Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 2 bài 3 hàm số mũ và hàm số lôgarit

+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit..  Kĩ năng + Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2 BÀI 3 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit

+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit

+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

 Kĩ năng

+ Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit

+ Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit

+ Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Hàm số mũ

Định nghĩa Hàm số y a ax 0; a được gọi là hàm số mũ cơ số a 1

Tập xác định Hàm số y a a x 0; a có tập xác định là 1 

Đạo hàm Hàm số y a a x 0; a có đạo hàm tại mọi x 1

 ax 'axlna

 au 'auln 'a u

Sự biến thiên

 Khi a hàm số luôn đồng biến 1

 Khi 0  hàm số luôn nghịch biến a 1

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm

   0;1 , 1;a và nằm phía trên trục hoành

Đặc biệt:  ex ' e x

TOANMATH.com Trang 2

2 Hàm số lôgarit

Định nghĩa Hàm số ylogax a 0; a được gọi là hàm số lôgarit cơ số a 1

Tập xác định Tập xác định: 0; 

Đạo hàm Hàm số ylogax a 0; a1 có đạo hàm tại mọi x dương và

log ' 1

ln

ax

x a

Giới hạn đặc biệt

0

x



0

x



Sự biến thiên

 Khi a hàm số luôn đồng biến 1

 Khi 0  hàm số luôn nghịch biến a 1

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm

   1;0 , ;1a và nằm bên phải trục tung

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y a x và ylogaxa0, a 1

đối xứng với nhau qua đường thẳng y x

Ứng dụng

1 Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính

trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước

không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì

hạn người gửi không đến rút tiền ra

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn (n ) là: * Sn A nArA1nr

2 Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút

ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau

Đặc biệt:  lnx ' 1

x



 1 

r

S n

A



TOANMATH.com Trang 3

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn (n ) là: * Sn A1rn

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền

vào một thời gian cố định

Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng

số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận

được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ) (nhận tiền cuối tháng, khi *

ngân hàng đã tính lãi) là Sn

Ta có Sn A 1 rn 1 1 r

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi

tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng

1

n

r

r

n n

n

r

r

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi

suất r (% / tháng) Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn

nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền

là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn

toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

1  1  1

n n

n

r

r

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn nên 0

1  1  1 0

n

r

n n

X

r





6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm

là A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm

r

A

1 

n n

S A

r





1

n r

S r n





1

n r

S r n





n n

S r A



TOANMATH.com Trang 4

r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là

1  1

k kn

r

r

7 Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính tăng trưởng dân số:

1 m n, , ,

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;

m

X dân số năm , Xm n dân số năm n

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là % m n m 1

n

X r

X



8 Lãi kép liên tục

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền

nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n ) là: * Sn A1rn

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất

mỗi kì hạn là r %

m thì số tiền thu được sau n năm là:

.

1

m n n

r

m

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m  ,

gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền

nhận được cả gốc lẫn lãi là:

.

n r

S  Ae (công thức tăng trưởng mũ)

TOANMATH.com Trang 5

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA HÀM SỐ MŨ

HÀM SỐ LÔGARIT

' 0

y  với mọi x

' 0

với mọi x

Hàm số

x

y a  1

a 

Hàm số

x

y a 

0   a 1

Tập xác định

D  

Đạo hàm ' xln

y  a a

Tiệm cận ngang Ox

Đồ thị

 Luôn đi qua điểm   0;1 và   a;1

 Nằm phía trên Ox

Hàm số

loga

1

a 

Hàm số

loga

0   a 1

Tập xác định

 0; 

Đạo hàm 1

ln

x a

Tiệm cận đứng Oy

Đồ thị

 Luôn đi qua điểm   1;0 và   a;1

 Nằm bên phải Oy

TOANMATH.com Trang 6

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số

Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit

 ax 'axln ; a  au 'auln u'a

log ' 1 ; ln ' 1

ln

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?

