TOÁN học với NHỮNG HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN và ý NGHĨA THỰC TIỄN của CHÚNG

Spinôda, tính t ất yếu đã g ạt bỏ m ọi s ự can thi ệp của thần thánh, nhưng ông cũng không giải thích được một cách đúng đắn mối quan hệ giữa tất yếu và ngẫu nhi ên.. Lý thuy ết xác su ấ

TOÁN HỌC VỚ I NHỮNG HIỆ N TƯỢ NG NGẪU NHIÊ N VÀ Ý NGHĨ A

THỰC TIỄ N CỦA CHÚNG

Như chúng ta đã bi ết, trong triết học mácxít, ngẫu nhiên và tất nhiên là một cặp ph ạm trù c ủa phép biện ch ứng duy v ật, có ý nghĩ a phươn g pháp luận và thự c tiễn rấ t l ớn Trên th ực tế, các hiện tượn g xảy ra trong th ế gi ới xung quanh ta th ật muôn hình muôn v ẻ V ề đ ại th ể, có thể phân chúng làm hai l o ại : mộ t lo ại b ao g ồm các hi ện tư ợng xả y ra có tính chấ t xác định và có th ể bi ết trư ớc, như nh ật th ực, ngu yệt thự c, sự lên xu ống của thủ y tri ều v.v., đư ợc gọi là nh ững hiện tượn g t ất nhiên ; loại thứ hai b ao g ồ m những hi ện tư ợng xảy ra tùy lú c và k hông th ể dự đoán trước một cách chính xác, như s ố người sinh ra trong một ngày trên h ành tinh c ủa chúng ta, s ố ngày n ắng, mưa trong m ộ t năm v.v., được gọi là các hiện tượng ngẫu nhiên

Từ xưa đến nay, vi ệc nghi ên cứu các hi ện tượ ng ng ẫu nhi ên là m ột vấn đ ề rất ph ức t ạp Trong t h ực t ế, đã có nhi ều quan đi ểm t rái ngược nhau và do vậy, khó có th ể có m ột câu t rả lời mỹ m ãn v ề v ấn đ ề này S ong, theo quan điểm duy vật biện chứng, tất cả những hiện tượng ngẫu nhiên và tất nhiên đều là kết quả của những nguyên nhân nào đó Sự khác nhau giữa chúng chỉ

là ở chỗ, cái t ất nhi ên g ắn liền với nguyên nhân cơ b ản, n ội t ại của sự v ật, còn cái ng ẫu nhiên l à k ết qu ả t ác động của m ột s ố nguyên nhân bên ngoài Trong thực tế, cũng đã có m ột số quan đi ểm cho rằng, nh ững hiện t ượng t ất nhi ên xảy ra theo quy lu ật, còn nh ững hi ện tư ợng ng ẫu nhi ên x ảy ra không tuân theo quy l u ật Theo chúng t ôi, đó là m ột quan đi ểm s ai l ầm Bởi lẽ, theo quan điểm mácxít, về thực chất, cả những cái tất nhiên và ngẫu nhiên đều tuân theo quy luật Ở đây, sự khác nhau giữa chúng chỉ là ở chỗ, cái tất nhi ên t uân t heo m ột loại quy lu ật đư ợc g ọi l à quy l u ật đ ộng l ực, còn cái ngẫu nhi ên t uân t heo m ột l oại quy l uật khác đượ c g ọi l à quy lu ật t hống kê Quy lu ật động l ực là quy l u ật m à t rong đó, m ối quan h ệ giữa nguyên nhân

và kết quả là mối quan hệ đơ n t rị, nghĩa l à ứng với một nguyên nhân ch ỉ có một k ết qu ả xác định Chí nh vì v ậy, n ếu biết t rạng thái ban đ ầu của một h ệ thống nào đó, chúng ta có th ể ti ên đoán chính xác tr ạng t hái t ươ ng l ai của

nó Ngược lại, quy luật thống kê là quy luật mà trong đó, mối quan hệ giữa nguyên nhân và k ết quả là mối quan h ệ đa trị , nghĩ a l à ứng với một nguyên nhân t hì có t h ể có nh ững k ết quả khác nhau Vì v ậy, t heo quy l u ật thố ng kê, mặc dù bi ết trạng th ái ban đầu của m ột h ệ thống nào đó, nhưng ngư ời t a không th ể ti ên đoán chí nh xác đư ợ c tr ạng thái của nó t rong t ương l ai mà chỉ có th ể dự báo đư ợc với m ột xác su ất nhất đị nh

Theo quan điểm duy vật mácxít, giữa cái tất nhiên và cái ngẫu nhiên luôn

có mối qu an hệ bi ện ch ứng s âu sắc Mối quan h ệ đó đượ c biểu hiện ở chỗ, cái t ất nhi ên bao gi ờ cũng v ạch đư ờng đi cho mình xuyên qua vô s ố cái ngẫu nhi ên, còn cái ng ẫu nhi ên l à hình th ức th ể hiện củ a cái t ất nhi ên, bổ sung cho cái t ất nhi ên T ừ l ập t rườ ng đó, có th ể nói, t ất cả nh ững gì m à chúng ta th ấy trong hi ện th ực và cho l à ng ẫu nhiên thì đ ều không ph ải l à ngẫu nhi ên t hu ần túy, m à l à ng ẫu nhi ên đã bao hàm cái t ất nhi ên, có nghĩ a

là đằng sau chúng bao giờ cũng ẩn nấp cái tất nhiên nào đó Về điều này, Ph.Ăngghen đã nhấn mạnh: "Cái mà người ta quả quyết cho là tất yếu lại hoàn t oàn do nh ững ngẫu nhi ên t hu ần túy c ấu thành, và cái đư ợc coi l à ngẫu nhi ên, l ại l à hì nh th ức, dướ i đó ẩn nấp cái tất y ếu" (1)

Vấn đ ề chúng t a cần giải quyết ở đây l à con ngư ờ i có t ìm đượ c cơ sở đ ể hiểu bi ết v ề n hững hiện tượ ng ng ẫu nhi ên hay không? B ản t hân chúng có quan h ệ như th ế nào với quy l u ật v ận độ ng của th ế giới khách quan? N ếu chúng ta th ừa nh ận cái ng ẫu nhi ên thì nó có tính khách quan hay ch ỉ l à k ết quả củ a s ự h ạn chế của nh ận thức chủ quan c ủa con người ? Nói cách khác, ngẫu nhi ên l à thu ộc t ính củ a nh ận t hức hay l à thu ộ c tí nh củ a đ ối tư ợng khách quan? Nh ững vấn đ ề như v ậy đã được đ ặt ra t rong s u ốt quá t rình l ị ch

sử nh ận t hức củ a con người

Đêmôcrít, nhà triết học duy vật cổ đại nổi tiếng người Hy Lạp tuy có nhiều quan điểm tiến bộ về vấn đề này, song lại mắc một nhược điểm lớn khi phủ định tính ngẫu nhiên Theo ông, mọi cái đều là tất yếu, đều đã được quyết định sẵn theo nguyên nhân của chúng Nhược điểm đó đã cho thấy rõ bản

ch ất quy ết định lu ận duy vật m ang m ầu s ắc đ ịnh mệnh của Đêmôcrít Đ ến thế kỷ XVIII, S pinôda - nhà t riết học duy vật Hà Lan, đã có đóng góp l ớn khi ông đưa ra nguyên lý v ề tính nhân quả bên trong của thế giới Ở

Spinôda, tính t ất yếu đã g ạt bỏ m ọi s ự can thi ệp của thần thánh, nhưng ông cũng không giải thích được một cách đúng đắn mối quan hệ giữa tất yếu và ngẫu nhi ên Sai l ầm củ a ông là đã ph ủ nh ận tính khách quan c ủa ng ẫu nhi ên

và không th ấy nó l à m ột t rườ ng hợp ri êng c ủa t ất y ếu Theo S pinôda, vì mọi cái t rong t ự nhiên đ ều tuân t hủ tính t ất yếu một cách nghi êm ng ặt, cho nên ng ẫu nhiên bị lo ại t rừ Ông coi ng ẫu nhi ên l à cái m à chúng t a không biết nguyên nhân c ủa nó, còn khi đã tìm ra nguyên nhân thì ng ẫu nhi ên tr ở thành t ất y ếu, do v ậy, ng ẫu nhiên hoàn toàn là ph ạm trù chủ quan Đi ều đó

ch ứng tỏ S pinôda không t h ừa nh ận tính khách quan c ủa ng ẫu nhi ên

Xuất phát t ừ n hững nhận th ức nêu trên, chúng t a s ẽ xem xét cái ng ẫu nhi ên được nghiên cứu trong các lý thuyết toán học, trong đó lý thuyết xác suất

và thố ng kê là cơ b ản nhất Lý thuy ết xác su ất và thố ng kê c ủa toán họ c ra đời nhằm nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, phát hiện ra quy luật hoạt động của chúng, thúc đẩy khoa học phát triển, tăng cường khả năng nhận thức củ a con người đ ối với th ế giới khách quan

Hiện t ượng ngẫu nhi ên là r ất phổ bi ến trong th ực ti ễn, t ừ vật l ý vi mô đ ến sinh học, hóa họ c, khí tư ợng họ c và các khoa h ọc xã hội, v.v Vì th ế, lý thuy ết xác su ất ngày càng có v ị trí đ ặc bi ệt quan tr ọng trong khoa h ọ c và được nghiên cứu một cách sâu sắc Trong các lý thuyết toán học đã có

nhi ều quan niệm v ề khái ni ệm xác su ất, nhưng ở bài vi ết này, chúng tôi ch ỉ

đề cập đến định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa xác suất nhờ tần suất

Trong các gi áo t rình toán h ọc, xuất phát t ừ quan ni ệm coi xác su ất l à mộ t đại lượng thể hiện mức độ xảy ra của một biến cố, người ta đưa ra định nghĩa cổ điển về xác suất như sau: "Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp t hích h ợp với nó trong m ột không gian bi ến cố sơ cấp g ồm n(Ω) bi ến cố

cùng khả năng su ất hiện thì tỷ s ố P (A) = đượ c gọi là xác s u ất của A"(2)

Từ quan ni ệm t rên, t a gi ả sử bi ến cố A được phân chi a t hành A = A1 + A2 + + An trong nhóm n bi ến cố đầy đủ A1, A2, , An của mộ t phép th ử nào đó

có cùng kh ả năng xu ất hiện thì xác su ất của một biến cố nào đó chính l à s ố

đo khả năng khách quan xuất hiện của biến cố đó khi phép thử g được thực hiện Định nghĩ a v ề xác s uất nhờ t ần su ất đượ c mô t ả như s au: "Gi ả s ử t a tiến hành n phép th ử độc l ập, như nhau và theo dõi s ự xu ất hiện bi ến cố A

có liên quan G ọi n l à s ố phép t hử đã ti ến

hành, n(A) l à s ố phép th ử có A xu ất hiện, tỉ s ố được gọi là tần suất của

A Trong toán h ọc, người ta đã ch ứng minh được xác s uất của biến cố A l à

P(A) = Do đó, ta rút ra k ết luận rằng, khi số phép thử n đủ lớn ta có thể lấy t ần su ất củ a A thay cho xác su ất P(A) (m à t a chưa bi ết)"(3)

Trong toán h ọc, không ai dùng nhi ều phép th ử đ ể chứng mi nh đ ịnh lý,

nhưng để nghiên cứu toán học thì không có lý do gì ngăn c ản các nhà toán học s ử d ụng nhi ều phép th ử; đặc biệt l à t rong th ời đ ại ngày nay, m áy tí nh điện tử cho phép xử lý rất nhanh các kết quả do từng phép thử mang lại Thực ch ất của vi ệc s ử d ụng phép th ử t rong toán h ọ c chí nh là vi ệc tìm xác suất củ a một bi ến c ố ngẫu nhi ên nhờ tần s uất của nó Việc làm này không phải t rong th ời đ ại ngày nay m ới đượ c đề cập đ ến, mà ngay t ừ th ế kỷ XVII, nhà to án học Thụy Sĩ - B écnuli (1654 - 1705) đã ch ứng minh m ột đị nh l uật rất có ý nghĩ a như s au: " Khi s ố l ần thí nghi ệm càng nhi ều t hì khả năng có sai lệch gi ữa xác su ất và t ần su ất xu ất hi ện của hi ện tư ợng là r ất nhỏ Nói cách khác, khi s ố l ần thí nghi ệm càng n hi ều thì t ần su ất xu ất hiện của hi ện tượng ngẫu nhiên A dao động một cách ổn định gần giá trị P nào đó Giá trị này gọ i l à xác s uất của hi ện t ượng ng ẫu nhiên A V ậy có th ể dùng t ần su ất

để thay thế xác suất"(4)

Theo cách l ập lu ận t rên, t a bi ết rằng xác s uất của một bi ến cố l à s ố đo khả năng khách quan của việc xuất hiện biến cố đó Nhưng, thực tế cho thấy, một bi ến cố có xác s u ất g ần 1 thường xu ất hi ện còn bi ến cố có xác su ất gần

0 thường không xuất hiện Các biến cố có xác suất gần 0 (do đó các biến cố đối của nó có xác suất gần 1) thường được quan tâm Tuy nhiên, m ức độ quan t âm l à ph ụ thuộ c vào tính ch ất, tầm quan t rọng củ a sự vi ệc Ch ẳng hạn, khi xây d ựng m ột đo ạn đường h ầm xuyên qua núi, xác su ất đo ạn đườ ng hỏng l à 0,01 Nó t uy là m ột đ ại lượ ng r ất nhỏ bé nhưng không th ể bỏ qua được, bởi với xác suất đó, việc sập hầm vẫn có thể xảy ra và gây hậu quả

nghi êm t rọ ng Nhưng n ếu s ản xu ất một lô hàng ti êu dùng thông thư ờng như quần áo v.v v ới xác su ất b ị p hế ph ẩm là 0,01 thì có th ể bỏ qua đượ c

Từ khi lý t huy ết xác suất ra đời, t rong th ực t ế đã có rất nhiều l ý thuy ết ứng dụng nó, như lý t huy ết t rò chơi, lý th uyết xếp hàng, lý t huy ết phụ c v ụ đám đông v.v Càng ngày, người ta càng nhận thấy rằng, những lĩnh vực trong

đó có thể khẳng định "đúng", "sai" là rất ít so với các lĩnh vực trong đó không th ể khẳng đị nh "đúng" hay "s ai", mà ch ỉ có t hể nói đ ến một "xác suất " đúng hay sai P nào đó (0 £ P £1) Ví d ụ, trong cơ h ọc lư ợ ng t ử, do lưỡng tính sóng hạt nên ta không thể khẳng định vị trí của một hạt ở một thời điểm xác đị nh, mà ch ỉ có t hể nói đ ến xác su ất đ ể hạt ở v ị trí đó Vào năm 1965, nhà toán học Mỹ - L.A.Zadels đã mở đầu cho việc hình thành toán h ọc mờ - lĩ nh v ực toán học chuyên nghi ên c ứu v ề tập h ợp mờ, t ức l à những t ập hợ p không có ranh gi ới rõ r ệt vì không th ể k hẳng đị nh đượ c m ột phần t ử nào đó l à thu ộc tập hợ p hay không, m à ch ỉ có t hể nói đến một xác suất P đ ể phần tử thu ộc tập hợ p Trong th ực tế, có r ất nhi ều tập hợ p mờ ,

ch ẳng h ạn, M là t ập hợp những ngày mưa trong năm 2005 và h ỏi ngày

10/10/2005 có thu ộ c M hay không? Ở đây, t a ch ỉ có th ể đưa ra câu tr ả l ời với mộ t xác s uất P nào đó

