Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3) tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Tích phân hàm nhiều biến; Lý thuyết chuỗi; Phương trình vi phân; Khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Trang 1T´ıch phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n
12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 118
12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n ch˜u nhˆa.t 118
12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 118
12.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c 121
12.2 T´ıch phˆ an 3-l´ o.p 133
12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n h`ınh hˆo.p 133
12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 134
12.2.3 136
12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 136
12.3 T´ıch phˆ an d u.` o.ng 144
12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144
12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 146
12.4 T´ıch phˆ an m˘ a t 158
12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158
12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 160
Trang 212.4.3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski 16212.4.4 Cˆong th´u.c Stokes 162
12.1.1 Tru.` o.ng ho . p miˆe `n ch˜ u nhˆ a t
Gia’ su.’
D = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}
v`a h`am f (x, y) liˆen tu.c trong miˆe`n D Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p cu’a
h`am f (x, y) theo miˆ`n ch˜e u nhˆa.t
Trong (12.1): dˆ` u tiˆen t´ınh t´ıch phˆan trong I(x) theo y xem x l`a h˘a`nga
sˆo´, sau d´o t´ıch phˆan kˆe´t qua’ thu du.o c I(x) theo x Dˆo´i v´o.i (12.2) ta
c˜ung tiˆe´n h`anh tu.o ng tu nhu.ng theo th´u tu ngu.o c la.i
12.1.2 Tru.` o.ng ho . p miˆe `n cong
Gia’ su.’ h`am f (x, y) liˆen tu.c trong miˆe`n bi ch˘a.n
D = {(x, y) : a 6 x 6 b; ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)}
Trang 3trong d´o y = ϕ1(x) l`a biˆen du.´o.i, y = ϕ2(x) l`a biˆen trˆen, ho˘a.c
D = {(x, y) : c 6 y 6 d; g1(y) 6 x 6 g2(y)}
trong d´o x = g1(y) l`a biˆen tr´ai c`on x = g2(y) l`a biˆen pha’i, o.’ dˆay
ta luˆon gia’ thiˆe´t c´ac h`am ϕ1, ϕ2, g1, g2 dˆ`u liˆen tu.c trong c´ac khoa’nge
tu.o.ng ´u.ng Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p theo miˆ`n D luˆon luˆon tˆoe ` n ta.i
Dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan 2-l´o.p ta c´o thˆe’ ´ap du.ng mˆo.t trong hai phu.o.ng
ph´ap sau
1+ Phu.o.ng ph´ap Fubini du a trˆen di.nh l´y Fubini vˆe` viˆe.c du.a t´ıch
phˆan 2-l´o.p vˆ` t´ıch phˆan l˘a.p Phu.o.ng ph´ap n`ay cho ph´ep ta du.a t´ıche
phˆan 2-l´o.p vˆ` t´ıch phˆan l˘a.p theo hai th´u tu kh´ac nhau:e
T`u (12.3) v`a (12.4) suy r˘a`ng cˆ a n cu’a c´ ac t´ıch phˆ an trong biˆ e´n thiˆ en
v` a phu thuˆ o c v` ao biˆ e´n m` a khi t´ınh t´ıch phˆ an trong, n´ o du.o . c xem l`a
khˆ ong dˆ o’i Cˆ a n cu’a t´ıch phˆ an ngo` ai luˆ on luˆ on l` a h˘ a `ng sˆ o´.
Nˆe´u trong cˆong th´u.c (12.3) (tu.o.ng ´u.ng: (12.4)) phˆ` n biˆen du.´o.ia
hay phˆ` n biˆen trˆen (tu.o.ng ´a u.ng: phˆ` n biˆen tr´ai hay pha’i) gˆoa ` m t`u mˆo.t
sˆo´ phˆ` n v`a mˆo˜i phˆaa ` n c´o phu.o.ng tr`ınh riˆeng th`ı miˆe`n D cˆa` n chia th`anh
nh˜u.ng miˆ`n con bo.e ’ i c´ac du.`o.ng th˘a’ng song song v´o.i tru.c Oy (tu.o.ng
´
u.ng: song song v´o.i tru.c Ox) sao cho mˆo˜i miˆe`n con d´o c´ac phˆa` n biˆen
du.´o.i hay trˆen (tu.o.ng ´u.ng: phˆ` n biˆen tr´ai, pha’i) dˆea `u chı’ du.o c biˆe’u
diˆe˜n bo.’ i mˆo.t phu.o.ng tr`ınh
2+ Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n Ph´ep dˆo’i biˆe´n trong t´ıch phˆan 2-l´o.p
du.o c thu c hiˆe.n theo cˆong th´u.c
dudv (12.5)
Trang 4trong d´o D∗ l`a miˆ`n biˆe´n thiˆen cu’a to.a dˆo cong (u, v) tu.o.ng ´u.nge
khi c´ac diˆe’m (x, y) biˆe´n thiˆen trong D: x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v);
(u, v) ∈ D∗, (x, y) ∈ D; c`on
J = D(x, y) D(u, v) =
... m˘a.t tru x2< /small>
= 2z gi´o.i ha.n bo’ i giao.tuyˆe´n cu’a m˘a.t tru d´o v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng x−2y = 0, y = 2x, x = 2< /i>√2
Gia’i... cˆaa ` u x2< /small>+ y2< /small>+ z2< /small> = R2< /small> n˘a`m m˘a.t tru x2< /small>+ y2< /small> = Rx.
69... ( 12. 26)
D- i.nh l´y Nˆe´u c´ac h`am f(x, y), P (x, y), Q(x, y) liˆen tu.c theo du.`o.ng
cong L(A, B) = L th`ı c´ ac t´ıch phˆ an du.` o.ng ( 12. 23) - ( 12. 26)