phuong trinh bac hai he thuc vi et va ung dung duong minh hung

Ứng dụng Vi-ét: nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai➎.. Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: Phân dạng toán cơ bản Ⓑ Phương pháp:  Chuyển vế  Quy đồng ĐK nếu có  Phân

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

➋ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT



➍ Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)

➎ Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số:

Phân dạng toán cơ bản

Ⓑ

Phương pháp:

 Chuyển vế

 Quy đồng (ĐK nếu có)

 Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất

❖Dạng ➊ Giải phương trình quy về bậc nhất

1 = − − − =−

2

51)49(

50

150

)

1(5049

50)1(49

2 1

2 1

2 1

x

x x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50

150 =

−

−b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau

Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )  = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4

Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

)32(2

432

432

23

23

Giải các phương trình sau:

= −



  = −

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = − , 1 x2 = − 3

Giải các phương trình sau:

Bài tập rèn luyện



 Hướng dẫn giải

x − + =x x + x− x2− −x x2−2x= − −1 5

x x

x − x− =

Phương trình đã cho có a b c− + =0 Suy ra phương trình có hai nghiệm x = −1 và x =3

 Hướng dẫn giải

a) Đặt 2

( 0)

t =x tPhương trình ( )1 trở thành 4 2 ( )

12 16 0 2

t − t + = , Với a=1,b= −12,c=16

( )2' 6 1.16 36 16 20 ' 2 5

 = − − = − =   =Vậy phương trình ( )2 có hai nghiệm t1= +6 2 5( )N t, 2 = −6 2 5( )N Vậy phương trình ( )1 có bốn nghiệm

11

2 1

2 1 2 2

x x

x x x x

❖Dạng ➌ Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét

Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = ; B = x1 + x2 ; C = ; D = x1 + x2

B = x1 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3)2−2(− 5)=3+2 5

5

1)5(

523

2 2 1

2 2 2

x x

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

và x2

b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

m = 2

a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6

a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3

b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , 2

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)

Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)

Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm

 Lời giải

a) Với m=2, ta có phương trình: 2x2 + x3 +1=0 Các hệ số của phương trình thoả mãn

013

2− + =

=+

2

1

2

12

2 1

2 1

m x x

m x

a) Giải phương trình khi b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

 Lời giải

a) Khi a=3 và b = −5 ta có phương trình: x2 + x3 −4=0

Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x1 = x1, 2 =−4

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2   =a2−4(b+  (*) 1) 0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2

2 1

x x

x x

3

2 1

2 1

x x

x x

Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm

b)Ta có: ∆ = 1 – 4m Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0

 1 – 4m  0  m 1

4

 (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m

Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:

Cho phương trình với là tham số

a) Giải phương trình khi và b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:

Bài tập rèn luyện



Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 )

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1



1

m4

Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 4: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 4

b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1

  − thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt

b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: 1 2

Câu 6: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia

Câu 7: Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0

a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3

Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

10

)3(

0)1(2

230230

0320

0320

m m

m m m m

m m m m

Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Vậy m 

2

3 hoặc m  0 e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

62

2

22

)3(

)1(2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

21

8

x

x x

21

8

x

x x

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị

của m

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: 1 2

( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 03m 13m 14 0

Từ (1) ta có m = 1 2

12

Suy ra phương trình có hai nghiệm x = −1 và x =3

Hãy tính giá trị của biểu thức

a) Giải phương trình với

b) Tìm để phương trình có nghiệm kép

Nhận xét: a b c− + = − + = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4 3 0

1

2

13

x c x a

x x

12 16 0 2

t − t + = , Với a=1,b= −12, c=16

a) Giải phương trình (1) với b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn

1 Giải phương trình với

2 Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

9t − −8t 20= (6) 0Giải phương trình (6) ta được t = (thỏa mãn) hoặc 2 10

9

t= −

(không thỏa mãn) Với t =2 m− =  − =  = 2 2 m 2 4 m 6

Vậy m = thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 6 x x thỏa mãn hệ thức 1; 2

1 2

2

x + x =