Để làm rõ vấn đề, ta cần chú ý đến những biến cố ngẫu nhiên do rất nhiều nguyên nhân ng ẫu nhiên gây ra, m à m ỗi nguyên nhân này ch ỉ có ảnh hư ởng rất nh ỏ Vi ệc tìm đi ều ki ện đ ể n hững biến cố như vậy x ảy ra v ới xác su ất gần 0 (hoặc g ần 1) m ột cách tùy ý là n ội dung các m ệnh đ ề m ang t ên "lu ật

số lớ n" Ở đây, các nguyên nhân đư ợc bi ểu thị b ằng nh ững bi ến ng ẫu nhiên, còn t ác dụ ng t ổng hợ p của các nguyên nhân đư ợ c th ể h iện bở i "tổng" củ a những biến ngẫu nhi ên theo m ột cách nào đó

Tuy nh ững hi ện tượ ng ng ẫu nhiên l à không đoán t rư ớ c đượ c, s ong t heo l ý thuy ết xác su ất ngư ờ i ta có th ể nghiên cứu các hệ thố ng nh ững hi ện tượ ng

để rút ra các quy luật về số lớn của chúng, đồng thời biểu diễn các quy luật này b ằng nhiều mô hình t oán h ọc T ừ đó, chúng ta có th ể lợi d ụng đượ c những hiện t ượng ng ẫu nhi ên, th ậm chí t ạo ra nh ững hi ện tượ ng ng ẫu nhiên tuân theo các quy lu ật s ố lớ n để dùng vào nh ững tính t oán cụ thể Vấn đề cốt y ếu l à ở chỗ, đ ể hiểu đượ c mộ t hi ện t ượng ng ẫu nhiên, t a ph ải xem xét

nó t rong m ối quan h ệ với m ột số l ớn các y ếu tố, các khả năng Khi m ột hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra thì có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hi ện nay khoa h ọc chưa bi ết đ ến, hay m ới chỉ b iết một ph ần Chí nh

vì v ậy, người t a thườ ng nói " cái t ất nhi ên bộc lộ ra bên ngoài qua cái ng ẫu nhi ên"

Trong toán học, l ý t huy ết xác suất và t hống kê đã nghiên c ứu r ất nhi ều những vấn đ ề có li ên quan đ ến ng ẫu nhi ên, ch ủ yếu l à các quá trình ng ẫu nhi ên, các dãy nh ững hi ện t ượng ngẫu nhi ên Quá trình ng ẫu nhiên, t ức l à quá trình bao g ồm nh ững bư ớc di ễn ra ở t ừng thời đi ểm cụ th ể thì t a không hoàn toàn xác định được, nhưng nếu xét sự việc xảy ra của cả dãy thì rõ ràng nó cũng phải tuân theo một quy luật chung nào đó Tóm l ại, tìm hiểu

về lý t huy ết xác su ất và th ống kê t ức là c ố gắng tìm ra nh ững quy l u ật

chung đối với số lớn các hiện tượng, hoặc là số lớn các đối tượng mà nếu tách t ừng cái đơ n nh ất t hì không nghi ên c ứu cụ th ể đượ c và không t h ể hi ểu được Trong lý thuyết xác suất, những định lý cơ bản là những định lý về

số lớ n các bi ến cố Như vậy, ph ần l ớn các quy lu ật t hống kê, quy lu ật v ề những hiện t ượng ng ẫu nhi ên là nh ững quy lu ật nói về số lớn Điều này h ết sức quan t rọng, bởi t hông thường, khi nghiên c ứu các đối tượ ng củ a t hực

tế, không ph ải bao gi ờ ta cũng có t h ể hi ểu đượ c sự v ận động c ủa cả m ột quần t hể lớn trên cơ s ở nghi ên c ứu sự vận động củ a t ừng đối t ượng cụ t hể Trên thực tế, nhi ều khi chúng t a không bi ết đượ c ho ạt động của t ừng đố i tượng cụ thể, nhưng lại hiểu được hoạt động của cả một quần thể đối tượng nếu d ựa vào nh ững quy lu ật có tí nh ch ất t hống kê, có tính ch ất xác su ất Nói cách khác, đối với từng cái cụ thể là ngẫu nhiên, nhưng đối với toàn thể lại l à có quy lu ật Ch ẳng h ạn, t a xét chuy ển động củ a m ột ch ất khí bao gồm hàng tỉ phân t ử đượ c đ ựng t rong m ột bình R õ ràng, chúng t a không thể mô t ả được sự vận độ ng củ a từng phân t ử khí , nhưng l ại hoàn toàn có thể hi ểu đượ c sự v ận động chung của cả chất khí đó Vì th ế, có th ể đưa ra kết lu ận rằng, t rong m ột cái bì nh đ ựng khí mà không có t rao đ ổi năng l ượng với bên ngoài thì các phân t ử khí có xu hư ớng chuyển đ ộng tự do với t ố c đ ộ ngày càng l ớn Ở đây, sự vận động củ a t ừng phân t ử khí đối v ới nh ận th ức của chúng ta đượ c xem là ng ẫu nhiên, nhưng hi ện t ượng ng ẫu nhiên đó l ại

được diễn tả bằng quy luật số đông mà thực chất là quy luật có tính thống

kê củ a một số l ớn các phân t ử

Ta hãy xét m ột thí d ụ khác, n ếu chúng ta tung m ột đồ ng tiền đồng chất l ên, khi rơi xuống, nó có thể sấp, có thể ngửa Điều này không thể là tất nhiên được, bởi chúng ta không thể tính toán được một cách chính xác các y ếu tố tác động đến đồng tiền để khẳng định khi rơi xuống nó sẽ sấp hay ngửa Do vậy, đ ối với chúng ta, đ ồ ng t iền rơi sấp hay ng ửa l à ngẫu nhiên Như th ế, chúng ta hoàn toàn b ất l ực t rong vi ệc nh ận th ức đồ ng tiền rơi sấp hay ng ửa đối với từng lần tung một Song, nếu tung đồng tiền lên nhiều lần, hàng trăm, thậm chí hàng nghìn l ần v.v thì chúng ta s ẽ thấy số lần sấp và số lần ngửa gần như b ằng nhau Do v ậy, nếu xét nhi ều lần tung, chúng t a có t h ể kết lu ận rằng, t ỷ l ệ g iữa số lần s ấp và ngửa x ấp xỉ b ằng 1 Đó l à quy lu ật

củ a cái ngẫu nhi ên

Như vậy, xét về mặt nhận thức, chúng ta nghiên cứu cái ngẫu nhiên nhằm tìm ra quy lu ật có tính ch ất xác đị nh đối v ới một lo ạt các s ự ki ện, một lo ạt các sự v ật m à nếu t ách chúng thành t ừng cái đơ n nh ất, t ừng cái c ụ th ể t hì sẽ không hi ểu đượ c, và khi đó, ph ải coi nó l à ng ẫu nhi ên

Tóm l ại , toán họ c xem xét cái ng ẫu nhiên th ực ch ất là đi tìm các quy l u ật

có tính tất y ếu v ề h iện tư ợng, đ ối t ượng v ốn đượ c coi l à ng ẫu nhi ên Xét v ề phương diện hình thức, tất yếu và ngẫu nhiên mâu thuẫn với nhau, nên thực

ch ất cái phi m âu thu ẫn ở đây l à ở ch ỗ, cái ng ẫu nhi ên l à đ ối v ới từng sự kiện đơ n nhất, t ừng s ự v ật đơn nh ất, cụ t h ể, còn cái t ất yếu l à l uật số lớn, luật bao quát T ừ n hững nh ận xét t rên, có th ể đưa ra một kết l uận rằng, chúng ta không th ể h iểu được từng t hành ph ần, từng y ếu tố đơn nh ất tham gia vào m ột t ập hợ p nào đó, nhưng l ại v ẫn có t hể hi ểu đư ợc quy lu ật v ận động chung của cả tập hợp ấy Điều này là hết sức quan trọng trong khoa học hi ện đ ại, đặc bi ệt là trong v ật l ý h ọc hiện đ ại, trong cơ h ọc lượng t ử Trong cơ học lượng tử, chúng ta không thể nào nghiên cứu được sự vận động của từng hạt ánh sáng, nhưng vật lý thống kê lại có thể vạch ra quy luật v ận động chung củ a cả k hối khí, củ a cả t ập hợp các h ạt cơ bản Ta hãy xét thí nghi ệm v ề hiện tư ợng nhi ễu x ạ x ảy ra khi cho m ột elect ron đi qua một lỗ nh ỏ ở một màn chắn, sau đó rơi xu ống m ột m àn phát hi ện (m àn phát

