chuyen de bat dang thuc on thi vao lop 10

Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si.. Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để t

BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)

Cho các số thực không âm , ,a b c khi đó ta có:

1 a b+ ≥2 ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b=

2 a b c+ + ≥33abc Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c= =

Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2

và 3 số thực không âm (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)

Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm chắc những kết quả sau:

(a n +b n)(a m−b m)(a n−b n) 0≥ điều này là hiển nhiên đúng

Ví dụ 1: Cho các số thực không âm , ,a b c Chứng minh rằng:

d) (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ≥) 89(a b c ab bc ca+ + ) ( + + )

e) Cho (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) =1 Chứng minh: 3

4

ab bc ca+ + ≤( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015)

Cách 2: (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) (= a b c ab bc ca+ + ) ( + + )−abc Theo bấtđẳng thức Cauchy ta có:

3 2 2 2 3

d) (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ≥) 89(a b c ab bc ca+ + ) ( + + )

Chú ý rằng: (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) (= a b c ab bc ca+ + ) ( + + )−abc Áp dụng câu c ta có đpcm

e) Ta chú ý: (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) (= a b c ab bc ca+ + ) ( + + )−abc Suy ra ab bc ca 1 abc

a b c

++ + =

+ + .Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

a) Cho các số thực dương , ,a b c sao cho

6

a b c ab bc ca+ + + + + = Chứng minh rằng: a2+ + ≥b2 c2 6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013

b) Cho các số thực dương ,a b sao cho : 1 1 2

a b+ = Chứng minh: 4 21 2 4 21 2 1

sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013)

c) Cho các số thực dương ,a b sao cho a b+ =2 Chứng minh: ( 2 2)

e) Cho các số thực không âm ,a b sao cho a2+ =b2 4 Tìm GTLN của

2

ab P

a b

=+ + Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP HàNội 2015

bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1

b) Dự đoán khi a b= =1 thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng Từ đó ta có cách áp dụng BĐT Cô si như sau:

Q

a b

≤+ Do

Q≤ Dấu bằng xảy ra khi

− +

+ + .Dự đoán dấu bằng xảy

ra khi a b= = 2⇒ =t 2 2 2+ nên ta chứng minh:

MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI.

1 Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận

dụng bất đẳng thức Cô si.

Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường

dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta

phân tích các số hạng sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cô

si thì dấu bằng phải đảm bảo

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho x y, là các số dương thỏa mãn x y+ =2 Chứng

minh x y x2 2( 2+y2)≤2

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007)

x y x +y = xy xy x +y Theo bất đẳng thức Cauchy thì

14

suy ra x y x2 2( 2+y2) ≤2 Dấu bằng xảy ra khi x y= =1

Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về

một biến: t x y= + hoặc t xy= với chú ý: ( )2

a a a+ b +b b b+ a ≤ (Đề thi tuyển sinh lớp 10

chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009)

b) Với ba số dương , ,x y z thỏa mãn x y z+ + =1, tìm giá trị

x yz x x x y z yz x

x x yz

+ + + −+ −

quyết hoàn toàn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh bài

toán bằng biến đổi tương đương

Ví dụ 4: Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Đối với các bài toán mà dấu bằng không xảy ra khi

các biến bằng nhau Ta cần chú ý tính đối xứng của

từng bộ phận , để dự đoán sau đó liên kết các dữ liệu

của bài toán để tìm ra điểm rơi Từ đó áp dụng bất

đẳng thức Cauchy để thu được kết quả:

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho , ,x y z>0 thỏa mãn: xy yz zx+ + =1 Tìm GTNN

của P x= 2+y2+2z2

Giải:

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y az= = và mong muốn

biến đổi được : P x= 2+y2+2z2≥k xy yz zx( + + ) để tận dụng giả

thiết xy yz zx+ + =1 và dấu bằng xảy ra khi x y az= = Để có

tích x y ta áp dụng x2+y2≥2xy Để tạo ra yz ta áp dụng:

y +a z ≥ ayz Để tạo ra zx ta áp dụng: a z2 2+x2 ≥2azx

Vì hệ số của ,yz zx là a nên ta nhân a vào bất đẳng thức đầu

tiên rồi cộng lại theo vế ta thu được

+ Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải

Ví dụ 9) Cho , ,x y z>0 thỏa mãn: x y z+ + =3 Tìm GTNN của

Từ đó bạn đọc tự hoàn thiện lời giải:

Ví dụ 10) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn:

a + b + c =

Tìm GTNN của P=2a3+3b3+4c3

x= y= z= Học sinh tự hoàn thiện lời giải.

