Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

+SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2015 - 2016

I Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến

Trường THPT KIM SƠN A – Sở GD&ĐT NINH BÌNH

II Đồng tác giả sáng kiến

1 - Họ và tên: HOÀNG VĂN TƯỞNG

III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng:

- Tên sáng kiến: TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

- Lĩnh vực áp dụng: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

IV Nội dung sáng kiến

1 Giải pháp cũ thường làm

- Trong thực tế việc truyền thụ tới các học sinh phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, là một công việc rất khó khăn đối với tất cả giáo viên bộ môn toán Có quá nhiều dạng, mỗi bài còn có những cách biến đổi khác nhau đó là chưa kể đến khi giảng dạy, chính giáo viên cũng không nhớ cách biến đổi mà có nhớ thì học sinh sẽ tiếp thu một cách thụ động

- Một trong những giải pháp cũ để chứng minh bất đẳng thức là dồn về một biến nào đó như

t  x y z hoặc txyyzzx hoặc t x2y2z2,… để đạt được điều này thật không đơn giản, qua các ví dụ sau đây sẽ rõ hơn

t t P

0 +

Ví dụ 3 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2

x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

Ví dụ 4 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b2 2c b2 2 1 3b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Trích đề thi thử lần 2 - 2016 THPT Bình Phước) Lời giải: Ta có

b P

     (**) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1008

Từ (*) và (**) ta đƣợc P  A B 6048 4032 10080  , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minP 14 đạt đƣợc khi a   b c 1

Hai ví dụ trên lời giải đã dùng đến phương pháp hệ số bất định nhưng vẫn phải thông qua các bất đẳng thức kinh điển và vẫn quá khó đối với học sinh khá trở xuống

1.1 Nhược điểm:

Khi chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, theo phương pháp

cũ học sinh bị thụ động bởi cách giải, những biến đổi quá phức tạp, phải nhớ rất nhiều các bất đẳng thức và áp dụng chúng thật khéo mới có thể làm được bài toán yêu cầu

1.2 Khó khăn:

- Thời lượng học chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong trường THPT rất ít, nhưng trong đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi luôn có bài tập dạng này và là một câu phân hoá học sinh quan trọng

- Tỉ lệ học sinh hiểu bài không nhiều, khả năng vận dụng kém, vì vậy tâm lí học sinh khi đi thi THPT Quốc gia học sinh thường bỏ nội dung này dù đề bài có dễ hay khó

- Tài liệu cho nội dung chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhiều nhưng không cô đọng, khó hiểu với đa số học sinh Nội dung đề thi ở mức vận dụng, sáng tạo nhưng nội dung bài tập trong SGK thường là nhận biết và thông hiểu

- Tài liệu giảng dạy chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vẫn mang tính chất hàn lâm Khó vận dụng rộng rãi Vì vậy, giáo viên thường chỉ quan tâm đến bồi dưỡng cho một nhóm học sinh, không bồi dưỡng cho các em còn lại

2 Giải pháp mới cải tiến

2.1 Cơ sở lý luận:

Để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, học sinh phải hiểu và vận dụng rất nhiều phương pháp, rất nhiều dạng Vừa là nội dung khó, bài tập đa dạng, do đó giáo viên tìm tòi, bổ sung các cách mới là điều cần thiết

Ngoài các cách thường dùng trong sách giáo khoa, các sách tham khảo, chúng tôi đã đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới mà chưa một tài liệu nào có, nó mang tính đột phá trong tư duy giải toán bất đẳng thức, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận bởi tính tường minh của nó

Giáo viên và học sinh trong trường đã gọi nó là “Phương pháp cực trị HOÀNG MINH” dựa

trên một cơ sở nền tảng là dùng đạo hàm và phương pháp được phát biểu, trình bày khá đơn giản như sau:

+ Khi chứng minh bất đẳng thức ta thường đưa về một biến theo một biểu thức nào đó, để làm

được điều này thì cần có một cái nhìn tổng quát và áp dụng rất nhiều các bất đẳng thức như Cauchy– Schwarz, Bunyakovsky, các bất đẳng thức đặc biệt, các bổ đề… mà các bất đẳng thức này khi chứng

minh đến bước cuối đều có dạng 2

(xy) 0 “dạng đẳng cấp”, + (xy)2 0 cũng được hiểu là nghiệm bội, mà nghiệm bội thì liên quan đến tiếp xúc, tiếp xúc thì liên quan đến đạo hàm qua xâu chuỗi tư duy trên chúng ta có phương pháp mới đưa biểu thức

về một biến bằng cách tìm một bổ đề trung gian, cụ thể ta đi tìm một hệ số  nào đó cho phù hợp với bất đẳng thức phụ

