chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong on thi vao lop 10

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNGHệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến t

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định

lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , ta có:

1) a2=b2+ c2

2) b2=ab c '; 2=ac '

3) h2=b c' '

4) ah =bc

5) 12 12 12

h =b +c .

6) b' b22

a =a

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1

2

S = ab

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AB AC =: 3: 4 và AB +AC =21cm

a) Tính các cạnh của tam giác ABC

b) Tính độ dài các đoạn AH BH CH , ,

b' c'

h c

b

a

B

A

a) Theo giả thiết: AB AC =: 3: 4,

+ Do đó AB =3.3=9( )cm ;

( )

3.4 12

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:

2 2 2 92 122 225

BC =AB +AC = + = , suy ra BC =15cm

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH BC =AB AC , suy ra

( )

9.12 7,2

15

AB AC

BC

AH =BH HC Đặt BH =x(0< <x 9) thì HC =15- x, ta có:

7,2 =x 15- x Û x - 15x+51,84= Û0 x x- 5,4 =9,6x- 5,4 =0

(x 5,4)(x 9,6) 0 x 5,4

Û - - = Û = hoặc x =9,6 (loại) Vậy BH =5,4cm Từ đó HC =BC - BH =9,6( )cm .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

15

AB

BC

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC =2a, cạnh bên bằng b b a( > )

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK ^AC Tính tỷ số AK

AC .

A

a) Gọi H là trung điểm của BC Theo định lý Pitago ta có:

Suy ra 1 . 1 2 2

ABC

2 2

-b) Ta có 1 1

2BC AH =2BK AC =S ABC

Suy ra BK BC AH 2a b2 a2

= = - Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:

2

2 2 2

2

2 2 2

AK

b

-= do đó

2 2 2

2

AK

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh

đối diện với các đỉnh tương ứng là: , ,a b c

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh: a2+b2+c2³ 4 3S

Giải:

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

,

ABC Þ B C là các góc nhọn Suy ra chân

K

B

A

A

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

H thuộc cạnh BC

Ta có: BC =BH +HC Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

AHB AHC ta có: AB2=AH2+HB AC2, 2=AH2+HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

2 2

a

-Þ - = ta cũng có:

2 2 2 2

a

+ -+ = Þ = Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông

2

2 2

æ + - ö÷ æ + - öæ÷ + - ö÷

Þ = - çç ÷÷=çç - ÷÷çç + ÷÷

2

é + - ùé - - ù + + + - + - +

Đặt 2p= + + thìa b c

2

2

16

2 4

p p a p b p c

p p a p b p c

a a

Từ đó tính được 1 ( )( )( )

2

S = BC AH = p p a p b p c- - -b) Từ câu )a ta có: S = p p a p b p c( - ) ( - ) ( - ) Áp dụng bất

đẳng thức Cô si ta có:

(p a p b p c- )( - )( - ) £ æççp a- + -p b p c3 + - ÷ö÷3=27p3

÷

3 2

27 3 3

S£ p = Hay ( )2

12 3

a b c

S£ + + Mặt khác ta dễ chứng minh được: ( )2 ( 2 2 2)

3

a b c+ + £ a +b +c suy ra

( 2 2 2)

2 2 2

3

4 3

12 3

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 4 Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên CK sao cho

· 900

AMB = S S S theo thứ tự là diện tích các tam giác, ,1 2

,

AMB ABC và ABH Chứng minh rằng S = S S1 2

Giải:

Tam giác AMB vuông tại M có

MK ^AB nên MK2=AK BK (1).

D : D vì có

AKH =CKB = ; ·KAH =KCB·

(cùng phụ với ·ABC ) Suy ra CK AK =HK BK , do đó

AK KB =CK KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK2=CK HK nên MK = CK HK ;

D

K

M

H

C B

A

1 2

1. . 1 . . 1 . .1 .

AMB

Vậy S = S S1 2

Ví dụ 5 Cho hình thang ABCD có

µ µ 90 ,0 µ 60 ,0 30 ,

A=D= B = CD = cm CA ^CB Tính diện tích của

hình thang

Giải:

Ta có ·CAD =ABC· =600 (cùng phụ với ·CAB ), vì thế trong

tam giác vuông ACD ta có AC =2AD

Theo định lý Pythagore thì: AC2=AD2+DC2 hay

2AD =AD +30

Suy ra 3AD2=900Û AD2=300 nên AD =10 3( )cm

Kẻ CH ^AB Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có

µ µ µ 900

A =D =H = , suy ra AH =CD =30 ;cmCH =AD=10 3( )cm

Tam giác ACB vuông tại C , ta có: CH2=HA HB , suy ra

2 10 3 300

10

30 30

CH

HA

( )

30 10 40

.10 3 40 30 350 3

ABCD

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm 2

Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn a (hình) được định

nghĩa như sau:

sin AB;cos AC ;tan AB;cot AC

+ Nếu a là một góc nhọn thì

0 sin< a <1;0 cos< a<1;

tana >0;cota >0

2 Với hai góc ,a b mà a+ =b 900,

ta có: sina =cos ;cosb a =sin ;tanb a =cot ;cotb a =tanb.

