m  1 thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu m  1 thì phương trình (*) có nghiệm

1

x m



 Kết luận :

1

m  , Phương trình có nghiệm

1 2

x 

1

m  , Phương trình có nghiệm

1 2



Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau: 3x m x  1

Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: x24x2x m   2 m 0

Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x3m 2x m Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x2m  x m Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m  x 2m2Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x22x m x

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx 1 5

Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m  2x2m1Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m  2x m 1Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m  x 1

Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m  2x2mBài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m  x 1

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m  x 1

Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x22a x a a  20Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx 1 2x m 3Bài 24: Cho phương trình: x 3 2 x 1 4

a, Giải phương trình

b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình