Giáo án đại số lớp 11 các quy tắc tính đạo hàm

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.. + Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.. + Trình bày được cách viết p

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm

+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp

+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

 Kĩ năng

+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp

+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan

+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức, tính giới hạn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 c  0,c là hằng số;

 x  1;

2

;



   

 

 x x

; 2

 

x

x

 x n  n x n1 ( với n là số tự nhiên)

2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số uu x ;vv x  có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:

1 u v  u v ;

2 u v   u v ;

3  u v u v v u  ;

4 2    0 

   

 

 

u u v v u

v v x

Chú ý:

a)  k v kv ( k: hằng số); 

b) 2   

1

0

 

    

 

 

v

v v x

Mở rộng:

  1  2     1 2 ;

 u v .wu v .wu v .w u v .w 

3 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y f u x    f u  với uu x 

Khi đó: yx y u u  x

4 Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp uu x 

 c 0,c là hằng số

 x  1

2

1  1

   

 

 x x

2

 

x

x

    

2

1  

   

 

 

u

 u   u2 

u

    

5 Đạo hàm các hàm số lượng giác

a) Giới hạn của sin x

x

Định lý:

0

sin lim 1

x

x

Chú ý: Nếu hàm số uu x thỏa mãn điều kiện: u x 0 với mọi xx0 và  

0

x x u x thì

 

 

0

sin

u x

u x

b) Đạo hàm của hàm số ysinx

Định lý:

Hàm số ysinx có đạo hàm tại mọi x và sinx cosx

Chú ý: Nếu ysinu và uu x  thì sinuu cosu

c) Đạo hàm của hàm số ycosx

Định lý:

Hàm số ycosx có đạo hàm tại mọi x và cosx  sinx

Chú ý: Nếu ycosu và uu x  thì cosu u.sinu

d) Đạo hàm của hàm số ytanx

Định lý:

Hàm số ytanx có đạo hàm tại mọi ,

2

  

tan

cos

 

x

x

Chú ý: Nếu ytanu và uu x  có đạo hàm trên ,    

2

K u x k k với mọi xK

Khi đó trên K ta có: tan  2

cos



  u

u

u

e) Đạo hàm của hàm số ycotx

Định lý:

Hàm số ycotx có đạo hàm tại mọi xk,k và   2

1 cot

sin

  

x

x

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

sinx cosx sinu u cosu

cosx  sinx cosu u.sinu

tan

cos

 

x

cos



  u

u

u

cot

sin

  

x

sin



   u

u

u

Chú ý: Nếu ycotu và uu x có đạo hàm trên K, u x k k với mọi xK Khi đó trên K ta

có: cot  2

sin



   u

u

u

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x y 0; 0

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y 0; 0 là: yy x 0 xx0y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Bài toán 1 Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Phương pháp giải

Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo

hàm

 Công thức đạo hàm



 

x n x (với n là số tự nhiên)

 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số uu x v ; v x  có đạo

hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định

Ta có:

a)  1 2   1 2  u

Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm số

   x

x

Hướng dẫn giải

Ta có    3 2 2 1

3





     x 

x

2

2

2 2 1 1

 x  x x x

2

2

1

3 6

 x  x

x

b) u v .w u v .wu v .w u v .w

c) 2    0

   

 

 

u u v v u

v v x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số

a) 4 3 2

2020 2

   

1







x y

x

Hướng dẫn giải

2



 

         

 

b)        

1

 



y

x

1

2

1

  





x

x

1 2 4

  





x x

 





Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số

a) yx2x1 3 x2 

b) yx2x x5

Hướng dẫn giải

a) Ta có     2   

y x x x x x x Khi đó

 2   

    

2  3 2 3 2 2

 x x x  x x x

4 1 3 2 3 2

 x x  x x

2

18 2 2

 x  x

b) Ta có

 2    5

 

2  

 xx x x x

1

2

 x x x

x

3

2

2

 x x

Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau

a)





  

  

a b

c d

ax b

cx d cx d (a, b, c, d là hằng số)

b)

2 2

2

2



    

   

ax bx c

a x b x c a x b x c (a, b, c, a b c1, ,1 1 là hằng số)

c)



    



2

2

1 1 2

2 b c

a a x a b x

a b

ax bx c

a x b a x b (a, b, c, a b1, 1 là hằng số)

Hướng dẫn giải

a) Ta có



  

  

ax b

  





a cx d ax b c

cx d







Vậy





  

  

a b

c d

ax b

b) Ta có

2

2

    

   

ax bx c

       

