toan 7 bai 16 tam giac can duong trung truc cua doan thang ket noi tri

Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB đường thẳng d vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB... Hướng dẫn giải: Trong các hình vẽ trên: Hình 4.64 a ta thấy Lan đã vẽ đường

Bài 16 Tam giác cân

Đường trung trực của đoạn thẳng

A Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 80 sgk toán 7 tập 1: Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam

giác theo tỉ lệ 1 : 100 Biết rằng ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m và hai mái nghiêng như nhau Theo em, bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để xác định được chính xác điểm C trên bản thiết kế ta sẽ làm các bước sau:

Bước 1 Dùng thước thằng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm

Bước 2 Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB (đường thẳng d vuông góc với

AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB)

Bước 3 Trên đường trung trực d lấy điểm C sao cho OC = 5 cm

Vì C nằm trên trung trực d của đoạn thẳng AB nên CA = CB (tính chất đường trung trực)

Khi đó trên bản thiết kế tỉ lệ 1 : 100 đã thể hiện được ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m với hai mái nghiêng như nhau

Câu hỏi trang 80 sgk toán 7 tập 1: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình

4.59 Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A, với hai cạnh bên

là AB và AC, cạnh đáy là BC, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là B và C

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A, với hai cạnh bên

là AB và AD, cạnh đáy là BD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là B và D

Tam giác ACD có AC = AD = 3 cm nên tam giác ACD cân tại A, với hai cạnh bên

là AC và AD, cạnh đáy là CD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là C và D

Hoạt động 1 trang 81 sgk toán 7 tập 1: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình

4.60 Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC

a) Chứng minh rằng ABD ACD theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

AD là cạnh chung

Vậy ABD ACD(c.c.c)

b) Từ ABD ACD(chứng minh câu a) suy ra ABDACD (hai góc tương ứng) Hay BC

Vậy góc B và C của tam giác ABC cân tại A bằng nhau

Hoạt động 2 trang 81 sgk toán 7 tập 1:

Cho tam giác MNP có MN Vẽ tia phân giác PK của góc MPN (KMN) Chứng minh rằng:

b) Xét tam giác MPK và tam giác NPK có:

MPKNPK (chứng minh ở câu a);

PK là cạnh chung;

MKPNKP (chứng minh ở câu a)

Vậy MPK  NPK (g.c.g)

c) Từ MPK NPK(chứng minh ở câu b) suy ra MP = NP (hai cạnh tương ứng)

Do đó tam giác MNP cân tại P (định nghĩa tam giác cân)

Vậy tam giác MNP cân tại P

Luyện tập 1 trang 81 sgk toán 7 tập 1: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết

của tam giác DEF trong Hình 4.62

Hướng dẫn giải:

GT MNP, EF = DF = 4 cm, E 60

KL Tính số đo D, F và độ dài cạnh DE

Tam giác DEF có EF = DF = 4 cm (theo giả thiết) nên tam giác DEF cân tại F (định nghĩa tam giác cân)

Do đó DE (tính chất tam giác cân)

Mà E 60 (theo giả thiết) nên D 60

Tam giác DEF có D 60 , E 60 , áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác

ta có D  E F 180

Suy ra F 180   D E

Hay F 180       60 60 60

Khi đó ta có EF 60 

Suy ra tam giác DEF cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Do đó DE = DF (định nghĩa tam giác cân)

Mà DF = 4 cm (theo giả thiết)

Vậy DE = 4 cm

Thử thách nhỏ trang 81 sgk toán 7 tập 1:

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau

b) Tam giác cân có một góc bằng 60o

Hướng dẫn giải:

a)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác cho tam giác ABC ta có

A  B C 180 

Mà A B C (theo giả thiết);

Suy ra A  A A 180 hay 3.A 180 

Do đó A 60  

Khi đó A B C 60   

Tam giác ABC có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều

b) +) Tam giác DEF cân tại D có E 60

Tam giác DEF cân tại D (theo giả thiết) nên EF (tính chất tam giác cân)

Mà E60 , do đó F 60

Tam giác DEF có E 60 , F 60 , áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác

ta có D  E F 180

Suy ra D 180   E F

Hay D 180       60 60 60

Khi đó ta có D E F 60 

Tam giác DEF có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều

+) Tam giác MNP cân tại M có M 60

Tam giác MNP cân tại M (theo giả thiết) nên NP (tính chất tam giác cân)

Tam giác MNP có M 60 , NP, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác

Khi đó M N P 60 

Tam giác MNP có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều

Hoạt động 3 trang 81 – 82 sgk toán 7 tập 1: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên

hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau

Mở mảnh giấy ra, kẻ đường thẳng d theo nếp gấp

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB O có là trung điểm của đoạn thẳng

AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Hướng dẫn giải:

Mảnh giấy sau khi gấp được mô tả như hình vẽ trên

a) Mảnh giấy được gấp sao cho điểm A trùng với điểm B, O là giao điểm của đường thẳng d và AB, khi đó đường thẳng d chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bằng nhau, tức là OA = OB

Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Dùng thước đo góc ta thấy góc dOB có số đo bằng 90° nên d AB.