hiện có t hể l à một t ấm kính ảnh) Quá trì nh di ễn bi ến như sau: Cho dù

người ta sử dụng những thiết kế kỹ thuật rất tinh vi để xác định chính xác trạng thái ban đ ầu c ủ a el ect ron (lúc đi qua m àn ch ắn) thì cũng không có cách nào để tiên đoán chính xác đi ểm rơi của electron trên màn phát hi ện,

mà chỉ có t hể ti ên đoán m ột cách xác su ất dựa t rên lý t huy ết cơ- lượng t ử Đây là một hiện tượng khác hẳn so với cơ học cổ điển, bởi theo quyết định luận cổ điển, người t a có th ể ti ên đoán chính xác đi ểm rơi củ a hạt Nhưng nếu cho r ất nhi ều el ectron đi qua l ỗ nhỏ t rong cùng m ột lúc ho ặc l ần l ượt thì các electron rơi xuống màn phát hiện một cách xác định, tạo thành các vân nhiễu xạ (đó l à các vòng tr ắng, vòng đen đ ồ ng tâm trên t ấm kính ảnh)

Hiện t ượng t rên đượ c giải thí ch theo nhi ều quan đi ểm khác nhau, như các quan điểm siêu hình, thực chứng, quan điểm dựa trên các tham số ẩn v.v Những người t heo quan đi ểm si êu hì nh coi các el ect ron như là nh ững hạt cổ điển, nên khi thấy chúng không vận động theo quyết định luận cổ điển thì

họ k ết lu ận l à không có s ự ho ạt động củ a nguyên lý nhân qu ả và cho rằng

el ect ron có "t ự do ý chí" Đi ều đó cũng có nghĩ a l à t rong t h ế giới vi mô không có quy ết định luận Xu ất phát t ừ l ập trườ ng duy tâm ch ủ nghĩ a,

những ngư ời t heo phái t h ực ch ứng đã phủ nh ận tính khách quan c ủa các mối li ên h ệ nhân quả không ch ỉ t rong v ật lý học hi ện đại, m à c ả t rong vật

lý họ c cổ đi ển Để gi ải t hích ngu ồn gố c của tính thố ng kê t rong cơ h ọc lượng tử, họ cho là do đặc điểm của quá trình tương tác gi ữa các vi hạt với dụng cụ vĩ mô, m à quá trì nh này v ề nguyên t ắc l à không th ể kiểm t ra đượ c

Đi đôi với việc thừa nhận trên, phái thực chứng cho rằng, các quy luật thống kê của cơ họ c lượng t ử l à có tính vô đ ịnh, có nghĩ a l à vi h ạt có m ột

sự t ự do l ựa chọ n b ẩm sinh và như v ậy, t rong th ế giới vi mô, không có s ự hoạt đ ộng của nguyên lý nhân qu ả

Theo quan điểm duy vật biện chứng, nguyên lý nhân qu ả hoạt động cả trong thế giới vi mô, có đi ều là chúng t a c ần ph ải hiểu s ự h o ạt đ ộng củ a nguyên

lý nhân quả ở đó diễn ra như th ế nào Ch ủ nghĩ a duy v ật bi ện ch ứng đã gi ải thích tí nh t h ống kê c ủa cơ học lượ ng t ử t rên cơ sở phân tí ch các m ối li ên h ệ nhân quả t rong chu ỗi nhân qu ả, từ sau khi el ectron qua l ỗ nhỏ ở màn ch ắn đến khi rơi xuống màn phát hiện mà người ta nhận biết được, là nhờ một chu ỗi nhân qu ả và đưa đ ến m ột kết qu ả vĩ mô có th ể nhìn th ấy đượ c Chuỗi

nhân quả đó di ễn ra như s au: t h ứ nh ất , el ectron t ác đ ộng l ên màn ch ắn có l ỗ nhỏ l à nguyên nhân, k ết qu ả l à el ectron chuy ển sang tr ạng thái sóng đư ợ c biểu di ễn bởi hàm s óng theo phươ ng t rì nh:

x = a cos 2p , trong đó a: biên đ ộ; T: chu kỳ = ; g: t ần số; l: bước sóng; t: t hời gi an