2 2

2       2 



 

a x b x c

2

2 2

 2   



 

a b a b x a c a c x b c b c

a x b x c

Vậy

2 2

2

2



   



   

ax bx c

a x b x c a x b x c (điều phải chứng minh)

2

2

    



ax bx c

2

2

2     





a x b

2

2

2  





a a x a b x b b a c

a x b

(điều phải chứng minh)

Vậy



    



2

2

1 1 2

2 b c

a a x a b x

a b

ax bx c

Bài toán 2 Tìm đạo hàm của hàm số hợp

Phương pháp giải

Nếu hàm số ug x  có đạo hàm tại x là



x

u và hàm số y f u  có đạo hàm tại u là 

u

y

thì hàm hợp y f g x    có đạo hàm tại x là

   

Công thức đạo hàm của một số hàm hợp

thường gặp:



    

2



  u

u

u

2

1  

   

 

 

u

trong đó uu x 

Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm số

Hướng dẫn giải

Ta có     

  42 2  2 21

 4   4   2 

2

2 1

2 2 1









x

x

 4   3 

2

4

2 2 4 2

2 2 1





x

x

 3   3 

2

2

4 2 2 1

2 1





x

x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

3

2 1

1



  x 

y

x ; b) y 3x22x1

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2

9 2 1

x

y

b) Ta có:  2 

2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1



y

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 1

; 1

  

  



x y

2 1

  

x

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2 1 1



    

    

y

 2 

2

  



x

x

 3

2 1

1



 



x

b) Ta có:

           

2

2

 x x x x x 

2

 x x x x

  

    

 x x

2

1

1

 

x

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số 2

1 2 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2

1





x

x y

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số f x axb, với a, b là hai số thực đã cho Khẳng định nào sau đây đúng?

A f x a. B f x  a. C f x b. D f x  b

Câu 2: Đạo hàm của hàm số   2

5 1

f x x x tại x4 là

A – 1 B – 5 C 2 D 3

Câu 3: Hàm số 2 1

1







x y

x có đạo hàm là

A y 2. B

1 1

  



y

3 1

  



y

1 1

 



y x

Câu 4: Cho các hàm số uu x v , v x  có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với  x J Khẳng

định nào sau đây sai?

A u x   v x u x v x B  

  2   

1 



 

 

 

v x

v x v x

C                

u x v x  u x v x v x u x D  





 

 

 

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số

2 1

8

2 3

 x  x  

y

x

2

1

    

2

1

2 2

   

x

2

1

2 2

   

x

Câu 6: Cho hàm số 2

2







y

x Đạo hàm của hàm số tại x1 là

A y 1  4. B y 1  5. C y 1  3. D y 1  2

Câu 7: Đạo hàm của hàm số  35

1

 

y x là

A  34

5 1

  

15 1

   

C  34

3 1

   

   

Câu 8: Hàm số  2

2 1







x y

x có đạo hàm là

A

2

2

2 1

 

 



y

2

2

2 1



 



y

x

C y  2x2 D

2

2

2 1



 



y

x

Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số 2  

40 3 6

40 3 6

40 3 6

Câu 10: Đạo hàm của hàm số 1 6 3

2 2

  

2

3 1

   

2

3 1

2

   

2

3 1

   

2

3 1

2

   

Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số

3

2

5 4

  

A

2

3 4 4 

      

2

3 4 4 

      

C

2

2

5

   

2

3 4 4 

      

Câu 12: Đạo hàm của hàm số   2

2 3

 

A

2

3

2 3





x x

B

2

1

2 2 3 x C

2

2

6

2 2 3





x x

D

2

3

2 3

x x

Câu 13: Cho hàm số   2

4



x

y f x

x

Giá trị y 0 bằng

A   1

0 2

 

0 3

 

y C y 0 1. D y 0 2

Câu 14: Đạo hàm của hàm số

2

1 1





y x

có dạng

 2 3 1



ax x

Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?

