cac phep toan ve can thuc duong minh hung

Liên hệ giữa phép chia với phép khai phương:... thức bậc chẵn dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau: Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu

➊ Căn bậc hai số học:

➋ Căn bậc hai:

➌ Liên hệ giữa phép nhân, với phép khai phương:

Tóm tắt lý thuyết

Ⓐ

Căn bậc hai số học

• Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a

• Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

• Một cách tổng quát:

So sánh các căn bậc hai số học

• Với hai số a và b không âm ta có:



➍ Liên hệ giữa phép chia với phép khai phương:

 Lời giải

a)

2

1 2

x x

+

− có nghĩa khi

2

1 0

2 0

x x

 + 



− 



2

1 0,

2

2 0

x x

 +   

− 



b) 2 −x 1 có nghĩa khi2 1 0 1

2

x−   x

c) 3 +x 2 có nghĩa khi3 2 0 2

3

x+   x −

 Lời giải

Phân dạng toán cơ bản

Ⓑ

Phương pháp: Nếu biểu thức có:

khác 0

biểu thức dưới dấu căn 0

Chú ý: Nếu thì

Khi n là số lẻ,với mọi x đều thỏa mãn

Khi n là số chẵn thì f(x) ≥ 0

thức bậc chẵn dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0

Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:

Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:

a) 3 +x 5 có nghĩa khi 3 5 0 5

3

x+   x −

b) Ta có 2

3 3,

x +    Vậy x x2 +3 luôn có nghĩa với mọi giá trị của x

c) 1 2x− có nghĩa khi 1 2 0 1

2

2 1

x x

+

− có nghĩa khi

1

2 1 0

2

x−   x

 Hướng dẫn giải

1) x −1 có nghĩa khi x−    1 0 x 1

2) Ta có 2

1 1,

x +    Vậyx 2

1

x + luôn có nghĩa với mọi giá trị của x 3) 1 x− có nghĩa khi 1−    x 0 x 1

2 3

x x

−

− có nghĩa khi

3

2 3 0

2

x−   x

1

x x

+

− có nghĩa khi

5 0

1 0

x x

+ 



 − 



5 1

x x

 −



  

 6) Ta có 2

2 2,

x +    Vậyx x2 2

x

+

có nghĩa khi x  0

2

x x

+

− có nghĩa khi 2−    x 0 x 2 8)

2

1 3 2

x x

+ +

−

x x

− 



 − 



2 3

x x





  



Bài tập rèn luyện



Tìm điều kiện có nghĩa của các biểu thức sau:

 Lời giải

• A =2021+ 36− 25= 2021 + 6 – 5 = 2022

• B =5 8+ 50−2 18= 5.2 2 5 2 2.3 2+ −

10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2= + − = + − =

• C = 27−2 27− 75=3 3 4 3 5 3− − = −6 3

• D = 12+ 27− 48=2 3 3 3 4 3+ − = 3

• E =2 3 3 27+ − 300=2 3 3 3 3+ 2 − 10 32 =2 3 3.3 3 10 3+ − = 3

• F =3 2+4 9.2 =3 2+12 2 =15 2

 Lời giải

A =2 3 4 27 5 48− + =2 3 12 3 20 3 10 3− + =

B =(3 50 5 18 3 8) 2− + =(15 2 15 2 6 2) 2− + =6 2 2= 12

(2 3 5 27 4 12) : 3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3

5 3 : 3 5

C

Phương pháp:

 Bước ①: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

 Bước ②: Qui đồng mẫu thức (nếu có)

 Bước ③: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn

 Bước ④: Rút gọn biểu thức

Ghi nhớ: Có thể dùng Casio kiểm tra kết quả

Rút gọn các biểu thức sau

Rút gọn các biểu thức sau

D =5 5 12 5 6 5 4 5− + − = −5 5

E =2 9+ 25 5 4− =5+6-10 =1

2 4 2 5 3 3 4 2 2 3 5 3

8 2 15 3 8 2 15 3

 Hướng dẫn giải

• C = 3( 27+4 3)= 81 4 9+ = +9 4.3= 21

• E =(3 2− 8) 2 =(3 2−2 2) 2= − =6 4 2

F = − + − =2 3 3 3− + 3 1− = − 1

• G = 16+ +5 8− 2 = 42 + +5 2 22 − 2= +9 2

• 2( 2 1) ( )

