Giáo án giải tích 12 chuyên đề 2 bài 4 phương trình mũ và bất phương trình mũ

TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 2 BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức + Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ + Biết được cách giải một số dạng bất phương trình m.

Trang 1

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2

BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ

+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ

 Kĩ năng

+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số

+ Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình mũ a = b x

+ Nếu b thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 xlogab

+ Nếu b thì phương trình vô nghiệm 0

Đặc biệt: Phương trình ax ay   (biến đổi về cùng cơ số) x y

Dạng 1: Phương trình có dạng af x  ag x 

+ Nếu a thì 1 af x ag x  nghiệm đúng với mọi x

+ Nếu 0  thì a 1 f x g x 

Dạng 2: Phương trình có dạng af x b (với 0 a 1,b ) 0

f x

a

2 Bất phương trình mũ

Dạng 1: Bất phương trình có dạng af x  ag x  1 

+ Nếu a thì 1  1  f x g x 

+ Nếu a thì (1) nghiệm đúng 1  x 

+ Nếu 0  thì a 1  1  f x g x 

Dạng 2: Bất phương trình có dạng af x  (với b b ) (2) 0

+ Nếu a thì 1  2  f x log ab

+ Nếu 0  thì a 1  2  f x log ab

Dạng 3: Bất phương trình có dạng af x b 3 

+ Nếu b thì (3) nghiệm đúng 0  x 

+ Nếu b0,a thì 1  3  f x log ab

Trang 2

+ Nếu 0  thì a 1  3  f x log ab

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

1

a

0

b

0

b

x

   

 

f x

Phương trình có nghiệm xlogab

f x

a

       

Phương trình nghiệm đúng với mọi

x

Phương trình vô nghiệm

PHƯƠNG

TRÌNH MŨ

0

a b

 

BẤT PHƯƠNG

TRÌNH MŨ

 

f x

b



 

f x

    log

f x

a

    log

f x

a

Tìm điều kiện để f x có   nghĩa

    log

f x

a

    log

f x

a

0

b

0

b

0  a 1

1

a

1

a

0  a 1

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Phương trình mũ

Bài toán 1 Biến đổi về dạng phương trình cơ bản

Ví dụ mẫu

2

16

x   x  là

Hướng dẫn giải

2

1

0

x

 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1

1

x

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1

Chọn D

Ví dụ 2 Tổng các nghiệm của phương trình

0,6

x x



Ta có:

x

2

3

2

x

  

 Vậy tổng các nghiệm là 1

2 Chọn B

Ví dụ 3 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5x  2 x2 15.3 2 x2  x 1 là

A 1

2

3 2

2 Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2

2 1

3

x x

  

 

  

 

 

Trang 4

2

0

2

x







 



Vậy tổng các nghiệm là 1

2 Chọn D

3 2 2 x  x  3 2 2 x Tìm T

3 2 2



3 2 2 x  x  3 2 2 x  3 2 2 x  x  3 2 2 x

0

2

x







 



Do đó tích tất cả các nghiệm là 0

Chọn A

Bài toán 2 Phương trình theo một hàm số mũ

Phương pháp giải

Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ

Ta thường gặp các dạng sau:

 m a 2 f x n a f x   p 0

 m a f x n b f x   , trong đó p 0 a b Đặt 1 t a f x ,t suy ra 0 bf x  1

t



 m a 2 f x n a b . f x p b 2 f x   Chia hai vế cho 0 b2 f x  và đặt

 

0

f x

b

 

 Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt ax  khi đó phương trình mới chứa cả x và t Ta coi t là ẩn; x là t tham số, tìm mối quan hệ x và t

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4x25.2x2  là 4 0

4x 5.2x   4 0 2 x 5.2x   4 0

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn 2 x2

Trang 5

2

2 2

2

0

x

x x

 Chọn A

Ví dụ 2 Phương trình 31  x31  x 10 có hai nghiệm x x1; 2 Khi đó giá trị biểu

thứcP x 1 x22x x1 2 là

3

x

3 3

x

x x







Vậy P  2

Chọn C

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn 3 x

Ví dụ 3 Tích các nghiệm của phương trình  2 1  x 2 1 x2 2 0 là

2 1

 nên phương trình thành

1

2 1

x

1

x

x x











Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1

Chọn B

Nhận xét:

 2 1  2 1   1

1

2 1

 Đưa phương trình ban đầu về dạng phương

 2 1 x

Ví dụ 4 Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

1

3.4x  11.6x 2.9x  Tìm S 0

3

1 2log 2

phương trình bậc hai ẩn

Trang 6

2

2 3

3 2

3

2

x

x x



 



3

1 2log 2

Chọn C

2

x

 

 

Ví dụ 5 Phương trình 3 5 x  3 5x 3.2x có hai nghiệm x x Giá 1; 2

A x  bằng bao nhiêu? x



Do đó:

2

1

x

x x





Vậy A 2

Chọn D

Ta có

1



Chia 2 vế cho 2x đưa về phương trình bậc hai ẩn

2

x

Ví dụ 6 Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4x3x10 2 x    là 3 x 0 S log2 a,

b

b là phân số tối giản Giá trị của a b bằng

3.4x 3x10 2x    3 x 0 3 2x  3x10 2x   3 x 0

Đặt 2x t t 0 , phương trình trở thành 3t23x10t   3 x 0

Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t2x và tham số x

Trang 7

Giải phương trình theo tham số x ta được

 

1

3 3

3

x

t

x

 

 Giải phương trình (*), ta có: 2x   x 3 0

Đặt f x 2x x 3, 'f x 2 ln 2 1 0,x    x  nên phương trình f x  có tối đa một nghiệm 0

Mà f  1  nên phương trình 0 f x  có nghiệm duy nhất 0 x 1

3

Do đó a2,b suy ra 3 a b  5

Chọn D

Bài toán 3 Lấy logarit hai vế

Cho 0  và ,a 1 x y ta có 0 x y logaxloga y

log

f x

a





 Phương trình af x bg x logaaf x logabg x   f x g x .logab

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 3x2  x  Tìm S 1

A Slog 3.7 B Slog 7.3 C S log 3. 2 D Slog 2.3

Ta có:

7 3x  x  1 log 7 3x  x log 1log 7x log 3 x  0

2

7 3

0

log 7

x









Vậy tổng các nghiệm là Slog 3.7

Chọn A

Lấy logarit cơ số 3 hoặc cơ số 7 hai vế

Ví dụ 2 Phương trình

2 1

x

x x



 có một nghiệm dạng x logab, với a, b

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8 Giá trị của P a 2b bằng

bao nhiêu?

Trang 8

Ta có:

2 1

3

3 5

3.5

x



1 1

1

x



3

1 1

log 5

x x





Vậy a3,b suy ra 5 a2b13

Chọn C

Bài toán 4 Đặt nhân tử chung

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x253x 23x  là 2

Ta có: 2.11x253x 23x  2 2.11x11 23x x23x  2 0

2 23x11x 1 0

   (vì 2 3 x   0, x )  x 0

Chọn A

Ví dụ 2 Phương trình 2x2 x4.2x2 x22 x  có số nghiệm nguyên dương 4 0

là

Ta có: 2x2 x4.2x2 x 22 x  4 0 2x2 x.22 x 4.2x2 x22 x  4 0

2

x

x x





Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương

Chọn B

Bài toán 5 Phương pháp hàm số

Trang 9

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1 Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b thì có tối đa một ; nghiệm của phương trình f x  trên k  a b và ; f u  f v   u v u v, ,  a b;

Tính chất 2 Nếu hàm số y f x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y g x   liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x  không nhiều hơn một

Tính chất 3 Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

f u  f v   (hoặc u vu v  ) ,u v D, 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Phương trình 3x  5 2x có bao nhiêu nghiệm?

Ta có: 3x  5 2x3x 2x  5 0

Đặt f x 3x2x5, ta có f x 3 ln 3 2 0,x    x  nên phương trình

Mà f 1  nên phương trình 0 f x  có nghiệm duy nhất là 0 x 1

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm

Chọn C

Ví dụ 2 Phương trình 2x5x  2 5x có bao nhiêu nghiệm?

Ta có: 2x 5x  2 5x5x2x5x  2 0

Đặt f x 5x2x5x2, ta có f x 5 ln 5 2 ln 2 5x  x 

Xét f x  0 5 ln 5 2 ln 2 5 0x  x  

Ta có f x 5 ln 5 2 ln 2 0,x 2  x 2   x  nên phương trình f x  có 0

tối đa một nghiệm

    nên phương trình f x  có duy 0 nhất một nghiệm x x 0

Do đó, phương trình f x 0 có tối đa hai nghiệm

Trang 10

 10 00

f





Chọn D

Ví dụ 3 Tổng các nghiệm của phương trình 223 x3.2x210 x2 23x310x2 x

gần bằng số nào dưới đây?

Ta có 223 x3.2x210 x223x310x2 x 223 x3 x23x3 x 210 x210x2

Đặt f t   ta có 2t t, f t 2 ln 2 1 0,t    t 

0

23

x







 



Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 10

23 Chọn B

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

33m27 33 m27.2x  có nghiệm thực? 2x

Ta có 33m27 33 m27.2x 2x 27 33 m27.2x 23 x3 m  1

Đặt 2x  điều kiện: u, u và 0 33m27.2x  v v33m27 .u  2

(1) trở thành u3 27v3 m  3

Từ (3) và (2) suy ra u327v v 327uu v .u2uv v 227 0

u v

 

Do

v

3

với u 0

3

Tiêu đề	Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Trường học	Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Giải tích 12
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	459,84 KB