BÁO cáo bài tập lớn môn GIẢI TÍCH 2 đề tài 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI: 12 LỚP L35, NHÓM 12 GVHD: Nguyễn Thị Xuân Anh... ĐẠI HỌ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI: 12

LỚP L35, NHÓM 12 GVHD: Nguyễn Thị Xuân Anh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI: 12 NHÓM 12

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH 3

TÓM TẮT BÁO CÁO 4

ĐỀ BÀI 5

PHẦN 1 6

PHẦN II 13

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1: Hình vẽ các mặt cong 6

Hình 2: Hình vẽ các mặt cong và khối .7

Hình 3: Hình vẽ khối .7

Hình 4: Thêm các mặt trên dưới để tạo miền đóng kín 8

Hình 5: Kết quả theo phần mềm tính toán Wolfram Alpha 10

Hình 6: Kết quả theo phần mềm tính toán Wolfram Alpha 11

Hình 7: Kết quả theo phần mềm tính toán Wolfram Alpha 12

TÓM TẮT BÁO CÁO

 Sử dụng hai phần mềm Wolfram Alpha và Geogebra vào việc tính toán và vẽ hình liên quan đến môn Giải tích 2

 Trình bày nội dụng hai phần theo hướng dẫn của giáo viên

ĐỀ BÀI

I. Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong:

x2+ y2+2 y=0,z= y−3, z=x2+ y2 −2 Gọi S là phần mặt trụ x2+ y2+2 y=0 thuộc khối V, lấy phía ngoài

1 Vẽ hình khốiV

2 Tính tích phân:

∬

S

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

toán thực tế mà nhóm tự thiết lập, cách ước tính khi hàm được cho bởi bản đồ mức Từ đó nêu định nghĩa và chứng minh công thức đạo hàm theo hướng

PHẦN 1

x2+ y2+2 y=0,z= y−3, z=x2+ y2−2 Gọi S là phần mặt trụ x2+ y2+2 y=0 thuộc khối

V, lấy phía ngoài

2 Tính tích phân:

∬

S

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

1

Hình 1: Hình vẽ các mặt cong

Hình 2: Hình vẽ các mặt cong và khối V

2 Ta thực hiện tính tính phân trên theo công thức Gauss – Ostrogradski Dựa vào hàm dưới dấu tích phân ta có được:

{P=x2z−2 y

Q= y2x−z R=2 xyz+1

Trước hết ta tiến hành tạo miền đóng bằng cách thêm vào hai mặt biên trên và dưới như hình vẽ

x2+ y2+2 y=z ta được z=−2−2 y, chọn pháp vectơ từ S1 hướng ra ngoài mặt trụ

Theo công thức Gauss – Ostrogradski thì tích phân đề bài được tính bởi:

∬

S (x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy=∭

V (∂ P

∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z )dxdydz

−∬

S1

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

−∬

S2

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

Với:

V (∂ P

∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂z)dxdydz

I2=∬

S1

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2xyz+1)dxdy

I3 =∬

S2 (x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2xyz+1)dxdy

Thực hiện biến đổi, tính toán và sử dụng phần mềm:

I1 =∭

V (∂ P

∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z)dxdydz

¿

¿

V

(2xz+2 xy+2xy)dxdydz=∭

V

(4 xy+2 xz)dxdydz

Biến đổi về tọa độ trụ đặt { x=rcosα

I1=∫

0

2π

dα∫

0

1

rsinα−4

−2rsinα

[4(rcosα)(rsinα−1)+2(rcosα)z]dz

Hình 5: Kết quả I1 theo phần mềm tính toán Wolfram Alpha Tương tự, ta tính I2I3:

I2=∬

S1 (x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

⃗

n1 =(0,2,1)

I2=∬

S1

(x2z−2 y).0+[y2x−(−2−2 y)]2+[2 xy(−2−2 y)+1].1dxdy

¿∬

S1

(−2 x y2−4 xy+4 y+5)dxdy

I1=∫

0

2π

dα∫

0

1

r[−2(rsinα−1)2(rcosα)−4(rcosα)(rsinα−1)+4(rsinα−1)+5]dr

I3 =∬

S2 (x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

Với mặt S2: z= y−3, với hướng của pháp vectơ đã chọn ta thu được pháp vectơ:

⃗

n2=(0,1,−1)

I3 =∬

S2 (x2z−2 y).0+[y2x−(y−3)].1+[2 xy(y−3)+1].(−1)dxdy

¿∬

S2

I1=∫

0

2π

dα∫

0

1

r[−(rsinα−1)2(rcosα)+6(rcosα) (rsinα−1)−(rsinα−1)+2]dr

Từ kết quả của phần mềm tính toán ta có:{ I1=0

I2=3,14159≈ π

I3=9,42478 ≈3 π

Do đó:

∬

S

(x2z−2 y)dydz+(y2x−z)dzdx+(2 xyz+1)dxdy

¿I1−I2−I3≈ 0−π−3π=−4 π

PHẦN II 1) Cơ sở lí thuyết đạo hàm riêng:

Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = f(x, y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn (nếu có)

lim

∆ X →0

f(x0+∆ x ; y0)−f(x0; y0)

∆ x

và được kí hiêu là:

f x '

(x0; y0), z x '

(x0; y0), ∂ f

∂ x(x0; y0), ∂ z

∂ x(x0; y0)

đọc là “ del f del x d el z del x

Rõ ràng ta có:

∂ f

∂ x(x0; y0)= d dx f(x; y0) |x=x0

Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y:

∂ f

∂ x(x0; y0)= lim

∆ y → 0

f(x0; y0+∆ y)−f(x0; y0)

∆ y