A a 4. B a 1. C a2. D a 3

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số 2

1

2 1

    



x

2 1

    



x

x

C

2 1

 



x y

2 1

    



x

x

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau   3 2

y x x x x D    2  2     3

Câu 17: Đạo hàm của hàm số  2 7

3 7

   

      

    

      

      

Câu 18: Cho f x  1 3 x31 2 x Giá trị của f 0 bằng

A 5

6

 C 0 D 1

Câu 19: Đạo hàm của hàm số yx2 x là

2

x x B 5

3

2

x x

Câu 20: Đạo hàm của hàm số 2 1

1

 





y

x có dạng

2

2 1





ax bx x

Khi đó a b bằng

A a b  2. B a b  1. C a b 3. D a b 4

Câu 21: Đạo hàm của hàm số

 11 3



y

x x bằng

A

1

B 1

2x2 C

 2 2

2 2

2 3





 

x

D

 2 2

4

2 3



 

Câu 22: Cho hàm số f x   2018x2017 2 x2016 3 x  1 2018 x Giá trị của f 1 bằng

2019.2018 B 2019

2018.1009 C 2018

1009.2019 D 1009

2018.2019

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số

2 2





x y

A

2

3

2 2

  



a y

B

2

3

2 2

 



a y

C

2

3

2 2

2

 



a y

D

2

3

2 2

 



a y

Câu 24: Đạo hàm của hàm số   2

A

2

2

4 5 3

 

 

B

2

2

4 5 3

 

 

C

2

2

4 5 3

1

 

 

D

2

2

4 5 3

 

 

Câu 25: Cho

4



x

x x x Giá trị của a

b bằng

A – 16 B – 4 C – 1 D 4

Câu 26: Cho f x   x x1x2x3  xn với n * Tính f 0

A f 0 0. B f 0 n C f 0 n! D  0  1

2



 n n

f

Câu 27: Cho hai hàm số f x  và g x  đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn

2 2 2 3  36   0,

A 11 B 14 C 13 D 10

Câu 28: Cho hai hàm số f x  và g x  xác định và liên tục trên  thoả mãn:   2

,

   

 1 3;  1 5

g g Tính đạo hàm của hàm số hợp f g x    tại x1

A 0 B 9 C 15 D 30

Câu 29: Biết hàm số f x   f 2x có đạo hàm bằng 5 tại x1 và đạo hàm bằng 7 tại x2 Tính đạo

hàm của hàm số f x   f 4x tại x1

A 8 B 12 C 16 D 19

Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm

số lượng giác

sinx cosx sinu u cosu

cosx  sinx cosu u.sinu

1 tan

cos

 

x

cos



  u

u

u

1 cot

sin

  

x

sin



   u

u

u

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số

sin 2 cos tan 2020

2

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin 2  cos tan 2020 

2



    

x

2

2 cos 2 sin

2 2 cos 2020

 x x

x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số

a) ysin 2xcos 5x

b) ysin cos 4x x

cos 2 sin cos 3sin cos sin

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y sin 2x  cos 5x2 cos 2x5sin 5 x

b) Ta có: y sinx cos 4xsin cos 4x x 

cos cos 4 4 sin sin 4

c) Ta có:

   

sin 1 2 cos cos 3sin cos

sin 1 2 cos cos 1 2 sin

sin cos 2 sin cos 2 sin cos

cos sin 2 sin cos 2 sin cos cos sin

1



Vậy y 1 0

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

a) sin cos 2

      

3





x

b) cos 3 sin 2 2

      

3





x

Hướng dẫn giải

a) Ta có cos 2 sin 2 cos 0  2 sin 1

            

b) Ta có 3sin 3 2 cos 2 2

        

3sin 2 cos 0

 



     

 

y

Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số

a) ytan 2 x1 ; b)  2 

cot 3 5

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   2 

2 tan 2 1

cos 2 1



   



x b) Ta có:  2   

6 cot 3 5

sin 3 5



     



x

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số f x  tanxcotx tại điểm

4





x

Hướng dẫn giải

Ta có:   tan cot 

2 tan cot





 



cos sin

2 tan cot







2 2

sin cos

2 sin cos tan cot







2

2 cos 2 sin 2 tan cot







x

Suy ra







 

 

  2

2 cos

4 sin tan cot

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số

1 1 1 1 1 1

cos

2 2 2 2 2 2

Hướng dẫn giải

Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2

2

cos cos

 x  x

Do đó cos 1sin



    

Ví dụ 6: Cho hàm số sin cos

cos sin







y

Chứng minh rằng:  2 2 2

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin cos cos sin sin cos cos sin

cos sin

 



y

Ta có:

+) sinxxcosxcosxxcosxx cos xxsinx ;

+) cosxxsinx  sinxxsinxx sin x xcosx

2

sin cos sin sin cos cos

y

Ta có:    2 2 2

   

2 2

2 2 2

sin cos

cos sin cos sin







Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx

A y 5cosx3sin x B y cosx3sin x

C y cosxsin x D y 5cosx3sin x

Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y 3x2 tanx

A 5 2 tan2

2 3 2 tan



 



x y

2 3 2 tan



 



x y

C

2

5 2 tan

2 3 2 tan

 