Ví dụ 11) Cho các số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn:

(x+2)a3+ +(x 2)b3+ +(x 2)c3+3x d3 3≥3x abc bcd cda dab( + + + ) =3x

Bây giờ ta chọn x sao cho

Dạng 2: Chứng minh XYZ ≥ABC với X Y Z, , ≥0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY ≥ A2 Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra YZ ≥B2 và 2

ZX =C (nhờ tính chất đối xứng của

bài toán) Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi

lấy căn bậc hai, ta có:

2 2 2

XYZ = A B C = ABC ≥ ABC

Ví dụ 1 Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z+ + =1 Chứng

dấu bằng xảy ra khi x y= Để có được đánh giá này thông

thường ta viết lại

41

Ví dụ 2 Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca+ + =1 Chứng minh rằng: ( ) 5 4 2 4 2 4 2

2

9

abc a b c+ + ≤ +a b +b c +c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Nhân từng vế của (2),(3),(4) và từ (1) suy ra P≥1

Dấu bằng trong (5) xảy ra ⇔ đồng thời có dấu bằng trong (2),(3),(4)

Việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ giúp bài toán trở nên đơn giảnhơn:

Một số kỹ thuật hay gặp như sau:

1 Khi có giả thiết : a b c abc+ + = ta có thể biến đổi thành:

+ Nếu đổi (a b c, , ) 1 1 1; ;

a b c

→  ÷ ta có: abc a b c= + + +2tương đương với ab bc ca+ + +2abc=1 Vì vậy khi gặp giả thiết ab bc ca+ + +2abc=1 ta có thể đặt

Ví dụ 2) Cho , ,x y z>0 và x y z+ + =3xyz.Chứng minh:

Bài toán được giải quyết xong Đẳng thức xảy ra

Giả sử:

x≥ ≥ ⇒y z ⇔ x y x x z−  − −y y x− +z z y z x− − ≥ Điều này là hiển nhiên Dấu bằng xảy ra khi cả 3 số bằng nhau hoặc hai số bằng nhau, một số bằng 0

Các bất đẳng thức suy ra từ BĐT SCHUR khi t=1 là:

Ví dụ 1) Cho , ,a b c là ba số thực không âm và a b c+ + =1 Chứng minh rằng: 9abc≥4(ab bc ca+ + )−1.

Ví dụ 3) Cho , ,a b c là các số thực không âm sao cho

4 a + +b c +15abc≥1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ

a + + +b c abc ≥ ab bc ca+ + (Trích đề tuyển sinh vào lớp

10 Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)

Ví dụ 7) Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn điều

kiện ab bc ca+ + =1 Chứng minh rằng a3+ + +b3 c3 6abc a b c≥ + +

BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN

Câu 4) Cho x≥1,y≥1 Chứng minh rằng x y− +1 y x− ≤1 xy

Câu 5) Cho hai số thực x y, khác 0 Chứng minh rằng:

Câu 8) Cho a b c, , ∈ −[ 1; 2] và a b c+ + =0 Chứng minh rằng:

Câu 16) Cho các số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:

a + + +b c abc ≥ ab bc ca+ + Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 20) Cho các số thực dương ,a b sao cho ab+ ≤1 b Tìm

Câu 2) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= ≠y 0

Câu 3) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

0 nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= ≠y 0

Câu 4)

Đặt a= x−1,b= y−1 thì a≥0,b≥0 Bất đẳng thức cần chứngminh tương đương với:

(a2+1) (b+ b2+1) (a≤ a2+1) (b+ b2+1)

(a2 1) (b b2 1) (2 a2 1)b (a2 1) (b2 1) (2 b2 1)a 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b= =1 hay x= =y 2.

Câu 5) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b=

Câu 8) Vì a b c, , ∈ −[ 1; 2] nên có một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Mặt khác cũng vì a b c+ + =0 nên ( )2

0

2 2 22

Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a= −1,b=1,c=0

Ta còn phải chứng minh a2+ + ≥b2 c2 2abc

Không mất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Câu 10)

Ta có a bc a a b c+ = ( + + +) bc= +(a b a c) ( + ) nên bất đẳng thức

cần chứng minh tương đương với:

Vậy bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức trên là như nhau

nên ta hoàn toàn có thể giả sử x z≥

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1; 0

Câu 15) Vì a b, >0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Bất đẳng thức cuối đúng nên có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b= >0

Câu 16) Bài toán này có chứa căn nên để xuất hiện nhân tử

x y a

+ + + Dấu đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi: x= = =y z 3⇒ =a 3,b=2 3,c=3 3.Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3

2 đạt được khi và chỉ khi

Tương tự ta có: yz y z( + ≥) 2 y z3 3 (4)

zx z x+ ≥ z x (5) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (3),(4),(5) ta được:

Đẳng thức xảy ra khi x= =y z hay a b c= =

Câu 20) Giả thiết ta suy ra a 1 1

b

+ ≤ Ta có

2 2

a

t b

+

= ≤ ≤ Ta chứng

b a t

a b

BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

Câu 1) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

1

x y z+ + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x yz+ + y zx+ + z xy+