+ Các bước đi tìm bất đẳng thức phụ và tìm hệ số  như sau:

Bước 1: Dự đoán biểu thức cần “nguồn” đưa về biểu thức nào “đích” (có dạng đẳng cấp - thuần nhất) Bước 2: Tìm  trong bất đẳng thức “nguồn”  hoặc  “ đích”, căn cứ vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, trên tử hay dưới mẫu, trước có dấu “+” hay “–“

Bước 3: Vì biểu thức có dạng đẳng cấp thuần nhất lên ta thường cho a b c  1 “chuẩn hóa” hoặc đặt ,

xac y , rút thế vào biểu thức cho giảm biến bc

Bước 4: Tính đạo hàm biểu thức vừa tìm được rồi cho bằng không, suy ra giá trị của biến số, thay

ngược lại ta được 

Bước 5: Chứng minh bổ đề vừa tìm được, áp dụng vào bài toán

Chú ý: – Ký hiệu d f x( )

dx là đạo hàm của hàm số f x theo biến x ( )

– Áp dụng phương pháp này ta được bổ đề cho từng bài

2.2 Nội dung và biện pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHƯƠNG PHÁP “CỰC TRỊ HOÀNG MINH”

Ví dụ 1 Cho các số thực x, y  thỏa mãn 0 x  y 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP7(x2 ) 4y  x22xy8y2

Phân tích: Ta đi tìm  trong biểu thức: 7(x2 ) 4y  x22xy8y2 (x y)

x  

Cách 2: Trong biểu thức tìm  mà chỉ có hai biến ngoài cách trên ta còn có cách khác là cho một

trong hai biến giá trị bất kỳ thỏa điều kiện, thay vào biểu thức rồi làm tương tự

P x y  x  xy y  xy 

Vậy MaxP  đạt đươc khi 8 2 4, 2

t t P



2 2(t 3) (t 6t 9) 0

     luôn đúng với mọi 0 t 3

2 2

Ta đã đưa về hết t x y z    Vấn đề còn lại là t x y z    thuộc từ đâu đến đâu ? là cả một vấn đề

! Để tránh điều này ta làm theo cách trên, vì có thể cực trị không đạt tại biên !

1 36 9

P t

Ví dụ 4 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b2 2c b2 2 1 3b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

b P

a b

d

d x dx

Theo đề bài ta dự đoán điểm rơi x y

   luôn đúng với mọi ,x y  0

giá trị bất kỳ ta được 8, đổi

x cho y, y cho x ta được 3 

2 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có mMaxP

2.3 Ưu điểm của giải pháp cải tiến:

Trong thời lượng phân phối của bộ môn không đủ thời gian để giáo viên trang bị cho học sinh tất

cả các cách giải chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Nhưng giờ đây đã có phương pháp mới hỗ trợ đắc lực, nếu thực dạy theo chuyên đề này chắc chắn là

đủ và thừa thời gian bởi tính tường minh của nó

a Đối với học sinh: Tiết kiệm thời gian học tập Tỉ lệ học sinh hiểu bài nhiều Phân hoá học sinh

rất tốt: học sinh khá - giỏi có thể đạt điểm tối đa Học sinh chủ động hướng tới lời giải Đặc biệt hơn là

áp dụng cho các câu khó (điểm thứ 9-10) của các đề thi thử, đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây

b Đối với giáo viên: Nội dung phương pháp mới là một chuyên đề, một tài liệu giảng dạy

chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số phù hợp với nhiều đối tượng học sinh

V Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

1 Hiệu quả kinh tế:

Các nội dung viết trong sáng kiến này là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh Học sinh có thể dùng tài liệu này thay thế cho sách tham khảo Vừa nêu rõ ý nghĩa ưu nhược điểm của các phương pháp, vừa giới thiệu chi tiết nội dung và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số gần gũi với các học sinh lớp 12

Để cho học sinh hiểu và làm được những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, Đã quá nhiều tác giả tốn kém quá nhiều giấy mực để viết

ra không biết bao sách, trong mỗi sách có quá nhiều phương pháp, quá nhiều cách biến đổi cho mỗi bài Giờ đây chỉ với một đề tài này nếu in thành sách thì những phương pháp cũ trong những sách đó là không cần thiết

Tài liệu gồm 90 trang, giá photo 90 x 300 VN đồng = 27.000đ

Trong khi phải bỏ ra khoản phí mua sách tham khảo khá lớn như một cuốn sách “CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC” Giá bìa 179.000.000 không chắc gì đã làm theo được

Khi áp dụng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệm được số tiền lớn hơn rất nhiều

