de thi hoc sinh gioi toan 10 nam 2012 2013 truong thpt thuan an tt hue

ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I.. Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm.. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.. Cho tam giác ABC.. Chứng minh

TRƯỜNG THPT THUẬN AN

NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (4 điểm) Cho phương trình mx2 (2m1)x m  2 0 , m là tham số

1 Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm

2 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần

nghiệm kia

Câu II (4 điểm) Cho hệ phương trình x y xy a2 2





2 Tìm a để hệ phương trình (1) có nghiệm

Câu III (2 điểm) Giải phương trình: x13  x 3 16x

Câu IV (4 điểm)

1 Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N,

P thỏa mãn  AM  AB 2BC, BN 3BC AC  , CP 2CA Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Câu V (2 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác; h h h a, ,b c là độ dài ba đường

cao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó

a b c

Câu VI (4 điểm)

1 1 1

b c c a a b    a b c

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

I.1 (2 điểm) Cho phương trình mx2  (2m 1)x m   2 0 , m là tham số

1 Tìm m để phương trình có một nghiệm

4

m

4

m 

0,25đ

0,5đ

0,25đ

nghiệm kia

Pt có 2 nghiệm

1 0

4

m





Theo Viet và gt ta có:

1 2

1 2

2

2

m

m m

x x

m



  

















5 3 3

m m

  

 

 

5 3 3

m m

  



 



0,25đ

0, 25đ

0, 5đ

II.1

(2 điểm) Cho hệ phương trình x y xy a2 2



1 Giải hệ phương trình khi a = 5

0,25đ

a = 5: ta có 2 2

5



 



S P

 







3 2

S P





10

S P





 



2

S P





 

2

x y





 

1

x y





 



2

S P





 

Vậy hpt có 2 nghiệm (1;2);(2;1)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

II.2 2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

3a 1

3

3

3

P

3

1

S

    





2 2

S

    







0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

III (1 điểm) Giải phương trình: x 13  x  3 16 x (*)

0,25đ

0,25đ

 x 2 (x 3)(16 x)

x2  4(x 3)(16 x)

 5x2  76x 192 0 

12 16 5

x x









 



(thỏa)

Vậy:

12 16 5

x x







 



0,25đ

0,25đ

P thỏa mãn  AM AB 2BC, BN  3 BC AC , CP 2AC Chứng minh rằng

hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Mà :   AM BN CP  = AB 2BC+3BC AC  +2CA= 0

Vậy ta có ĐPCM

0, 5đ

0, 5đ

IV.2 2 Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4) Tìm trên đường

Gọi M(1; y) thuộc đt x = 1

( 4;3)

BA

 



y

BM BA

y

 

2

2

y y



2

0,25đ

0, 25đ

0,25đ

29 7

y





  



7

0,25đ

V (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác; h h h a, ,b c là độ dài ba đường

cao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó

a b c

a

2

b

b

h  S ; 1

2

c

c

2

a b c

 

0, 5đ

0,5đ

VI (2 điểm)

b c c a a b    a b c

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

2

bc ca ba

1 1 1 2

Suy ra: a22 1 b22 1 c22 1

1 1 1 2

a b c

1 1 1

0, 5đ

0, 5đ

0, 5đ

0, 5đ