Một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức cô si giải bài toán hình học lớp 9

một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức cô si giải bài toán hình học lớp 9 Một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức cô si giải bài toán hình học lớp 9 một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức cô si giải bài toán hình học lớp 9 một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức cô si giải bài toán hình học lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THÔNG QUA VIỆC ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9

Người thực hiện: La Đức Sơn

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Chích

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước Với quan điểm là đào tạo nên con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập,

dễ thích ứng với cuộc sống và lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ,

tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập

Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “Tài sản riêng” của các em Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực

tế cuộc sống và lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp trên lớp học

và phương pháp tự học ở nhà được tốt hơn, nhằm đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy và tìm hiểu thực tiễn tại trường THCS Nguyễn Chích, huyện Đông Sơn, tỉnh Thanh Hóa Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các

em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học Đây thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toán này Thực

sự đây là một phần rất quan trọng của hình học, và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của Toán học

So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm nhiều Một trong những nguyên nhân khó giải quyết vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong hình học, và cũng không phải chỉ là phương pháp đại số thuần tuý Để giải một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học

và đại số một cách thích hợp và nhạy bén

Qua thực tế những năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, tôi nhận thấy việc khai thác bất đẳng thức Côsi trong quá trình giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học là một hướng tiếp cận hiệu quả, không chỉ bởi lẽ đối tượng của hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đo góc, …) và đối tượng để áp dụng bất đẳng thức Côsi là tương đồng (đại lượng không âm), mà còn bởi tính đa dạng của bất đẳng thức Côsi trong vận dụng Sự khéo léo, linh hoạt trong việc khai thác bất đẳng thức Côsi là một yêu cầu đối với học sinh giỏi Toán Mức độ khó, dễ của bài toán cũng có thể được điều chỉnh tuỳ theo chủ ý của người

ra đề Hơn nữa qua theo dõi nhiều năm tôi thấy cực trị hình học có rất nhiều trong các đề thi: Tuyển sinh vào lớp 10 nhất là trường chuyên; trong các đề thi học sinh giỏi huyện, học sinh giỏi tỉnh Song khi giải các bài toán này học sinh gặp không

ít khó khăn, phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh thường bế tắc, lúng

túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay và gọn gàng

Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số giải pháp nâng cao chất lượng

học sinh giỏi môn Toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức côsi giải bài toán hình học lớp 9” Mong muốn đây là một tài liệu tham khảo hữu ích với các

em học sinh giỏi Toán lớp 9, và các thầy cô tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS cùng các độc giả yêu thích Toán học

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, tôi đã đề ra “Một số giải pháp nâng cao chất

lượng học sinh giỏi môn Toán thông qua việc ứng dụng bất đẳng thức côsi giải bài toán hình học lớp 9” ở Trường THCS Nguyễn Chích, huyện Đông Sơn, tỉnh Thanh

Hóa

1.3 Đối tượng nghiên cứu

“Một số giải pháp nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn Toán thông qua việc

ứng dụng bất đẳng thức côsi giải bài toán hình học lớp 9” ở Trường THCS

Nguyễn Chích, huyện Đông Sơn, tỉnh Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

Bản thân tôi đã đi sâu vào nghiên cứu,vận dụng các phương pháp trên với mong muốn giúp các em thích học dạng “Cực trị hình học - ứng dụng của bất đẳng thức Côsi” và nắm chắc kiến thức của từng dạng bài, tự tin hơn khi học phần toán này

Để làm được điều đó học sinh cần nắm được:

- Khái niệm cơ bản của bất đẳng thức Côsi (BĐT cô si):

Cho a1, a2, …, an là các số không âm Ta luôn có:

a1+a2+ +an

n 

n

a1a2 an (với n  ;n 2)

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = … = an [3]

* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bình cộng

không nhỏ hơn trung bình nhân Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi

và chỉ khi các số đó bằng nhau.[3]

* Ý nghĩa của BĐT Côsi:

+ n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau

+ n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các

số đó bằng nhau.[3]

Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận

dạng bài toán là dạng toán nào, và có thế chuyển đổi việc tìm cực trị của bài toán qua việc vận dụng BĐT côsi không, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải Bước 1

có tính chất quyết định cách giải bài toán dễ dàng hay phức tạp

Khi giải chúng ta cần lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau Giữa các bước lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước

Khi áp dụng BĐT côsi trong việc giải các bài toán cực trị hình học lớp 9 mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh các yêu cầu quan trọng ở mục 2.3.5 Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững kiến thức cơ bản của BĐT côsi, vẽ hình chính xác , nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất, thành công dạy học vẫn là do sự dẫn dắt của người thầy Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết

để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh

Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm, cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng Từ đó chất lượng học sinh mũi nhọn sẽ được nâng cao hơn

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học tập là bất đẳng thức Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được làm quen với dấu >; < và so sánh với các số tự nhiên đơn giản, sau đó so sánh các phân số, so sánh các biểu thức ở lớp 4, lớp 5 Đến cấp II học sinh được tiếp cận với một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức trong đó có cả biểu thức số, biểu thức đại số, hình học và bất đẳng thức còn gắn liến với chương hình học của các em đến hết lớp 12 Như vậy BĐT xuất hiện từ lớp 1 đến lớp 12, xuyên suốt chương trình của các em, thường xuyên có mặt trong các đề thi cuối cấp, thi vào các trường chuyên chọn, thi học sinh giỏi, thi đại học Toán về bất đẳng thức là khó, chúng được giải không hoàn toàn dựa vào một công thức nào cả Đặc biệt lại là bất đẳng thức hình học Hơn nữa các bài tập sách trong giáo khoa chưa thể hiện đủ các phương pháp chứng minh vì thế học sinh thường thiếu tự tin

và lúng túng khi gặp phải dạng toán này Đặc biệt, dạng toán áp dụng BĐT giải bài tập hình học

Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này Trong thực tế có thể giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của lí thuyết

mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tập nhiều các dạng tương tự Kỹ năng

phân tích tổng hợp của học sinh còn chưa thành thạo, cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng BĐT chưa thạo, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này Vì vậy kết quả học tập của các em lớp mũi nhọn chưa cao Nhiều

em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được Điều đó được thể hiện thông qua bài thi khảo sát chất lượng cuối kì hai năm học 2017 – 2018 cụ thể như sau:

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết về BĐT Côsi và một số hệ quả

- Giáo viên giúp học sinh nhắc lại khái niệm BĐT Cô si thông qua công thức và

phát biểu thành lời Sau đó khái quát công thức trong từng trường hợp cụ thể, trường hợp tổng quát

- Khắc sâu nội dung lí thuyết thông qua các ví dụ đơn giản và các phản ví dụ Từ

đó rút ra một số hệ quả hay vận dụng để giải bài tập sau này

Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại Bất đẳng thức Côsi:

Cho a1, a2, …, an là các số không âm Ta luôn có:

a1+a2+ +an

n 

n

a1a2 an (với n  ;n 2)

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = … = an

* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bình cộng

không nhỏ hơn trung bình nhân Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi

và chỉ khi các số đó bằng nhau

* Ý nghĩa của BĐT Côsi:

+ n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau

+ n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các

Do các vế của (1) và (2) đều là các số dương, nên nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta được: (a1 + a2 + … + an)( 1

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = … = an [3]

Trong nhiều bài toán, người ta thường sử dụng hai trường hợp riêng sau đây:

2.3.2 Nhắc lại một số bài toán hình học cơ bản áp dụng BĐT Côsi

- Giáo viên đưa ra một số bài toán hình học cơ bản giúp học sinh áp dung linh hoạt BĐT Cô si vào giải, khi làm xong từng bài toán hình học cơ bản giáo viê phân tích giả thiết bài toán để tìm mối liên hệ với BĐT Cô si và tìm ra chìa khóa giúp học sinh giải quyết được bài toán Hướng học sinh thay đổi giả thiết hoặc Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp đặc biệt để tạo ra bài toán mới sau đó tìm hướng giải quyết trực tiếp hoặc chuyển bài toán mới về bài toán đã làm

- Giáo viên ra hệ thống bài tập hình tương tự về nhà cho học snh luyên tập, cho học sinh thảo luận nhóm với các bạn, sau đó chấm sửa bài nghiêm túc, tuyên dương những học sinh làm bài tốt

2.3.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng BĐT Côsi để giải các bài tập hình học

điển hình

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích kĩ nội dung bài toán, xác định các yếu tố