2 Hiệu quả xã hội:

Tạo được tâm lí tự tin cho phụ huynh và học sinh trước mỗi kì thi quan trọng Học sinh có thể giải được các bài tập khó của đề thi, đỗ đạt cao vào các trường đại học hàng đầu hay đạt giải cao trong

kì thi học sinh giỏi tỉnh hoặc quốc gia Góp phần đưa nhà trường là địa chỉ giáo dục tin cậy nhất của địa phương

VI Điều kiện và khả năng áp dụng

1 Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:

Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh,

mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh Vì vậy vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều hơn nữa Mà nội dung chuyên đề phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức đại số là một chuyên đề „khó‟ có trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia

ở tất cả các khối thi, đây cũng là nội dung mà học sinh gặp nhiều khó khăn Do đó, việc áp dụng sáng kiến này vào trong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan

2 Điều kiện áp dụng sáng kiến:

Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần:

+ Đưa ra thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến với các thầy cô giáo trong tổ chuyên môn về các vấn đề liên quan đến sáng kiến từ đó rút kinh nghiệm

+ Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong sáng kiến cho phù hợp Đối với học sinh yếu kém ta không nên đi sâu mà chỉ mang tính chất giới thiệu

+ Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải quyết các bài tập về nhà

+ Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập

Kim sơn, ngày 05 tháng 05 năm 2016

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN, ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

HOÀNG VĂN TƯỞNG

ĐỒNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

LÊ THỊ LAN ANH

PHỤ LỤC 1 PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ - HOÀNG MINH

Nhiều bài bất đẳng thức mấy năm gần đây có dạng đưa về một biến theo một biểu thức nào đó rồi khảo sát hàm số theo biến đó Khi đưa về một biến theo một biểu thức thì cần có một cái nhìn tổng

quát và áp dụng rất nhiều các bất đẳng thức như Cauchy–Schwarz, Bunyakovsky, các bất đẳng thức

đặc biệt, các bổ đề… mà các bất đẳng thức này khi chứng minh đến bước cuối đều có dạng

lớn nhất hay nhỏ nhất, trên tử hay dưới mẫu, trước có dấu “+” hay “–“

Bước 3: Vì biểu thức có dạng đẳng cấp thuần nhất lên thường cho a b c  1 “chuẩn hóa” hoặc đặt ,

xac y , Các biến không âm , , ; , ,bc a b c x y z  thường điểm rơi có ít nhất một biến là không, rút 0thế vào biểu thức cho giảm biến

Bước 4: Tính đạo hàm biểu thức vừa tìm được rồi cho bằng không, suy ra giá trị của biến số hoặc dùng

7

MODE để dự đoán điểm rơi, thay ngược lại ta được 

Bước 5: Chứng minh bổ đề vừa tìm được, áp dụng vào bài toán

Chú ý: – Ký hiệu d f x( )

dx là đạo hàm của hàm số f x theo biến x ( )

– Áp dụng phương pháp này được bổ đề cho từng bài

x   

Cách 2: Trong biểu thức tìm  mà chỉ có hai biến ngoài cách trên ta còn có cách khác là cho một

trong hai biến giá trị bất kỳ thỏa điều kiện, thay vào biểu thức rồi làm tương tự

Ví dụ 2 Cho các số thực , ,a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 0

2 2 2

( ) ( 2 )( 2 )4

1 0.4082482905 ( ), 2 0.5773502692 ( ) 2 ( 2 1 2 ) 2

2 2 2(a b) (a 2 )(c b 2 )c 2(a b c )

Phân tích: Nếu ta có đƣợc: 7a4b4 ab(ab) thì bài toán coi nhƣ đã xong

Ta thấy 7a4b4 ab (a b ) là thuần nhất cùng bậc cho a b    1 b 1 a

Ví dụ 4 Cho các số thực , ,a b c dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0

Ví dụ 5 Cho các số thực , ,a b c dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 6 Cho , ,x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 0

Lần 2: Nhập máy

223

0

Ví dụ 7 Cho , ,x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 0

       luôn đúng theo bất đẳng thức cosi

Ví dụ 10 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x y z và 2 2 2

3

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: P 2xy 8yz 5zx 10

(xy) 4xy2 (Trích KB–2009) Phân tích: Nhận thấy x4y4 x y2 2 cùng bậc ta tìm cách đƣa về x2y2

2

s p

x  y

Ví dụ 12 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 3c2 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3(b c) (a c) (a c) (b c)

1010

1010

Ví dụ 14 Cho các số thực , ,x y z dương thỏa mãn hệ thức: 2 2 2

x y z  xy x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của: 20 20

Ví dụ 15 Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2

x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

Ta đã đưa về hết t  x y z Vấn đề còn lại là t   x y z thuộc từ đâu đến đâu ? là cả một vấn đề

! Để tránh điều này ta lại thử cách trên xem ? vì có thể cực trị không đạt tại biên !

