Giáo án đại số lớp 11 định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.. + Nắm được quan h

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn + Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một

điểm

+ Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán vật lý

 Kĩ năng

+ Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa

+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

một điểm

+ Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng  a b và ; x0 a b;

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 0

lim

x x

x x





 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x  tại x0 và kí hiệu là

 0

f x có nghĩa là

0

0

0

f x

Trong đó

0

x x x

   gọi là số gia của đối số x tại x 0

 y f x  f x 0  f x 0  x f x 0 gọi là số gia tương ứng

của hàm số

2 Đạo hàm bên trái, bên phải

0

0 0

0

x x

f x

x x











0

0 0

0

x x

f x

x x











Hệ quả: Hàm f x  có đạo hàm tại x khi và chỉ khi tồn tại 0 f x 0

và f x 0 , đồng thời f x 0  f x 0

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y f x  có đạo hàm trên  a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm thuộc  a b;

- Hàm số y f x  có đạo hàm trên  a b; nếu f x 

+ Có đạo hàm tại mọi x a b; ;

+ Có đạo hàm trái f b  ;

+ Có đạo hàm phải f a 

4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại 0 x 0

5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x là hệ số góc của tiếp

Chú ý:

+ Nếu y f x  gián đoạn

tại x 0

tuyến M T của đồ thị hàm số tại điểm 0 M x f x0 0;  0 .

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm

 

0 0; 0

M x f x là y y 0 f x 0 x x 0 trong đó y0  f x 0

6 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

+ Vận tốc tức thời : v t 0 s t 0 ;

+ Gia tốc: a t 0 v t 0 s t 0 ;

+ Cường độ dòng điện tức thời: I t 0 Q t 0

+ Nếu y f x  liên tục tại

0

x có thể không có đạo hàm tại

0

x

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Đạo hàm trên một đoạn

Hàm số y f x  có đạo

hàm trên  a b; nếu

 

 

f b

f a





   

 











Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y f x  có đạo

hàm trên  a b nếu nó có ;

đạo hàm tại mọi điểm thuộc

 a b;

ĐẠO HÀM

Đạo hàm tại một điểm

Đạo hàm một bên

     

0

0

0

f x f x y

f x

  x x x0; y f x  f x0 

Đạo hàm phải

     

0

0 0

0

x x

f x f x

f x

x x











Đạo hàm trái

     

0

0 0

0

x x

f x f x

f x

x x











II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm

Bài toán 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số tại một điểm

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử x  là số gia của đối số x

tại điểm x Tính 0  y f x 0  x f x 0

Bước 2: Lập tỉ số y

x





Bước 3: Tìm

0

lim

x

y x

 





Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

2

y x  tại x0  2

Hướng dẫn giải

Giả sử x là số gia của đối số tại x0  2

Ta có:

   2 x x 4 

Tỉ số 2  4

y

x

  

lim y lim 2  x 8 8



Ý NGHĨA CỦA ĐẠO

HÀM

Ý nghĩa hình học

Ý nghĩa vật lí

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y f x  tại điểm M x f x0 0;  0  là

 0

k  f x là hệ số góc của tiếp tuyến

Vận tốc tức thời

Gia tốc tức thời

Cường độ tức thời

Vậy f  2  8.

+ Nếu

0

lim

x

y x

 



 tồn tại hữu hạn thì tại x hàm 0

số có đạo hàm  0 lim0 ;

x

y

f x

x

 





+ Nếu

0

lim

x

y x

 



 không tồn tại hữu hạn thì tại

0

x hàm số không có đạo hàm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số 2 1

1

x y x





 tại x0  3

Hướng dẫn giải

Giả sử x là số gia của đối số tại x0 3

Ta có: 3   3 2 3  1 5 5 2 5 3 ;

Do đó

Vậy  3 3

16

Ví dụ 2 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y 2x tại 1 x0  1

Hướng dẫn giải

Giả sử x là số gia của đối số tại x0 1

x

x



  

2

y

   

Vậy f  1  1

Ví dụ 3 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số ysinx tại 0

3

Hướng dẫn giải

Giả sử x là số gia của đối số 0

3

               

sin 2

2

x

x x

    

Do đó

sin 2

2

x

x x



   



Vì

0

sin 2

2

x

x x

 





1

x

   

f  

 

 

Ví dụ 4 Chứng minh rằng hàm số    21 ,2 0

, 0

f x

x x



 

 không có đạo hàm tại x nhưng có đạo 0 hàm tại x 2

Hướng dẫn giải

Ta có

x  f x x  x x  f x x  x x  f x x  f x

Suy ra hàm số gián đoạn tại x nên không có đạo hàm tại đó 0

x

Vậy hàm số y f x  có đạo hàm tại x và 2 f  2  2

Ví dụ 5 Chứng minh rằng hàm số   2 2 1

1

f x

x

 



 liên tục tại x  nhưng không có đạo hàm 1 tại điểm đó

Hướng dẫn giải

Vì f x là hàm số sơ cấp xác định tại   x  nên nó liên tục tại đó 1

Ta có:  