2 1

K

= − = − = 2 1 1

Bài tập rèn luyện



 Rút gọn các biểu thức sau:

 Lời giải

2

A

1

1 1

x B

x

−

− + − , Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:

( 1)( 1)

B

x

=

−

Vậy B = 1

1

x +

2

C

Phương pháp:

 Bước ①: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho (nếu có)

 Bước ②: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử

 Bước ③: Quy đồng mẫu thức

 Bước ④: Rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau

với

với và

điều kiện x ≥ 0 và

x ≠ 1

(2 )( 1) (2 )( 1)

D

 Lời giải

4

A

x

+

+

, ( 0; 4)

B

−

C

: 1

D

a

a

• =

−

−

Rút gọn các biểu thức sau:

với x  0 và x  4

với x > 0

và x ≠ 4 (với a

và a 1)

, ĐK:

 Hướng dẫn giải

A

 − + + 

+ −

4

x

−

=3( 2) 4( 2) 12

x

−

x

E

+

=

=

=

2 1

x

=

−

F

= a+ b+ a− b=2 a

Bài tập rèn luyện



 Rút gọn các biểu thức sau:

với

mm x > 0, x 

x > 0, x  1

với x>0

với x

≥ 0 và x ≠ 1

 Lời giải

a) Điều kiện 0  x 1

Với điều kiện đó, ta có:

( ) ( )2

A

x

b) Nếu A =

3

1

x

−

=  =  = (thỏa mãn điều kiện)

4

x = thì A =

3 1

c) Ta có P = A - 9 x = x 1 9 x 9 x 1 1

−

 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:

 Suy ra: P  − + = − Đẳng thức xảy ra khi 6 1 5 9 1 1

9

x

 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = − khi 5 1

9

x =

Phương pháp:

① Để tính giá trị của biểu thức biết ta rút gọn biểu thức rồi thay

vào biểu thức vừa rút gọn

② Để tìm giá trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình

Cho biểu thức A =

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A =

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9

 Lời giải

a.ĐK x0;x4;x9

( 2)( 3)

2 1

2 3 3

9 2

−

−

− +

+

− +

−

−

x x

x x

x x

x

Biến đổi ta có kết quả: M =

( 2)( 2 3)

M = ( )( )

( )( )

3

M

x

−

( )

1

3

16 4 16

4

x x

x

−

−

Đối chiếu ĐK:x0;x4;x9 Vậy x = 16 thì M = 5

c M =

3

4 1

3

4 3 3

1

− +

=

−

+

−

=

−

+

x x

x x

x

Do M z nên x−3là ước của 4  x−3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giá trị ta được:

1;4;16;25;49



 x vì x 4x1;16;25;49

Cho biểu thức M =

a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b Tìm x để M = 5

c Tìm x Z để M Z

 Lời giải

a) Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :

















−

−



−



−



0 2 1

0 2

0 1 0

x x x x











































3 2 1

3 2 1 0

x x x

x x x x

b) Đkxđ : x  1 ; x  2 ; x  3











−

+

−

−













−

−

−

−

−

−

=

x x

x x x

x x

x

P

2

2 2

2 2

1

3 1

1











−

+

−

−













+

−

−

−

+

−

−

−

− +

−

−

− +

=

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

2

2 2

2 2

1 2

1

2 1 3

1 1

1

x x x

x x

x x

x x

−

−

−













−

−

+

−

−

−

−

−

− +

=

2

2 2

2

1

2 1 3

1 1

x

x x

x x

x x

x x

−

−

−













−

+

−

−

− +

−

− +

=

2

2 3

2 1 3

1 1

x

x x

x x x

x

=

−

−

=

−

−

−

−

− +

1 2 2 2

=

x

x

, ta có:

1 2 2 1

2

1 2 2 1

2

1 2 2

2

2

−

+

−

=

−

−

−

=

−

−

−

=

1 2

−

=

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị của P với

 Hướng dẫn giải

a) Ta có: x − 2 x = x ( x − 2)

• ĐKXĐ:

0

x

x













• Với x > 0 và x  4 ta có:

4

x

−

−

:

:

=

=

=

4

3

x x

=

=

=

−

Với x > 0 , x  4, x  9 thì P = 4

3

x

x −

b) P = - 1

Bài tập rèn luyện



 Bài 1: Cho biểu thức:

P =

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:

1 3

x x

− ( ĐK: x > 0, x  4, x  9 )

4 3

 = −

 − − =

Đặt x = y đk y > 0

Ta có phương tŕnh: 4 y2 − − = y 3 0 Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

1 1

y

 = − ( không thoả măn ĐKXĐ y > 0), 2

3 4

y = ( thoả măn ĐKXĐ y > 0)

4

y = = x thì x = 9

16 ( thoả măn đkxđ) Vậy với x = 9

16 thì P = - 1 c) m ( x − 3) P  + x 1 (đk: x > 0; x  4, x  9)

4

3

1 4

x

x

x m

x

−

+

( Do 4x > 0)

Có x > 9 (Thoả măn ĐKXĐ)

9

x

  ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)

x x x

Theo kết quả phần trên ta có :

5

18 4

4

x x m x

m x

+

 

 



Kết luận: Với 5 , 9

18

m x thì m ( x − 3) P  + x 1

 Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để P xác định là x0; y 0;y 1;x+ y 0

( ) ( )( )( )

P

=

( )( )( )

=

( )(1 )(1 )

=

( ) ( ) ( )( )

( )( )

=

(1 )

y

=

−

( )( ) ( )

( )

1

y

=

Vậy P = x + xy − y

b) ĐKXĐ: x0;y 0; y1;x + y 0

P = 2  x + xy − y.= 2

( ) ( )

( )( )

Ta có: 1 + y 1  x − 1 1     x = 0; 1; 2; 3 ; 4 0 x 4

Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta có các cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn)

 Bài 2: Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P

b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2

 Hướng dẫn giải

Câu 2: Điều kiện x  3

x− − x− + x− =  x− −3 3 x− +3 8 x− = 3 6

 − =  x− = 3 1  − = x 3 1  =x 4 (t/m)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 4

( ) ( )2

2 3 2

5 2

2 5

+ +

Câu 4:

1) Với x =9 ( thỏa mãn điều kiện )

8

9 5

8

A= −

với x = 9

2 Rút gọn biểu thức B

4

B

x

−

( ) ( )( ) ( ( )( )( ) ) ( )( )

Phiếu ôn tập



1 Tính giá trị của với

2 Rút gọn biểu thức

3 Tìm để

( )( )

=

+

=

x x

=

−

Vậy

2

x B

x

=

−

3

B

A −

1 :

3

−

3 2

x x

+

x x

+

4

x

x x

2 x 17 17

Để ( )

0

x x

−

( )

Kết hợp ĐKXĐ x0;x   4 0 x 4 Vậy 0  là giá trị cần tìm x 4

 Hướng dẫn giải

Câu 2: Thực hiện phép tính:

a) Tính giá trị biểu thức khi b) Rút gọn biểu thức

c) Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 1:

( ) 4

2

2

2 2 4.3 2 3 2

2

2 3 2 3 2 2 2 2

Câu 2:

2

= − + 

5 2

2

= − + 

9 2 2 2 18 2

+

( ) ( ) ( )

+

Câu 3:

a) Tìm x để 1

2

A =

2

x A

x

−

= (x 0)

2

2

x x

−

( )

16 L

16 TM

x x

= −



 

=



Vậy để 1

2

A = thì x =16

b) Chứng minh

1

x B

x

= +

1 1

B

x x

−

− (x0,x1)

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

=

( 1)( 1)

−

=

( ) ( )( )

1

−

=

x x

= +

Vậy

1

x B

x

= +

c) Đặt P=A B Tìm xđể 1

2

P 

2

1

−

+

2 1

x x

−

= +

Để 1

2

4 2 1

x

x x

−

+

4 1

x x

−

+ 4( x−2) x+1

2

P  thì 4 x 9

Câu 4:

a) Khi x =16 (thoả mãn điều kiện), ta có 16 3 19 19

4 3 7

16 3

+ +

Vậy khi x =16 thì 19

7

A =

b) Với x 0, x 9, ta có:

( )( )

B

( ) (3 )(2 )3 3 ( 3 )(2 )3 3

B

( )( ) ( ( )( ) )

2

1

x

B

3

x B x

+

= + với x 0, x 9

P

Khi đó ta có:

( )

Dấu " "= xảy ra  4 ( )2

1

x

 = −  =  = (thoả mãn điều kiện) Vậy min P = tại 2 x =1