đã biết và chưa biết, hướng học sinh phân tích kết luận tìm ra vấn đề then chốt liên quan đến các số không âm mà giả thiết cho để hướng hs áp dụng BĐT Cô si vào để giải (Cụ thể như ở bài toán 1 của đề tài sau khi học sinh chứng minh được hai tam giác đồng dạng quen thuộc rồi suy ra tỉ số, giáo viên đã hướng học sinh linh hoạt

chuyển vế trái đẳng thức từ “tích” sang “tổng” để áp dụng BĐT để giải bài tập

hình hay bài toán 5 giáo viên cho học sinh kiểm tra thấy tổng hai độ dài không đổi vậy tích của chúng lớn nhất khi nào thì học sinh phát hiện được khi hai số bằng nhau, từ đó học sinh xác định được bài hình trong trường hợp đặc biệt khi hai số bằng nhau và nghĩ ngay đến sử dụng ý nghĩa của BĐT Cô si vào và giải được bài toán)

- Giáo viên cho học sinh tham gia làm bài tập tương tự, giải đề có nội dung này chấm, sửa bài nghiêm túc, đánh giá, khen thưởng học sinh kịp thời, thay đổi linh hoạt các hình thức đánh giá hay thi như câu lạc bộ Toán của trường, thi giải toán

nhanh giúp học sinh tham gia hoạt động học vui vẻ không gò bó nhằm mang lại hiệu quả cao

Điều đó được thể hiện rõ qua nội dung các ví dụ sau:

Bài 1: (Một kết quả đẹp và thú vị về tứ giác nội tiếp) [9]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn Hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại I Chứng minh rằng:

* Phân tích bài toán: Để chứng minh đẳng thức (1) ta chuyển đổi mỗi hạng tử của

vế trái thành dạng căn bậc hai của một tích ( AB

CD =

AIDI

.BI

CI , …), từ đó áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh được mỗi hạng tử đó của vế trái  một nửa tổng hai hạng tử của vế phải cụ thể:

* Nhận xét: Chìa khoá để giải quyết bài toán ở đây chính là việc chuyển đổi mỗi

hạng tử của vế trái thành dạng căn bậc hai của một tích, từ đó áp dụng bất đẳng

thức Côsi chứng minh được bài toán Việc linh hoạt biến đổi bài toán để áp dụng được bất đẳng thức Côsi trong những trường hợp cụ thể là rất cần thiết, đòi hỏi ở người làm toán sự tư duy, rèn luyện nhiều dạng bài hình thành kĩ năng cần thiết, tìm tòi và sáng tạo

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ ba chiều cao AA1, BB1, CC1; ba trung tuyến

AA2, BB2, CC2 Giả sử AA2  BB1=P, BB2  CC1=Q, CC2  AA1=R Chứng minh rằng: AP

*Phân tích: Để chứng minh (2) thì ta chuyển đổi mỗi tỉ số ở vế trái về bằng các tỉ

số lượng giác Sau đó ta áp dụng định lí Menelauyt tìm mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác ấy như AP

CB1

B1A = 1 Suy ra: AP

tantan

C



R

P 2

2 Q

2 1

A

A B

C

A B C

C

B

Hình 2 Vậy từ (1)  AP

PA2

= 2.tantan

C

 Hoàn toàn tương tự, ta có:

C

 +

tantan

 3.3 tan tan tan

tan tan tan

Bài 3: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các tia Ax,

By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với

nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho

tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất [7]

Phân tích: Để xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích

nhỏ nhất căn cứ vào GT bài toán, ta đưa bài toán về việc sử dụng các tỉ số lượng

giác để tính các cạnh MC, MD theo tỉ số lượng giác sinα, cosα Và nhớ tới hệ thức

sin2α + cos2α = 1 liên hệ bởi BĐT Côsi: x2 + y2  2xy Dấu đẳng thức xảy ra chính

là vị trí của 2 điểm C, D tìm được

Hướng dẫn: (Hình 3)

Ta có: SMCD = 1

2 MC.MD Đặt : MA = a, MB = b,AMCBDM = α

Khi đó MC = a

cosα , MD =

bsina Nên: SMCD = 1

2

absinαcosα

Do a, b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất

 2sinαcosα lớn nhất

b a

Hình 3 Theo bất đẳng thức Côsi: 2sinα.cosα  sin2α + cos2α = 1

Nên SMCD  ab Dấu bằng xảy ra khi sinα = cosα  α = 450

Như vậy Min SMCD = ab Điểm C, D được xác định thứ tự trên các tia Ax, By sao

cho AC = AM, BD = BM [7]