x



1

x ln 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

 3 ' 3 ln 3x  x nên đáp án A đúng

 lnx ' 1

x

 nên đáp án B đúng

 3 

1

x ln3

 e2 x ' 2 '.x e2 x 2.e2 x nên đáp án D sai

Chọn D

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y16x2 2

A y'x22 16 x 2  1 B y' 8 16 x x2 2ln 4

C y' 16 x22.ln16 D y' 8 4 x 2 x24.ln 2

Hướng dẫn giải

Ta có: y'x22 '.16 x 22.ln16 2 16 x x 22.4ln 2 8 4 x 2 x 24.ln 2

Chọn D

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số f x lnx2 1

1

f x

x



1

x

f x

x





TOANMATH.com Trang 7

Hướng dẫn giải

'

f x



Chọn D

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số yln 1  x 1

A

'

y



x y

x





1 '

y

x



Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức  lnu ' u'

u

 , ta có

x

x

x

x

 nên y' 2 x 1 11 x 1

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hàm số f x lne xxe x Giá trị f' 2  bằng

A 1

2

1 3



3

 Hướng dẫn giải

'

1

f x

Chọn D

Ví dụ 6: Cho hàm số ylog 22 x Giá trị của 1 y' 1  bằng

2

2ln 2

1 3ln 2 Hướng dẫn giải

3

x x

x

Chọn B

TOANMATH.com Trang 8

Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Phương pháp giải

Hàm số y a a x 0; a đồng biến khi 1 a 1

1 2

x

    nghịch biến trên  vì 1

2

  Hàm số ylogax đồng biến khi a và nghịch 1

biến khi 0  a 1

Ví dụ: Hàm số ylog2a3x đồng biến trên

0; khi và chỉ khi 2 a     3 1 a 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y2a5x nghịch biến trên 

2

Hướng dẫn giải

Hàm số y2a5x nghịch biến trên  khi và chỉ khi 0 2 5 1 5 3

2

Chọn A

Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?

2

x

2

x

  

log

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số y a x luôn đồng biến trên  khi và chỉ khi a 1

2

a  thỏa mãn khẳng định trên

Ta loại phương án A và D vì hàm số ylogax chỉ xác định trên 0;

2

2

x

  

  nghịch biến trên 0; 

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hàm số yx23ex Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ;1

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

TOANMATH.com Trang 9

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

Hướng dẫn giải

Ta có: y' 2  x ex x23 ex ex.x22x 3

1 ' 0

3

x y

x





Bảng xét dấu:

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hàm số y e x.sinx Khẳng định nào sau đây đúng?

A 'y excosx B 'y  y y" C y" 2 y' y D "y  2 cosex x

Câu 2: Cho hàm số y e ax2 bx c đạt cực trị tại x và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung 1

độ bằng e Giá trị của hàm số tại x là 2

e



x

A 2 ' xy"y 12

x

x

x

x

Câu 4: Cho hàm số ylog 33 xx, biết ' 1  1

a y

b

  với ,a b Giá trị của a b bằng

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y f x x.x tại điểm x 1

A f ' 1  B f' 1 2ln C f' 1 2 ln D f' 1 1

Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số ylog 2x

ln 2

y

x

ln10

y x

2 ln10

y x

x



3

A g x'  1

x

ln3

g x

x

x

ln3 x

TOANMATH.com Trang 10

Câu 8: Cho hàm số y e cos x Khẳng định nào sau đây đúng?

A 'cosy x y sinx y " 0 B 'siny x y cosx y " 0

C 'siny x y ".cosx y ' 0 D 'cosy x y sinx y " 0

Câu 9: Hàm số yx e  x đạt cực trị tại

0

Câu 10: Cho hàm số

2

2

x

y x e Khẳng định nào sau đây đúng?

A xy 1 x2 'y B xy' 1 x2.y C xy 1 x2 'y D xy' 1 x2.y

Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?

x

y



 

3

x

3 2

x

  

x

Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số ylogM x M, a2 nghịch biến trên tập xác định là 4

Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số ya23a3x đồng biến?

Câu 14: Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn

A 0 a 1, 0  B 0b 1  a 1, b 1 C a1, 0  b 1 D a1, b 1

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  x2 1 xlnx x2 trên đoạn 1 1;1 là

1

y x



 Khẳng định nào sau đây đúng?

A xy' 1   ey B xy' 1   ey C xy' 1  ey D xy' 1  ey

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

y









A

2 2 2

3 '

1

x x

e y

e



2 2 2

'

1

x x

e y

e



2 2 2

2 '

1

x x

e y

e



2 2 2

4 '

1

x x

e y

e



 Câu 18: Cho hàm số y xsinx Khẳng định nào sau đây đúng?