Câu 2) Cho , ,x y z là ba số thực dương và xyz=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 6) Cho , ,x y z là các số thực dương và xyz=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 8) Cho , ,x y z là ba số dương và x y z+ + =3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Câu 11) Cho , ,x y z≥0 thỏa mãn điều kiện x y z+ + =3

Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Câu 16) Cho , ,x y z là các số thực dương.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 18) Cho , ,x y z≥0 và thỏa mãn điều kiện x y z+ + =3 Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 20) Cho , ,x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều

kiện xyz=8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 21) Cho , ,x y z là các số thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Như vậy P≤2 Dấu bằng trong xảy ra khi

131

8 27

42;

x y x

x

++ = + −+ + Theo bất đẳng thức Cô si

ta có: y2+ ≥1 2y

2

11

x ≥ −+ Cộng từng vế ta

(x y z+ + +) (2 xy yz zx+ + ) ≥3(x z3 2 +y x3 2 +z y3 2) vì

9= + +x y z ≥3 xy yz zx+ + ⇒xy yz zx+ + ≤3 Do x y z+ + =3, suy

ra 3 2.3 3+ ≥ (x z3 2 +y x3 2 +z y3 2)⇒x y3 2 +y x3 2 +z y3 2 ≤ ⇒ ≥3 P 1 Vậy minP= ⇔ = = =1 x y z 1

Tương tự, ta có: 2

11

z

z ≥ −+ Suy ra3

Rõ ràng, ta lại có: ( )

23

333

Câu 21) Ta có nhận xét sau: với mọi , ,x y z là các số thực

dương, ta có:

3 2 2 2 3

x y z

x y z ≥

+ ++ + (1) Thật vậy, (1)

x

+

=

x y z

x y z ≥

+ ++ +

X Y Z P

y

2 3

221

y y

++ tương tự, ta có: 3 2

221

x

x ≥

++

Như vậy suy ra

2 2 2 3

bằng xảy ra khi và chỉ khi x=3;y=2;z=1

Ví dụ 2) Cho các số thực dương x y z, , sao cho

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=3,y=2,z=1

Ví dụ 3: Cho các số thực không âm x y z, , sao cho

Ví dụ 6) Cho các số thực a b c, , sao cho

Tìm GTNN của 2 ( 1)

( 1)( 1)( 1)

ab a b c ab Q

chỉ khi a b c= =

b) Khai triển hai vế và thu gọn ta quy về câu a

c) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về

e) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về

dạng: (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) ≥8abc bất đẳng thức này luôn đúng

theo AM- GM (xem chứng minh ở phần Bất đẳng

thức Cô si)

f) Theo bất đẳng thức Cô si thì: b c2 2+a c2 2 ≥2abc2 Tương tự

ta có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại suy ra đpcm

g) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số ta có:

đẳng thức Cô si ta có: a b c+ + ≥33 abc ab bc ca, + + ≥33 a b c2 2 2nhân 2 vế các bất đẳng thức dương cùng chiều ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1.

Ví dụ 2: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

a + + + + + ≥b c a b c ab bc ca+ + (Trích đề tuyển sinh vào lớp

10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015)

a b c

ab bc ca + +

Ví dụ 10: Cho các số thực dương a b c, , sao cho abc=1

Ví dụ 14) Cho các số thực ,x y sao cho x y2 2+2y+ =1 0 Tìm

GTNN, GTLN của

3 1

xy P y

=+ (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường chuyên – KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015)

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra y≠0.

a y

= + Ta được 2 2

Ta cần chú ý các bất đẳng thức quen thuộc sau:

Áp dụng kết quả của VD 6 ta suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 8: Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca+ + =3

2 2

m= Khi đó ta có:

một đẳng thức Suy ra điều phải chứng minh

Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác như sau:

đẳng thức cùng chiều ta suy ra điều phải chứng minh:

Chú ý: Với các giả thiết a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác

ta cần chú ý biến đổi để sử dụng điều kiện:

m= khi đó:1

Ví dụ 4: Cho các số thực dương a b c, , sao cho abc=1.Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 3

Điều này là hiển nhiên Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Một số cách thêm bớt không mẫu mực:

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a b c, , sao cho a b c+ + =1

ab bc ca abc a b c

+ +

≥+ + nhưng đây là bài toán quen thuộc

Ví dụ 7: Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca+ + =1

a b c

Để không bị ngược dấu ta thay (x y z, , ) bc ca ab2, 2 , 2

a b c

→  ÷ thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2

a b c VT

⇔ + + ≥ + + Đây là kết quả quen thuộc.

Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương , ,x y z Chứng minh rằng:

KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HÓA.

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh:

Nhưng đây là kết quả quen thuộc:

Ví dụ 2: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh:

a b + b c + c a ≥

biết a b c, , ≥0 sao cho

không có 2 số nào đồng thời bằng 0 và

(1+abc abc a b c) ( + + ≥) abc2+a b c2 3 2+bca2+b c a2 3 2+cab2+c a b2 3 2 Đây

là đẳng thức.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= =