1 36 9

P t

59

MaxP  , đạt tại x y 1, z 0

Ví dụ 16 Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn , , 2 2

(xy) z   x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 23 4 2 2 ( 2 )2 1

– Biểu thức P khá phức tạp, các biến không có dạng đối xứng

– Tổng x y z xuất hiện “vô duyên” nhƣng nó lại là gợi ý

t t P



2 2(t 3) (t 6t 9) 0

     luôn đúng với mọi 0 t 3

3

minP  đạt đƣợc khi x   y z 1

Ví dụ 18 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích: Bài này nhìn thì khá giống bài trên, chỉ khác nhau chỗ ba biến không âm còn bài trên thì ba

biến dương Do đó bài này với dự đoán điểm rơi là x y 1; z hoặc dùng 0 MODE 7

Ví dụ 20 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x   y z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

(1 z)1

Ví dụ 21 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x   y z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

– Trong hai căn biểu thức ở mẫu số cũng như bài trên, nếu giải quyết được thì vẫn vướng căn bậc 3,

vì khi giải quyết được biểu thức mẫu số ta không thể kết hợp với căn thứ hai Nhìn tổng thể bài thì thấy x và y có vai trò như nhau ta sẽ đưa về biến z, muốn vậy ta chỉ nghĩ đến các biến trong căn, dạng đẳng cấp

–

2 3

– Những suy luận trên chỉ mang tính dự đoán theo kinh nghiệm, để dự đoán này đúng hơn mà không

mất công đi chứng minh ta nhập vào máy

2 3

    luôn đúng

3

MaxP  đạt được khi x   y z 1

Với tư duy này bài trên có thể làm theo cách khác:

Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x   y z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 23 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2

14

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 24( 2 ) 2 4 5 2 3

Ví dụ 24 Cho ba số , ,x y z [0;2] thỏa mãn x   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y z 3

9 Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2

2

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2 2

2 2

a b c ab

  



19 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a2   b2 c2 5

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

20 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a2   b2 c2 13

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

21 Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn , , a2   b2 c2 13

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 5 2

22 Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn , , a2   b2 c2 13

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

PHỤ LỤC 2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ MODE 7 DỰ ĐOÁN ĐIỂM RƠI

 PHƯƠNG PHÁP

Như tiêu đề ta dùng máy chỉ để hỗ trợ, dự đoán, nói như vậy thì độ chính xác chưa hẳn đã cao,

muốn chính xác hơn thì biểu thức càng ít biến, bước chạy “Step” càng nhỏ thì càng chính xác

Ý tưởng của phương pháp là đưa biểu thức ba biến về ít biến nhất có thể, nếu đưa về được một biến thì dễ rồi, còn hai biến thì cố định một biến, cho biến còn lại chạy, cứ như vậy lại cho biến cố định kia tăng lên rồi lại cho biến còn lại chạy Đối với máy CASIO fx-570VN PLUS thì có thêm hàm g(x)

do đó tốc độ sẽ nhanh gấp hai lần so với máy có một hàm f(x)

 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Tìm y  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó: 0

( 2)4(13 1) 36

minT  khi x  y 1

Để chắc chắn hơn cho

X F(X) Trong bảng này F(X) giảm dần

xuống 0.5 tại x = 1 rồi lại tăng dần Trong cả hai bảng ta tập chung vào giá trị “đẹp” trước và thấy 0.5 là giá trị nhỏ nhất và “đẹp” nhất

Lệnh chuyển đổi trong Table, (MODE 7) có 1 hàm f(x) hay hai hàm f(x) và g(x), (nếu để 1 hàm f(x) thì khoảng Start, End rộng hơn)

Bấm SHIFT MODE bấm phím xuống, chọn 5, chọn 1 hoặc 2

đúng, nó được hiểu như y x( o)0 trong đó x o là điểm cực trị

Tiếp theo đổi cận Start?   2 End?3.5Step?0.1 

Quan sát bảng thấy ( ) 0.25G X  là lớn nhất khi đó a3; b , nhƣ thế là đủ, cẩn thận hơn nữa cho 23

Lần 1: hàm f(x) cho b 1, hàm g(x) cho b 2, nhập máy:

27

Lần 2: hàm f(x) cho b 3, hàm g(x) cho b 4, nhập máy:

223

Cẩn thận hơn ta làm lần 3 cho Start?0.1  End?1.9Step?0.1 

Vậy minT2, a3,b 2