Giáo án đại số lớp 12 bài 4 tiệm cận

TIỆM CẬN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. + Nhận biết được các đồ thị của hàm

Trang 1

TOANMATH.com Trang 1

BÀI 4 TIỆM CẬN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận

+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng biến thiên

+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số

+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Đường thẳng y y được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 0

 



y f x nếu lim   0

 



Đường thẳng x x được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0

 



y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

x x f x x x f x ;

x x f x x x f x

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 được gọi là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 



y f x nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau được thỏa mãn:

x x f x x x f x

Tiệm cận ngang Đường thẳng y y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 



 

x f x y hoặc lim 0



x y

TIỆM CẬN

Trang 4

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán 1 Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận

Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số y f x nếu   lim   0

 

x f x y hoặc

lim

 

x f x y

Tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 là đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số y  f x nếu một trong các điều kiện  

sau được thỏa mãn:

x x f x x x f x

Ví dụ: Cho hàm số y f x có   lim   1

 

x f x và

 

x

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x là   y1 và y 1

Ví dụ: Cho hàm số y f x  có lim2  

  

x f x

và lim2  

  

x f x Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là   x 2 và x2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có   lim   3

  

x f x và lim   3

 

x f x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y3 và y 3

B Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x3 và x 3

C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Vì lim   3

  

x f x nên y  3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vì lim   3

 

x f x nên y3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong    C và các giới hạn:

A Đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của  C

Trang 5

B Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của C

C Đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của C

D Đường thẳng x2 là tiệm cận ngang của C

 









x

f x

f x đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của  C Chọn B

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng     và có 2; 1  

2

x f x ,  

1

lim

  

x f x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số y  f x có đúng hai tiệm cận đứng là   x 2 và x 1

B Đồ thị hàm số y f x có đúng một tiệm cận ngang là   y 2

C Đồ thị hàm số y f x  có đúng một tiệm cận đứng là x 1

D Đồ thị hàm số y  f x có đúng hai tiệm cận ngang là   y2 và y 1

Do

1

lim ( )

x  f x

   nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là x 1

Chọn C

Bài toán 2 Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm

số

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x xác  

định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số y f x 

Chú ý:

- Ứng với điểm x x0 trong bảng biến thiên thì ở

dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải

các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x x0 mới là

đường tiệm cận đứng của đồ thị

- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên

thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y0 (không

phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng y y0 mới là

đường tiệm cận ngang của đồ thị

Ví dụ: Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên  

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x x0

là tiệm cận đứng và đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x  

Trang 6

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên   \ 1 Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Đồ thị hàm số y f x có bao nhiêu đường tiệm cận?  

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có

 

x f x y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

x f x y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

1

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x  , hai tiệm cận ngang là 1 y  3

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên \2; 1 và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Từ bảng biến thiên, ta có

  2

lim

   

x y nên x  2 là đường tiệm cận đứng;

lim lim 2

   

x y x y nên x1 không là đường tiệm cận đứng

Trang 7

Chọn C

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y f x là  

C x 1 và y  2 D x 1 và y2

Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng

Chọn D

Bài toán 3 Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số

Tiệm cận của đồ thị hàm số



ax b

cx d Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tập xác định  \  

D

c

Bước 2 Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang của đồ thị

- lim

 

x

a y

c nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

1







x y x

Hướng dẫn giải Tập xác định D\ 1 

   

x y x y nên đồ thị có đường tiệm cận ngang là y2

lim ; lim

     

x y x y nên đồ thị có đường tiệm cận đứng là x 1

Trang 8

ngang là y a

c

- lim



 

d

x

c

y nên đồ thị hàm số có đường tiệm

cận đứng là x d

c Bước 3 Kết luận

Đồ thị hàm số  



ax b y

cx d có hai đường tiệm cận:

Tiệm cận đứng x a

c và tiệm cận ngang y d

c

Chú ý:

- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm



ax b

y

d a I

c c là tâm đối xứng của đồ thị

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số  



ax b y

cx d cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có

chu vi là 2  

c c và diện tích là 2

ad c Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ  

 

 f x y

g x Điều kiện xác định g x 0

Tính các giới hạn

0

lim ; lim

 

X—>±0O X->Xg

nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

thì kết luận

Chú ý:

- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ  

 

 f x y

g x với

1  1 0 0



1  1 0 0



Khi đó:

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

Vậy đồ thị hàm số 2 3

1







x y x nhận đường thẳng y2 là tiệm cận ngang

và nhận đường thẳng x1 là tiệm cận đứng

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm





x y

Hướng dẫn giải Tập xác định là D\ 1; 3  

Ta có

lim 0; lim ; lim

       

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là

x x và một tiệm cận ngang y 0

Trang 9

 n

m

a

y

b

+ Nếu n m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 

0



y

- Nếu đường thẳng x x là tiệm cận đứng của đồ 0

thị hàm số thì xx là nghiệm của phương trình 0

g x (ngược lại nghiệm của g x 0 chưa

chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị) Hay nói cách

khác x x0 là các điểm gián đoạn của hàm số

Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác

định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang là tìm tập xác định của hàm số

Bước

Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số

2

1 2







x y

x Hướng dẫn giải Tập xác định D  1; 1

Không tồn tại các giới hạn lim ; lim

 

x y x nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng 1; 1 và

trên đoạn 1; 1 Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

2

x y x





 là

Tập xác định D\ 2 

Ta có

  nên x là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

  nên y  là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

Chọn C

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x là tiệm cận đứng? 2

2

x y

x



2 2

x y x



2 2

x

  

Trang 10

Ta thấy hàm số 2

2

x y x



 có tập xác định D\ 2  và

hàm số có tiệm cận đứng là x 2

Chọn A

Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số 3 1

1

x y x





 là

Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x và tiệm cận ngang của đồ thị là 1 y  , tọa độ tâm đối xứng 3 của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận I 1; 3

Chọn D

Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1

1

x y x





 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x và tiệm cận ngang là 1 y  Khi đó hình chữ nhật tạo bởi 2 hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S 1.2 2 (đvdt) Chọn A

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2

2

x y x





 là

2

x y

x



 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 2

2

x y

x

 



 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 2

2

x y

x

 



 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y   1 Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3

Trang 11

Chọn B

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số 2 1

x y





  có bao nhiêu đường tiệm cận?

Tập xác định D\ 1; 3  

x



  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0 +

x y x y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  ; 1

+

x y x y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  3

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận

Chọn A

Ví dụ 7: Đồ thị hàm số 1

1

x y x





 có bao nhiêu đường tiệm cận?

Tập xác định D\ 1

x y x y

     Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1

x y x  y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1

x y x  y

       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

Chọn D

3

4

y



 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Tập xác định D\ 0; 2  

Ta có

2

y

x x

đứng

Trang 12

2 3

4

y

x x



đứng

3

4

y

 

 nên đường thẳng x  là tiệm cận đứng của đồ thị 2 Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x  2

Chọn A

 



 là

Tập xác định D    9;  \ 0; 1 

Khi đó, ta có

2

6

x

lim

6

x





 0

x

  không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

9 3

x

y



Chọn C

Chú ý: Không tồn tại lim

x y

 vì trong tập xác định không có x tiến tới -∞

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số

2

16 16

x y

x x





Tập xác định D  4; 4 \ 0  

Do

x y x y

      nên đường thẳng x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận

Chọn D

Ví dụ 11: Đồ thị hàm số 1

1

x y x





Trang 13

Tập xác định D    1;   \ 1

Ta có :

1

x

 



 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0

1

x





=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1

x y



=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

Chọn D

Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 2 1

3

y

x



Ta có

3

y

x

3

y

  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

3

x

1

y

  là đường tiệm cận ngang

Chọn B

Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong  : 6 1 2 2

5

x



 và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác  H Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A  H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

B  H là một hình vuông có diện tích bằng 4

Trang 14

C  H là một hình vuông có diện tích bằng 25

D  H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10

Tập xác định  ; 2   2;  \ 5 

5

x

 

2

5

x

 

        là tiệm cận đứng của  C

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y 5; y 7; x cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có 5 kích thước 2 5 nên có diện tích bằng 10

Chọn D

Ví dụ 14 : Cho hàm số y x x2 2x Khi đó, đồ thị hàm số 3

A có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

B có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

C có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

D không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Tập xác định D

Do hàm số liên tục trên  nên đồ thị không có tiệm cận đứng

2

x



1 y

   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y  1

Chọn B

Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1

x y x



 là

Tập xác định   ; 1 1;  

Trang 15

Ta có

2

1

x y

x

   

1

x y

x

 



 1

y

  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số y f x  có lim   2

x f x

   Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y và 2 y  2

B Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x và 2 x  2

Câu 2: Hàm số y f x  xác định với mọi x  , có 1  

x



 

lim

x f x

   Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

B Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Câu 3: Cho hàm số y f x  có  

3

lim

x  f x

3

x  f x

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đường thẳng y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 y f x 

B Đồ thị hàm số y f x  không có tiệm cận đứng

C Đường thẳng x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 y  f x 

D Đường thẳng x không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số 3 y f x 

Câu 4: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên   \ 1 có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B Hàm số không có đạo hàm tại x  1

C Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 1

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Tiêu đề	Giáo án đại số lớp 12 bài 4 Tiệm Cận
Trường học	Đại học Toán học Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	905,65 KB