Nhận xét: Điểm sáng tạo trong cách giải trên là ta đã chọn biến là các tỉ số lượng

giác sinα, cosα Giữa sinα Cosα với sin2α + cos2α có liên hệ bởi BĐT Côsi:

x2 + y2  2xy

Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Qua M kẻ các đường

thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D, E Xác định

vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất [9]

* Phân tích: Ta đã xét một biểu thức trung gian, đó là tỉ số giữa diện tích hình

bình hành ADME và diện tích tam giác ABC tức là SADME

xy(x+y)2 

14

Hướng dẫn:

Cách 1 :

Ta thấy SADME lớn nhất  SADME

SABC

lớn nhất

Kẻ BK  AC, cắt MD ở H

SADME = MD.HK, SABC = 1

2 AC.BK Suy ra: SADME

Do đó : SADME

SABC

= 2xy(x+y)2 (*)

2 1

y x

H

K E D

2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y

Như vậy max SADME = 1

2 SΔABC, khi đó M là trung điểm của BC [9]

* Phân tích: Dựa vào diện tích miền đa giác ta xét biểu thức trung gian đó là tỉ số

giữa tổng diện tích của các tam giác DBM, EMC và diện tích tam giác ABC, vì vậy lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x

2+y2(x+y)2 

S = (

MC

BC )

2

1

2 Như vậy S1 + S2 

1

2 S nên SADME  1

2 S Xảy ra dấu bằng  x = y

Kết luận: max SADME = 1

2 SΔABC, khi đó M là trung điểm của BC [4]

Nhận xét: Qua bài toán 4, cùng một bài toán, nhưng với cách khai thác khác nhau

thì việc vận dụng bất đẳng thức Côsi sẽ ở những dạng khác nhau Vấn đề là đòi hỏi

ở người làm toán khả năng vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt được mục đích cụ thể

2.3.4 Hướng dẫn học sinh vận dụng BĐT Cô si vào giải bài tập hình học, cực trị hình học có liên quan đến thực tế

- Tương tự như mục 2.3.3 học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán là

dạng toán nào, và có thể chuyển đổi việc tìm cực trị của bài toán qua việc vận dụng BĐT côsi không, rồi tóm tắt đề bài rồi giải Bước này có tính chất quyết định cách giải bài toán dễ dàng hay phức tạp

- Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học có áp dụng BĐT Cô si, bài toán cực trị hình dựa vào ý nghĩa của BĐT Cô si sử dụng tính không đổi của tổng hoặc tích của hai đoạn thẳng hoặc hai

số không âm bất kì, hoặc dạng toán về diện tích, về tỉ số lượng giác giúp ta dự đoán được hình trong trường hợp đặc biệt khi dấu bằng xảy ra cụ thể như: Bài toán số 6 của đề tài: Một tình huống của thực tế đã được giải quyết thuyết phục bằng bài toán Nếu chỉ để chia mảnh đất hình tam giác đó thành 2 mảnh có diện tích bằng nhau thì quá đơn giản (chỉ cần bờ rào là một trong ba trung tuyến của tam giác là xong), ở đây mục đích đặt ra là vừa phải chia đôi diện tích, vừa đảm bảo độ dài bờ rào thẳng là ngắn nhất Từ đó ta nghĩ ngay đến bờ rào phải cắt 2 cạnh của tam giác

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D là trung điểm

của AB Điểm E di chuyển trên cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH Khi

đó hình thang trở thành hình gì? [7]

Phân tích: Ta có 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK Từ đây ta nhớ tới ý nghĩa của BĐT Côsi: Với hai số dương x, y có tổng x + y không đổi, thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y Ngược lại nếu tích xy không đổi thì tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Ta thấy tổng (BH + KC) + HK không đổi (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn nhất khi và chỉ khi BH+KC = HK = a

2 Từ đó tìm được diện tích lớn nhất và khi đó hình thang trở thành hình nào?

Hướng dẫn (Hình 5)

Ta có: 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK

Ta thấy tổng (BH+KC) + HK không đổi (bằng

BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn

2

và nếu kẻ AM  BC thì do tam giác ABC

vuông cân tại A nên MB = MC = a

2 nên HB = HM = a

4

H

K D

B

M

Hình 5