Vậy đường thẳng d vuông góc với AB

Câu hỏi trang 82 sgk toán 7 tập 1: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực

của các đoạn thẳng Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Hướng dẫn giải:

Trong các hình vẽ trên:

Hình 4.64 a) ta thấy Lan đã vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của

AB nên đường thẳng này là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Hình 4.64 b) Lan vẽ đường thẳng đi qua trung điểm của CD nhưng không vuông góc với CD do đó đường thẳng này không phải là trung trực của đoạn thẳng CD

Trên Hình 4.64 c) Lan vẽ đường thẳng vuông góc với EF nhưng không đi qua trung điểm của EF do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng

EF

Vậy hình bạn Lan vẽ đúng là hình a

Hoạt động 4 trang 82 sgk toán 7 tập 1: Trên mảnh giấy trong Hoạt động 3, lấy

điểm M bất kì trên đường thẳng d Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM

có bằng BM không (H.4.65)

Hướng dẫn giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài các đoạn thẳng AM và BM, sau đó so sánh kết quả thì thấy độ dài của hai đoạn thẳng này bằng nhau

Vậy AM = BM

Luyện tập 2 trang 83 sgk toán 7 tập 1: Cho M là một điểm nằm trên đường trung

trực của đoạn thẳng AB Biết AM = 3 cm và MAB 60 (H.4.67) Tính BM và số

Thực hành trang 83 sgk toán 7 tập 1: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường

trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

- Vẽ đoạn thẳng AB;

- Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn AB

2 ), sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;

- Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68)

Hướng dẫn giải:

Bước 1 Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AB ta được hình vẽ sau:

Bước 2 Dùng compa vẽ cung tròn tâm A và cung tròn tâm B có cùng bán kính (bán

AN = BN nên N nằm trên đường trung trực của AB

AM = BM nên M nằm trên đường trung trực của AB

Khi đó đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB

B Bài tập

Bài 4.23 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F

lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69) Chứng minh rằng BE = CF

Hướng dẫn giải:

GT ABCcân tại A, BEAC,CFAB

KL BE = CF

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân)

Vì BEAC (theo giả thiết) nên AEB 90 , do đó tam giác AEB vuông tại E

Vì CFAB (theo giả thiết) nên AFC 90 , do đó tam giác AFC vuông tại F Xét tam giác AEB (vuông tại E) và tam giác AFC (vuông tại F) có:

AB = AC (chứng minh trên);

BAC là góc chung

Vậy AEB AFC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng)

Vậy BE = CF

Bài 4.24 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung

điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC

Hướng dẫn giải:

GT ABCcân tại A, M là trung điểm BC

KL AMBC và AM là tia phân giác của

Vậy ABM  ACM (c.c.c)

Suy ra AMBAMC (hai góc tương ứng)

Mà góc AMB và góc AMC là hai góc kề bù nên ta có AMB AMC 180   (tính chất hai góc kề bù)

Do đó AMB AMB 180  

2.AMB 180 

AMB 90

Suy ra AMBC

Từ ABM ACM (chứng minh trên), suy ra BAMCAM (hai góc tương ứng)

Do đó AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 4.25 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của

đoạn thẳng BC

a) Giả sử AM vuông góc với BC Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

Hướng dẫn giải:

a)

GT ABC, M là trung điểm BC, AM BC

KL ABC cân tại A

Vì M là trung điểm của BC và AM BC (theo giả thiết) nên đường thẳng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân) b)

GT ABC, M là trung điểm BC;

AM là tia phân giác của góc BAC

KL ABC cân tại A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA Xét tam giác DBM và tam giác ACM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

DMBAMC (hai góc đối đỉnh);

MD = MA (theo cách vẽ)

Vậy DBM A MC (c.g.c)

Suy ra DB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

Và BDMCAM (hai góc tướng ứng)

Mà BAMCAM (do AM là tia phân giác của góc BAC)

Do đó BDMBAMCAM

Hay BDABAD suy ra tam giác ABD cân tại B

Suy ra AB = DB (định nghĩa tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân)

Bài 4.26 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được

gọi là tam giác vuông cân

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau suy ra

B C  90

Khi đó số đo của góc B và góc C sẽ nhỏ hơn 90°

+) Nếu tam giác ABC cân tại B nên AC (tính chất tam giác cân)

Mà A 90 nên C 90 (vô lí vì C 90 )

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại B

+) Nếu tam giác ABC cân tại C nên AB (tính chất tam giác cân)

Mà A 90 nên B 90 (vô lí vì B 90 )

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại C

Do vậy tam giác ABC vuông tại A và cân tại A

b)

GT ABClà tam giác vuông cân

KL Hai góc nhọn bằng 45°

Tam giác ABC vuông cân nên tam giác ABC cân tại đỉnh A (theo câu a) Suy ra BC (tính chất tam giác cân)

Mà trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có: B C  90

GT ABCvuông tại A, B 45

KL ABClà tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau

Do đó B C 90  

Suy ra C  90 B

C   90 45

C 45

Khi đó B C 45 , suy ra tam giác ABC cân tại A

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 4.27 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường

trung trực của đoạn thẳng AB?

Hướng dẫn giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy đường kẻ ngang vuông góc với đường kẻ dọc Khi đó trong

4 đường thẳng d, u, m, n thì có ba đường thẳng d, m và n vuông góc với đoạn thẳng

AB

Trong hình vẽ, đoạn thẳng AB được chia làm 6 đoạn thẳng bằng nhau

Do đó trung điểm của AB là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách A (cách B) 3 đoạn thẳng nhỏ

Vì vậy chỉ có đường thẳng m thoả mãn điều kiện vuông góc với đoạn thẳng AB và

đi qua trung điểm của AB, khi đó đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng

AB

Vậy trong các đường thẳng trên hình vẽ, đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Bài 4.28 trang 84 sgk toán 7 tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD

Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Hướng dẫn giải:

GT ABCcân tại A, đường cao AH

KL AD là đường trung trực của BC

Chứng minh (hình vẽ trên):

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên ADB ADC 90  

Khi đó tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D

Xét tam giác ABD (vuông tại D) và tam giác (ACD vuông tại D) ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A);

AD là cạnh chung

Vậy ABD ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Do đó D là trung điểm của BC

Khi đó đường thẳng AD vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm D của BC nên

AD là đường trung trực của BC