 



x y

2

5 2 tan

2 3 2 tan

 

 



x y

Câu 3: Cho hàm số ycos 3 sin 2x x Giá trị của

3



 

  

y bằng

A 1

2

 C – 1 D 1

Câu 4: Hàm số 2

cos



y x x có đạo hàm là

2 cos sin

2 cos sin

2 sin cos

2 sin cos

Câu 5: Đạo hàm của hàm số ysin cos xcos sin x là

A cos cos cosx  xsin sin sinx  x B sin cos cosx  xcos sinx xsinx

C cos cos cosx  xsin sin sinx  x D sin cos cosx  xcos sinx xsinx

Câu 6: Đạo hàm của hàm số 4 4

sin cos

A sin 4 x B 2 sin 4  x

C cos 4xsin 4 x D sin 4 x

Câu 7: Biết hàm số y5sin 2x4 cos 5x có đạo hàm là y asin 5xbcos 2x Giá trị của a b bằng

A – 30 B 10 C – 1 D – 9

Câu 8: Cho hàm số    2

cos 

y f x

x Giá trị của f 3 bằng

3



Câu 9: Cho hàm số y f x sin xcos x Giá trị

2

16



 

 

 

f bằng

A 0 B 2 C .

2





Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số 2

sin cos



A y sinx3cos2x1  B y sinx3cos2x1 

sin cos 1

sin cos 1

Câu 11: Cho hàm số f x acosx2 sinx3x2020 Tìm a để phương trình f x 0 có nghiệm

Câu 12: Cho hàm số y f x  được xác định bởi biểu thức y cosx và 1

2



  

 

 

Hàm số y f x  là hàm số nào sau đây?

A y 1 sinx B ycosx C y 1 cosx D ysinx

Câu 13: Hàm số y2 sinx2 cosx có đạo hàm là

sin cos

  

y

sin cos

  

y

sin cos

  x  x

y

sin cos

  x  x

y

Câu 14: Cho   3

sin , 0

f x ax a Tính f  

3sin cos

 

C   2 

3 sin

 

3 sin cos

 

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số sin

sin cos





x y

x x

A

1

sin cos



 



y

B

1

sin cos

 



y

C

1

sin cos



 



y

D

1

sin cos

 



y

Câu 16: Cho hàm số cos 2

1 sin





x y

x Giá trị của

6



 

  

y bằng

6



 

 

 

6



 

  

 

6



 

 

 

6



 

  

 

y

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

            

Câu 18: Cho hàm số f x sin sinx Giá trị của

6



 

  

f bằng

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số 2  4  

sin cos tan 3



sin 2 cos tan 3 sin tan 3 4 tan 3 1 tan 3 3

B y sin 2 cos tan 3  4 x  sin tan 3  4 x  tan 3 1 tan 33 x  3 x

sin 2 cos tan 3 sin tan 3 4 tan 3 1 tan 3

sin 2 cos tan 3 sin tan 3 4 tan 3 1 tan 3 3

Câu 20: Hàm số y cot 2x có đạo hàm là

A 1 cot 22

cot 2



y

x B  2 

1 cot 2 cot 2

 

y

x C 1 tan 22

cot 2



y

1 tan 2 cot 2

 

y

x

Câu 21: Hàm số ytanxcotx có đạo hàm là

A 12

sin 2

 

y

cos 2

 

y

sin 2

 

y

cos 2

 

y

x

Câu 22: Hàm số 2

tan 2

y có đạo hàm là

A

2

tan

2 cos 2

 

x y

2

2 sin

2 cos 2

 

x y

3

sin

2

2 cos 2

 

x y

tan 2

  x

y

Câu 23: Cho hàm số sin cos

sin cos







y

x x Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A cos sin

cos sin



 



y

cos sin



 



y

C

2

sin cos

 



y

sin

sin cos

 



x y

Câu 24: Tính đạo hàm y cos 6x

A 3sin 6

2 cos 6

  x

y

x B 3sin 6

cos 6



  x

y

x C 3sin 6

cos 6

  x

y

x D 3sin 6

cos 6



  x

y

x

Câu 25: Đạo hàm của hàm số 2

tan

y x x x là

A 2 tan 1

2

3

C

2

2

1

cos 2

   x 

2

2

1

cos

   x 

Câu 26: Cho hàm f x  thỏa mãn sin 1 cos  cos2

4



f x f x x Giá trị của f 1 là

A 3