 

 

f



f  1  lim f x  f  1 lim 2 2



Do đó f 1  f 1 

    nên f x không có đạo hàm tại   x  1

Ví dụ 6 Cho đồ thị hàm số y f x  xác định

trên khoảng  a;b như hình vẽ

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm

1, , , 2 3 4

x x x x

a, Hàm số có liên tục không?

b, Hàm số có đạo hàm không?

Tính đạo hàm nếu có

Hướng dẫn giải

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x x vì đồ thị bị đứt tại các điểm 1, 3

đó Hàm số liên tục tại x x vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các 2, 4

điểm đó

b, Tại các điểm x x hàm số không có đạo hàm do hàm số gián 1, 3

đoạn tại các điểm x x 1, 3

Hàm số không có đạo hàm tại x vì đồ thị bị gãy (không có tiếp 2

tuyến tại đó)

Hàm số có đạo hàm tại x và 4 f x 4  vì tại 0 x đồ thị hàm số có 4

tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp

tuyến bằng 0)

Bài toán 2 Dùng định nghĩa tìm đạo hàm trên một khoảng

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử x  là số gia của đối số x tại

0

x

Tính  y f x 0  x f x 0

Bước 2: Lập tỉ số y

x





Bước 3: Tìm

0

lim

x

y x

 





 Hàm số y f x  có đạo hàm trên

 a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên  a b;

Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm

số y x 2 trên khoảng   ? ; 

Hướng dẫn giải

Giả sử x  là số gia của đối số x

Ta có:

2 x x x

   

2

  

 Hàm số y f x  có đạo hàm trên

thuộc  a b đồng thời tồn tại đạo hàm; trái f b  và đạo hàm phải f a 

y

x

   

 Vậy f x 2 x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

1

x y x



 trên các khoảng  và ;1   ? 1; 

Hướng dẫn giải

Giả sử x  là số gia của đối số x

y

   

Vậy  

1 1

f x

x





Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số ycosx trên khoảng   ? ; 

Hướng dẫn giải

Giả sử x  là số gia của đối số x

2

y

x



2

x y

x x

x

   





Vậy f x  sin x

Bài toán 3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm

Sử dụng tính chất

Hàm f x  có đạo hàm tại x khi và chỉ khi 0

tồn tại f x 0  và f x 0  đồng thời

 0  0

f x   f x 

Ví dụ Tìm m để hàm số  

2 1 khi 1 1

2 khi 1

x

x



 



có đạo hàm tại x 1

Hướng dẫn giải

Ta có lim1   lim1 2 1 2;  1 2

1

x

x





Để hàm số có đạo hàm tại x thì 1 f x phải liên  

1

Thay m vào hàm số 1 f x  thỏa mãn có đạo hàm 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm a, b để hàm số   2 3 khi 2

khi 2

f x

 có đạo hàm tại x 2

Hướng dẫn giải

Ta có

x  f x x  x x x  f x x  ax b b

Để hàm số có đạo hàm tại x thì hàm số liên tục tại 2 x 2

Do đó 2a       Ta lại có: b 2 b 2a 2

x

Do b   nên 2a 2

a

Để hàm số có đạo hàm tại 2x thì

      

Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số   cos , 0

sin , 0

f x

x x





 không có đạo hàm tại x 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

x  f x x  x x  f x x  x x  f x x  f x

Suy ra hàm số gián đoạn tại x nên không có đạo hàm tại đó 0

Ví dụ 3 Tìm ,a b để hàm số  

3

khi 1 3

khi 1

x

x

f x







 



có đạo hàm tại x 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện cần

x

 

x  f x x  ax b a b

Để hàm số f x có đạo hàm tại   x thì 1 f x liên tục tại   x 1

1

3

x  f x x  f x f a b

Điều kiện đủ:

3

2

1

x

f







Để hàm số f x  có đạo hàm tại x thì 1     2

3

f   f       a b

3

a b  thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Số gia của hàm số f x x3 tại điểm x0 ứng với 1   là x 1

Câu 2: Biểu thức y và y

x



 của hàm số

2 1

y x  tính theo x và x là

A. y 0, 0.y

x



2 , 2 y

x





x



, .y

x





Câu 3: Đạo hàm của hàm số y2x tại điểm 1 x0   là 1

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y x 2 tại điểm x x là 0

x

x

f x   x x  x  x f x  lim x 2x  1