Ở thời điểm này, hạt tồn tại dưới dạng tiềm năng, không có tính xác định

về vị t rí Th ứ hai, đầu sóng của el ectron t ác đ ộng với một số lượng r ất lớn các vi hạt t rong kí nh ảnh củ a m àn phát hi ện Còn h ạt t iềm năng trong sóng electron thì qua đó, tương tác v ới vô số vi hạt trong màn phát hiện; các vi hạt này l uôn luôn ở t rong tì nh t r ạng chuy ển động h ỗn lo ạn và tạo ra vô s ố nguyên nhân kh ả năng Trong đó, các nguyên nhân kh ả năng nào có đi ều kiện thí ch hợ p mớ i chuy ển thành nguyên nhân hi ện th ực và gây ra k ết quả

là s ự t hay đ ổi về m ặt vật lý và hóa h ọc của vi h ạt t rên kính ảnh T ừ đó, sinh

ra một ph ản ứng hóa học dây chuy ền, l an ra m ột số cực lớ n các nguyên tử

và nhờ v ậy, người quan sát nh ận th ấy đượ c v ị t rí rơi củ a el ect ron (t ừ trạng thái ti ềm năng không th ể xác đị nh trở thành hi ện th ực ở vị t rí nhất đị nh, nhưng không thể tiên đoán được) Nhưng, khi có sự ra đời của rất nhiều

êl éct rôn t rên kính ảnh thì theo cơ chế nói trên, quy l u ật số lớn sẽ phát huy tác d ụng và l àm cho các đi ểm rơi đư ợc s ắp x ếp theo m ột t r ật t ự xác đị nh, tạo thành vân nhi ễu xạ

Như vậy, tính thống kê của cơ học lượng tử là do sự phân phối có tính xác suất t rong hàm sóng; nó xu ất hiện s au mố i liên h ệ nhân qu ả t h ứ n hất , cộng với s ự chi ph ối củ a điều ki ện nguyên nhân, khi đ ầu sóng ti ếp xúc với các vi hạt của màn phát hi ện

Tóm l ại , càng ứng d ụng rộ ng rãi t oán h ọ c, chúng t a càng nh ận th ấy một điều là, trong thực tế, những tính toán cho kết quả tuyệt đối chính xác là rất hi ếm Ngay c ả vớ i nh ững trườ ng hợp có công th ức chính xác đ ể tính toán thông qua các hàm sơ cấp, nhiều khi cũng phải bằng lòng với một kết quả l à s ố gần đúng Chính vì v ậy, t rong t ình hình phát tri ển hi ện nay củ a toán h ọc, vai trò của các đ ại l ượng ngẫu nhiên t ăng l ên m ột cách nhanh chóng là điều dễ hiểu Từ đó, lý thuyết xác suất và thống kê ngày càng

khẳng định vị trí quan tr ọng củ a mình t rong các lĩnh v ực khoa họ c Xét v ề thực ti ễn, lý thuy ết xác su ất và th ống kê đã vượt lên hàng đầu t rong s ố các môn có nhi ều ứng dụng nhất và t rở thành một công cụ tối cần t hiết cho r ất nhi ều ngành khoa h ọ c và kỹ thu ật khác nhau

(*) Giảng vi ên, Trư ờ ng Đại học S ư ph ạm Hà N ội

(1) C.Mác và Ph.Ăngghen Toàn tập, t.21 Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội,

1995, t r.431

(2) Dẫn theo: Đinh Văn G ắng L ý thuyết xác suất và t hống kê Nxb Giáo dục, Hà N ội, 2003, tr.11

(3) Dẫn theo: Đinh Văn G ắng Sđd , t r.134

(4) Nguyễn B á Đô, H ồ Châu Các câu chuyện t oán họ c, t.1, “T ất nhiên

trong ng ẫu nhi ên ” Nxb Giáo d ục, Hà N ội, 2001, t r.8