Nếu hai góc nhọn a và b có sin a=sinb hoặc cosa =cosb

thì a = b

3 sin2a+cos2a =1;tg a.cotg a = 1

4 Với một số góc đặc biệt ta có:

sin30 cos60 ;sin45 cos45

cos30 sin60 ;cot60 tan30

tan45 =cot 45 =1;cot 30 =tan60 = 3

Ví dụ 1 Biết sin 5

13

a = Tính cos ,tana a và cota

α Cạnh đối Cạnh huyền

Cạnh kề C B

A

Cách 1 Xét DABC vuông tại A

Đặt µB a= Ta có: sina = AC BC =135

suy ra

5 13

k

= = , do đó

5 , 13

AC = k BC = k Tam giác ABC vuông tại A nên:

( ) ( )2 2

AB =BC - AC = k - k = k , suy ra AB =12k

Vậy cos 12 12

13 13

12 12

12 12 cot

Cách 2 Ta có sin 5

13

a = suy ra 2 25

sin

169

sin a+cos a = , do đó 1 2 2 25 144

cos 1 sin 1

169 169

a = - a = - = , suy

ra cos 12

13

sin 5 12 5 13 5

cos 13 13 13 12 12

a

a

a

cos 12 5 12 13 12

sin 13 13 13 5 5

a

a

a

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam

giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số

lượng giác của góc nhọn để tính cos ,tan ,cota a a Ở cách giải

C

A

thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

13

a = để tính sin a rồi tính2

cosa từ sin2a+cos2a = Sau đó ta tính 1 tana và cota qua

sina và cosa

Ví dụ 2 Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE

cắt nhau tại H Biết HD HA =: 1: 2 Chứng minh rằng

tgB tgC =

Giải:

Ta có: tgB AD;tgC AD

Suy ra tan tan 2

AD

BDCD

= (1)

HBD =CAD (cùng phụ với ·ACB ); · HDB =ADC· =900.

Do đó DBDH : DADC (g.g), suy ra DH BD

DC =AD, do đó

BD DC =DH AD (2) Từ (1) và (2) suy ra

2 tan tan

= = (3) Theo giả thiết 1

2

HD

AH = suy ra

1

2 1

HD

AH +HD = + hay

1 3

HD

AD = , suy ra AD =3HD Thay vào

(3) ta được: tan tanB C 3HD 3

DH

Ví dụ 3 Biết sin cos 12

25

a a = Tính sin ,cosa a

Giải:

H E

B

A

Biết sin cos 12

25

a a = Để tính sin ,cosa a ta cần tính sina+cosa

rồi giải phương trình với ẩn là sina hoặc cosa

Ta có:

sin cos sin cos 2sin cos 1 2

25 25

a+ a = a + a+ a a = + = Suy

ra sin cos 7

5

a+ a = nên sin 7 cos

5

a = - a Từ đó ta có:

2

aæççç - aö÷÷÷= Û a- a =

÷

2

25cos a 35cosa 12 0 5cos 5cosa a 4 3 5cosa 4 0

(5cosa 4 5cos)( a 3) 0

Û - - = Suy ra cos 4

5

5

a =

+ Nếu cos 4

5

a = thì sin 12 4: 3

25 5 5

+ Nếu cos 3

5

a = thì sin 12 3: 4

25 5 5

Vậy sin 3

5

5

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề

.sin cos ; sin cos ; cot ;

.cot

c=btgC =b gC

2 Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam

giác vuông đó

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có AB =16,AC =14 và µB =600.

a) Tính độ dài cạnh BC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

a) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vuông ABH , ta có:

.cos cos60 16 8

2

.sin sin60 16 8 3

2

AH =AB B =AB = = Áp dụng định lý

Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:

2 2 2 142 8 3 196 192 4

HC =AC - AH = - = - = Suy ra HC =2

Vậy BC =CH +HB = + =2 8 10

b) Cách 1 1 1.10.8 3 40 3

ABC

Cách 2 1 . .sin 1.10.16. 3 40 3

ABC

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ·ABC =45 ,0 ACB· =600

A

H

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam

giác vuông bằng cách Dựng các đường

thẳng qua ,C B lần lượt vuông góc với

,

AC AB Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác vuông và 4 điểm , , ,A B C D cùng nằm trên đường tròn đường

kính AD =2R

Ta có: .sin600 . 3 3

2

AB =AD =AD =R Kẻ đường cao AH

suy ra H Î BC Tức là: BC =BH +CH Tam giác AHB vuông góc tại H nên

AH =BH =AB = =AD = Mặt khác tam giác ACH vuông tại H nên

2

R

2

R

Þ = Từ đó tính

được diện tích 2(3 3)

4

R

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh

đối diện với các đỉnh tương ứng là: , ,a b c Chứng minh rằng:

a) a2=b2+c2- 2 cosbc A

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Chứng

H

D

A

minh: 2 cos 2

A bc AD

b c

æ ö÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø

=

+

Giải:

a) Dựng đường cao BH của tam giác

ABC ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC

Ta có: AC =AH +HC

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

AHB BHC ta có: AB2=AH2+HB BC2, 2=BH2+HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c - a =HA - HC = HA+HC HA HC- =b HA HC

-2 2

HA HC

b

-Þ - = ta cũng có:

2 2 2 2

b

+ -+ = Þ = Xét tam giác vuông AHB ta

có: cos 2 2 2 2 2 2 2 cos

2

+

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

c

b

a

A

B

C H

2 2 2 2 2 cos

2 2 2 2 cos

Û = + + - Û a2=b2+c2- 2 cosbc A

b) Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

+ sin2a =2sin cosa a

+ 1 sin

2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC A =,µ 900, gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao AH Đặt

ACB = Þa AMB = a

Ta có sin sinC AH h

cos cosC AC b

sin2 sin

2

AMH

Từ đó ta suy ra: sin2a =2sin cosa a

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

ABC

Mặt khác trong tam giác vuông AEB

ta có: sinA BE BE c.sinA

AB

thay vào (1)

h

b

B

A

E

C B

A

Ta có: 1 sin

2

Trở lại bài toán:

Ta có 1 sin 1 1 sin

ABD

A

S = AD AB A = AD c æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

2

1 . sin 1 .sin

ACD

A

S = AD AC A = AD b æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

Suy ra S ABC =S ACD +S ABD =

1 sin

A

AD æ öç ÷÷éc bù

= ç ÷êççè ø÷ë+ úû Mặt khác S ABC =12bcsinAÞ

2 cos

2

sin 2

A bc

c b A

b c

æ ö÷

ç ÷ê ú

è ø + ç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:

cos2a =2cos a- 1 1 2sin= - a

Thật vậy xét tam giác vuông ABC A =,µ 900, gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao AH Đặt

ACB = Þa AMB = a

Ta có : cos cosC AC b

sin sinC AB c

BC a

2 1

B

A

c

a

b

B

A

2 2

2

2

2 2

= = = - ççç ÷÷= - = ççç ÷÷

Từ đó suy ra cos2a =2cos2a- 1 1 2sin= - 2a

Áp dụng 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2cos2 1

2

A

a =b +c - bc A Þ a =b +c - bcæççç - ö÷÷÷

÷

çè ø.

2 2 2

+ -+

công thức đường phân giác ta có:

2 2 2

2 cos

4 2

bc AD

+

-+ - + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

( )

b c a b c a

b c

2p= + + a b c

Áp dụng công thức: a2=b2+c2- 2 cosbc A Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:

‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó

ta có: AB CD2 +AC BD2 =BC AB( 2+BD DC )’’

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH ^BC

không mất tính tổng quát,

ta giả sử D nằm trong đoạn

HC Khi đó ta có:

D

B

A

Tương tự ta có: AC2=AD2+DC2+2DH DC (2) Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có:

Ví dụ 3 Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh

rằng sin750 6 2

4

+

Giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại A

với BC =2a (a là một độ dài tùy ý)

, µC =150, suy ra µB =750.

Gọi I là trung điểm của BC , ta có

IA =IB =IC =a Vì ·AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam

giác cân IAC nên ·AIB =2Cµ =300 Kẻ AH ^BC thì

.cos30

2

a

IH =AI = ; cos300

2

a

3

a a

Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:

2

I

B A

( )

2

4 2 3

4

= =a2(2+ 3), suy ra AC =a 2+ 3.

sin75 sin

B

4

2 2 2 2 2 2 2

= = = =

Vậy sin750 6 2

4 +